Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ
( )
( )
P x
I dx
Q x
=
∫
Nguyên tắc giải:
Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số.
II. MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI (tiếp theo)
Khi
đ
ó
Q
(
x
) =
ax
2 +
bx
+
c
. Ta có ba kh
ả
n
ă
ng x
ả
y ra v
ớ
i
Q
(
x
).
TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2
TH2: Q(x) = 0 có nghiệm kép
Khi
đ
ó
Q
(
x
)
đượ
c bi
ể
u di
ễ
n d
ướ
i d
ạ
ng
( ) ( )
2
2
( )
( ) = + → = +
∫
P x
Q x ax b I dx
ax b
N
ế
u P(x) là h
ằ
ng s
ố
thì ta s
ử
d
ụ
ng các bi
ế
n
đổ
i sau
( )
2
1
1
= +
= − +
∫
dx d ax b
a
du
C
u
u
N
ế
u
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
( ) + + −
+
= + → = = = + −
+
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
m bm
ax b n
mx n m dx bm dx
a a
P x mx n I dx dx n
a ax b a
( ) ( )
( )
2 2 2 2
1
ln .
−
+ + −
= + = + − +
+ +
+
∫ ∫
bm
n
d ax b d ax b
m m na bm
a
ax b C
ax b a ax b
a a a
ax b
N
ế
u P(x) có b
ậ
c l
ớ
n h
ơ
n ho
ặ
c b
ằ
ng 2 thì ta chia
đ
a th
ứ
c, quy bài toán v
ề
hai tr
ườ
ng h
ợ
p có b
ậ
c c
ủ
a P(x) nh
ư
trên
để
gi
ả
i.
Chú ý:
Ngoài cách gi
ả
i
đ
ã nêu trên, d
ạ
ng nguyên hàm này có cách gi
ả
i t
ổ
ng quát là
đặ
t
t b
x
t ax b
a
dt adx
−
=
= + →
=
Ví dụ 1: [ĐVH].
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a) 12
2
2 1
dx
I
x x
=
− +
∫
b)
22
6 9 1
dx
I
x x
=
+ +
∫
c)
32
25 10 1
dx
I
x x
=
− +
∫
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
1 1
2 2 2
2 ( 1) 2 2
2 2 .
1 1
2 1 ( 1) ( 1)
dx dx d x
I C I C
x x
x x x x
−
= = = = − + → = − +
− −
− + − −
∫ ∫ ∫
b)
2 2
2 2 2
1 (3 1) 1 1
.
6 9 1 (3 1) 3 (3 1) 3(3 1) 3(3 1)
dx dx d x
I C I C
x x x x x x
+
= = = = − + → = − +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
c)
3 3
2 2 2
1 (5 1) 1 1
.
25 10 1 (5 1) 5 (5 1) 5(5 1) 5(5 1)
−
= = = = − + → = − +
− + − − − −
∫ ∫ ∫
dx dx d x
I C I C
x x x x x x
Ví dụ 2: [ĐVH].
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)
42
2 1
4 4 1
x
I dx
x x
−
=+ +
∫
b)
2
52
4 3
4 12 9
x
I dx
x x
−
=+ +
∫
c)
62
1 5
9 24 16
x
I dx
x x
−
=− +
∫
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
( )
42 2
2 1 2 1
4 4 1 2 1
x x
I dx dx
x x x
− −
= =
+ + +
∫ ∫
04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P2
Th
ầy Đặng Việt H
ùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Cách 1:
Đặt
( )
42 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 1
2 1 ln
22 2 2
2 1
x t x t dt dt dt
t x I dx t C
dt dx t t
t t
x
= −
− −
= + → → = = = − = + +
=
+
∫ ∫ ∫ ∫
4
1 1
ln 2 1 .
2 2 1
I x C
x
→ = + + +
+
Cách 2:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
4
2 2 2 2 2 2
18 4 2 4 4 1
8 4 2 1
2 1 1 1
42
4 4
4 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 1
2 1 2 1
xd x x
x d x
x dx
I dx dx dx
x x x x x x x x
x x
+ − + +
+ +
−
= = = − = −
+ + + + + + + +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
(
)
( )
( )
2
2
2 2
4 4 1 2 1
1 1 1 1 1
ln 4 4 1 ln 2 1 .
4 4 2 1 2 2 1
4 4 1 2 1
d x x d x
x x C x C
x x
x x x
+ + +
= − = + + + + = + + +
+ +
+ + +
∫ ∫
b)
( )
(
)
( )
2
52 2
2 2
2 3
4 3 12 12 6
1 12 6 .
