Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
I. TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
1)
( )
4
3
1
4 .
x x dx
+
∫
2)
( )
4
3
0
2 2 1 .
x x dx
+ +
∫
3)
9
1
1
2 x + .
x
dx
∫
4)
(
2
4
3
1
1
.
x
dx
x
−
∫
Lời giải:
1)
( )
44
43
4 4 4 4
3 3 3 3
2
11
1
2 8 4 8 1 8 989
4 4. 4 1
4 3 4 3 4 3 4 3 12
x x
x x dx x x
+ = + = + = + − + =
∫
2)
( )
( )
44 4
2 2
4
3 3
3
0 0
0
3 1 3
2 2 1 2. 2 . . 2 24 0 24
2 4 2 2 2
x x
x x dx x x x x x
+ + = + + = + + = − =
∫
3)
9 9 9 9
1 1 3 1
3 3 3
2 2 2 2
1 1
1 1
1 2 4 4 4 116
2 x + 2 +x 2. 2 2 9 2 9 1 2 1
3 3 3 3 3
xdx x dx x x x x
−
= = + = + = + − + =
∫ ∫
4)
(
2
4 4 4 4
4
5 3
3 2
2 2
3 3 2 3 2
5
1
1 1 1 1
12 1 1 2 1 1 1 2 1
2 2. 3 2
xx x
dx dx dx x x dx x x
x x x x x x
x
− −
− −
−
− +
= = − + = − + = − + −
∫ ∫ ∫ ∫
4
2 2 2
3 3 3
1
1 4 1 1 4 1 4 1 11 1 5
1
2 4 2.4 2.1 96 6 96
3 3 4 3 1
x x
x
= − + − = − + − − − + − = − + =
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Tính các tích phân sau:
1)
4
2
0
sin .
2
x
dx
π
∫
2)
4
2
0
cos
dx
x
π
∫
3)
3
2
4
tan
cos
xdx
x
π
π
∫
4)
2
3
4
0
tan
cos
xdx
x
π
∫
Lời giải:
1)
( ) ( ) ( )
4 4 4
2
0 0 0
1 1 1 1 2
sin 1 cos sinx sin 0 sin 0
2 2 2 2 4 4 2 8 4
xdx x dx x
π π π
π π π
= − = − = − − − = −
∫ ∫
2)
( )
44
2
00
tan tan tan 0 1
4
cos
dx x
x
ππ
π
= = − =
∫
3)
( )
2
3 3 3
2
4 4 4
tan tan 3 1
tan . tan 1
cos 2 2 2
xdx x
x d x
x
π π π
π π π
= = = − =
∫ ∫
4)
( ) ( )
2 2
2 5 3 5 3
3 3 3 3
4 2
4 2
0 0 0 0
tan tan 1
tan tan tan 3 3 14 3
tan tan (tan )
cos cos 5 3 5 3 5
x x dx
xdx x x
x x d x
x x
π π π π
+
= = + = + = + =
∫ ∫ ∫
Ví dụ 3:
[ĐVH].
Tính các tích phân sau:
1)
42
2
2 5
.
1
x x
dx
x
− +
−
∫
2)
2
1
ln
.
e
x
dx
x
∫
3)
2
2
1
1 1
.
e
x x dx
x x
+ + +
∫
Lời giải:
10. MỞ ĐẦU VỀ TÍCH PHÂN
Th
ầy Đặng Việt H
ùng
[ĐVH]
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
1)
(
( )
4 4 4 4
2
2
2
2 2 2
2 1 1 6
2 5 6
2 1 6ln 1 20 6ln 3 6 14 6ln 3
1 1 1
x x x
x x dx dx x dx x x x
x x x
− + − +
− +
= = + + = + + − = + − = +
− − −
∫ ∫ ∫
2)
2 3
2
1
1 1
ln ln 1 1
ln . (ln ) 0
3 8.3 24
e e e
x x
dx x d x
x
= = = − =
∫ ∫
3)
2 3 2 3 3 2
2
2
1
1
1 1 1 1 1 1 1 7
ln 1 1
2 3 2 3 2 3 3 2 6
ee
x x e e e e
x x dx x
x x x e e
+ + + = + − + = + − + − − + = + − −
∫
II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PP VI PHÂN
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Tính các tích phân sau:
1)
2
2 3
0
1 .
x x dx
+
∫
2)
( )
23
2
0
4 .
x x dx
+
∫
3)
12
3
0
3
.
2
x
dx
x+
∫
4)
19
32
0
.
8
xdx
x
+
∫
Lời giải:
1)
( ) ( ) ( )
22
2 2 33
2 3 3 3 3 3
2
0
0 0 0
1 1 2 2 54
1 1 1 . 1 1 6.
3 3 3 9 9
x x dx x d x x x
+ = + + = + = + = =
∫ ∫
2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
2
2 2 52 2
3 3
2 2 2 2 2
0 0
0 0
4
1 1 2 128 2 32
4 4 4 . 4
2 2 5 5 5
x
x x dx x d x x +−
+ = + + = + = =
∫ ∫
3)
( )
(
1 1
21
3 3
3 3 0
0 0
3 1
2 2 2 2 3 2 2
2 2
xdx d x x
x x
= + = + = −
+ +
∫ ∫
4)
(
)
( ) ( )
2
19 19 219 19
2
2 2
3
3
3 32 2
0 0 0 0
8
1 1 3 3 27 15
. . 8 8 3
2 2 2 4 4 4
8 8
d x
xdx x x
x x
+
= = + = + = − =
+ +
∫ ∫
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Tính các tích phân sau:
1)
3
3
0
sin
.
cos
x
dx
x
π
∫
2)
2
4
3
sin cos .
x xdx
π
π
∫
3)
4
0
sin 4 os4 .
x c xdx
π
∫
4)
4
4
0
tan
.
cos
x
dx
x
π
∫
Lời giải:
1)
( )
3 3 3 23
3 2
0 0 0 0
sin tan tan 3
tan . tan
2 2
cos cos
x x x
dx dx x d x
x x
π π π π
= = = =
∫ ∫ ∫
2)
( )
5
2 2 52
4 4
3
3 3
sin 1 1 3 1 9 3
sin cos sin . sin .
5 5 5 2 5 160
x
x xdx x d x
π π π
π
π π
= = = − = −
∫ ∫
3)
( ) ( )
3
4 4 4 4
3
2
0 0 0 0
1 1 2 1
sin 4 os4 sin 4 sin 4 . sin 4 sin 4 0
4 4 3 6
x c xdx x d x x x
π π π π
= = = =
∫ ∫
4)
( )
( )
7 3
4 4 4
22 2
4
0 0 0
tan 2 2 20
tan tan 1 tan tan tan
cos 7 3 21
xdx x x d x x x
x
π π π
= + = + =
∫ ∫
Ví dụ 3:
[ĐVH].
Tính các tích phân sau:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
1)
2
ln 3
1
.
x
e
dx
x
∫
2)
42tan
2
0
.
cos
π
∫
x
e
dx
x
3)
( )
1
.
3ln 2
e
dx
x x +
∫
4)
1
1 ln
.
e
x
dx
x
+
∫
Lời giải:
1)
( )
2 2 2 2
ln 3 ln 3 ln 3 ln 3
1
1 1 1
2. 2. 2 6 2
2
x x x x
e e
dx dx d e e e
x x
= = = = −
∫ ∫ ∫
2)
( )
π π π
π
4 4 4
2tan
2 tan 2 tan 2 tan 2
4
20
0 0 0
1 1 1
(tan ) (2 tan ) 1
2 2 2
cos
= = = = −
∫ ∫ ∫
xx x x
edx e d x e d x e e
x
3)
( )
(
1
1 1
3ln 2
1 1 ln 5 ln 2 1 5
ln 3ln 2 .ln
3ln 2 3 3ln 2 3 3 3 2
e e e
d x
dx x
x x x
+−
= = + = =
+ +
∫ ∫
4)
( ) ( ) ( )
33
2
1 1
1 1
1 ln 2 2 4 2 2
1 ln . 1 ln . 1 ln 1 ln
3 3 3
e e e e
xdx x d x x x
x
+ −
= + + = + = + =
∫ ∫
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
[ĐVH].
