Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số

TIẾP TUYẾN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ (PHẦN 02) ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (Phần 02)

thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Tiếp tuyến của ñồ

thị hàm số (Phần 02). ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

(Tài liệu dùng chung bài 13 + 14)

3

Bài 1. Cho hàm số:

y

= − + x

23 x

− (C)

2

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) b. Tìm trên ñường y = 2 các ñiểm mà từ ñó kẻ ñược tới (C) 3 tiếp tuyến. Giải b. – Lấy M thuộc ñường y = 2 => M(a; 2) - ðường thẳng d ñi qua M với hệ số góc k có phương trình: y = k(x – a) + 2 (*) - ðể d là tiếp tuyến của (C) thì hệ sau phải có nghiệm:

2

x

3

− = 2

k x a −

(

) 2 (1)

+

3

x

6

x

k

(2)

−

+

=

3 − + x   2 

2

2

Thế (2) vào (1) ta có:

3 − + x

3

x

− = − 2 ( 3

x

+

6 )(

x x a

−

+ ) 2

3

2

⇔ − 2 x

+ (3 3 )

a x

+

6

ax

− = 4 0

2

⇔ − ( x

x

−

a (3

−

1)

x

+

2

=

0

(3)

 2) 2 

 

Ta nhận thấy với mỗi nghiệm x thu ñươc từ phương trình (3) thay vào (2) ta sẽ ñược một k và thay k ñó vào (*) ta sẽ ñược một tiếp tuyến. Do ñó ñể từ M kẻ ñược 3 tiếp tuyến tới (C) thì phương trình (3) phải có 3 nghiệm phân biệt.

22 ⇔ − x

a (3

−

1)

x

+ = phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2.

2 0

a

1

< −

2

a

a

9

−

6

−

> 15 0

a

a

< −

1;

>

⇔

⇔

2

a

5 3

2.2

−

a (3

−

1).2 2

+ ≠

0

∆ =   2 

2

    ≠ a

2

thì từ M kẻ ñược 3 tiếp tuyến tới (C).

Vật với những ñiểm M(a, 2) với

, 2

a

∈ −∞ − ∪

2, ∪ +∞

) , 1

(

)

(

  5  ⇔ < < 3   > a 5 3

  

   * Lưu ý: Với x = 0 và x = 2 thay vào (2) ta ñều ñược k = 0 nhưng ta phải hiểu rằng với k = 0 ñó, ta có 2 tiếp tuyến, 2 tiếp tuyến này ñi qua 2 ñiểm M khác nhau nhưng có hệ số góc bằng nhau; chứ không phải là x = 0 và x = 2 thay vào (2) ta chỉ ñược một tiếp tuyến.

3

Bài 2. Cho:

x

x

y

−

=

2 1 + a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến ñó cắt Ox tại A, cắt Oy tại B và tam giác AOB cân tại O. Giải

- Trang | 1 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số

b. – Lấy

M C

∈ ⇒ )

(

;

−

o

2 x o

( 3 M x x o

) + 1

- ðể tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hệ trục tọa ñộ một tam giác cân tại O thì tiếp tuyến này phải có hệ số góc bằng 1±

2 x o

3 − 2 + = 1 0 ( ô ) x o

2 x o

2 x o

- Nếu xo = 1 thì phương trình tiếp tuyến: y = x (loại, vì nó ñi qua gốc O nên không tạo ra tam giác).

vậy phương trình tiếp tuyến:

y

x= +

- Nếu

x = − 0

⇒ − M

32 27

1 3

1 23 ; 3 27

 

y

=

(C)

= 1 v n o x o ⇔ ) = ± ⇔ − 1 3 2 = ± ⇔ 1 y x '( o x o 3 − 2 − = ⇔ 1 0 x o = − x o 1 3          

Bài 3. Cho hàm số:

   − 1 x 2 − 1 x

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thì (C).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ ñiểm I(1, 2) ñến tiếp tuyến ñó bằng 2 . Giải

b. – Lấy

- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là

y

x

=

).(

−

)

+

y x '( o

x o

− 1 − 1

2 x o x o

M C ∈ ⇒ ) ( , ≠ 1 x o 2 x o x o  M xo ;   − 1  − 1 

− 1 ⇔ = y .( x − + ) 2 − 1 x o x o −

(

)2 1

2

⇔ + x

(

−

1)

y

−

2

+

2

− (d)

1

x o

2 x o

x o

- Khoảng cách từ I(1, 2) ñến tiếp tuyến (d) bằng 2 .

+

−

−

+

−

(

2 1) .

2

2

1

x o

x o

2 x o

x o

− 1 − 1

− 2 2

2 x o x o

x o

⇔

=

= ⇔ 2

2

4

4

1

+

−

1

+

−

(

) 1

(

) 1

x o

x o

x o

4

4

= 0 ⇔ − 2 2 = 2. 1 ( + − ⇔ − 2 2 1) =

(

)2

=> Các tiếp tuyến cần tìm: x + y – 1 = 0 và x + y – 5 = 0.

3

2

y

=

x

−

(

m

+

1)

x

+

(

m

−

1)

x

+ (1)

1

x o x o x o x o  2 1 ( +  = 2 x o x o   − ⇔  1)  

Bài 4. Cho hàm số:

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 1. b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt A(1, 0), B, C sao cho các tiếp tuyến tại B và C song song với nhau. Giải b. – ðể ñồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt A, B, C thì phương trình:

3

2

(

x

m

x

+

(

m

−

x

+ = phải có 3 nghiệm phân biệt.

1 0

2

x

− x mx

− = phải có 3 nghiệm phân biệt.

0

− ( ⇔ −

1) ) 1

1x ≠

1) + )( 1 2 x mx

⇔ −

− = (*) phải có 2 nghiệm phân biệt

1 0

- Trang | 2 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số

2

2

m 0 (1) ⇔ ⇔ ⇔ m ⇔ ≠ m 0 ≠ m m m m 4 0 + > .1 1 0 − ≠ + > 4 0 0 ≠ ∀     ∆ =  12 −    

- Gọi hoành ñộ của 2 giao ñiểm B và C là x1, x2 (x1, x2 là nghiệm của (*)) ðể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1) tại B và C song song ta phải có: y’(x1) = y’(x2) 2 + ⇔ − 3 x 1

2 x 2

+

− ) 2(

m

+

1)

= 0

+ − = + − 1 1 3 2( 2( 1) 1) m + x m 2 x m 1

⇔ − ( x 1

x 2

x 1

x 2

m [ ) 3( − ]

2( 1) ⇔ + 3( ) = 2( m + ⇔ + 1) ( ) = x 1 x 2 x 1 x 2 + m 3

Kết hợp (1) và (2) => ðáp số: m = 2

(C)

1) 2( ⇔ = (2) 2 ⇔ = m m + m 3

Bài 5. Cho hàm số:

sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất.

y =

M C∈

(

)

Giải

b. – Ta có:

(C)

x − 3 2 − 2 x a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C). b. Tìm

- Lấy

y = = + 2 x − 3 2 − 2 x 1 − x 2

- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:

(d)

y

=

(

x

−

) 2

+ +

x o

2

1 −

2

1 − − 2)

(

x o

x o

- Giao ñiểm của (d) với tiệm cận ñứng là

M C ∈ ⇒ ) ( , 2 + ; ≠ 2 x o 2 1 − x o  M x  o    

B x − (2

2; 2)

- Giao ñiểm của (d) với tiệm cận ngang là

o

2

1

2

-

AB

=

4

−

2

+

≥ ⇒ ≥

AB

8

8

2; 2 A + 2 − 2 x o      

(

)

x o

2

−

2

(

)

x o

   

   

2

4

=> AB ngắn nhất bằng

1 8 2 = 2 = 1

)

)

( ⇔ − x o

( ⇔ − x o

2

− 2

(

)

x o

y

=

(C)

3 = − = 2 1 M (3,3) ⇔ ⇔ ⇔ 1 1 M (1,1) = 2 − = − x o x o x o x o      

Bài 6. Cho

có hoành ñộ dương sao cho tiếp tuyến của

M C∈

(

)

= − 1

b. I = TCð ∩ TCN => Tọa ñộ của I là nghiệm của hệ:

( 1, 2)

⇒ − I

2

x   = y

- Trang | 3 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

   − 1 2 x + 1 x a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) b. Gọi I là giao ñiểm 2 ñường tiệm cận của (C). Tìm (C) tại M cắt 2 ñường tiệm cận tại A và B thỏa mãn: IA2 + IB2 = 40 Giải

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số

- Lấy M thuộc (C) có hoành ñộ dương =>

- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:

:

y

(

x

)

∆

=

−

+

x o

2

(

1)

3 +

− 1 + 1

x o

2 x o x o

; , > 0 x o 2 x o x o  M x  o  − 1  + 1 

- A = ∆ ∩ TCð

A ⇒ −

x 2 o x o

-

B

TCN

1; 2)

= ∆ ∩

⇒

+

B x (2 o

2

2

2

4

2

-

IA

IB

4(

1)

40

(

1)

10(

1)

9 0

+

= ⇔ 40

+

+

= ⇔ +

−

+

+ =

x o

x o

x o

2

1)

(

36 +

x o

 1;  − 4  + 1 

M

+ = 1 3 = ⇒ 2 (2,1) = ⇔ 9 ⇔

)2 1

( x ⇔ + o

(Loại)

x o x o

x o x o

+ = − 1 3 = − 4      

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương

Hocmai.vn

Nguồn :

- Trang | 4 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt