Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
III. TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TRỤC TỌA ĐỘ
Giả sử có đồ thị hàm số y = f(x) trong đó f(x) hàm phân thức bậc nhất.
Bài toán đặt ra là tìm điểm M thuộc đồ thị có tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ Ox, Oy nhỏ nhất.
Giả sử
(
)
; ( ) ,
M a f a
tổng khoảng cách từ M đến các trục tọa độ là
( )
d a f a
= +
G
ọ
i
(
( )
0 0
0 0
0;
;0
M y
M x
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị
và tr
ụ
c Ox ho
ặ
c Oy (thông th
ườ
ng ta l
ấ
y giao v
ớ
i tr
ụ
c Ox).
Khi
đ
ó
0
0
d y k
= = >
Để
tìm các
đ
i
ể
m M khác M
0
thu
ộ
c
đồ
th
ị
mà có d < k ta ch
ỉ
c
ầ
n tìm các
đ
i
ể
m mà có
( )
1
( )
a k
f a k
<
<
Gi
ả
i (1) ta
đượ
c m < a < n, khi
đ
ó ta c
ũ
ng xác
đị
nh
đượ
c d
ấ
u c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c f(a).
T
ừ
đ
ó
( ) ( )
min
β β
( ) α γ 2β γ 2β γ α
α α
d a f a a d a a M
a a
= + = + + + ≥ + ⇒= + ⇔ + = ⇒→
+ +
Bình luận:
Ngoài cách gi
ả
i s
ử
d
ụ
ng b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cô-si nh
ư
trên, chúng ta có th
ể
dùng
đạ
o hàm
để
gi
ả
i bài toán.
Tuy nhiên, v
ớ
i ph
ươ
ng án này, ta ph
ả
i quan sát
đồ
th
ị
hàm s
ố
kh
ả
o sát
đượ
c
để
đ
ánh giá v
ề
d
ấ
u c
ủ
a y.
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Cho hàm số
( )
−
=+
1
, .
3 1
x
y C
x
Tìm điểm M là thuộc đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhât.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Gọi
( )
( )
1 1
; ;
3 1 3 1
o o
o o o o
o o
x x
M x y C y M x
x x
− −
∈ → = →
+ +
T
ổ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
là
1
3 1
o
o o o
o
x
d x y x x
−
= + = +
+
Xét t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m
(
(
1;0 1.
A C d
∈ → =
Để
tìm
đ
i
ể
m M cho t
ổ
ng kho
ả
ng cách
đế
n các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
nh
ỏ
h
ơ
n 1, ta ch
ỉ
c
ầ
n xét hàm d khi |x
o
| < 1, (vì khi |x
o
| > 1
thì ta luôn có d > 1).
Khi
( )
2 2
2
1
1 3 1 9 6 3
0 1 0
1
3 1 3 1 3 1
3
o
o o o o
o o
o o o
o
x
x x x x
x d x d
x x x
x
= −
− + + −
′
≤ < → = − = → = = ⇔
+ +
=
+
L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên ta
đượ
c
1 2
3 3
min
d d .
= =
Khi
( )
2
2
1 3 2 1 4
1 0 0
3 1 3 1 3 1
o o o
o o
o o o
x x x
x d x d
x x x
− − − + −
′
− < < → = − − = → = <
+ + +
Tr
ườ
ng h
ợ
p này d không
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Kết luận:
Đ
i
ể
m M c
ầ
n tìm
1 1 1 1
3 3 3 3
o o
x ,y M ; .
= = − → −
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Cho hàm số
( )
−
=+
2 4
, .
1
x
y C
x
Tìm điểm M là thuộc đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhât.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
G
ọ
i
( )
2 4
1
a
M a; C
a
−
∈ →
+
T
ổ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
:
2 4
1
−
= +
+
a
d a a
Ta có: V
ớ
i a = 2
→
d = 2, (1)
BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Nếu
2 4
2 2 2, 2
1
−
> → = + ≥ > → > ∀ >
+
a
a d a a d a
a
N
ế
u 2 4 2 4 2 4 2 4
2 2 2, 2
1 1 1 1
− − − −
> → = + ≥ > → > ∀ >
+ + + +
a a a a
d a d
a a a a
Do
đ
ó,
để
tìm GTNN c
ủ
a
d
, ta ch
ỉ
xét :
21
2
2 4 2
2
1
a
a .
a
a
≤
⇔ ≤ ≤
−≤
+
, (*)
V
ớ
i
1 4 2 6 6
2 2 1 3 2 6 3
2 1 1 1
−
< < → = + = − + = + + − ≥ −
+ + +
a
a d a a a
a a a
, (2)
Dấu “=” xảy ra khi
6 1
a
= −
(th
ỏ
a mãn (*)).
