Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến PRO S – PRO Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
DẠNG 4. ĐƯỜNG THẲNG CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG KHÁC
Cách giải:
Giả sử cần lập phương trình đường thẳng d, biết d qua A và cắt cả hai đường thẳng d
1
; d
2
.
+) Chuyển đường d
1
và d
2
về dạng tham số t
1
và t
2
(hoặc t với t’)
+) Gọi
1 1 1 2 2 2
( ); ( )
B d d B d B t C d d C d C t
= ∩ ⇒∈⇒= ∩ ⇒∈⇒
+) Do
1
2
, ,
t
A B C d AB k AC
t
∈⇒=⇒
Chú ý:
Ngoài cách gi
ả
i trên thì ta có th
ể
vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng d d
ạ
ng t
ổ
ng quát (là giao tuy
ế
n c
ủ
a hai m
ặ
t
ph
ẳ
ng).
+ Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
đ
i qua A và ch
ứ
a d
1
, suy ra
1 1 1 1
; ;
P d
n u AM M d
= ∈
+ Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q)
đ
i qua A và ch
ứ
a d2, suy ra
2 2 2 2
; ;
Q d
n u AM M d
= ∈
Khi
đ
ó
( ) ( ) ;
d P Q
d P Q u n n
= ∩ ⇒=
Ví dụ 1:
[ĐVH].
L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua A(1; –1; 1) bi
ế
t d c
ắ
t c
ả
hai
đườ
ng
1
1 3 1
:
2 1 2
x y z
d
− + +
= =
−
và
2
2
:
3
x t
d y t
z t
= −
=
=
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
+)
Đườ
ng th
ẳ
ng d
1
có ph
ươ
ng trình tham s
ố
1 2 '
3 '
1 2 '
x t
y t
z t
= +
= − +
= − −
+) G
ọ
i
1 1
(1 2 '; 3 '; 1 2 ')
B d d B d B t t t
= ∩ ⇒∈⇒+ − + − −
2 2 2
( ) (2 ; ;3 )
C d d C d C t C t t t
= ∩ ⇒∈⇒ ⇒ −
+) Do
(
)
(
)
, , 2 '; 2 '; 2 2 ' 1 ; 1;3 1
A B C d AB k AC t t t k t t t
∈⇒= ⇔ − + − − = − + −
2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 3 ' ' 2 2 1
2 ' 2 ' 2 2 ' ' ' 0
6 ' 2 ' 2 ' 2 2 ' 2 4 ' 2 2 ' 0
1 1 3 1
tt t tt t t tt t t t
t t t tt t
tt t tt t t tt t t
t t t
+ = − − + + + − = − =
− + − −
⇔ = = ⇔ ⇔ ⇒− = ⇔
− = + − − − = − =
− + −
+) V
ớ
i
1
1 ' 0 (0; 2; 2) (0;1;1) : 1
1
d
x
t t AB u d y t
z t
=
=⇒=⇒= − − ⇒= → = − +
= +

+) V
ớ
i
1
' 0 1 (0;2;2) (0;1;1) : 1
1
d
x
t t AB u d y t
z t
=
=⇒=⇒=⇒= → = − +
= +
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
đ
i qua g
ố
c to
ạ
độ
và c
ắ
t c
ả
hai
đườ
ng th
ẳ
ng:
( ) ( )
1 2
1 1 2 2
1 2
1 2 2
: 2 , : 3 2
3 3 1 3
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = +
= + = − +
= − + = +
Ví dụ 3:
[ĐVH].
L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
đ
i
ể
m A(–4; –5; 3) và c
ắ
t c
ả
hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
1 3 2 2 1 1
: , :
3 2 1 2 3 5
x y z x y z
d d
+ + − − + −
= = = =
− − −
09. BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến PRO S – PRO Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Ví dụ 4: [ĐVH].
Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(–1; 0; 14) và cắt cả hai đường thẳng
1 2
1 1 3 3 4
: , :
1 1 6 2 2 1
x y z x y z
d d
+ + − + +
= = = =
− −
Đ/s:
1 14
:
3 1 9
x y y
d
+ −
= =
− −
Ví dụ 5: [ĐVH].
Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x – y + 2z = 0 và cắt cả 2 đường thẳng
1 2
2 1 '
: 3 2 , : 1 2 '
1 3 '
x t x t
y t y t
z t z t
= − = −
∆ = + ∆ = +
= − + =
Ví dụ 6: [ĐVH].
Cho mặt phẳng (P): 2x + y + z + 1 = 0 và hai đường thẳng
1 2
2
: 1 , :
2 1 1
1 2
x t x y z
y t
z t
=
+
∆ = + ∆ = =
−
= − +
a) Xét vị trí tương đối của ∆
1
và ∆
2
với (P).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
c) Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(0; 1; 2) đồng thời cắt đường ∆
1
và và vuông góc với ∆
2
d) Lập phương trình đường thẳng d’ nằm trong (P) và cắt cả hai đường ∆
1
và ∆
2
Ví dụ 7: [ĐVH].
Lập phương trình đường thẳng d // ∆ và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
biết
1 2
5 1 2 3 1
: 1 , : , :
3 2 3 4 1 1 2
z x y z x y z
x y d d
− − − − −
∆ = − = = = = =
−
Ví dụ 8: [ĐVH].
Lập phương trình đường thẳng d // ∆ và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
biết
1 2
2
2 1 2 4
: 1 2 , : , :
2 1 3 2 1 1
x t x y z x y z
y t d d
z t
= −
+ − + −
∆ = + = = = =
− −
=
Ví dụ 9:
[ĐVH].
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng ∆ bi
ế
t ∆ vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x – 2y + 3z + 4 = 0 và c
ắ
t c
ả
2
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
2
1 2 4
: , : 1 4
2 3 1
6 5
x t
x y z
y t
z t
= −
− + −
∆ = = ∆ = +
= −
Ví dụ 10:
[ĐVH].
Cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
2 3
1 2
: 1 3 , :
2 1 2
1 2
x t x y z
y t
z t
= −
+ +
∆ = + ∆ = =
−
= − +
a)
Xét v
ị
trí
đươ
ng
đố
i c
ủ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng, tính góc và kho
ả
ng cách gi
ữ
a chúng.
b)
L
ậ
p ph
ườ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua A(0; 1; 1)
đồ
ng th
ờ
i vuông góc v
ớ
i d
1
và c
ắ
t d
2
c)
L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d’ sao cho d’ c
ắ
t c
ả
hai
đườ
ng th
ẳ
ng d
1
; d
2
đồ
ng th
ờ
i song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
( ): 2 5 1 0
P x y z
+ + − =
và vuông góc v
ớ
i d
1
.
Ví dụ 11:
[ĐVH].
Cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
1
2 1
: 2 , :
1 1 5
1 3
x t
x y z
y t
z t
= −
+ −
∆ = ∆ = =
−
= − −
L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d’ sao cho d’ c
ắ
t c
ả
hai
đườ
ng th
ẳ
ng d
1
; d
2
đồ
ng th
ờ
i song song v
ớ
i hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
( ): 2 5 1 0
+ + − =
P x y z và
( ):3 5 0
− + + =
Q x y z .
Ví dụ 12:
[ĐVH].
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ
độ
Oxyz, vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
− −M
4; 5;3
và c
ắ
t c
ả
hai
đườ
ng th
ẳ
ng:
+ + =
− + =
x y
dy z
1
2 3 11 0
:
2 7 0
và
− + −
= =
−
x y z
d
2
2 1 1
:
2 3 5
.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Vi
ế
t l
ạ
i ph
ươ
ng trình các
đườ
ng th
ẳ
ng:
= −
= − +
=
x t
d y t
z t
1
1 1
1
5 3
: 7 2
,
= +
= − +
= −
x t
d y t
z t
2
2 2
2
2 2
: 1 3
1 5 .
G
ọ
i
= ∩ = ∩
A d d B d d
1 2
,
⇒
− − +
A t t t
1 1 1
(5 3 ; 7 2 ; )
, + − + −
B t t t
2 2 2
(2 2 ; 1 3 ;1 5 )
.
= − + − −
MA t t t
1 1 1
( 3 9;2 2; 3)
,
= + + − −
MB t t t
2 2 2
(2 6;3 4; 5 2)
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến PRO S – PRO Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
= − − + + − + − − + +
MA MB t t t t t t t t t t t
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
, ( 13 8 13 16; 13 39 ; 13 24 31 48)
M, A, B thẳng hàng ⇔
MA MB
,

cùng phương ⇔
=
MA MB
, 0
⇔
=
=
t
t
1
2
2
0
⇒
− − −
A B
( 1; 3;2), (2; 1;1)
⇒
= −
AB
(3;2; 1)
Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) và có VTCP
= −
AB
(3;2; 1)
⇒
= − +
= − +
= −
x t
d y t
z t
4 3
: 5 2
3
Ví dụ 13: [ĐVH].
