Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Tính đơn điệu của hàm số

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Tính đơn điệu của hàm số thuộc khóa học Luyện thi đại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Tính đơn điệu của hàm số. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

3

2

y

(1 2 )

m x

(2

m x m

)

x

Bài 1. Cho hàm số

=

+ −

+

−

+ + (C) 2

Tìm m để hàm đồng biến trên (

) 0; +∞

Lời giải:

2

' 3

(

2

)

0

với

x

m x )

m

y ⇔ =

+

(1 2 2 −

+

−

≥

Hàm đồng biến trên (

) 0; +∞

( ) x∀ ∈ +∞ 0;

2

3 x 2 với m ⇔ = ≥

( ) x∀ ∈ +∞ 0;

( ) f x

2

+ x 4 2x + 1 +

3 x 73

)

2

( ) x

' 6 3 0 f x x Ta có: x + − ⇔ = 0 = ⇔ = = 1 − ± 2 1 4 x +

( 2 6 (

0; +∞ , từ đó ta đi đến kết luận:

x + − 2 ) 1

Lập bảng biến thiên của hàm f(x) trên (

)

73

3

73

1 − +

+

m

f

m ≥ ⇔

≥

12

8

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Bài 2. Cho họ đường cong bậc ba (Cm) có phương trình là y = −x3 + mx2 − m

Định m để:

a. Hàm số đồng biến trong (1; 2).

b. Hàm số nghịch biến trong (0; +∞).

Lời giải:

a) Hàm đồng biến trên (1,2) ⇔ – 3x2 + 2mx ≥ 0, ∀x ∈ (1,2).

m 2 3

. Nếu m ≠ 0 ta có hoành độ 2 điểm cực trị là 0 và

, 0

m⎡ 2 ⎢ 3 ⎣

⎤ ⎥ ⎦

i) Nếu m < 0 thì hàm chỉ đồng biến trên . Vậy loại trường hợp m < 0

- Trang | 1 -

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

ii) Nếu m = 0 ⇒ hàm luôn nghịch biến (loại).

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Tính đơn điệu của hàm số

0,

m 2 3

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

iii) Nếu m > 0 thì hàm chỉ đồng biến trên

⇔

m

2

[1, 2]

0,

≥ ⇔ ≥ 3

m 2 3

m 2 3

⎡ ⊂ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

Do đó, ycbt ⇔ m > 0 và

b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > 0.

,

m 2 3

⎛ −∞⎜ ⎝

⎤ ⎥ ⎦

Khi m ≤ 0 ta có hàm số nghịch biến trên và hàm số cũng nghịch biến trên [0, +∞).

a

3

2

Vậy để hàm nghịch biến trên [0, +∞) thì m ≤ 0.

Bài 3. Cho hàm số

x

a c a x

x

f x ( )

(sin

os )

=

−

+

+

1 3

1 2

3sin 2 4

. Tìm a để hàm số luôn đồng biến.

Lời giải:

a

2

x

a c a x

′ f x ( )

(sin

os )

=

−

+

+

3sin 2 4

Ta có:

f x

( ) 0,

′⇔

≥ ∀ ∈ x R

2

a

(sin

a c a os )

3sin 2

0

⇔ Δ =

+

−

≤

a

a

1 2sin 2

sin 2

⇔ −

0 ≤ ⇔

≥

1 2

a

2

2

2

≤

+

≤

k π

k π

a ≤ ≤

k Z ∈

+

k π

k , π

π ⇔ + 6 π ⇔ + 12

5 π 6 5 π 12

22 x

Hàm số luôn đồng biến

y

Bài 4. Cho hàm số

=

− x

x m + 1 3 −

)+∞

Với nhứng giá trị nào của m thì hàm số đã cho là đồng biến trên khoảng (3;

Lời giải:

)+∞

2

Hàm số đồng biến trong khoảng (3;

2

′⇔ = y

> ∀ >

+ ∀ >

= f x min ( ) |

− x

2 x m 0, 2 x x 4 x m 0, x 3 3 ≥ ∀ > ⇔ − 3 + − x 4 − ( x − 3 + − 2 1) 2 m f x ( ) x 2 4 x 3, x 3

⇔ ≤ m ⇔ ≤

>

3

f

x '( )

4

x

4

x

m

f x min ( )

f

(3)

=

0, − > ∀ ⇒

≤

=

= . 9

- Trang | 2 -

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Ta có:

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Tính đơn điệu của hàm số

2

x

Bài 5. Chứng minh rằng với x > 0, ta có:

> + +

e 1 x x 2

Lời giải:

2

x

x

x

′′ x ( )

−

=

− > ∀ >

=

−

=

e f e f e x x Ta có: f x ( ) 1 x '( ) 1 1 0 0 x − ⇒ x − − ⇒ 2

x

′ ( ) f x

f

′ (0)

0

0

x′⇒ ( ) f

0 > ⇒

>

= ∀ > x

2

x

đồng biến với

>

∀ > (đpcm).

f x⇒ ( )

4

3

4

x f x x x đồng biến với f x ( ) (0) 0 1 0 0 > ⇒ e ∀ > ⇒ − − − x 2

Bài 6. CMR:

=

+

+ ≥ ∀ ∈ ⇔

≥

f x ( ) px q x R 0, 256 q x 27 p

Lời giải:

3

3

x

p

x

′ ( ) 4 f x =

0 + = ⇔ =

p − 4

Ta có:

f x

( ) 0,

x R

≥ ∀ ∈

3

(

f

⇔

=

) 0 ≥

min ( ) f x x R ∈

p − 4

4

3

3

0

p

⇔

+

q + ≥

p − 4

3

4

⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 256

27

q

p

⎞− p ⎟ ⎟ 4 ⎠ ≥

⇔

3

2

(

)

:

y

2

x

( 3 2

m

) 1

x

3

m

2

x

=

=

−

−

+

+

4 − .

( f x m ,

)

Ta có:

Bài 7. Cho(

)

mC

Tìm m để hàm số đồng biến trên [2;+∞).

Lời giải:

2

)

]

f

'

x m ,

[ 3 2

x

( 2 2

m

) 1

2

0;

=

−

−

( x m +

+

≥ ∀ ≥ x 2

(

)

2

)

( 2 2

m

) 1

2

0;

x

2

2 x ⇔ −

−

≥ ∀ ≥

2

2

x

( x m + ( m x 4

+ ) 1 ;

2

2 x ⇔ +

2 + ≥

−

x ∀ ≥

2

2

x

2

(

( ) g x

; m x

) g x m

⇔

=

≥

∀ ≥ ⇔

≥

x

2 Min 2

≥

+ 4 x

x 2 + 1 −

2

2

2

(

)

Hàm số đồng biến trên [2;+∞) khi và chỉ khi

−

−

)

( g x '

=

=

> ∀ ≥

− 4 x

) 2 ( 4

( 7 x + 2 ) x 1 −

( ) g x

g

(2) 2

m

=

= ≥

x 2 8 0; x 2 Ta có x ( 4 x 10 − 2 ) 1 −

Min x 2 ≥

- Trang | 3 -

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Suy ra g(x) đồng biến trên [2;+∞) và khi đó

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Tính đơn điệu của hàm số

Vậy m ≤ 2

3

2

Bài 8. Cho hàm số

= −

−

+

+

y x 3x mx 4 , trong đó m là tham số thực.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞).

Lời giải:

2 – 3x – 6x

m<0, x

0

y’ ⇔ =

+

∀ >

2

6x m, x

0 (*)

3x ⇔ +

> ∀ >

x

0

+∞ + ∞

y

0

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞):

0m ≤ .

Do đó (*) xảy ra khi và chỉ khi

Bài 9. Cho hàm số

y

=

1mx − x m −

(1). Với m nào hàm đồng biến, nghịch biến, không đổi?

Lời giải:

2

2

1 m − y ' , Ta có: = x m ≠ x m −

(

)

2

1

m

0

1

m

1

−

> ⇔ − <

< thì hàm luôn đồng biến trên mỗi khoảng (

)m−∞ ;

+ ∞ ).

2

• Nếu và (m;

2

1

m

m

0

1

1 m thì hàm luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định • Nếu − 1 m >⎡ 0 < ⇔ ⎢ < − 1 m ⎣

−

= ⇔ = ± thì y không đổi trên TXĐ.

• Nếu

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương

Nguồn :

Hocmai.vn

- Trang | 4 -

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12