T
ừ
(1), (2) suy ra
(
2 6 3 6 1 6 1 2 6
= − ⇔ = − → − −
min
d a M ;
V
ậ
y
đ
i
ể
m M c
ầ
n tìm là
(
6 1 2 6
M ;= − −
IV. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM TRÊN HAI NHÁNH CỦA ĐỒ THỊ
Gi
ả
s
ử
có
đồ
th
ị
hàm s
ố
( )
( ) ( )
= = = +
−
g x k
y f x
α
h x x a
.
Đồ
th
ị
có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng x = a, khi
đ
ó ph
ầ
n
đồ
th
ị
n
ằ
m bên ph
ả
i x = a
đượ
c g
ọ
i là nhánh trái c
ủ
a
đồ
th
ị
, ph
ầ
n
đồ
th
ị
n
ằ
m bên ph
ả
i
đườ
ng x = a
đượ
c g
ọ
i là nhánh ph
ả
i c
ủ
a
đồ
th
ị
.
G
ọ
i
(
)
(
)
1 1 2 2
; ; ;
M x y N x y
t
ươ
ng
ứ
ng là các
đ
i
ể
m thu
ộ
c nhánh trái và nhánh ph
ả
i c
ủ
a
đồ
th
ị
.
Khi
đ
ó
1
1 2 2
0
0
− >
< < ⇔
− >
a x
x a x x a
Kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đ
i
ể
m MN
đượ
c cho b
ở
i
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
= − + − = − + −
− −
k k
MN x x y y x x
x a x a
Đặ
t
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
0
0
= − ⇒> − = −
⇔
= − ⇒> − =
t a x t x a t
t x a t x a t
Thay vào bi
ể
u th
ứ
c tính MN và dùng Cô-si
đ
ánh giá ta thu
đượ
c MN
min
.
Ví dụ:
[ĐVH].
Cho hàm số
( )
+
=−
3
, .
3
x
y C
x
Tìm trên (C) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho độ dài AB ngắn nhất .
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
3 6
1
3 3
+
= = +
− −
x
y
x x
G
ọ
i
1 2
1 2
6 6
;1 ; ;1
3 3
+ +
− −
A x B x
x x
là các
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
( )
2
2
22 1 2 1
6 6
3 3
⇒= − + −
− −
AB x x x x
Gi
ả
s
ử
A thu
ộ
c nhánh trái và B thu
ộ
c nhánh ph
ả
i, khi
đ
ó
1
1 2 2
3 0
3
3 0
− >
< < ⇔
− >
x
x x x
Đặ
t
1 1 1 1 1
2 1 2 1
2 2 2 2 2
3 0 3
3 0 3
= − ⇒> − = −
⇔⇒− = +
= − ⇒> − =
t x t x t
x x t t
t x t x t
Ta có
( )
2
2
2 2 2 2 2
2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
2 1 1 2 1 2
1 2 1 2
6 6 36 36 72 36 36 72
2 2
= + + + = + + + + + = + + + + +
AB t t t t t t t t t t
t t t t t t
t t t t
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
36 36
2 . 12
36 36
2 . 12
72 72
2 2 2 . 24
+ ≥ =
+ ≥ =
+ ≥ =
t t
t t
t t
t t
t t t t
t t t t
Khi đó
2 2 2
1 2 1 2
2 2 1 2
1 2
36 36 72
2 12 12 24 72 6 2
= + + + + + ≥ + + = ⇒≥
AB t t t t AB
t t
t t
( )
( )
2
12
11
1 1
2
min 2 2
2
22 2
1 2
1 2 1 2
36
6
3 6;1 6
6 3 6
36
6 2 6 6 3 6
3 6;1 6
6
72
2
=
=− −
= = −
⇒= ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ →
= = + + +
=
=
tttA
t x
AB t t
tt x A
t t
t t t t
V. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH KẾT HỢP VỚI TƯƠNG GIAO
Cho hàm số
( )
:
ax b
C y
cx d
+
=
+
và đường thẳng d : y = mx + n.
