Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Mặt cầu

MẶT CẦU (Phần 01)

ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Mặt cầu (Phần 01) thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra,

củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Mặt cầu (Phần 01). ðể sử dụng hiệu quả,

Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

.

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a,

,

SA

⊥

(

ABCD

)

SB a=

3

S

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh trung ñiểm của SC là tâm mặt cầu ñi qua các ñiểm S, A, B, C, D. Giải: a)

V = dt ABCD SA .

(

)

S ABCD

.

2

2

2

1 3

2 . a SA

A

D

3

. = = a SB − AB 1 3 1 3

2

2

B

C

a 2 = a . 2 a = 3 1 3

b) Ta có: ⊥ SA AC CB SB CD SD ⊥ , ⊥ ,

SC a=

2

S

Như vậy 3 ñiểm A, B, D cùng nhìn SC cố ñịnh dưới một góc vuông nên chúng cùng nằm trên mặt cầu ñường kính SC. Do ñó tâm mặt cầu ñi qua các ñiểm S, A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD) là trung ñiểm của SC. Bài 2: Cho hình chóp SABC có ñáy ABC là tam giác cân tại A, mặt bên (SBC) vuông góc với (ABC), SA = SB = AB = AC = a. a) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông.

b) Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng Giải: a) Gọi I là trung ñiểm SC, H là trung ñiểm BC.

E

I

⊥ AH SC

⇒ Tam giác SAC cân tại A

⇒ ⊥ AI

SC

B

A

⊥ SC AH

⇒ ⊥ SC

AHI

⇒ ⊥

SC HI

( ) ( ) ABC ⊥ SBC = BC Ta có: AH ( SBC ) ⇒ ⊥ AH ⊂ ( ABC AH BC ⊥ ),   

O

⊥ SC AI

  

H

SB

( )

⇒ ⊥ ⇒ ∆ SB SC

SBC

HI

⊥

SC

  

C

/ /HI vuông tại S.

- Trang | 1 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

b) Do tam giác SBC vuông tại S suy ra AH là trục của ñường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Mặt cầu

- Gọi E là trung ñiểm SA, qua E dựng mặt phẳng trung trực của SA. Mặt phẳng này acwts trục AH tại O suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính mặt cầu này là R = OA. Ta có hai tam giác vuông AOE và tam giác ASH ñồng dạng

2

2

a

⇒ = OA

=

=

2

2

OA ⇒ = SA

AE AH

SA 2 AH

AI

−

HI 2

2

2

a

. SA AE AH 2

2

2

2

2

2

AI

=

SA

−

SI

=

SA

−

SC

=

a

−

=

a 2

  

  

   

   

2

2

HI

=

SB

HI

=

1 2

a = ⇒ 2

a 4

2

2 Mà 1 2 2

OA

=

= ⇒ a

a 2

2

−

2

a 2

a 4

2

2

2

=

=

=

R

OA

π

Vậy diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

. Tính thể tích

∠

=

4. 4 . π 4 π a

S Bài 3: Cho chóp tứ giác ñều S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, ASB α của khối cầu giới hạn bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a và α. Giải: Gọi O là giao ñiểm của AC và BD

⇒ ⊥ SO

ABCD

(

)

⇒ SO là trục của ñường tròn ngoại tiếp hình vuông

ABCD. - Gọi I là trung ñiểm của SA, qua I dựng mặt phẳng trung trực của SA. Mặt phẳng này cắt trục SO tại E nên E là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính mặt cầu này là R = ES. Ta có hai tam giác vuông SOA và SIE ñồng dạng nên

2

ES

= ⇒ =

=

ES AS

SI SO

AS. SI SO

SA SO 2.

Gọi M là trung ñiểm AB. Khi ñó ta có : sin

S

2

2

2

2

a ⇒ = SA = = α 2 AM SA sin 2sin AM α 2 α 2

2 2 .sin

2

2

2

α 2

I

2

2

α 2

α 2

2

2

E

a

a c

os

a

2

α

1 2sin

−

c os

⇒ = SO

=

=

2

2

α 2

A

  

  

D

4sin

2sin

4sin

α 2

α α 2

α 2

2

2

O

M

α

a

a c

=

:

=

⇒ = ES

C

2

SA SO 2

α

sin

4sin

4sin

c os

B

α 2

os α 2

a α 2

3

3

3

a − a a 2 a SO = SA − AO = − = 2         4sin 4sin

- Trang | 2 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Vậy thể tích khối cầu là : = = .(ES) = V π . R π π . 4 3 4 3 4 3 4sin c os α           a α 2

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Mặt cầu

Bài 4 : Cho tứ diện ABCD có AB = AC = BC = BD = a,

= AD a

2; (

ACD

)

⊥

(

BCD

)

B

a) Chứng minh tam giác ACD vuông b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Giải: a) Gọi H là trung ñiểm CD, vì tam giác BCD cân tại B

⇒ ⊥

BH CD

(

)

(

BCD

⊥

) ACD CD

=

I

BH

(

ACD

)

⇒

⊥

BH

(

BCD BH CD

),

⊂

⊥

  

Ta có hai tam giác vuông BHC

∆

D

C

H

(cid:1)

0

Xét tam giác ACD có :

= AH HC

⇒ CD CAD

=

=

90

⇒ = BHA HC HA = ∆ 1 2

A

tức tam giác CAD vuông tại A. b) BH là trục của ñường tròn ngoại tiếp tam giác ACD - Gọi I là trung ñiểm BD, qua I dựng mặt phẳng trung trực của BD. Mặt phẳng này cắt trục BH tại O suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bán kính R = OB

2

2

2

a

a

ñồng dạng

=

=

Ta có BIO∆

∆

BHD

⇒

⇒ = OB

=

2

2

2

2

OB BI = DB BH

. DB BI BH

DB 2.

BH

2

2

BD DH −

a DH −

a

3

2

Mặt khác : Tam giác ACD vuông tại A

⇒ = CD

=

a

3

⇒

DH

=

CD

=

a

+

a

2

(

)2

1 2

2

2

a

Do ñó:

OB

=

=

a

2

2

2

a

−

a 3 4

2

2

2

S

=

=

=

R

4 π

4 . π

4 . a π

A

C

G

H

B

K

I

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: OB Bài 5: Cho hình lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a a) Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ñi qua 6 ñiểm A, B, C, A’, B’, C’ (mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ). b) Gọi E là trung ñiểm của A’B’. Xác ñịnh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE. Giải: a) Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ñều ABC và A’B’C’ - Gọi O là trung ñiểm GG’, khi ñó dễ thấy: OA = OB = OC = OA’ = OB’ = OC’

O

⇒ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. Do ñó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là:

A'

2

2

C'

2

a

3

2

= R OA

=

2 + OG GA

=

+

.

=

G'

a 2

2 3

2

a 7 12

  

  

   

   

E

B'

⇒ ∆ ⊥

EAB

(

)

⇒ ∆ là trục của ñường tròn ngoại tiếp tam giác EAB.

b) Gọi H là trung ñiểm AB, I là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác cân EAB - Qua I kẻ ∆ // CH

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương

Nguồn :

Hocmai.vn

- Trang | 3 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt