zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 4) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Thị Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Báo xấu

211
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 4) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về nguyên hàm lượng giác thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 4) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P4 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Dạng 3. Nguyên hàm lượng giác của hàm tan và cot Cách giải: Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx thì ta thường dùng hằng đẳng thức  1  2 1  cos 2 x = 1 + tan x  tan x = 1 − cos 2 x 2   →  1 = 1 + cot 2 x cot 2 x = 1 − 1  sin 2 x  sin 2 x Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx: A sin 2 x + B sin x.cos x + C.cos 2 x thì ta chia cả tử và mẫu cho cos2x hoặc sin2x. Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: c) I 3 = ∫ ( tan 3 x + tan x ) dx dx a) I1 = ∫ tan 2 x dx b) I 2 = ∫ tan 3 x dx d) I 4 = ∫ cos 4 x Hướng dẫn giải:  1  a) I1 = ∫ tan 2 x dx = ∫  1 − 2  dx = x − tan x + C.  cos x  b) Xét I 2 = ∫ tan 3 x dx Cách 1:  1  dx tan 2 x sin x dx I 2 = ∫ tan 3 x dx = ∫ tan 2 x.tan x dx = ∫  2 − 1  tan x dx = ∫ tan x. 2 − ∫ tan xdx = −∫ =  cos x  cos x 2 cos x tan 2 x d (cosx) tan 2 x = +∫ = + ln cos x + C. 2 cos x 2 Cách 2: I 2 = ∫ tan 3 x dx = ∫ sin 3 x sin 2 x.sin xdx (1 − cos2 x ).d (cos x) = − d (cos x) + d (cos x) = 1 + ln cos x + C. cos3 x dx = ∫ cos3 x = − ∫ cos3 x ∫ cos3 x ∫ cos x 2cos2 x Bình luận: Nhìn vào hai kết quả thu được từ hai phương án tính khác nhau, thoạt nhìn gây chúng ta cho cảm giác không biết cách nào đúng, cách nào sai. Nhưng quan sát kĩ, và thực hiện một phép biến đổi đơn giản ta thu được ngay cùng kết quả. tan 2 x 1 1  1 1 Thật vậy, + ln cos x + C =  2 − 1  + ln cos x + C = 2 + ln cos x + C − . 2 2  cos x  2 cos x 2  1 ′ Do  C −  = ( C )′ = 0 nên thực chất hai nguyên hàm có cùng kết quả.  2  1  c) I 3 = ∫ ( tan 3 x + tan x ) dx = ∫ tan 3 x dx + ∫ tan x dx = ∫ tan 2 x.tan x dx + ∫ tan x dx = ∫  2 − 1 .tan x dx + ∫ tan x dx =  cos x  dx tan 2 x = ∫ tan x. cos 2 x ∫ ∫ − tan x dx + tan x dx = + C. 2 Bình luận: Cách giải bài trên là dựa vào cách giải truyền thống cho dạng toán này. Với các nguyên hàm có chứa tannx thì thông  1  1 thường ta tách theo sơ đồ: tan n x = tan n − 2 x.tan 2 x = tan n − 2 x.  2 − 1 = tan n − 2 x. 2 − tan n − 2 x... với n > 2.  cos x  cos x Quá trình tách cứ tiếp diễn đến cuối cùng xuất hiện tanx hoặc tan2x, mà cách nguyên hàm này đều có công thức tính. Tuy nhiên, với bài toán trên có một đặc điểm riêng mà ta có thể trình bày cách giải ngắn gọn hơn như sau: Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 I 3 = ∫ ( tan 3 x + tan x ) dx = ∫ ( tan 2 x + 1) tan x dx = ∫ tan x. dx tan 2 x ( ) cos 2 x ∫ = tan x.d tan x = + C. 2 d) I 4 = ∫ dx 1 dx cos 4 x ∫ cos 2 x cos 2 x ∫ = = (1 + tan 2 x ) d ( tan x ) = tan x + tan 3 x 3 + C. Bình luận: Với những nguyên hàm có xuất hiện tanx kèm theo cos2nx ở mẫu số thì ta sử dụng phép phân tích như sau  1  cos 2 n x = cos 2 n − 2 x . cos 2 x = ( tan x + 1) . cos 2 x 1 1 2 n −1 1   dx = d ( tan x )  cos 2 x Dựa trên phép phân tích như trên ta có thể mở rộng thêm một số bài toán như sau: 2  1  dx dx 1 dx ( ) ( ) tan 5 x 2 tan 3 x 2 J1 = ∫ 6 = ∫ 4 . 2 = ∫  2  2 = ∫ 1 + tan 2 x d tan x = + + tan x + C. cos x cos x cos x  cos x  cos x 5 3 tan 2010 x tan 2013 x tan 2011 x J2 = ∫ cos 4 x dx = ∫ tan 2010 x. 1 . dx cos 2 x cos 2 x ∫ = tan 2010 x . (1 + tan 2 x ) d ( tan x ) = 2013 + 2011 + C. Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: dx dx a) I 5 = ∫ 3 b) I 6 = ∫ sin x.cos5 x 3 sin 5 x.cos x dx dx c) I 7 = ∫ d) I8 = ∫ 2sin x − 5sin x cos x − 3cos 2 x ( cos x − ) 2 2 3 sin x Hướng dẫn giải: dx dx 1  1  dx 3 (1 + tan 2 x )3 a) I 5 = ∫ = ∫ = ∫   = ∫ d ( tan x ) = sin x.cos5 x ( ) cos x tan 3 x  cos 2 x  cos 2 x ( tan x )3 3 3 sin x 8 cos x 2 4 6 1 + 3tan x + 3tan x + tan x  3 3  d ( tan x ) = ( tan x ) + + 3tan x + tan x  d ( tan x ) = −3 = ∫ tan x 3  ∫tan x  2 4 2 4 1 3tan x tan x 1 3tan x tan x =− 2 + 3ln tan x + + + C  → I5 = − 2 + 3ln tan x + + + C. 2tan x 2 4 2tan x 2 4 dx 1 dx −5 3 −2 −3 ( ) 3 d ( tan x ) = − ( tan x ) 3 + C = b) I 6 = ∫ = ∫ ⋅ = tan ∫ x + C. ( ) 2 3 5 sin x.cos x sin x 5 cos x 2 3 2 2 tan x 3 cos x Bình luận: Trong cả hai nguyên hàm I5 và I6 ở trên chúng ta dễ dàng nhận thấy đặc điểm chung của hai nguyên hàm là mẫu số có chứa sinx và cosx với tổng lũy thừa là một số chắn. Phương pháp giải trên là cách giải tổng quát cho dạng nguyên hàm này. Tuy nhiên, nếu tổng lũy thừa quá lớn thì bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều! dx c) I 7 = ∫ 2sin x − 5sin x cos x − 3cos 2 x 2 Ở mẫu số ta thấy có dạng biểu thức đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx. Trong chuyên đề về phương trình lượng giác ta cũng biết cách giải cho loại phương trình đẳng cấp bậc hai này, với nguyên hàm cũng tương tự. Chia cả tử và mẫu số dx cos 2 x d ( tan x ) dt cho cos x ta được: I 7 = ∫ 2 =∫ =∫ 2 ; (t = tan x ). 2 2sin x 5sin x cos x 3cos x 2 2 tan x − 5 tan x − 3 2 2t − 5t − 3 − − cos 2 x cos 2 x cos 2 x dt (2t + 1) − 2(t − 3) 1 dt 1 2dt 1 t −3 1 tan x − 3  → I7 = ∫ =∫ dt = ∫ − ∫ = ln + C = ln + C. (t − 3)(2t + 1) 7.(t − 3)(2t + 1) 7 t − 3 7 2t + 1 7 2t + 1 7 2 tan x + 1 ( ) dx dx cos 2 x d ( tan x ) −1 d 1 − 3 tan x 1 d) I8 = ∫ = ∫ = = ∫ = ∫+ C. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 cos x − 3 sin x 1 − 3 tan x 1 − 3 tan x 3 1 − 3 tan x 3 1 − 3 tan x Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bình luận: Mẫu số trong nguyên hàm trên có dạng là một biểu thức lượng giác khá đặc biệt, thế nên ta cũng có thể tìm ra một 1 3   π cách giải đặc biệt khác. Thật vậy, cos x − 3 sin x = 2  cos x − sin x  = 2cos  x +  . 2 2   3  π dx+   π = ∫  dx dx 1 3 1 Từ đó I 8 = ∫ =∫ = tan  x +  + C. ( cos x − )   4   4 2 3 sin x π 4 cos 2  x +  π cos 2  x +   3  3   3  Bằng phép biến đổi lượng giác cho cách giải trên, hoặc khai triển công thức lượng giác cho cách giải dưới ta sẽ thu được cùng một kết quả. Nếu các em không tự tin với khẳng định đó thì thầy sẽ chứng minh điều này. 1  π 1 tan x + tan π 3 + C = 1 . tan x + 3 + C = − 1 3 1 − 3 tan x + 3 +( 1 3 +C = ) Thật vậy, tan  x +  + C = . 