Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Dạng 3. Nguyên hàm lượng giác của hàm tan và cot
Cách giải:
Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx thì ta thường dùng hằng đẳng thức
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 tan tan 1
cos cos
1 1
1 cot cot 1
sin sin
x x
x x
x x
x x
= + = −
→
= + = −
Nguyên hàm mà m
ẫ
u s
ố
là
đẳ
ng c
ấ
p b
ậ
c hai v
ớ
i sinx và cosx:
2 2
sin sin .cos .cos
A x B x x C x
+ + thì ta chia c
ả
t
ử
và
m
ẫ
u cho cos
2
x ho
ặ
c sin
2
x.
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Tính các nguyên hàm sau:
a)
2
1
tan
=
∫
b)
3
2
tan
I x dx
=
∫
c)
(
)
3
3
tan tan
I x x dx
= +
∫
d)
44
cos
dx
I
x
=
∫
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
2
12
1
tan 1 tan .
cos
I x dx dx x x C
x
= = − = − +
∫ ∫
b)
Xét
3
2
tan
I x dx
=
∫
Cách 1:
2
3 2
22 2
1 tan sin
tan tan .tan 1 tan tan . tan
cos cos 2 cos
dx x x dx
I x dx x x dx x dx x xdx
x x x
= = = − = − = − =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 2
tan ( os ) tan
ln cos .
2 cos 2
x d c x x
x C
x
= + = + +
∫
Cách 2:
(
)
2
3 2
3
23 3 3 3 2
1 os . (cos )
sin sin .sin (cos ) (cos ) 1
tan ln cos .
cos cos cos cos cos 2cos
c x d x
x x xdx d x d x
I x dx dx x C
x x x x x x
−
= = = = − = − + = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Bình luận:
Nhìn vào hai k
ế
t qu
ả
thu
đượ
c t
ừ
hai ph
ươ
ng án tính khác nhau, tho
ạ
t nhìn gây chúng ta cho c
ả
m giác không bi
ế
t
cách nào
đ
úng, cách nào sai. Nh
ư
ng quan sát k
ĩ
, và th
ự
c hi
ệ
n m
ộ
t phép bi
ế
n
đổ
i
đơ
n gi
ả
n ta thu
đượ
c ngay cùng k
ế
t
qu
ả
.
Th
ậ
t v
ậ
y, tan
ln cos ln cos ln cos .
cos cos
2
2 2
x 1 1 1 1
x C 1 x C x C
2 2 x 2 x 2
+ + = − + + = + + −
Do
( )
1
0
2
C C
′
′
− = =
nên th
ự
c ch
ấ
t hai nguyên hàm có cùng k
ế
t qu
ả
.
c)
( )
3 3 2
32
1
tan tan tan tan tan .tan tan 1 .tan tan
cos
I x x dx x dx x dx x x dx x dx x dx x dx
x
= + = + = + = − + =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
2
tan
tan . tan tan .
cos 2
dx x
x x dx x dx C
x
= − + = +
∫ ∫ ∫
Bình luận:
Cách gi
ả
i bài trên là d
ự
a vào cách gi
ả
i truy
ề
n th
ố
ng cho d
ạ
ng toán này. V
ớ
i các nguyên hàm có ch
ứ
a tannx thì thông
th
ườ
ng ta tách theo s
ơ
đồ
:
2 2 2 2 2
2 2
1 1
tan tan .tan tan . 1 tan . tan ...
cos cos
n n n n n
x x x x x x
x x
− − − −
= = − = −
v
ớ
i n > 2.
Quá trình tách c
ứ
ti
ế
p di
ễ
n
đế
n cu
ố
i cùng xu
ấ
t hi
ệ
n tanx ho
ặ
c tan2x, mà cách nguyên hàm này
đề
u có công th
ứ
c tính.