Tính các tích phân sau
1)
4
1
∫
dx
x
2)
12
0
2 3
2
− +
−
∫
x x
dx
x
3)
π
3
0
π
sin 2 3
+
∫
x
dx
4)
π
2
2
π
4
sin 2
∫
xdx
5)
( )
π
3
2
0
cos 2 sin
−
∫
x x dx
6)
6
2
0
cos
2
π
∫
dx
x
Bài 2:
[ĐVH].
Tính các tích phân sau
1)
π
2
4
π
6
sin
∫
dx
x
2)
π
6
2
π
3
sin
2
−
−
∫
dx
x
3)
π
2
4
2
π
6
cot
sin
∫
xdx
x
4)
4
0
2 1
+
∫
dx
x
5)
2
1
1
4 3
−
+
∫
x
dx
x
6)
2
0
4 1
3
+
−
∫
x
dx
x
Bài 3:
[ĐVH].
Tính các tích phân sau
1)
1
2
0
1
3 2
+
+
∫
x dx
x
2)
2
1
ln
∫
e
x
dx
x
4)
ln 2
2
0
∫
x
e dx
4)
2
ln 3
1
∫
x
xe dx
5)
2
ln 2
1
∫
x
e
dx
x
6)
8
32
1
1
4
3
−
∫
x dx
x
Bài 4:
[ĐVH].
Tính các tích phân sau
1)
3
4
2 3
0
5
+
∫
x x dx
2)
1
2
2
0
1−
∫
x x dx
3)
4
0
2 1
+
∫
dx
x
4)
6
3
1
2
−
+
∫
dx
x
5)
1
2
2
5 2
−
−
∫
x dx
6)
22
3
3
1
3 5
+
∫
x dx
Bài 5:
[ĐVH].
Tính các tích phân sau
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
1)
( )
1
2
2
0
5
4+
∫
x
dx
x
2)
1
2
2
0
1−
∫
xdx
x
3)
22
33
0
3
1+
∫
x
dx
x
4)
4
2
0
9
+
∫
x x dx
5)
π
2
π
4
cos
∫
x
dx
x
6)
π
2
0
cos sin
∫
x xdx
Bài 6:
[ĐVH].
Tính các tích phân sau
1)
π
2
3
π
6
sin cos
∫
x xdx
2)
π
2
3
0
sin cos
∫
x xdx
3)
π
3
3
2
0
tan
cos
∫
x
dx
x
4)
π
3
2
2
π
4
cot
sin
∫
x
dx
x
5)
π
6
2
π
4
cot
sin
∫
x
dx
x
6)
( )
π
2
2
π
6
3cos
1 5sin
−
∫
xdx
x
Bài 7:
[ĐVH].
Tính các tích phân sau
1)
π
2
π
6
cos
4sin x 1
−
∫
xdx
2)
3
1
ln
∫
e
x
dx
x
3)
π
2
0
sin
1 3cos
+
∫
xdx
x
4)
2
1
1
0
.+
∫
x
x e dx
5)
π
2 tan
2
2
0cos
∫
x
e
dx
x
6)
( )
π
2
sinx
0
cos cos
+
∫
e x xdx
Bài 8:
[ĐVH].
Tính các tích phân sau
1)
2ln 3
1
+
∫
ex
e
dx
x
2)
π
2
0
cos 1 4sin
+
∫
x x dx
3)
2
1
1 ln+
∫
e
x
dx
x
4)
1
2 ln
2
+
∫
e
x
dx
x
5)
( )
π
6
3
0
cos
2sin 1
+
∫
xdx
x 6)
π
2
π
3
6cos 1sin+
∫
x xdx