Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Khóa LTĐH Nâng cao môn Toán
09. MỘT SỐ BÀI PT HAY VÀ ĐẶC SẮC
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
2
2
- Bài 1: [ĐVH]. Giải phương trình 2 x - + 1 x + = 3 x 1 0
- - - - Bài 2: [ĐVH]. Giải phương trình x 2 x 1 ( x + 1) x - = x x 0
24 x
2
+ Bài 3: [ĐVH]. Giải phương trình 2 x + = 3 8 x + 1
2
2
+ + 2 - Bài 4: [ĐVH]. Giải phương trình ( x 1) x + = 3 x 2 x 1
3
2
3
+
+ 3
+ + Bài 5: [ĐVH]. Giải phương trình (3 x 1) x 3 x 2 x + 3
)
x
2
x
3
x
= 3
4
- - - + = 3 ( Bài 6: [ĐVH]. Giải phương trình:
1 x Lời giải:
( +
)
x
x
3
.
2 +
) 1 ) =
x
( )( 1
+ x
2
x
3
= - 4 (
3
2
3
+
- - Nhận xét: - -
( )
x )
(
)
nên ta có
x
2
x
3
+ 3 x
= 1
x
3
0
3 ( + x
3
pt
x
1
3
(cid:219) - - - - - - *
x
1
b
3
3
+
( +
ta có phương trình mới
a
b
( + ab a b
) = (cid:219) 0
)2 )( = (cid:219) a b a b
0
3
= -
b
= - a = a
+ x
3
- - - Đặt:
- = - 1
x
3 + x
3
1
3
3
= - x = ˘ S
x
3
- = 1
= a b 3 « (cid:219)
x = -
1
2
(
)
-
+ x Vậy phương trình có nghiệm Bài 7: [ĐVH]. Giải phương trình:
3
x
) - + 1
2 3
x
4
( + x
)( 1
2 + - x
x
= 2
0
1
x
2
+
)
x
)( 1
x
+ - x
2
0
-
2 4
2
=
Lời giải: ‡ ‡ (cid:219) Điều kiện: ( £ £ -
x (
(cid:219) - - -
)
2
3
2
0
x
Phương trình đã cho
2 + x
x
x
x
3
4
2
(
( )
1 )( + - 1 )
(cid:219) *
(
)
) 1
2
0
2 + - x
x
x
( + - x
= x
+ 3
Nhận xét:
cho
1 0
1x + ta có phương trình:
2
x
x
)( + + - 2 1 x x + = không là nghiệm, chia cả hai vế của ( )* 2
4
1 0
x
x
+ - x + 1
2 + - x 2 + = + 1
3
3
2
2
x
2
=
(cid:219) -
(
)
0
1 0
3
0
( t t
) ‡ ⇒ (cid:219) pt
t
t
+ - x + 1
3 3
x
=
4 + = (cid:219) t 3
= (cid:219) t
t
= t
3 3
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
- - - Đặt
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
x
1
6
x
2 =
=
t
3
3
2 - = (cid:219) x 2
x
5 0
+ - x + 1
x
= - 1
x
6
= +
2
x
2
2 =
=
fi (cid:219) - • Với
t
+ 3
x
- = (cid:219) = x
7 0
2
22 1
+ - x + 1
x
3 3
fi (cid:219) - • Với
x
+ 6 1 ;
6
;
3 3 { = - 1
x } 22 1
2
- Vậy hệ phương trình có ba nghiệm:
x
+ - + x
6 3
2 + = x 2
x
6
0
x
- - - Bài 8: [ĐVH]. Giải phương trình:
1 2 Lời giải:
2
x
+ - x
6 0
‡
1 0
x
2
x
2
- ‡ (cid:219) ‡ Điều kiện:
x
+ ‡ x
2
6 0
-
x
2 + x
2
x
6
2
(cid:219) -
2 + - + x
6 6
x
2 + - + x )( + x
6
6 3 ) 1
- = x ( = 9
x
1 2 ) 1
+ 4
x
x
8
x
24
2
(cid:219) - - - Phương trình đã cho ( 2 + - x
(
)(
(
)
)(
)
x
2
3
= x
) 1
2 + x
6
x
13
( + x
2
2
2 = x
3
x
2
x
3 8
x
2
(cid:219) - - - (cid:219) - - - - -
)( + 2 x x - =
2 0
+ 2 x 2x -
2
+
Nhận xét:
2
3
2
2
8 0
x 2
x
x
2
+
- - không là nghiệm, chia cả hai vế cho 2 + x x (cid:219) - - - ta được phương trình: 3 x - = 2
x
2
3
2
- -
(
)
= (cid:219) t
x
2
+ t
2 + x
2 - = 2 t
3 0
x 2
x
Đặt: . -
4
2 + 12 t
‡ 0 t + 6 20 (cid:219) Điều kiện của t là - ‡ 16 0 t £ £ - ‡ t D = x t 0 6 20
(
)
t
⇒ (cid:219) pt
2 2 t
- = (cid:219) + 8 0
t
)( = (cid:219) = t 4 2
0
t
4
2
+
- -
7
20
x
2
3 = (cid:219)
2 +
= fi 4
t
4
14
= (cid:219) x
29 0
x 2
= - 7
x
20
= + x
- - Với -
}
+ 20 7 ;
20
x x Vậy phương trình có hai nghiệm: { 7
2
-
x
1
4
3 +
2 +
3 +
- -
(
)
x
2
x
2
x
+ = x 1
2
x
x
x
2
Bài 9: [ĐVH]. Giải phương trình
x
1
2
2
2
2
(
( +
x
x
) + 1
x
) = 1
- (cid:219) - Ta có phương trình Lời giải: ) 1
( + x x
x
0
2
2 +
(
(
.
x
x
) 1
+ x
) 1
2 > " 0
, x R
x
1
1
x
(cid:219) > > 0
2
2
2
2
- ˛ (cid:219) Do - nên x là nghiệm của phương trình
(
( +
pt
x
x
) + 1
x
) = 1
(cid:219) - - *
( + x
) 1
( x x
)( + 1
x
> x 2 x ) ( ) 1
=
a
) 1
. Khi đó phương trình ( )*
trở thành:
fi + = a b
2 + x
1
Với điều kiện này ta có ( x x = + x
1
b
2
2
+
=
- Đặt:
(
)
a
b
+ a b
ab
2 + = 1
a b
a a + b b
a b
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
(cid:219)
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
2
(
( t t
)0
⇒ (cid:219) pt
4 + = t 1
3 + (cid:219) t
t
t
= > - Đặt:
) ) ( + + = (cid:219) = 1 1
t
t
0
t
1
)
1
2
a b
t
x
= ⇒ = (cid:219) 1
1
( ) - = + (cid:219) x x x 1
1
2 - = (cid:219) x 2
1 0
a b
( TM ( ) l
2
= + x = - 1 x
2
2
4
2
- Với
- - -
x = + 1 Vậy phương trình có nghiệm: Bài 10: [ĐVH]. Giải phương trình:
8
x
25
+ x
x
96
3 + x
218
x
+ 216
x
) 81
= 18
4
3
2
2
2
4
2
3 +
(
)
- - - - -
( 3 16 Lời giải: 4 + 96
x
216
x
+ 216
+ x
= 81 2
x
+ x
2
3
2
x
x
96
x
218
= 81 16
x
2
2
=
+ 216 x )
x ( 18 2 2
x
3
25
+ x
x
Nhận xét: - - -
16 8 x )2 =
2
3x
a
- Đặt ( .
a
a
2
2 +
x 2
(
)
2
3
2
- = a x
a
x
2
(
) =
5
0
x 2 )( + a x a
x
4
5
0
a
ax
2 = x
= -
‡ ‡ (cid:219) (cid:219) Vậy phương trình trở thành - - -
(
)2 (cid:219) = ˘
• Với
a
x
2
x
= - 3
x
S
fi -
17
145
=
(
• Với
a
5
x
2
x
)2 = 3
5
x
2 + = (cid:219) = x x 17
9 0
4
x
8
– fi - (cid:219) -
17
145
=
Vậy phương trình có hai nghiệm:
x
8
2
2
+
–
x
9
x
= 10
( 2 3
+ x
) 1
2
x
3
13 2
- - Bài 11: [ĐVH]. Giải phương trình
2
Lời giải:
2
x
x
3 2
2
2
2
+
- ‡ (cid:219) ‡ Điều kiện:
)
Phương trình
3 0 ( 2 2
x
3
- = 9 x
( + 4 2 3
x
) 1
2
x
3
5 + x 2
2
(cid:219) - -
)
22 x
- = 3
( t t
0
. Phương trình trở thành
t 2
( 2 3
+ x
) 1
+ t
- = 4 x
9
0
25 + x 2
2
2
‡ - Đặt:
(
(
)
Ta có:
+ x
3
) 1
2
9
x
= 4
2
x
3
0
D = t
25 + x 2
+
x
4
2
2
- - - ‡
x
7
8
x
= 28 0
2 2
x
- = + x
3
4
⇒
⇒
2
2
5
2
( )
x
20
+ x
= 16 0
17
=
2 2
x
- = 3
5
x
2
t
= t
2 x 2
- - (cid:219) - - * -
2
•
7
x
8
x
= (cid:219) = 28 0
x
4 2 53 7
2
=
2 +
– - -
• Xét phương trình ( )*
có:
. Vậy ( )*
vô nghiệm.
VT
17
x
20
+ x
= 16
x
0
4
x
2 +
5 2
39 > 4
- -
=
Vậy phương trình có hai nghiệm là:
x
2
+ 4
–
x
x
1
x
x
1
+
=
+
2 1
x
4 2 53 7 + 2 x + x x (
1)
+ + 2 x x
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
- Bài 12: [ĐVH]. Giải PT:
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Lời giải:
0x >
4
2
4
2
2
+
+
= 2
+ 2
Đk:
x
x
+ = 1
x
2
x
+ - 1
x
(
x
1)
= 2 x
+ + 2 x x
(
1)(
- + 2 x
x
1)
2
- Nhận xét:
2
1 1 1 x x 1 - + = (cid:219) PT 1 . - + x + 1 x - + 2 x + 1 x + + 2 x x x + + 2 x x x
1 1 x x = = ‡ , ( , a b 0) ta có: Ta đặt: a , b - + x + 1 x
- + 2 1
a
= (cid:219) ab b
+ + 1)( a
1)
1) 0
+ + = (cid:219) = 1)( a b
a
(
1) 0
a
1
(
2
- - + + 2 x x - = (cid:219) b a (
a - + x + 1
2
4
4
2
+
x 1 = ⇒ = 1 x 2 Với a = 1 ta có:
5
4
x
x
x
3
x
= 18
5
x
4
2
2
2
2
+
- - - x Kết luận: x = 2 là nghiệm của PT đã cho. Bài 13: [ĐVH]. Giải PT:
x
3
x
18 0
(
x
3)(
x
6) 0
x
4
2
- - ‡ (cid:219) - ‡ (cid:219) ‡ Đk: Lời giải: 6
x
3
x
+ 18 5
x
0, (1)
4
+ 2
+ 4 x
5
= 2 x
4
x
3
x
18 5
x
4
2
4
2
4
2
+
=
+
+
x
4
x
x
22
x
18 10
x x
3
x
18, (2)
5
4
4
2
2
2
2
- - ‡ (cid:219) - - (cid:219) Khi đó PT - - -
Giải (2) ta có (2)
2
x
+ = 2 9 x
9 5
x x
3
x
18
+ = 4 2 x
9
x
+ 9 5
x
(
x
3)(
x
6)
2
2
2
2
+
=
(cid:219) - - - (cid:219) - -
2 x x 2 (