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B khi phương trình ax b
mx n
cx d
+
= +
+ có hai nghiệm phân biệt khác
.
d
c
−
Giả sử
(
)
(
)
; , ;
A A B B
A x y B x y
là các giao
đ
i
ể
m, khi
đ
ó
(
)
(
)
; , ;
A A B B
A x mx n B x mx n
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2
2
2
1 4
1
A B A B
A B A B A B A B
A B
m x x x x
AB x x y y x x m x x
x x m
+ + −
→ = − + − = − + − =
− +
S
ử
d
ụ
ng Vi-ét cho ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m ta
đượ
c k
ế
t qu
ả
c
ủ
a bài toán.
Ngoài cách bi
ế
n
đổ
i trên ta có th
ể
th
ự
c hi
ệ
n nh
ư
sau :
2
2
2
A
A B
B
b
xax x
a a
b
xa
− + ∆
=
′
∆ ∆
→ − = =
− − ∆
=
Khi đó
( )
2 2 2
2
1 . 1 . 1
A B
AB x x m m m
a a
′
∆ ∆
= − + = + = +
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Cho hàm số
( )
+
=−
2 4
: .
1
x
C y
x
Gọi d là đường thẳng đi qua M(1; 1) có hệ số góc là k .Tìm k để d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho
=
3 10.
AB
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Đườ
ng th
ẳ
ng d qua M(1; 3) và có h
ệ
s
ố
góc k nên d : y = k(x
−
1) + 1.
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m:
( ) ( )
2
2 4
1 ( ) 3 2 3 0, 1
1
xkx k g x kx k x k
x
+= + − ⇔ = + − + + =
−
Để
hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B phân bi
ệ
t thì (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khác 1.
Ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
( ) ( ) ( )
2
00
0
3 2 4 3 0 *
9
9 24 0 24
(1) 6 0
kk
k
k k k kk
g
≠
≠
≠
∆ = − − + > ⇔ ⇔
− > <
= ≠
V
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) thì d c
ắ
t (C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B.
Theo
đị
nh lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
3 3 3
3
3 3
1
k
x x
k k
k
x x k k
−
+ = = −
+
= = +
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Gọi
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2
; 3 ; ; 3 1 4
A x kx k B x kx k AB x x k x x k x x x x
+ − + − ⇒= − + − = + + −
Theo gi
ả
thi
ế
t ta có
( )
2
2 2
3 12
3 10 90 1 3 4 90
AB AB k k k
= ⇔ = ⇔ + − − − =
(
(
(
(
2 2 3 2 2
9 24 1 90 24 81 24 9 0 3 3 8 3 1 0
k k k k k k k k k
⇔ − + = ⇔ + + + = ⇔ + + − =
( )
2
3
3
**
3 41
8 3 1 0 16
k
k
k k k
= −
= −
→ ⇔
− ±
+ − = =
V
ậ
y v
ớ
i
k
th
ỏ
a mãn (**) thì
d
c
ắ
t (
C
) t
ạ
i
A, B
và
3 10.
AB =
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Cho hàm số
( )
−
=−
3 2
: .
1
x
C y x
Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1; 3) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
=
2 3.
AB
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Đườ
ng th
ẳ
ng d qua M(1; 3) và có h
ệ
s
ố
góc k nên d : y = k(x
−
1) + 3.
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m:
( )
2
3 2
3 ( ) 2 1 0, 1
1
xkx k g x kx kx k
x
−= + − ⇔ = − + − =
−
Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Ta có điều kiện:
( ) ( )
2
00
' 1 0 0 *
0
(1; ) 1 0
kk
k k k k
k
g k
≠
≠
∆ = − − > ⇔ ⇔ >
>
= − ≠
Gọi
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1
; 3 ; ; 3 1
A x kx k B x kx k AB x x k x x x x k
+ − + − ⇒= − + − = − +
.
Trong
đ
ó x
1
; x
2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1).
T
ừ
đ
ó ta
đượ
c
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 ' 2
. 1 . 1 2 3 1 3 1 3
∆
= + = + = ⇔ + = ⇔ + =
k
AB k k k k k k k k
a k
2 2
3 5
1 3 3 1 0
2
k k k k k ±
⇔ + = ⇔ − + = ⇔ = .
Đố
i chi
ế
u v
ớ
i (*) ta
đượ
c
3 5
2
k±
= là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví dụ 3:
[ĐVH].
Cho hàm số
( )
=
−
2
: .
1
x
C y x
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y = mx
−
−−
−
m + 2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m:
( )
2
2
2 ( ) 2 2 0, 1
1
xmx m g x mx mx m
x
= − + ⇔ = − + − =
−
Để
hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B phân bi
ệ
t thì (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khác 1.
Ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
( ) ( )
2
00
' 2 0 0 *
2 0
(1) 2 0
mm
m m m m
m
g
≠
≠
∆ = − − > ⇔ → >
>
= − ≠
Gi
ả
s
ử
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1
; 2 ; ; 2 1
A x mx m B x mx m AB x x m x x x x m
− + − + → = − + − = − +
(
(
2 2
2 2
2
2 1 2 1
2 ' 2 2
. 1 . 1 2 2 2 4 4
m m m
m
AB m m
a m m m
+ +
∆
⇔ = + = + = = ≥ =
.
V
ậ
y AB
min
= 4 khi m = 1.
Ví dụ 4:
[ĐVH].
Cho hàm số
( )
+
=+
2 1
: .
2
x
C y x
Tìm m để đường thẳng d : y =
−
−−
−
x + m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Phương trình hoành độ giao điểm: :
( )
2
2 1
( ) (4 ) 1 2 0, 1
2
xx m g x x m x m
x
+= − + ⇔ = + − + − =
+
Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác −2.
Ta có điều kiện:
( ) ( ) ( )
2
2
12 0
4 4 1 2 0 3
*
32
( 2) 2 3 0 2
m
m m m
m
g m
+ >
∆ = − − − >
⇔ → ≠
≠
− = − ≠
Gi
ả
s
ử
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 2 2 2 1 1 2 2 1
; ; ; 2
A x x m B x x m AB x x x x x x
− + − + → = − + − = −
2
2 1
2 2 2. 12 2 12 2 6 0
AB x x m m
⇔ = − = ∆ = + ≥ = ⇔ =
.
Khi m = 0 thì AB nh
ỏ
nh
ấ
t b
ằ
ng
2 6.
VI. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH KẾT HỢP VỚI TIẾP TUYẾN
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Cho hàm số
( )
+
= = +
− −
2 1 5
: 2 .
2 2
x
C y x x
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1). Hãy tìm trên (C) những điểm có hoành độ x > 1 mà khoảng cách từ đó
đến d là ngắn nhất.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có :
( )
2
5 5
(0) .
4
2
′ ′
= − ⇒= −
−
y y
x
Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n d t
ạ
i M :
( )
5 5
0 1 1 5 4 4 0
4 4
= − − + = − + ⇔ + − =
y x x x y
G
ọ
i
(
)
; ( )
∈
M x y C
v
ớ
i x > 1. Kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n d là d
(M; d)
thì
( ; )
5 4 4
1 1 5 1 20
5 4 4 5 4 2 4 5 4
2 2
25 16 41 41 41
− +
⇒
= = − + = + + − = + +
− −
+
M d
x y
d x y x x
x x
( ) ( )
2
0
20 20
( ) 5 4 , 1 ; '( ) 5 0
4
22
=
⇒
= + + > = − = ⇔
=
−−
x
g x x x g x x
xx
L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên, ta th
ấ
y min g(x) = g(4) = 34
K
ế
t lu
ậ
n :
( ; )
34
min
41
=
M d
h khi
9 9
4; 4; .
2 2
= = ⇒
x y N
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Cho hàm số
( )
+
=−
2 1
: .
2
x
C y x
Tìm hai điểm M, N thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M, N song song với nhau và khoảng cách giữa hai tiếp
tuyến là lớn nhất.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
( )
2
2 1 5 5
2 .
2 2
2
+′
= = + ⇒= −
− − −
x
y y
x x x
G
ọ
i
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
1
1 1 2 2 1 2
2
2
5
2
; ; ; , 5
2
= −
−
∈ ≠ ⇒
= −
−
M
N
kx
M x y N x y C x x
kx
N
ế
u hai ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i nhau thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
2 1 2 1 2 1
2 2
1 2
5 5
2 2 0 4 0
2 2
= ⇔ − = − ⇔ − − − = ⇔ − + − =
− −
M N
k k x x x x x x
x x
1 2 1 2
4 0 2 2
⇔ + − = ⇔ − = −
x x x x
Kho
ả
ng cách hai ti
ế
p tuy
ế
n ng
ắ
n nh
ấ
t khi MN vuông góc v
ớ
i hai ti
ế
p tuy
ế
n
(
. 1 *
⇔ = −
MN M
k k
Trong
đ
ó
( )
(
( )( )( ) ( )( )
2 1
2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
5
1 5 5 5
2 2
2 2 2 2 2 2
− −
−
= = + − + = = −
− − − − − − − − −
MN
x x
y y
kx x x x x x x x x x x x