Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
DẠNG 4. PP TỈ SỐ THỂ TÍCH (tiếp theo)
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là
trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện
MNABCD biết SA = AB = a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mặt phẳng (ABCD) bằng 30
0
.
Đ/s:
3
. .
3 5 5 3
.
8 8 24
= − = − = =
MNABCD S ABCD S ABMN
a
V V V V V V
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Cho kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n ABCD. Trên các c
ạ
nh BC, BD, AC l
ầ
n l
ượ
t l
ấ
y các
đ
i
ể
m M, N, P sao cho
BC = 4BM, BD = 2BN và AC = 3AP. M
ặ
t ph
ẳ
ng (MNP) chia kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n ABCD làm hai ph
ầ
n. Tính t
ỉ
s
ố
th
ể
tích gi
ữ
a hai ph
ầ
n
đ
ó.
Đ
/s: T
ỉ
s
ố
th
ể
tích c
ầ
n tìm là
7
13
ho
ặ
c
.
7
Ví dụ 3:
[ĐVH].
Cho hình chóp
S.ABCD
có
đ
áy
ABCD
là hình thoi v
ớ
i
0
120
=
BAD
,
BD
=
a
> 0. C
ạ
nh bên
SA
vuông góc v
ớ
i
đ
áy. Góc gi
ữ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (
SBC
) và
đ
áy b
ằ
ng 60
0
. M
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
)
đ
i qua
BD
và vuông
góc v
ớ
i c
ạ
nh
SC
. Tính t
ỉ
s
ố
th
ể
tích gi
ữ
a hai ph
ầ
n c
ủ
a hình chóp do m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) t
ạ
o ra khi c
ắ
t hình chóp.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
G
ọ
i
V
,
V
1
và
V
2
là th
ể
tích c
ủ
a hình chóp
S.ABCD
,
K.BCD
và ph
ầ
n còn l
ạ
i c
ủ
a hình chóp
S.ABCD
.
Ta có
1
.
2. 13
.
= = =
ABCD
BCD
S SA
V SA
V S HK HK
.
Suy ra
1 2 2 2
1 1 1 1
1 13 12
+
= = + = ⇔ =
V V V VV
V V V V
Ví dụ 4:
[ĐVH].
Cho hình chóp
đề
u
S.ABCD
có c
ạ
nh
đ
áy b
ằ
ng
a
, c
ạ
nh bên h
ợ
p v
ớ
i
đ
áy góc 60
0
. G
ọ
i
M
là
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
C
qua
D
,
N
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
SC
. M
ặ
t ph
ẳ
ng (
BMN
) chia kh
ố
i chóp thành hai ph
ầ
n. Tính
t
ỉ
s
ố
th
ể
tích c
ủ
a hai ph
ầ
n
đ
ó.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
G
ọ
i
P
=
MN
∩
SD
,
Q
=
BM
∩
AD
⇒
P
là tr
ọ
ng tâm
∆
SCM
,
Q
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
MB
.
•
MDPQ
MCNB
VMD MP MQ
V MC MN MB
1 2 1 1
. . . .
2 3 2 6
= = =
⇒
DPQCNB MCNB
V V
5
6
=
•
Vì
D
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
MC
nên
d M CNB d D CNB
( ,( )) 2 ( ,( ))
=
⇒
MCNB DCNB DCSB S ABCD
V V V V
.
1
2
2
= = =
⇒
=⇒=⇒=
. .
5 7 7
12 12 5
SABNPQ
DPQCNB S ABCD SABNPQ S ABCD
DPQCNB
V
V V V V V
⇒
⇒
.
Ví dụ 5:
[ĐVH].
Cho hình chóp
S.ABCD
có
đ
áy
ABCD
là hình thoi, c
ạ
nh
a
,
0
60
=
ABC
, chi
ề
u cao
SO
c
ủ
a
hình chóp b
ằ
ng
3
2
a
, trong
đ
ó
O
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng chéo
AC
và
BD
. G
ọ
i
M
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
AD
,
m
ặ
t ph
ẳ
ng (
P
) ch
ứ
a
BM
và song song v
ớ
i
SA
, c
ắ
t
SC
t
ạ
i
K
. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
K.BCDM
.
07. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P8
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Hướng dẫn giải:
Gọi N = BM ∩ AC ⇒ N là trọng tâm của ∆ABD.
Kẻ NK // SA (K ∈ SC). Kẻ KI // SO (I ∈ AC) ⇒ KI ⊥ (ABCD). Vậy
. D D
1.
3
K BC M BC M
V KI S=
Ta có: ∆SOC ~ ∆KIC
⇒
S
KI CK
SO C
= (1), ∆KNC ~ ∆SAC
⇒
S
CK CN
C CA
= (2)
T
ừ
(1) và (2)
⇒
1
2 2 3
3
2 2 3 3 3
CO CO
KI CN CO ON a
KI SO
SO CA CO CO
+
+
= = = =
⇒
= =
Ta có: ∆ADC
đề
u
⇒
CM ⊥ AD và
2
3 1 3 3
( ).
2 2 8
BCDM
a
CM S DM BC CM a
=⇒= + =
⇒
3
. D
1.
3 8
K BCDM BC M
a
V KI S= =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:
[ĐVH].
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc v
ớ
i
đ
áy hình chóp.
Cho
; 2
AB a SA a
= = Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh
( )
SC AHK
⊥
và tính
thể tích hình chóp OAHK.
Đ/s:
3
2
27
a
Bài 2: [ĐVH]. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC.
Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
Đ/s:
3
3 3
50
a
Bài 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông
góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
0
. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho
3
a
AM =. Mặt
phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
Đ/s:
3
10 3
27
a
Bài 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
3
AD a
=, SA = 2a và SA
⊥
ABCD. Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K. Hãy tính thể tích
khối chóp S.AHIK theo a.
Bài 5: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD), SA = 2a. Gọi B’, D’ là
hình chiếu của A trên SB, SD.Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S. AB’C’D’.
Bài 6: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Tính
tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được phân chia bởi mặt phẳng (MNP).
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Bài 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B;
3
SA a
=vuông góc với (ABC). Biết AB
= BC = a. Kẻ AH
⊥
SB và
.
AK SC
⊥
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các m
ặ
t bên hình chóp S.ABC là các tam giác vuông
b)
Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABC
.
c)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SC
⊥
(AHK)
d)
Tính V
S.AHK
Bài 8:
[ĐVH].
Cho hình chóp t
ứ
giác
đề
u S.ABCD
đ
áy là hình vuông c
ạ
nh a, c
ạ
nh bên t
ạ
o v
ớ
i
đ
áy m
ộ
t góc
60
o
; g
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SC. M
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
đ
i qua AM và song song v
ớ
i BD, c
ắ
t SB t
ạ
i E và SD t
ạ
i F.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AM ⊥ EF.
b)
Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.AEMF.
c)
Tính chi
ề
u cao c
ủ
a hình chóp S.AEMF.
Bài 9:
[ĐVH].
Cho hình chóp SABCD có th
ể
tích b
ằ
ng 27a
3
.L
ấ
y
'
A
trên
SA sao cho
3 '
=
SA SA
. M
ặ
t ph
ẳ
ng
qua
'
A
và song song v
ớ
i
đ
áy hình chóp c
ắ
t SB, SC, SD l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i
', ', '.
B C D
Tính th
ể tích hình chóp
' ' '
SAB C D
.
Đ/s: V = a
3
Bài 10: [ĐVH]. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung điểm
SC. Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB, (SDF) tại M và P. Tính thể tích khối chóp
SAMNP.
Đ/s:
2
9
=
a h
V
Bài 11: [ĐVH]. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho
SM
x
SA
.
Tìm
x
để mặt phẳng (
MBC
) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
Đ/s:
5 1
2
−
=x