4 12 9 4 12 9 2 3
2 3 2 3
d x
x x dx
I dx dx dx x x C
x x x x x
x x
+
− +
= = − = − = − = + +
+ + + + +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
c)
( )
62 2
1 5 1 5
9 24 16 3 4
x x
I dx dx
x x x
− −
= =
− + −
∫ ∫
Cách 1:
Đặ
t
( )
62 2 2
5( 4)
41
1 5 1 5 17
3
3 4 33 9
3 4
3
t
t
xx dt t
t x I dx dt
t t
x
dt dx
+
+
−
=− +
= − → → = = = −
−
=
∫ ∫ ∫
6
1 17 1 17 5 17
5ln 5ln 3 4 ln 3 4 .
9 9 3 4 9 9(3 4)
t C I x C x C
t x x
= − − + → = − − − + = − − + +
− −
Cách 2:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
6
2 2 2 2
5 17
3 4
3 4 3 4
1 5 5 17 5 17
3 3 3 3 4 3 9 3 4 9
3 4 3 4 3 4 3 4
xd x d x
x dx dx
I dx dx x x
x x x x
− − −
− −
−
= = = − − = − −
− −
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
6
5 17 1 5 17
ln 3 4 . ln 3 4 .
9 9 3 4 9 9 3 4
x C I x C
x x
= − − + + → = − − + +
− −
TH3: Q(x) = 0 vô nghiệm
Khi
đ
ó,
Q
(
x
)
đượ
c bi
ể
u di
ễ
n d
ướ
i d
ạ
ng
( )
222
2 2
4
( ) 2 4
−
= + + = + + ≡ + +
b ac b
Q x ax b c a x mx n k
a a
N
ế
u P(x) là h
ằ
ng s
ố
thì ta s
ử
d
ụ
ng các bi
ế
n
đổ
i sau
( )
2 2
1
1arctan
= +
= +
+
∫
dx d ax b
a
du u
C
a a
u a
N
ế
u P(x) =
α
x +
β
thì ta có phân tích sau:
( ) ( )
2 2 2 2
α α
2β2
α β α α
2 2 β
2 2
+ + − +
+
= = = + −
+ + + + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
b
ax b ax b dx
x b dx
a a
I dx dx dx
a a
ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c
( )
2
2
2 2 2
2 2
2
α
β
α α α 2
βln
2 2 2
4 4
2 4 2 4
−
+ +
= + − = + + +
+ + − −
+ + + +
∫ ∫ ∫
b
d ax bx c b dx dx
a
dx ax bx c
a a a a
ax bx c
b ac b b ac b
a x x
a a a a
2 2
222 2
2
α
α
2
β
β
α α
2
2 2
2
ln ln arctan .
2 2
44 4
24
b b
bd x ax b
a a
a
ax bx c ax bx c C
a a a
b ac b ac b ac b
xaa
+ −
− +
= + + + = + + + +
−
− −
+ +
∫
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để
giải.
Nhận xét:
Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm
đến nó, bạn chỉ cần nắm được ý tưởng thực hiện của nó là phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu số, rồi tách
thành hai bài toán nhỏ hơn đều thuộc dạng đơn giản đã học.
Ví dụ 1: [ĐVH].
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 12
2 3
dx
Ix x
=
+ +
∫
b)
22
4 4 2
dx
I
x x
=
+ +
∫
c)
32
9 24 20
dx
Ix x
=+ +
∫
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
( )
(
)
( )
( )
12 2 2
2
11 1
arctan .
2 3 2 2
1 2 1 2
d x
dx dx x
I C
x x xx
++
= = = = +
+ + + +
+ +
∫ ∫ ∫
b)
( )
(
)
( ) ( )
22 2
22
2 1
1 1
arctan 2 1 .
4 4 2 2 2
2 1 1 2 1 1
d x
dx dx
I x C
x x x x
+
= = = = + +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
c)
( )
(
)
( )
32 2 2 2
3 4 1 3 4
arctan .
2 2
9 24 20 3 4 4 3 4 2
d x
dx dx x
I C
x x x x
++
= = = = +
+ +
+ + + +
∫ ∫ ∫
Ví dụ 2: [ĐVH].
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)
42
3 5
2 10
x
I dx
x x
+
=+ +
∫
b)
52
4 1
6 9 4
x
I dx
x x
−
=+ +
∫
c)
4
62
2
2 7
x x
I dx
x x
−
=+ +
∫
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
( ) ( )
42 2 2 2
3 17
4 1 4 1
3 5 3 17
4 4 4 4
2 10 2 10 2 10 2 10
xx dx
x dx
I dx dx
x x x x x x x x
+ + +
+
= = = +
+ + + + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
(
)
( )
2
2
2 2
2
2 10
3 17 3 17
ln 2 10
4 8 4 8
2 10
1 79
5
2
4 16
d x x dx dx
x x
x
x x xx
+ +
= + = + + +
+ +
+ + + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
2 2
2
2
1
3 17 3 17 4 4 1
4
ln 2 10 ln 2 10 . arctan .