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
x y z
4 –3 11 0
+ =
và hai đường thẳng
d
1
:
x
1
−
=
y
3
2
−
=
z
1
3
+
,
−
x
d
2
4
:
1
=
y
1
=
z
3
2
−
. Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau. Viết phương trình đường
thẳng
∆
nằm trên (P), đồng thời
∆
cắt cả d
1
và d
2
.
Hướng dẫn giải:
Toạ độ giao điểm của d
1
và (P): A(–2;7;5).
Toạ độ giao điểm của d
2
và (P): B(3;–1;1)
Phương trình đường thẳng
∆
:
+ − −
= =
− −
x y z
2 7 5
5 8 4
.
Ví dụ 14: [ĐVH].
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
d d
1 2
( ),( )
và mặt phẳng (P) có phương
trình:
+ +
= =
x y z
d
1
1 2
( ):
1 2 1
,
− − −
= =
x y z
d
2
2 1 1
( ):
2 1 1
;
+ − + =
P x y z
( ): 2 5 0
. Lập phương trình đường thẳng (d)
song song với mặt phẳng (P) và cắt
d d
1 2
( ),( )
lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
Giả sử:
− + − + + + +
A a a a B b b b
( 1 ; 2 2 ; ), (2 2 ;1 ;1 )
⇒
AB a b a b a b
( 2 3; 2 3; 1)
= − + + − + + − + +
Do AB // (P) nên:
⊥ = − ⇔ = −
P
AB n b a
(1;1; 2) 4
. Suy ra:
= − − − −
AB a a
( 5; 1; 3)
= − + − − + − = − + = − + ≥AB a a a a a
2 2 2 2 2
( 5) ( 1) ( 3) 2 8 35 2( 2) 27 3 3
Suy ra:
=
= ⇔
= −
a
AB b
min
2
3 3
2
,
= − − −
A AB
(1;2;2), ( 3; 3; 3)
Vậy
− − −
= =
x y z
d
1 2 2
:
1 1 1
.
Ví dụ 15: [ĐVH].
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
+ − −
= =
−
xyz
d
1
8 6 10
( ):
2 1 1
và
=
= −
= − +
x t
d y t
z t
2
( ): 2
4 2
. Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d
1
) tại A, cắt (d
2
) tại B. Viết
phương trình đường thẳng AB.
Hướng dẫn giải:
Giả sử:
− + + −
A t t t
1 1 1
( 8 2 ;6 ;10 )
∈
d
1
,
− − +
B t t t
2 2 2
( ;2 ; 4 2 )
∈
d
2
.
⇒
= − + − − − + −AB t t t t t t
2 1 2 1 2 1
( 2 8; 4);2 14)
.
AB i
, (1;0;0)
=
cùng phương
⇔
− − − =
+ − =
t t
t t
2 1
2 1
4 0
2 14 0
⇔
= −
=
t
t
1
2
22
18
⇒
− − −
A B
( 52; 16;32), (18; 16;32)
.
⇒
Phương trình đường thẳng d:
= − +
= −
=
x t
y
z
52
16
32
.
Ví dụ 16: [ĐVH].
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d
1
):
= − +
= − +
=
x t
y t
z t
23 8
10 4
và (d
2
):
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến PRO S – PRO Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
− +
= =
−
x y z
3 2
2 2 1
. Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng (d
1
), (d
2
).
Hướng dẫn giải:
Giả sử
− + − +
A t t t
1 1 1
( 23 8 ; 10 4 ; )
∈ d
1
, + − −
B t t t
2 2 2
(3 2 ; 2 2 ; )
∈ d
2
.
⇒
= − + − − + −
AB t t t t t t
2 1 2 1 2 1
(2 8 26; 2 4 8; )
AB // Oz
⇔
AB k cuøng phöông
,
⇔
− + =
− − + =
t t
t t
2 1
2 1
2 8 26 0
2 4 8 0
⇔
=
= −
t
t
1
2
17
6
5
3
⇒
−
A
1 4 17
; ;
3 3 6
⇒
Phương trình đường thẳng AB:
= −
=
= +
x
y
z t
1
3
4
3
17
6
Ví dụ 17: [ĐVH].