Tuy nhiên, v
ớ
i bài toán trên có m
ộ
t
đặc điểm riêng
mà ta có th
ể
trình bày cách gi
ả
i ng
ắ
n g
ọ
n h
ơ
n nh
ư
sau:
07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P4
Th
ầy Đặng Việt H
ùng
[ĐVH]
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
( ) ( )
( )
2
3 2
32
tan
tan tan tan 1 tan tan . tan . tan .
cos 2
dx x
I x x dx x x dx x x d x C
x
= + = + = = = +
∫ ∫ ∫ ∫
d)
( )
( )
3
2
44 2 2
1 tan
1 tan tan tan .
cos cos cos 3
dx dx x
I x d x x C
x x x
= = = + = + +
∫ ∫ ∫
Bình luận:
Với những nguyên hàm có xuất hiện tanx kèm theo cos
2n
x ở mẫu số thì ta sử dụng phép phân tích như sau
( )
( )
1
2
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1
. tan 1 .
cos cos cos cos
tan
cos
n
n n
x
x x x x
dx d x
x
−
−
= = +
=
D
ự
a trên phép phân tích nh
ư
trên ta có th
ể
m
ở
r
ộ
ng thêm m
ộ
t s
ố
bài toán nh
ư
sau:
( )
( )
25 3
2
2
16 4 2 2 2
1 1 tan 2 tan
. 1 tan tan tan .
cos cos cos cos cos 5 3
dx dx dx x x
J x d x x C
x x x x x
= = = = + = + + +
∫ ∫ ∫ ∫
( )
( )
2010 2013 2011
2010 2010 2
24 2 2
tan 1 tan tan
tan . . tan . 1 tan tan .
cos cos cos 2013 2011
x dx x x
J dx x x x d x C
x x x
= = = + = + +
∫ ∫ ∫
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Tính các nguyên hàm sau:
a)
53 5
sin .cos
dx
I
x x
=
∫
b)
635
sin .cos
dx
I
x x
=
∫
c)
72 2
2sin 5sin cos 3cos
dx
I
x x x x
=− −
∫
d)
( )
8
2
cos 3 sin
dx
I
x x
=−
∫
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
()
( )
( ) ( )
3
32
53 5 3 3 2 2 3
8
1 1 1 tan tan
sin .cos tan cos cos
sin tan
cos
cos
dx dx dx x
I d x
x x x x x
x x
x
x
+
= = = = =
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
2 4 6
3
3
3
1 3tan 3tan tan 3
tan tan
tan 3tan tan
tan
tan
x x x
d x d x
x x x
x
x
−
+++
= = =
+ + +
∫ ∫
2 4 2 4
5
2 2
1 3tan tan 1 3tan tan
3ln tan 3ln tan .
2 4 2 4
2tan 2tan
x x x x
x C I x C
x x
=− + + + + → =− + + + +
b)
()
( ) ( ) ( )
5 2
3 3
62
5 5 2
3 3
3
1 3 3
tan tan tan .
2
cos
sin
sin .cos 2 tan
cos
dx dx
I x d x x C C
x
x
x x x
x
− −
−
= = ⋅ = = − + = +
∫ ∫ ∫
Bình luận:
Trong c
ả
hai nguyên hàm I5 và I6
ở
trên chúng ta d
ễ
dàng nh
ậ
n th
ấ
y
đặ
c
đ
i
ể
m chung c
ủ
a hai nguyên hàm là m
ẫ
u s
ố
có ch
ứ
a sinx và cosx v
ớ
i t
ổ
ng l
ũ
y th
ừ
a là m
ộ
t s
ố
ch
ắ
n. Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i trên là cách gi
ả
i t
ổ
ng quát cho d
ạ
ng nguyên
hàm này. Tuy nhiên, n
ế
u t
ổ
ng l
ũ
y th
ừ
a quá l
ớ
n thì bài toán s
ẽ
tr
ở
nên ph
ứ
c t
ạ
p h
ơ
n nhi
ề
u!
c)
72 2
2sin 5sin cos 3cos
dx
I
x x x x
=− −
∫
Ở
m
ẫ
u s
ố
ta th
ấ
y có d
ạ
ng bi
ể
u th
ứ
c
đẳ
ng c
ấ
p b
ậ
c hai v
ớ
i sinx và cosx. Trong chuyên
đề
v
ề
ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác ta
c
ũ
ng bi
ế
t cách gi
ả
i cho lo
ạ
i ph
ươ
ng trình
đẳ
ng c
ấ
p b
ậ
c hai này, v
ớ
i nguyên hàm c
ũ
ng t
ươ
ng t
ự
. Chia c
ả
t
ử
và m
ẫ
u s
ố
cho cos2x ta
đượ
c:
( )
2
72 2 2 2
2 2 2
tan
cos
; ( tan ).
2sin 5sin cos 3cos 2 tan 5 tan 3 2 5 3
cos cos cos
dx
d x dt
x
I t x
x x x x x x t t
x x x
= = = =
− − − −
− −
∫ ∫ ∫
7
(2 1) 2( 3) 1 1 2 1 3 1 tan 3
ln ln .
( 3)(2 1) 7.( 3)(2 1) 7 3 7 2 1 7 2 1 7 2 tan 1
dt t t dt dt t x
I dt C C
t t t t t t t x
+ − − − −
→ = = = − = + = +
− + − + − + + +
∫ ∫ ∫ ∫
d)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
82 2 2 2
1 3 tan
tan 1 1
cos
.
33 1 3 tan
cos 3 sin 1 3 tan 1 3 tan 1 3 tan
dx d x
d x
dx x
I C
x
x x x x x
−
−
= = = = = +
−
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Bình luận:
Mẫu số trong nguyên hàm trên có dạng là một biểu thức lượng giác khá đặc biệt, thế nên ta cũng có thể tìm ra một
cách giải đặc biệt khác. Thật vậy,
1 3
π
cos 3 sin 2 cos sin 2 cos .
2 2 3
x x x x x
− = − = +
Từ đó
( )
82
2 2
π
1 1 π
3
tan .
π π
4 4 3
cos 3 sin 4 cos cos
3 3
d x
dx dx
I x C
x x x x
+
= = = = + +
−+ +
∫ ∫ ∫
B
ằ
ng phép bi
ế
n
đổ
i l
ượ
ng giác cho cách gi
ả
i trên, ho
ặ
c khai tri
ể
n công th
ứ
c l
ượ
ng giác cho cách gi
ả
i d
ướ
i ta s
ẽ
thu
đượ
c cùng m
ộ
t k
ế
t qu
ả
. N
ế
u các em không t
ự
tin v
ớ
i kh
ẳ
ng
đị
nh
đ
ó thì th
ầ
y s
ẽ
ch
ứ
ng minh
đ
i
ề
u này.
Th
ậ
t v
ậ
y,
(
)
( )
1 1
π1 3 tan 3
tan tan
1π1 1 tan 3 3 3
3
tan . .
π
4 3 4 4 1 3 tan 4 1 3 tan
1 tan .tan 3
x
xx
x C C C C
xx
x
− − + +
++
+ + = + = + = + =
−
−
−
( ) ( )
4
1 1 1
3
4 3 4 3
4 1 3 tan 3 1 3 tan
C C
x x
= − + + = + −
− − ,
rõ ràng
( )
1
0.
4 3
C C
′
′
− = =
Ví dụ 3:
[ĐVH].
Tính các nguyên hàm sau:
a)
4
9
cot
I x dx
=
∫
b)
10 5
cos
sin
x dx
I
x
=
∫
c)
11
1 sin 2
dx
I
x
=+
∫
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
4 2 2 2 2 2
92 2
1
cot cot .cot 1 cot cot cot
sin sin
dx
I x dx x x dx x dx x x dx
x x
= = = − = − =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
3 3
2 2
2 2
1 cot cot
cot cot 1 cot .
sin 3 sin 3
x dx x
x d x dx dx x x C
x x
− −
= − − − = − + = + + +
∫ ∫ ∫ ∫
2)
Xét
10 5
cos
sin
x dx
I
x
=
∫
Cách 1:
10 5 5 4
cos (sin ) 1
.
sin sin 4sin
x dx d x
I C
x x x
−
= = = +
∫ ∫
Cách 2:
( )
4 2
2
10 5 4 2 2
cos cos 1 cot cot
. cot . . cot . 1 cot . (cot ) .
sin sin sin sin sin 4 2
x dx x dx dx x x
I x x x d x C
x x x x x
= = = = − + = − − +
∫ ∫ ∫ ∫
Bình luận:
B
ằ
ng phép x
ử
lý l
ượ
ng giác
đơ
n gi
ả
n ta c
ũ
ng thu
đượ
c cùng k
ế
t qu
ả
v
ớ
i hai cách gi
ả
i trên.
T
ươ
ng t
ự
nh
ư
nguyên hàm c
ủ
a tanx, v
ớ
i nguyên hàm cotx mà có ch
ứ
a sin2nx thì ta c
ũ
ng s
ử
d
ụ
ng th
ủ
thu
ậ
t phân tích
( )
( )
1
2
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1
. 1 cot .
sin sin sin sin
cot
sin
n
n n
x
x x x x
dx d x
x
−
−
= = +
= −
để
đư
a v
ề
nguyên hàm c
ơ
b
ả
n có ch
ứ
a cotx và cot2x
đ
ã bi
ế
t.
c)
( )
11 2
2 2
π
1 1
π
4cot
π π
1 sin 2 2 2 4
sin cos 2sin sin
4 4
d x
dx dx dx
I x
xx x x x
+
= = = = = − +
+
++ +
∫ ∫ ∫ ∫
Dạng 4. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân
(
)
(
)
( ) ( )
+ + = −
− + = +
d A sin x B cos x C Acos x B sin x dx
d A' sin x B' cos x C' A' cos x B' sin x dx
Cách gi
ả
i:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Các nguyên hàm dạng này thường sử dụng một số công thức lượng giác
( )
2
2 2
1 sin 2 sin cos
cos 2 cos sin
x x x
x x x
± = ±
= −
Để
tìm nguyên hàm, ta th
ườ
ng tìm vi phân c
ủ
a m
ẫ
u s
ố
:
(
)
(
)
sin cos cos sin
d A x B x C A x B x dx
+ + = −
Ví dụ 4:
[ĐVH].
Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
cos sinx
sinx cos
x
I dx
x
−
=+
∫
b)
2
cos 2
1 sin 2
x dx
I
x
=+
∫
c)
( )
3
3
cos 2
sin cos
x dx
I
x x
=+
∫
d)
(
)
4
sin 2 2 cos 4
cos 2 sin 4
x x dx
I
x x
+
=−
∫
Hướng dẫn giải:
a)
Ta có
( ) ( )
(
)
1
sin cos
sin cos cos sin ln sin cos .
sin cos
d x x
d x x x x dx I x x C
x x
+
+ = − → = = + +
+
∫
b)
( )
(
)
2 2
22
sin cos
cos 2 cos sin cos sin
ln sin cos .
1 sin 2 sin cos sin cos
sin cos
d x x
x dx x x x x
I dx dx x x C
x x x x x
x x
+
− −
= = = = = + +
+ + +
+
∫ ∫ ∫ ∫
Bình luận:
Do
( ) ( )
= = +
1 1
cos2xdx d sin 2x d 1 sin 2x
2 2
nên ta còn có thể giải theo cách lấy vi phân trực tiếp như sau:
(
)
( )
+
= = = + + = + + = + +
+ +
∫ ∫
2
2
d 1 sin 2x
cos2x dx 1 1 1
I ln 1 sin 2x C ln sin x cos x C ln sin x cos x C.
1 sin 2x 2 1 sin 2x 2 2
c)
( ) ( ) ( )
(
)
( )
2 2
33 3 2 2
sin cos
cos 2 cos sin cos sin 1
.
sin cos
sin cos sin cos sin cos sin cos
d x x
x dx x x x x
I dx dx C
x x
x x x x x x x x
+
− − −
= = = = = +
+
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
d)
Xét
(
)
4
sin 2 2 cos 4
cos 2 sin 4
x x dx
I
x x
+
=−
∫
Vi phân m
ẫ
u s
ố
ta có
( ) ( ) ( )
(
)
cos 2 sin 4
cos 2 sin 4 2sin 2 4cos 4 sin 2 2cos 4
2
d x x
d x x x x dx x x dx −
− = − − → + = −
T
ừ
đ
ó ta
đượ
c
(
)
(
)
4
sin 2 2 cos 4 cos 2 sin 4
1 1
ln cos 2 sin 4 .
cos 2 sin 4 2 cos 2 sin 4 2
x x dx d x x
I x x C
x x x x
+ −
= = − = − − +
− −
∫ ∫
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
2
12
sin
1 cos
x
I dx
x
=+
∫
2)
23 3
sin cos
dx
I
x x
=
∫
3)
3
2
(sin 2cos )
dx
I
x x
=−
∫
4)
42 2
sin 6cos
dx
I
x x
=−
∫
5) 52 2
sin 9cos
dx
I
x x
=−
∫
6) 62 2
sin 2cos 1
dx
I
x x
=
− +
∫
7)
(
)
3
7
cot cot
I x x dx
= +
∫
8)
8
2cos 3sin
2sin 3cos 1
x x
I dx
x x
−
=− +
∫
9)
92
sin 4
=
−
∫
dx
I
x