4 8 4 8 79 79
1 79
4 4
d x x
x x x x C
x
+
+
= + + + = + + + +
+ +
∫
V
ậ
y
( )
2
4
3 17 4 1
ln 2 10 arctan .
42 79 79
x
I x x C
+
= + + + +
b)
( ) ( )
52 2 2 2
112 9 4 12 9
4 1 1
34
6 9 4 6 9 4 3 6 9 4 6 9 4
xx dx
x dx
I dx dx dx
x x x x x x x x
+ − +
−
= = = −
+ + + + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
22
6 9 4 3 1
1 1 4
4 ln 6 9 4
3 6 9 4 3 3
3 1 3
3 1 3
d x x d x
dx
dx x x
x x xx
+ + +
= − = + + −
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
2 2
5
1 4 1 3 1 1 4 3 1
ln 6 9 4 . arctan ln 6 9 4 arctan .
3 3 3
3 3 3 3 3
x x
x x C I x x C
+ +
= + + − + → = + + − +
c)
4 3
2 2
62 2 2
2 25 7 2 25 7
2 4 1 2
3
2 7 2 7 2 7
x x x x x
I dx x x dx x x dx
x x x x x x
− − −
= = − + + = − + +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
Đặt
( ) ( )
2 2 2 2
25 2 2 32 2 2
25 7 25
232
2
2 7 2 7 2 7 2 7
xx dx
x dx
J dx dx dx
x x x x x x x x
+ − +
−
= = = −
+ + + + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2 2
2
2 7 1
25 25
32 ln 2 7 32
2 2
2 7 1 6
1 6
d x x d x
dx
dx x x
x x xx
+ + +
= − = + + −
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
3
2 2 2
6
25 32 1 2 25 32 1
ln 2 7 arctan 2 ln 2 7 arctan .
2 3 2
6 6 6 6
x x x
x x I x x x x C
+ +
+ + − → = − + + + + − +
Tổng kết:
Qua ba ph
ầ
n trình bày v
ề
hàm phân th
ứ
c có m
ẫ
u s
ố
là b
ậ
c hai, chúng ta nh
ậ
n th
ấ
y
đ
i
ể
m m
ấ
u ch
ố
t gi
ả
i quy
ế
t bài toán
là x
ử
lý m
ẫ
u s
ố
.
N
ế
u
( )( )
( )
( )
21 2 2
1 2
2
2 2
2 2 2
2
22
( ) 1
( ) 1 arctan
α α
α
1
+ + = − − → = +
− −
+ +
+ + = + + → = +
+ + +
+ + = + → = − +
∫
∫
P x A B
ax bx c a x x x x
a x x x x
ax bx c
P x du u
ax bx c mx n k C
ax bx c u
du
ax bx c mx n C
u
u
III. MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA
Khi đó
Q
(
x
) =
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
d
. Ta có bốn khả năng xảy ra với
Q
(
x
).
TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
; x
3
Tương tự như trường hợp mẫu số là bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Ta có cách giải truyền thống là phân tích và
đồng nhất hệ số. Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm của mẫu (tùy thuộc vào
biểu thức của tử số là bậc mấy)
Ta có
( )( )
( )
3 2 1 2 3
1 2 3
( )
( ) ax ( )
P x A B C
Q x bx cx d a x x x x x x
Q x x x x x x x
= + + + = − − − → = + +
− − −
Đồ
ng nh
ấ
t h
ệ
s
ố
hai v
ế
ta
đượ
c A, B, C. Bài toán quy v
ề
nguyên hàm có m
ẫ
u s
ố
là b
ậ
c nh
ấ
t
đ
ã xét
ở
trên.
Chú ý:
Để
vi
ệ
c
đồ
ng nh
ấ
t
đượ
c, thì ta v
ẫ
n ph
ả
i tuân th
ủ
nguyên t
ắ
c là bi
ế
n
đổ
i sao cho b
ậ
c c
ủ
a t
ử
s
ố
ph
ả
i nh
ỏ
h
ơ
n b
ậ
c c
ủ
a
m
ẫ
u s
ố
.
Ví dụ 1: [ĐVH].