4  3  4 1 − tan x.tan π 4 1 − 3 tan x 4 1 − 3 tan x ( ) 3 4 1 1 1  1 ′ ′  = ( C ) = 0. =− + 3 +C = +C − , rõ ràng  C − ( 4 3 4 1 − 3 tan x ) 3 1 − 3 tan x ( 4 3 )  4 3 Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: cos x dx dx a) I 9 = ∫ cot 4 x dx b) I10 = ∫ c) I11 = ∫ sin 5 x 1 + sin 2 x Hướng dẫn giải:  1  dx a) I 9 = ∫ cot 4 x dx = ∫ cot 2 x.cot 2 x dx = ∫  2 − 1 cot 2 x dx = ∫ cot 2 x 2 − ∫ cot 2 x dx =  sin x  sin x  1  − cot 3 x − cot 3 x = − ∫ cot 2 x d ( cot 2 x ) − ∫  2 − 1 dx = dx − ∫ 2 + ∫ dx = + cot x + x + C.  sin x  3 sin x 3 cos x dx 2) Xét I10 = ∫ sin 5 x Cách 1: cos x dx d (sin x) −1 I10 = ∫ 5 =∫ 5 = + C. sin x sin x 4sin 4 x Cách 2: I10 = ∫ cos x dx sin 5 x = cos x dx ∫ sin x sin 4 x ∫ . = cot x. 1 . dx sin 2 x sin 2 x = − ∫ cot x. (1 + cot 2 x ) .d (cot x ) = − cot 4 x cot 2 x 4 − 2 + C. Bình luận: Bằng phép xử lý lượng giác đơn giản ta cũng thu được cùng kết quả với hai cách giải trên. Tương tự như nguyên hàm của tanx, với nguyên hàm cotx mà có chứa sin2nx thì ta cũng sử dụng thủ thuật phân tích  1 1 1 ( ) n −1 1  sin 2 n x = sin 2 n − 2 x . sin 2 x = 1 + cot x . sin 2 x 2  để đưa về nguyên hàm cơ bản có chứa cotx và cot2x đã biết.  dx = − d ( cot x )  sin 2 x  π dx+   π = ∫  dx dx dx 1 4 1 c) I11 = ∫ =∫ =∫ = − cot  x +  1 + sin 2 x ( sin x + cos x )  π 2  π 2 2sin 2  x +  sin 2  x +  2  4  4   4  d ( A sin x + B cos x + C ) = ( Acos x − B sin x ) dx Dạng 4. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân  d ( A' sin x − B' cos x + C' ) = ( A' cos x + B' sin x ) dx Cách giải: Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 ± sin 2 x = ( sin x ± cos x ) 2 Các nguyên hàm dạng này thường sử dụng một số công thức lượng giác  cos 2 x = cos x − sin x 2 2 Để tìm nguyên hàm, ta thường tìm vi phân của mẫu số: d ( A sin x + B cos x + C ) = ( A cos x − B sin x ) dx Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: cos x − sinx cos 2 x dx a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ sinx + cos x 1 + sin 2 x c) I 3 = ∫ cos 2 x dx d) I 4 = ∫ ( sin 2 x + 2cos 4 x ) dx ( sin x + cos x ) cos 2 x − sin 4 x 3 Hướng dẫn giải: d ( sin x + cos x ) a) Ta có d ( sin x + cos x ) = ( cos x − sin x ) dx  → I1 = ∫ = ln sin x + cos x + C. sin x + cos x cos 2 x dx cos 2 x − sin 2 x cos x − sin x d ( sin x + cos x ) b) I 2 = ∫ =∫ dx = ∫ dx = ∫ = ln sin x + cos x + C. 1 + sin 2 x ( sin x + cos x ) sin x + cos x sin x + cos x 2 Bình luận: 1 1 Do cos2xdx = d ( sin 2x ) = d ( 1 + sin 2x ) nên ta còn có thể giải theo cách lấy vi phân trực tiếp như sau: 2 2 cos2x dx 1 d ( 1 + sin 2x ) 1 1 I2 = ∫ = ∫ = ln 1 + sin 2x + C = ln ( sin x + cos x ) + C = ln sin x + cos x + C. 2 1 + sin 2x 2 1 + sin 2x 2 2 cos 2 x dx cos 2 x − sin 2 x cos x − sin x d ( sin x + cos x ) −1 c) I 3 = ∫ =∫ dx = ∫ dx = ∫ = + C. ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) sin x + cos x 3 3 2 2 d) Xét I 4 = ∫ ( sin 2 x + 2cos 4 x ) dx cos 2 x − sin 4 x d ( cos 2 x − sin 4 x ) Vi phân mẫu số ta có d ( cos 2 x − sin 4 x ) = ( −2sin 2 x − 4cos 4 x ) dx  → ( sin 2 x + 2cos 4 x ) dx = − 2 Từ đó ta được I 4 = ∫ ( sin 2 x + 2cos 4 x ) dx = − 1 d ( cos 2 x − sin 4 x ) 1 2∫ = − ln cos 2 x − sin 4 x + C. cos 2 x − sin 4 x cos 2 x − sin 4 x 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 2 sin x dx dx 1) I1 = ∫ dx 2) I 2 = ∫ 3) I 3 = ∫ 1 + cos 2 x sin x cos3 x 3 (sin x − 2cos x) 2 dx dx dx 4) I 4 = ∫ sin 2 x − 6cos 2 x 5) I 5 = ∫ sin 2 x − 9cos 2 x 6) I 6 = ∫ sin 2 x − 2cos 2 x + 1 2cos x − 3sin x 7) I 7 = ∫ ( cot 3 x + cot x ) dx dx 8) I 8 = ∫ dx 9) I 9 = ∫ 2sin x − 3cos x + 1 sin 2 x − 4 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.