Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Dùng ñồ thị biện luận số nghiệm của phương trình

DÙNG ðỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Dùng ñồ thị biện luận số nghiệm của phương trình thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website

Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Dùng ñồ thị biện luận số nghiệm của phương trình. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó

làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

3

2

Bài 1: Cho hàm số:

y

=

x

−

x

+ 5

1 4

3 2

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho.

3

b. Tìm m ñể phương trình:

x

−

26

+ x m

= có 3 nghiệm thực phân biệt.

0

Giải: a. Các em tự khảo sát

3

3

2

6

x

−

2 + x m

0 = ⇔

x

−

x

5 5 + = −

b. Ta có:

1 4

3 2

m 4

Do ñó ñể phương trình ñã cho có 3 nghiệm phân biệt thì ñường thẳng

phải cắt ñồ thị (C) tại 3

y = − 5

m 4

m

ñiểm phân biệt

⇔ − < −

3 5

< ⇔ <

5

0

<

32

.

m 4

3

Bài 2: Cho hàm số:

y

= − + x

23 x

− 2

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho.

3

2

b. Tìm m ñể phương trình:

1 2

x − 3 x − log m = có 3 nghiệm phân biệt, trong ñó có 2 nghiệm nhỏ hơn 1. 0

- Trang | 1 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Giải: a. Các em tự khảo sát

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Dùng ñồ thị biện luận số nghiệm của phương trình

3

2

1 2

3

2

log

m

− = 2

M M ,

∈ −∞ +∞ ⇒ ⇔ − )

(*)

(

;

x

+

3

x

− = 2

M

b. Ta có: x − 3 x − log m = 0 ( m > 0)

2

Do ñó ñể phương trình ñã cho có 3 nghiệm phân biệt, trong ñó có 2 nghiệm nhỏ hơn 1 thì 2 ñồ thị:

3

−

phải cắt nhau tại 3 ñiểm phân biệt, trong ñó có hoành ñộ nhỏ hơn 1

=

23 C x ) 2 ( ∈ −∞ +∞ ) ; (

 = − + x y  y M M , 

⇔ − <

2

M

< ⇔ − <

2 log

0

m

− < ⇔ <

2 0

0 log

m

< ⇔ <

2

1

m

< 4

2

2

ðáp số: 1

< 4m<

ðặt

Bài 3: Cho hàm số:

y

=

x

3 3 (1) − x

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1)

3

b. Tìm m ñể phương trình:

x

−

3

x

=

có 3 nghiệm phân biệt.

2 2 m

m +

1

Giải: a. Các em tự khảo sát

b. ðặt

M

M

=

, 1

− ≤

≤

1

2 2 m

m +

1

2

vì coi M là hàm số biến m, khi ñó ta có

M

'

=

;

M

= ⇔ = ± ' 0 1

m

2 2

− 2 m (

m 2 +

+ 1)

Bảng biến thiên :

m

- ∞ -1 1 + ∞

M’

- 0 + 0 -

M

0 1 -1 0

Từ bảng biến thiên suy ra 1

≤ 1M− ≤

Khi ñó phương trình ñã cho

⇔ − x

3 3

x M M

=

,

[ ∈ −

] 1;1

Số nghiệm của phương trình này ñúng bằng số nghiệm của 2 ñồ thị:

với

=

y

x

3 3 ( −

x C

)

và y M=

.

[ M ∈ −

]1;1

Do ñó ñể phương trình ñã cho có 3 nghiệm phân biệt thì 2 ñồ thị:

x

phải cắt nhau tại 3 ñiểm phân biệt.

(

y M M

=

3 3 (1) − x [ ∈ −

] 1;1 )

 = y   

⇔ − ≤

1

M

≤ ⇔ − ≤

1

1

≤

1

2 2 m

m +

1

- Trang | 2 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Dùng ñồ thị biện luận số nghiệm của phương trình

2

2

m

+

2

m

+ ≥

1 0

(

m

+

1)

≥

0

2

2

⇔ −

m

− ≤

1 2

≤ m m

+ ⇔ 1

⇔

∀

m

2

2

−

+ ≥

−

≥

m

2

m

1 0

(

m

1)

0

    

    

4

Bài 4: Cho hàm số:

y

=

x

−

24 x

+ 3

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho.

4

x

24 x

−

+

3

b. Tìm m ñể phương trình:

2

= có 4 nghiệm phân biệt.

m

Giải: a. Các em tự khảo sát

4

x

24 x

−

+

3

4

2

b. Ta có:

2

=

m m (

> ⇔ −

0)

x

4

x

+ = 3

log

m

2

⇒ số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của 2 ñồ thị:

4

2

x

−

4

x

+

3 (

C

')

=

y

log

m m (

>

0)

2

 = y   

Trong ñó (C’) ñược suy ra từ (C) bằng cách:

- giữ nguyên phần ñồ thị (C) ở phía trên Ox. - lấy ñối xứng phần còn lại của (C) qua Ox.

Căn cứ vào ñồ thị thì phương trình ñã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

m

<

3

m

<

8

⇔

log

m

2 =

0

1

2

2 <   = m

1 log <   

3

Bài 5. Cho hàm số

y

=

x

−

23 x

+ 2

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số.

b. Biện luận số nghiệm của phương trình

x

2 2 −

x

− = 2

theo tham số m.

m x −

1

Giải:

3

y

=

x

−

23 x

+ 2.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số • Tập xác ñịnh: Hàm số có tập xác ñịnh

D R= .

0

2

Sự biến thiên:

Ta có

y

= ' 3

x

−

x 6 .

y

' 0

2

= x = ⇔  = x

=

y

=

2;

=

y

= − 2.

( ) 0

( ) 2

y CD

y CT

- Trang | 3 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Dùng ñồ thị biện luận số nghiệm của phương trình

• Bảng biến thiên:

ðồ thị:

x

2 2 −

x

− = 2

theo tham số m.

b. Biện luận số nghiệm của phương trình

m x −

1

2

2

x

−

2

x

− = 2

2

x

−

2

x

− = 1

m x ,

≠

1.

Ta có

( ⇔ − x

)

m − x

1

Do ñó số nghiệm của phương trình bằng số giao ñiểm của

2 2 −

(

)

và ñường thẳng y = x x − 2 x − 1 , C '

(

)

y m x = , ≠ 1.

2

)'C bao gồm:

> 1 • Vì y = x − 2 x − 2 x nên (

(

)

( ) f x ( f x

− khi x < 1 khi x )  − =  1 

+ Giữ nguyên ñồ thị (C) bên phải ñường thẳng x = 1.

+ Lấy ñối xứng ñồ thị (C) bên trái ñường thẳng 1x = qua Ox.

ðồ thị: • Dựa vào ñồ thị ta có:

+ m < − Phương trình vô nghiệm; 2 :

+ m = − Phương trình có 2 nghiệm kép; 2 :

+ 2 − < m < 0 : Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;

3

+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. m ≥ 0 :

Bài 6 : Cho hàm số :

23 x

y = x + − 9 x − 7 ( C )

3

2

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (C).

3

- Trang | 4 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

b. Tìm m ñể phương trình: x + 3 x − 9 x + log m = có ñúng 2 nghiệm phân biệt. 0

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Dùng ñồ thị biện luận số nghiệm của phương trình

Giải: a. Các em tự khảo sát.

3

2

3

b. Phương trình ⇔ + x 3 x − 9 x − = − 7 log m − 7, m > 0

3

2

Do ñó số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của 2 ñồ thị:

3

2

y = x + 3 x − 9 x − 7 ( C v y ') à = − log m − 7 ( m > 0)

3

2

2

3  + x  − =  7 3 x − +  Nên (C’) ñược suy ra từ (C) bằng cách:

3 x − 9 x − 7 , x ≥ 0 Ta có: y x x x C ( ;) : + = − 3 9 x x x 3 + 9 − 7, < 0

3

− −

log log

7m − − 7m

- giữ nguyên phần ñồ thị (C) ứng với 0x ≥ (bên phải Oy)

- lấy ñối xứng phần vừa giữ lại qua Oy Căn cứ vào ñồ thị,

log

m

7

−

7 − > −

m

<

1

3

⇔

−

log

m

− = − 7

12

243

3

0 <   = m

  

ñể phương trình cho có ñúng 2nghiệm phải có:

y =

Bài 7: Cho hàm số:

x x + − 1 1

=

m

.

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số ñã cho.

x x

+ −

1 1

Giải: a. Các em tự khảo sát.

- Trang | 5 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Dùng ñồ thị biện luận số nghiệm của phương trình

b. Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của 2 ñồ thị.

,

x

≥

0

+

x

1

=

C y ( ') :

−

x

1

,

x

<

0

1 1

+ x 1   − 1 x =  − + x   − − x 

Do ñó (C’) ñược suy ra từ (C) bằng cách:

+ giữ nguyên phần ñồ thị (C) ứng với

x ≥ 0

+ lấy ñối xứng phần vừa giữ lại qua Oy

Căn cứ vào ñồ thị (C’) và d ta thấy

+ Nếu m < -1, m > 1 thì phương trình có 2 nghiệm.

+ Nếu m = -1 thì phương trình có 1 nghiệm

+ Nếu 1

1m− <

≤ thì phương trình vô nghiệm.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương

Hocmai.vn

Nguồn :

- Trang | 6 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt