Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng
(
)
( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0
: 0
P A x B y C z D
P A x B y C z D
+ + + =
+ + + =
( ) ( )
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
/ /
P P
A B C D
⇔ = = ≠
( ) ( )
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
A B C D
P P
A B C D
≡ ⇔ = = =
( ) ( )
1 1
2 2
1 2
1 1
2 2
A B
A B
P P
A C
A C
≠
∩ ⇔ ≠
Đặ
c bi
ệ
t,
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 0.
P P n n A A B B C C
⊥ ⇔ = ⇔ + + =
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Xét vị trí tương đối của các mặt phẳng sau:
a)
{
− + + =
− + − =
3 4 3 6 0
3 2 5 3 0
x y z
x y z b)
{
+ − + =
+ − − =
2 3 2 5 0
3 4 8 5 0
x y z
x y z c) − − + =
− − + =
2 2 4 5 0
25
5 5 10 0
2
x y z
x y z
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
3 4 3
3 2 5
−
≠ ≠ ⇒
− hai mặt phẳng cắt nhau.
b)
Ta có
2 3 2
3 4 8
−
≠ ≠ ⇒
− hai mặt phẳng cắt nhau.
c)
Ta có
2 2 4 5
25
5 5 10 2
−
= = = ⇒
− hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
ã cho trùng nhau.
Ví d
ụ
2: [
Đ
VH].
Xác
đị
nh
m, n
để
các m
ặ
t ph
ẳ
ng sau
đ
ây song song, c
ắ
t nhau, trùng nhau?
a)
{
+ − − =
+ − + =
3 2 7 0
7 6 4 0
x my z
nx y z
b)
{
− + − =
+ + − =
5 2 11 0
3 5 0
x y mz
x ny z
c)
− − + − =
+ − + − =
3 ( 3) 2 5 0
( 2) 2 10 0
x m y z
m x y mz
Hướng dẫn giải:
a)
{
3 2 7 0
7 6 4 0
x my z
nx y z
+ − − =
+ − + =
Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng song song nhau khi
9
3 2 7
7
7 6 4
3
n
m
nm
=
− −
= = ≠ ⇔
−
=
Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ắ
t nhau nhau khi
3 2
7
6
3
2
9
7 6
m
n
mn
−
≠
≠
−
⇔
−
≠
≠
−
Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng trùng nhau khi
3 2 7
7 6 4
m
n
− −
= = = ⇒
− h
ệ
vô nghi
ệ
m.
b)
{
5 2 11 0
3 5 0
x y mz
x ny z
− + − =
+ + − =
05. BÀI TOÁN XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Hai mặt phẳng song song nhau khi
6
5 2 11
5
5
3 1 5
3
n
m
nm
= −
− −
= = ≠ ⇔
−=
Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ắ
t nhau nhau khi
5 2 5
3 3
5 6
1 3 5
m
n
mn
−
≠ ≠
⇔
≠ ≠ −
Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng trùng nhau khi
5 2 11
3 1 5
m
n
− −
− hệ vô nghiệm.
c)
3 ( 3) 2 5 0
( 2) 2 10 0
x m y z
m x y mz
− − + − =
+ − + − =
Hai mặt phẳng song song nhau khi
( )
2
4
2 4 3
2 2 10
4 3 3 4 0
3 3 2 5 4
4
m
m m
m m m m m m
mm
m
=
+ =
+ − −
= = ≠ ⇔ − = − ⇔ − − = ⇒
− − ≠
≠
vô nghi
ệ
m.
Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ắ
t nhau nhau khi
2
24
4
3 2
2 1
3 4 0
3 2
m m mm
m m
m m
m
+
≠
≠
≠
⇔ ⇔
− ≠ −
− − ≠
≠
−
Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng trùng nhau khi
( )
2
4
2 4 3
2 2 10
4 3 3 4 0 4
3 3 2 5 4
4
m
m m
m m m m m m m
mm
m
=
+ =
+ − −
= = = ⇔ − = − ⇔ − − = ⇔ =
− − =
=
Ví dụ 3:
[ĐVH].
Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a các c
ặ
p m
ặ
t ph
ẳ
ng sau:
a)
3 4 3 6 0
3 2 5 3 0
x y z
x y z
− + + =
− + − =
b)
5 5 5 1 0
3 3 3 7 0
x y z
x y z
+ − − =
+ − + =
c)
3 2 6 23 0
3 2 6 33 0
x y z
x y z
− − − =
− − + =
d)
6 4 6 5 0
12 8 12 5 0
x y z
x y z
− − + =
− − − =
Ví dụ 4:
[ĐVH].
Xác
đị
nh
m, n
để
các m
ặ
t ph
ẳ
ng sau
đ
ây song song v
ớ
i nhau?
a)
2 2 1 0
3 2 0
x ny z
x y mz
− + − =
− + − =
b)
2 3 5 0
6 6 2 0
x my z
nx y z
+ + − =
− − + =
c)
3 9 0
2 2 3 0
x y mz
x ny z
− + − =
+ + − =
d)
2 0
2 4 3 0
x my z
x y nz
+ − + =
+ + − =
Ví dụ 5:
[ĐVH].
Xác
đị
nh
m, n
để
các m
ặ
t ph
ẳ
ng sau
đ
ây vuông góc v
ớ
i nhau?
a)
2 7 2 0
3 2 15 0
x y mz
x y z
− + + =
+ − + =
b)
(2 1) 3 2 3 0
( 1) 4 5 0
m x my z
mx m y z
− − + + =
+ − + − =
c)
2 12 0
7 0
mx y mz
x my z
+ + − =
+ + + =
d)
3 ( 3) 2 5 0
( 2) 2 10 0
x m y z
m x y mz
− − + − =
+ − + − =
II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho
đườ
ng th
ẳ
ng
d
và m
ặ
t ph
ẳ
ng (
P
) có ph
ươ
ng trình
( )
( )
0 0 0
:
: 0
x x y y z z
d
a b c
P Ax By Cz D
− − −
= =
+ + + =
d
đ
i qua
(
)
0 0 0
; ;
M x y z
và có véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
(
)
; ;
d
u a b c
=
, (P) có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
(
)
; ;
P
n A B C
=
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0
0
. 0
/ /
0
P d P d
Aa Bb Cc
n u n u
d P Ax By Cz D
M P M P
+ + =
⊥ ≠
⇔⇔⇔
+ + + ≠
∉ ∉
Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Kiểm tra
. 0
d P
u n
=
(
)
d P
∩
Ki
ể
m tra
(
)
0
M P
∈
T F
(
)
d P
⊂
(
)
/ /
d P
T F
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0
0
. 0
0
P d P d
Aa Bb Cc
n u n u
d P Ax By Cz D
M P M P
+ + =
⊥ ≠
⊂ ⇔ ⇔ ⇔
+ + + =
∈ ∈
(
)
(
)
. 0
P d
d P n u
∩ ⇔ ≠
Khi
đ
ó, t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m th
ỏ
a mãn h
ệ
ph
ươ
ng trình
0
0 0 0
0
0
...
...
0
...
x
x x y y z z
y
abc
Ax By Cz D z
=
− − −
= =
→ =
+ + + =
=
Lược đồ xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a)
( )
+ −
= = − + − =
1 3
: ; :3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d P x y z
b)
( )
− − −
= = + − + =
9 1 3
: ; : 2 4 1 0
8 2 3
x y z
d P x y z
c)
( )
= − +
= − + − − =
= − +
1
: ; : 2 3 0
2 3
x t
d y t P x y z
z t
Hướng dẫn giải:
a)
Đườ
ng th
ẳ
ng
d
đ
i qua
đ
i
ể
m
M
(
−
1; 3; 0) và có véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
(
)
2;4;3 .
d
u=
M
ặ
t ph
ẳ
ng (
P
) có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
(
)
3; 3;2 .
P
n= −
Ta có
(
)
(
)
. 2;4;3 3; 3;2 6 12 6 0
d P
u n
= − = − + =
L
ạ
i có,
(
)
(
)
(
)
1;3;0 / / .
M P d P
− ∈
⇒
b)
Đườ
ng th
ẳ
ng
d
đ
i qua
đ
i
ể
m
M
(9; 1; 3) và có véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
(
)
8;2;3 .
d
u=
M
ặ
t ph
ẳ
ng (
P
) có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
(
)
1;2; 4 .
P
n
= −
Ta có
(
)
(
)
. 8;2;3 1;2; 4 8 4 12 0
d P
u n
= − = + − =
L
ạ
i có,
(
)
(
)
(
)
9;1;3 .
M P d P
∈
⇒
⊂
c)
Đườ
ng th
ẳ
ng
d
đ
i qua
đ
i
ể
m
M
(
−
1; 0;
−
2) và có véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
(
)
1; 1;3 .
d
u= −
M
ặ
t ph
ẳ
ng (
P
) có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
(
)
1;2; 1 .
P
n
= −
Ta có
(
)
(
)
(
)
. 1; 1;3 1;2; 1 1 2 3 4 0
d P
u n d P I
= − − = − − = − ≠
⇒
∩ =
T
ạ
o
độ
đ
i
ể
m
I
th
ỏ
a mãn h
ệ
ph
ươ
ng trình
3
1
1
2
1
2 3
2 3
2
1
7
2 3 0 1 2 2 3 3 0 2
2
x t x
x t y t
y t y
z t
z t
x y z t t t t z
= − +
= −
= − +
= −
= −
⇔ ⇔ =
= − +
= − +
+ − − = − + − + − − = ⇒= −
= −
Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
3 1 7
; ; .
2 2 2
I
⇒− −
Ví dụ 2:
[ĐVH].
T
ìm m để đường thẳng
− + +
= =
−
1 2 3
:
2 1 2
x y z
dm m
và mặt phẳng
(
)
+ − − =
: 3 2 5 0
P x y z
a) c
ắ
t nhau
b) song song v
ớ
i nhau
c) vuông góc v
ớ
i nhau
d) (P) ch
ứ
a d
Hướng dẫn giải:
Đườ
ng th
ẳ
ng
d
đ
i qua
đ
i
ể
m
M
(1;
−
2;
−
3) và có véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
(
)
;2 1;2 .
d
u m m= −
M
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
(
)
1;3; 2 .
P
n
= −
Ta có
(
)
(
)
. ;2 1;2 1;3; 2 6 3 4 7 7
d P
u n m m m m m
= − − = + − − = −
a) d và (P) c
ắ
t nhau khi
. 0 7 7 0 1.
d P
u n m m
≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠
b) d và (P) song v
ớ
i nhau khi
( )
. 0 7 7 0
1
4 0
d P
u n m m
M P
= − =
⇔ ⇔ =
− ≠
∉
c)
1
2 1 2
( ) 1
2 1 3
1 3 2
d P
m
m m
d P u kn m
m
= −
−
⊥ ⇔ = ⇔ = = ⇔ ⇔ = −
− = −
−
d)
(P) ch
ứ
a (d)
( )
. 0 7 7 0
.
4 0
d P
u n m
vn
M P
= − =
⇔ ⇔ →
− =
∈
V
ậ
y không có giá tr
ị
nào c
ủ
a m th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Ví d
ụ
3:
[
Đ
VH].
Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a các c
ặ
p
đườ
ng th
ẳ
ng và m
ặ
t ph
ẳ
ng sau:
a)
12 9 1
: ; ( ) :3 5 2 0.
4 3 1
x y z
d P x y z
− − −
= = + − − =
b)
11 3
: ; ( ):3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d P x y z
+ −
= = − + − =
c)
13 1 4
: ; ( ): 2 4 1 0
8 2 3
x y z
d P x y z
− − −
= = + − + =
d)
3 2
: 1 4 ; ( ):4 3 6 5 0
4 5
x t
d y t P x y z
z t
= −
= − − − − =
= −
Ví d
ụ
4:
[
Đ
VH].
Xác định m, n để các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau đây song song, cắt nhau, trùng nhau?
a)
1 3 1
: ; ( ): 3 2 5 0
2 2
x y z
d P x y z
m m
+ − −
= = + + − =
−
b)
3 4
: 1 4 ; ( ):( 1) 2 4 9 0
3
x t
d y t P m x y z n
z t
= +
= − − + − + − =
= − +
c)
3 2
: 5 3 ; ( ):( 2) ( 3) 3 5 0
2 2
x t
d y t P m x n y z
z t
= +
= − + + + + − =
= −
Ví d
ụ
5:
[
Đ
VH].
Cho 2 1
: ; ( ):(3 4) ( 1) (3 2 ) 0
1 2 1
x y z
d P m x m y m z m
+ −
= = − + − + − + =
−
Tìm m
để
d ⊂ (P).
Đ
/s: m = 2.
III. V
Ị
TRÍ T
ƯƠ
NG
ĐỐ
I C
Ủ
A HAI
ĐƯỜ
NG TH
Ẳ
NG
Cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng d1 và d2 v
ớ
i
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
11 1 1 1 1 1 1 1 1
111
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
:; ; ; ; ;
; ; ; ; ;
:
x x y y z z
dM x y z d u a b c
a b c
x x y y z z
M x y z d u a b c
da b c
− − −
= =
∈ =
→
− − − ∈ =
= =
Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta thực hiện như sau:
Nếu
1 2
1 2
1 2
/ /
d d
u ku
d d
= →
≡
+ Nếu
1 2 1 2
M d d d
∈ → ≡
+ Nếu
1 2 1 2
/ /
M d d d
∉ →
N
ế
u
1 2
1 2
1 2
d d
u ku
d d
∩
≠ →×
+ N
ế
u
1 2 1 2 1 2
; . 0
u u M M d d
= → ∩
+ N
ế
u
1 2 1 2 1 2
; . 0
u u M M d d
= → ×
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
a)
= − = − −
= + =
= − = +
1 2
1 2 1 '
: 3 , : 2 '
2 2 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
b)
− − − − + +
= = = =
−
1 2
1 7 3 6 1 2
: , :
2 1 4 3 2 1
x y z x y z
d d
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
1 1 1 1 2
2 2 2
( 2;1; 1), (1;3;0)
( 2; 3;2)
( 1;2;2), ( 1;0;2)
u M d M M
u M d
= − − ∈
⇒= − −
= − − ∈
Ta nh
ậ
n th
ấ
y
1 2
u ku
≠
M
ặ
t khác
1 2 1 2 1 2
, (4;5; 3) , . 29 0
u u u u M M
= −
⇒
= − ≠ →
hai
đườ
ng th
ẳ
ng chéo nhau
b)
Ta có
1 1 1 1 2
2 2 2
(2;1;4), (1;7;3)
(5; 8; 5)
(3; 2;1), (6; 1; 2)
u M d M M
u M d
= ∈
⇒
= − −
= − − − ∈
Ta nh
ậ
n th
ấ
y
1 2
u ku
≠
M
ặ
t khác
1 2 1 2 1 2
, (9;10; 7) , . (9;10; 7).(5; 8; 5) 0
u u u u M M
= −
⇒
= − − − = →
hai
đườ
ng th
ẳ
ng c
ắ
t nhau.
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Trong không gian cho bốn đường thẳng
( ) ( ) ( ) ( )
− − − − − − −
= = = = = = = =
− − −
1 2 3 4
1 2 2 2 1 2 1
: , : ; : , :
1 2 2 2 4 4 2 1 1 2 2 1
x y z x y z x y z x y z
d d d d
a) Chứng tỏ rằng d
1
và d
2
cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.
b) Chứng tỏ rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả bốn đường thẳng đã cho.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có
1 1 1 1 2
2 2 2
(1;2; 2), (1;2;0)
(1;0;0)
(2;4; 4), (2;2;0)
u M d M M
u M d
= − ∈
⇒
=
= − ∈
Ta nh
ậ
n th
ấ
y
1 2
1 2
1 2
/ /
1
2
d d
u u
d d
≠ →
≡
L
ạ
i có, M
1
(1; 2; 0)
∈
d
1
, thay vào d
2
ta có
1 2 2 2 0
2 4 4
− −
= = →
−vô lí.
Vậy
M
1
∉
d
2
⇒ hai đường thẳng
d
1
và
d
2
song song với nhau.
Lập phương trình mặt phẳng chứa
d
1
và
d
2
Do
d
1
//
d
2
nên
1 1 2
, (0; 2; 2) 2(0;1;1)
n u M M
= = − − = −
Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng là (
P
) :
y
+
z
– 2 = 0
b) Ta có
3 3
. 2 0 ( )
P
n u P d
= ≠ ⇒∩
Gọi giao điểm của (
P
) và
d
3
là
A
.