Trong không gian cho hai đường d
1
:
+ − −
= =
−
x y z
1 1 1
2 1 1
và
− − +
= =
x y z
d
2
1 2 1
:
1 1 2
và mặt phẳng
− − + =
P x y z
( ): 2 3 0
. Viết phương trình đường thẳng
∆
nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
.
Hướng dẫn giải:
Gọi A = d
1
∩
∆
, B = d
2
∩
∆
. Vì
∆
⊂
(P) nên A = d
1
∩
(P), B = d
2
∩
(P)
⇒
A(1; 0; 2), B(2; 3; 1)
⇒
∆
chính là đường thẳng AB
⇒
Phương trình
∆
:
− −
= =
−
x y z
1 2
1 3 1
.
Ví dụ 18: [ĐVH].
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng
(P):
x y z
1 0
+ + − =
đồng thời cắt cả hai đường thẳng
− +
= =
−
xyz
d
1
1 1
( ):
2 1 1
và
= − +
= −
= −
x t
d y
z t
2
1
( ): 1
, với
t R
∈
.
Lấy
(
)
M d
1
∈
⇒
(
)
+ − −
M t t t
1 1 1
1 2 ; 1 ;
;
(
)
N d
2
∈
⇒
(
)
N t t
1 ; 1;
− + − −
Suy ra
(
)
= − − − −
MN t t t t t
1 1 1
2 2; ;
⊥ ⇔ = ∈ ⇔ − − = = − −
d P MN k n k R t t t t t
*
1 1 1
( ) ( ) . ; 2 2
⇔
=
−
=
t
t
1
4
5
2
5
⇒
= − −
M
1 3 2
; ;
5 5 5
⇒
d:
− = + = +
xyz
1 3 2
5 5 5
Ví dụ 19: [ĐVH].
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P):
x y z
2 – 1 0
+ + =
, (Q):
x y z
– 2 3 0
+ + =
, (R):
x y z
2 –3 1 0
+ + =
và đường thẳng
∆1
:
− +
= =
−
x y z
2 1
2 1 3
. Gọi
∆2
là giao tuyến của (P) và
(Q). Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng
∆1
,
∆2
.
Hướng dẫn giải:
1
∆
có PTTS:
= −
= − +
=
x t
y t
z t
2 2
1
3
;
2
∆
có PTTS:
= +
= +
=
x s
y s
z s
2
5 3
.
Giả sử
∩ = ∩ =
∆ ∆
d A d B
1 2
;
⇒− − + + +
A t t t B s s s
(2 2 ; 1 ;3 ), (2 ;5 3 ; )
AB s t s t s t
( 2 ;3 6; 3 )
= + − + −
, (R) có VTPT
n
(1;2; 3)
= −
.
⊥ ⇔
d R AB n
( ) ,
cùng phương
+ − + −
⇔ = =
−
s t s t s t
2 3 6 3
1 2 3
⇒=t
23
24
⇒
A
1 1 23
; ;
12 12 8
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến PRO S – PRO Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Vậy phương trình của d:
−
− −
= = −
z
x y
23
1 1
8
12 12
1 2 3
.
DẠNG 5. ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cách giải:
Giả sử cần lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
; d
2
. Ta thực hiện như sau:
+) Chuyển đường d
1
và d
2
về dạng tham số t
1
và t
2
(hoặc t với t’)
+) Gọi
1 1 1 2 2 2
( ); ( )
A d d A d A t B d d B d B t
= ∩ ⇒∈⇒= ∩ ⇒∈⇒. Khi
đ
ó
( )
d
d AB u AB
≡⇒=
+) Do d là
đườ
ng vuông góc chung nên
1 1
1 1
2 2
2 2
.
.
d d d
d d d
u u AB u
d d t
d
d d t
u u AB u
⊥
⊥
⇔ ⇔ → ⇒
⊥⊥
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Ch
ứ
ng minh các c
ặ
p
đườ
ng th
ẳ
ng sau
đ
ây chéo nhau và vi
ế
t
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a chúng
a)
1 2
2 1 1 1
: , : .
3 2 2 1 2 4
x y z x y z
d d
− + − +
= = = =
−
b)
1 2
7 3 9 3 1 1
: , : .
1 2 1 7 2 3
x y z x y z
d d
− − − − − −
= = = =
− −
Ví dụ 2: [ĐVH].
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
biết
1 2
1
4 5
d : 0 , d : .
0 2 3
5
x t x y z
y
z t
= +
− −
= = =
−
= − +
Đ/s:
4 2
: .
2 3 2
x y z
d
− +
= =
− −