+ 6) 3( x
3)
5
x
+ ( x
3)(
x
6)
2
2
2
=
+ 2
+
=
(cid:219) - -
a
x x
6,
= b
x
3
ta có:
2
a
b 3
5
ab
(2
a
= (cid:219) b a b 3 )(
) 0
b 3
= b a = 2 a
+
0
7
61
2
- = 6
+ (cid:219) 2 3
x x
x
⇒ = x
+) Với a = b ta có:
- = 2
- (cid:219) - - Đặt:
2
x
3 0
‡ x 4
0, (
tm
2
+) Với 2a = 3b ta có:
2
- = 6
3
+ (cid:219) 2 3
3
x x
x
x
2
-
33
x
(1)) (cid:219) = = 27 0
x
7 x ‡ x 4
Kết luận: Vậy PT có 2 nghiệm như trên
2
2
+
- -
9
x
6
x
= 10 (3
+ x
1) 9
x
8
- - Bài 14: [ĐVH]. Giải PT:
=
Lời giải:
29 x
8
ta có: 2 t 2
8( t - =
- ‡ - Đặt
PT
t ⇒ + 2 t
6
x
2 (3
0) + x
t 1)
t
x= 29 + + x
(3
- = t 1) 6
x
2 0
2
2
2
=
(cid:219) -
+ x
1)
4(6
x
2) 9
x
+ = x 18
9 (3
x
3)
D = x
+ +
- - - -
3
3
x
x
=
3
x
1
(3 = t ⇒
+ -
x
+ x
3
3
=
2
= t
1 3 2 1 3 2
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
- -
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
=
t
3
x
- ⇒ 1
9
x
- = 8
3
x
1
x
1 3
3 2
(cid:219) = + 6 x
1
‡ x - = - 8
Với
t
= (cid:219) 2
- = (cid:219) = – 2 8 x 4
9
x
2 3 3
2
2
2
+
+
+
+
- (cid:219) Với
(
x
x 2 )
(
x
1) 2(
x
2
x
= 1)
13
- Bài 15: [ĐVH]. Giải PT :
x+ 2 2
x
1
2
2
2
2
2
+
- =
+ 2
Lời giải: ‡ Đk:
Nhận xét:
(
x
x 2 )
1 (
x
2
x
1)(
+ x
+ = 2 x 1)
+ ( x
2
x
+ 1)(
x
1)
2
2
- -
PT
+ 2 x
(
2
x
+ 1)(
x
+ 1)
+ (
x
+ 1) 2( x
= x
2
1)
12
4
2
2
=
+
+
(cid:219) - -
ta có
t
(
x
1) 2(
x
2
x
1)
6
1 2
- = (cid:219) 12 0 Đặt t + - t = t = - t
1
2
+
+
+) Với
(
x
1) 2(
x
2
x
= (cid:219) 4
1)
t = ta có:
4
2
+
+
- =
(
2 1) (
2
1) 8
x
x
x
- x
‡ -
1
x
⇒
(cid:219) = x
1
4
+
- = 2
(
x
1)
2(
+ x
1)
8 0
1 = 2 1)
4
x + ( x
‡ - ‡ - (cid:219) -
1
2
+
+
= -
+) Với
ta có:
(
x
1) 2(
x
2
x
1)
6
t = -
6
2
+
+
- =
x
(
2 1) (
x
2
x
1) 18
- x
£ - (cid:219)
1
x
1
x
1
+ 1
19
⇒ = - x
4
2
2
+
+
(
1)
2(
1)
= 18 0
x
+ x
(
1)
= + 1
19
x
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
£ - £ - (cid:219) (cid:219) - - -
![Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8 [mới nhất/hay nhất/chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250806/anhvan.knndl.htc@gmail.com/135x160/54311754535084.jpg)
![Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 tuần 2 đề 2: [Hướng dẫn chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250728/thanhha01/135x160/42951755577464.jpg)