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)
( )
( )
12
2 9
dx
Ix x
=
− −
∫
b)
( )
2
22
6 2
1
x x
I dx
x x
+ −
=−
∫
c)
( )
4 2
32
3 3 7
2
x x x
I dx
x x x
−+−
=+ −
∫
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
( )
( )
( )( )( )
12
2 3 3
2 9
dx dx
Ix x x
x x
= =
− + −
− −
∫ ∫
Ta có
( )( )( )
2
1
1 ( 9) ( 2)( 3) ( 2)( 3)
2 3 3 2 3 3
A B C A x B x x C x x
x x x x x x
= + + → ≡ − + − − + − +
− + − − + −
1
5
0
1
0 5
30
1 9 6 6
1
6
A
A B C
B C B
A B C C
= −
= + +
⇔ = − + ⇔ =
= − + −
=
Nhận xét:
Ngoài cách gi
ả
i truy
ề
n th
ố
ng trên, chúng ta có th
ể
bi
ế
n
đổ
i cách khác nh
ư
sau mà không m
ấ
t nhi
ề
u th
ờ
i gian cho vi
ệ
c
tính toán, suy ngh
ĩ
:
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )
1
1 ( 3) ( 3) 1 1
2 3 3 6 2 3 3 6 2 3 6 2 3
+ − −
= = = −
− + − − + − − − − +
∫ ∫ ∫ ∫
dx x x dx dx
I dx dx
x x x x x x x x x x
Đế
n
đ
ây, bài toán tr
ở
v
ề
các d
ạ
ng bi
ế
n
đổ
i
đơ
n gi
ả
n
đ
ã xét
đế
n!
b)
( )
( )( )
2 2
22
6 2 6 2
1 1
1
x x x x
I dx dx
x x x
x x
+ − + −
= = + −
−
∫ ∫
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Cách 1: Ta có
( )( )
22 2
6 2
6 2 ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 1
x x A B C x x A x Bx x Cx x
x x x x x x
+ −
= + + → + − ≡ − + − + +
+ − + −
2
23 5
63 2 3 5
2 2
1 2ln ln 1 ln 1 .
2 1 1 2 2
25
2
A
ABC
B C B I dx x x x C
x x x
AC
=
= + +
⇔ = − + ⇔ = → = + + = + + + − +
+ −
− = −
=
∫
Cách 2:
( )
(
)
(
)
(
)
( )
2 2
2
23 3 3 3
2
2 3 1 1 1 3 1 1
6 2 2
1
x x x dx x dx
x x dx
I dx dx dx
x x x x x x x x
x x
− + − + − −
+ −
= = = + + =
− − − −
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
(
)
3
3
3
2 2ln
( 1) ( 1)( 1)
d x x dx dx
dx x x J K
x x x x x
x x
−
= + + = − + +
+ − +
−
∫ ∫ ∫
V
ớ
i ( 1) 1 1 ln ln 1 ln
( 1) ( 1) 1 1
dx x x x
J dx dx x x
x x x x x x x
+ −
= = = − = − + =
+ + + +
∫ ∫ ∫
( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) 2 ( 1)( 1)
dx x x dx dx x x x x
K dx dx dx
x x x x x x x x x x x x x x
+ − − − + − −
= = = − = − =
− + − + − + − − + −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1
ln ln
( 1) 2 ( 1)( 1) 1 2 1 1 2 1
x x x x x x
dx dx dx dx
x x x x x x x x x x
− − + − − − −
= − = − − − = −
− + − − − + +
∫ ∫ ∫ ∫
T
ừ
đ
ó ta
đượ
c
3
2
1 1 1
2ln ln ln ln .
1 2 1
x x x
I x x C
x x x
− −
= − + + − +
+ +
Nhận xét: Cách phân tích như trên vẫn chưa thực sự tối ưu, các em hãy tìm lời giải khác thông minh hơn nhé!
c)
( ) ( )
4 2 2 2
32 2
3 3 7 8 3 7 3
3 3 3
2
2 2
x x x x x x
I dx x dx x J
x x x x x x
− + − − +
= = − + = − +
+ − + −
∫ ∫
Với
( )
( )( )
2 2
2
8 3 7 8 3 7
1 2
2
x x x x
J dx dx
x x x
x x x
− + − +
= = − +
+ −
∫ ∫
Ta có
( )( )
22
8 3 7
8 3 7 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)
1 2 1 2
x x A B C x x A x x Bx x Cx x
x x x x x x
− +
= + + → − + ≡ − + + + + −
− + − +
77 15
824 7 15
2 2
3 2 4 ln 4ln 1 ln 2 .
1 2 2 2
7 2 15
2
A
ABC
A B C B J dx x x x C
x x x
AC
= −
= + +
−
⇔ − = + − ⇔ = → = + + = − + − + + +
− +
= −
=
∫
V
ậ
y
2
3
3 7 15
3 ln 4ln 1 ln 2 .
2 2 2
x
I x x x x C
= − − + − + + +
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a)
72
4 1
2 1
x
I dx
x x
−
=+ +
∫
b) 82
3 7
4 4 1
x
I dx
x x
+
=+ +
∫
c) 2
92
3 1
9 6 1
x
I dx
x x
+
=+ +
∫
Bài 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a) 2
10 2
4 3 1
4 4 1
x x
I dx
x x
− +
=− +
∫
b) 2
11 2
2 3 2
4 4
x x
I dx
x x
+ +
=− +
∫
c) 12 2
3 2
6 9
x
I dx
x x
−
=− +
∫
Bài 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: