Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Mặt cầu

MẶT CẦU (Phần 02)

ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Mặt cầu (Phần 02) thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra,

củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Mặt cầu (Phần 02). ðể sử dụng hiệu quả,

Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

Giải:

S

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang cân và AB // CD. ðường tròn tâm O nội tiếp trong hình thang có bán kính r. Biết SO vuông góc (ABCD) và SO = 2r. Xác ñịnh tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q là các tiếp ñiểm của ñường tròn nội tiếp hình thang với các cạnh của hình thang. Do SO vuông góc mp(ABCD) nên các tam giác SOM, SON, SOP, SOQ bằng nhau và mọi ñiểm trên SO cách ñều các mặt bên của hình chóp. (cid:1) SON với SO.

Tâm mặt cầu nội tiếp là giao của ñường phân giác trong

2

2

=

=

r

5

SN

+ SO ON

I

A

Ta có: Theo tính chất phân giác: IO NO = IS NS Suy ra bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp là:

M

r

B

=

=

=

= R IO

r

2 +

O

ON .OS + ON NS

− 5 1 2

1

5

Q

N

D

P

C

∠

= ∠

= ∠

BSC

S

= ∠

= ∠

∠

CSA α =

BSC

O

C

⊥

⊥

Bài 2: Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Từ 1 ñiểm S trên mặt cầu kẻ ba dây cung SA, SB, SC sao cho SA = SB = SC và ASB CSA α = . a) Tính thể tích khối chóp SABC theo R và α b) Xác ñịnh α ñể thể tích khối chóp SABC lớn nhất. Giải: a) Vì SA = SB = SC và ASB suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC ñều. - Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC) khi ñó ta có : HA = HB = HC nên H là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. ⇒ 3 ñiểm S, O, H thẳng hàng ABC - Ta có :

ABC OH );

SH

(

(

)

A

H

2 AB SH .

S ABC

.

B

S'

= ∆ = = V dt ABC SH ). ( SH . . 1 3 1 1 . 3 2 3 2 3 12  AB AB . .       

- Trang | 1 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Mặt khác : Gọi S’ là ñiểm ñối xứng với S qua O và ñặt SA x= .

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Mặt cầu

Khi ñó vì tam giác SAS’ vuông tại A nên ta có :

2

2

=

SA

SH SS .

'

⇔ = 2 x

SH R .2

⇒ = SH

2

2

2

2

2

x R 2 +

α

α

2 x 2 (1

α os ) c

2

= − = + − = − Trong tam giác SAB ta có : AB SA SB 2 SA SB c . . os x x x x c 2. . . os

2

2

2

2

2

2

2

2

+

⇔ = SA

SH

2

2

−

AB 3 2 x 2 (1

α os ) c

+

+

−

⇔ = 1

(1

⇔ = 2 x

α os ) c

2

2

x R 4

x R 4

2 3

2

2

+

+

−

α

4

R

3 α )

+ 2 (1 2 cos

R

α )

8

R

)(1

α os ) c

2

=

;

⇔ = 2 x

⇒ = SH

AB

(1 2 cos 3

(1 2 cos 3

3

2

3

3 = + Trong tam giác SHA ta có : SA SH AH ⇔ = SA SH . 2 3 AB 2  +       

2

Vậy

S ABC

.

α α + − + R )(1 c R os ) 2 (1 2 cos α ) R α = = − V (1 + os )(1 2 cos c α ) . (1 2 cos 3 4 3. 27 3

3

b) ðặt 3 8 . 2 α= os c t − < < ( 1 t 1)

3

3

= − Khi ñó : V (1 + 2 )(1 2 ) , t t − < < t 1 1 R 4 3 27

2

2

V

= ⇔ − ' 0 t 4

1 0

t

1 + = ⇔ = ± 2

R = + − = Ta có : V ' t .3(1 2 )(1 2 ) t − ( 4 t + 1) 4 3 9 R 4 3 27

Bảng biến thiên :

−

1 2

1 2 - 0 + 0 -

-1 1 t

3

3

V’

V R 8 3 27 R 8 3 27

π

α

α

⇔ = ⇔

= ⇔ =

0 0

t

c os

1 2

1 2

3

Từ bảng biến thiên suy ra V lớn nhất

Bài 3 : Cho mặt cầu (S) ñường kính AB = 2R, H là ñiểm nằm giữa A và B. Mặt phẳng (P) ñi qua H và vuông góc với AB cắt mặt cầu (S) theo một ñường tròn (C). Xét hình nón có ñỉnh A và có ñáy là hình tròn giới hạn bởi (C). ðặt AH x= a. Tìm x ñể thể tích V của khối nón giới hạn bởi hình nón ñó là lớn nhất. b. Tìm x ñể diện tích xung quanh của hình nón lớn nhất Giải : a) Lấy M thuộc (C) khi ñó hình nón có bán kính r = HM. - Vì tam giác AMB vuông tại M và MH AB⊥

2

=

MH

nên ta có:

. HA HB

⇒ =

=

=

−

)

r HM

HA HB .

x R x (2

- Trang | 2 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Mặt cầu

A

- Hình nón có chiều cao AH x= . Do ñó ta có:

2

=

=

V

π 2 r AH . .

π .

x

(2

− R x

)

1 3

1 3

3

3

−

π

π

x

+ + x

R

2

x

32.

R

=

−

≤

=

(Bất ñẳng thức Côsi)

x x R . . .(4

x 2 )

  

  

6

6

4 3

π . 81

− ⇔ =

Suy ra V lớn nhất

⇔ = x

4

R

2

x

x

R 4 3

H

M

=

=

=

b) Hình nón có ñường sinh là

l AM

. AH AB

2 . R x

2

=

=

−

=

π

π

π

r l . .

x R x (2

). 2

Rx

2

Rx

(2

− R x

)

xqS

3

2

B

−

x

+ + x

R

x

R

2

=

−

≤

=

(bất ñẳng thức Côsi)

R x x R

R

. .(4

2 ) x

.

  

  

4 3

2

R

π π . π 8 3 . 9

− ⇔ =

⇔ = x

R

x

x

Suy ra

4

2

xqS lớn nhất bằng

8 3. 9

4 R 3

A

⇒ ⊥

⊥

CD MN

ANB

CD

)

M

π .

Bài 4: Cho tứ diện ABCD với AB = CD = b; AC = BC = AD = BD = a. Xác ñịnh tâm và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (mặt cầu ñi qua 4 ñiểm A, B, C, D). Giải: - Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và CD - Vì ACD, BCD là các tam giác cân nên CD vuông góc với AN và BN Suy ra ( Tương tự ta có: AB MN⊥

Q

MN là ñoạn vuông góc chung của AB và CD

B

D

∈

∈

⊥ MN AB ⊥ MN CD M AB N CD ,

  ⇒  

N

- Gọi O là trung ñiểm MN thì OA = OB = OC = OD. Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, bán kính của nó là R = OA.

C

2

2

2

2

2

2

2

2

=

+

=

+

=

+

Ta có:

= R OA OM AM

  

  

  

  

MN 2

b 2

MN 4

b 4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

−

=

=

−

−

−

a

b>

Mà

với

2

)

MN

AN

AM AD ND AM a

(

b 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

+

+

a

b

a

b

2

2

2

−

+

=

+

=

⇒ = R

⇒ = R

a 4

b 8

b 4

a 4

b 8

8

8

=

=

SA SB SC

2,

.

= AB a

⇒ =

=

. Kết hợp với giả thiết SA = SB = SC

= ∆

= ∆

⊥

∆

Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, Góc giữa ñường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a. Giải: Gọi H là trung ñiểm của BC HA HB HC Suy ra SH BC SHA

SHC

SHB

,

0

∠

=

⇒ ⊥ SH

(

ABC v ) à

SAH

60

=

=

⇒ = ⇒

Tam giác ABC vuông cân tại A:

AC AB a

2

BC

2

a

= AH a

- Trang | 3 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Mặt cầu

Tam giác SHA vuông:

S

0

=

= SH AH

tan 60

a

3

3

⇒

=

=

V

.

AB AC SH

.

.

.

S ABC

.

1 1 . 3 2

a 3 3

B

C

H

=

ñều có ñộ dài cạnh bằng 2a

, ta có:

2

= ⇒ ∆ a

SBC

SA

∆ Xét SHA

0

Gọi O, R lần lượt là tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC O⇒ thuộc ñường thẳng SH O⇒ thuộc mặt phẳng (SBC) R⇒ là bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác SBC. SH sin 60

2

3

=

A

R⇒ =

0

a 2 2 sin 60

a 3

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương

Nguồn :

Hocmai.vn

- Trang | 4 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt