Luyện thi môn Toán THPT Quốc gia 2017 hiệu quả nhất

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017

Mai Nguyễn Minh Hoàng

MÔN TOÁN

Quyển 1 *

" THÀNH CÔNG KHÔNG ĐẾN ĐƯỢC NẾU BẠN KHÔNG TỰ CỐ GẮNG HOÀN THIỆN MÌNH "

Đà Nẵng, tháng 9 năm 2017

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 1

Mai Nguyễn Minh Hoàng

LỜI MỞ ĐẦU

Các em thân mến!

Khi các em cầm quyển tài liệu này trên tay thì ắc hẳn các em đã chuẩn bị bước

vào năm lớp 12 – năm kết thúc của cấp 3 cũng là năm đánh dấu sự trưởng thành

của các em sau 12 năm cắp sách đến trường. Thầy nghĩ rằng ai trong các em trong

năm này đều quyết tâm học hành chăm chỉ để có một chỗ ngồi tốt nhất trong trường

Đại học mà mình mong muốn. Hiểu được sự cố gắng của các em, Thầy đã viết tập

tài liệu này để nhằm giúp cho các em nắm được các kiến thức cơ bản của môn Toán

và các dạng Toán thường gặp trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT Quốc Gia của

các em sắp tới. Thầy hy vọng các em sẽ cố gắng rèn luyện, đọc thật kĩ tài liệu và làm

các bài tập trong tài liệu một cách kĩ càng và cẩn thận. Việc làm này sẽ giúp các em

tự tin hơn trong các giờ học trên trường, các bài kiểm tra 15 phút, 1 tiết, học kỳ và

hơn thế là bài thi THPT Quốc Gia sắp tới.

Các em à, các em nghĩ rằng một năm lâu lắm phải không? Thầy cũng đồng ý

là một năm lâu thật nhưng theo Thầy các em cứ cố gắng học tập chăm chỉ, vì đó

cũng là cơ hội 1 năm quý báu. Các em cứ thử nghĩ xem rồi sẽ đến tết khi ấy 1 năm

đã còn có nửa năm rồi đến giỗ tổ Hùng Vương, 30/4, 1/5 rồi đến ngày bế giảng các

em à. Sau bế giảng chỉ còn 1 tháng cuối để ôn tập lại và lên đường, đến lúc đó các

em sẽ cảm nhận được 1 tháng giống như 1 tuần thôi, nhanh lắm các em. Đây là cảm

nhận thật mà Thầy rút ra, Thầy xin chia sẻ với các em. Hè năm chuẩn bị lên 12 Thầy

sợ Hình không gian lắm, nên Thầy đã hạ quyết tâm trong 3 tháng hè lên 12 phải cố

học cho xong hình không gian. Nhưng với suy nghĩ : " Thôi để mai học ", cứ như thế

ngày qua ngày Thầy chẳng học được gì cả. Rồi đến ngày khai giảng, Thầy cũng quyết

tâm học cho xong hình trong học kì I nhưng rồi cũng với suy nghĩ: " Thời gian còn

dài mà, học chi cho sớm, thôi để mai học". Thế là học kì I trôi qua mà trong đầu Thầy

chẳng có chữ hình không gian nào cả. Rồi có một người thầy đã nói với tụi Thầy: "

Em nào có suy nghĩ cứ để mai làm thì bỏ đi nhé, nó sẽ giết chết các em đó ". Thế là

sợ qua, sang học kì II Thầy đã cố gắng học hình không gian và bỏ đi suy nghĩ đó,

ngày nào làm việc ngày đó, nhờ vậy Thầy đã chinh phục thành công câu Hình không

gian trong đề thi. Thầy nghĩ rằng nhiều em cũng có suy nghĩ : "Thôi để mai học, để

mai làm". Thầy khuyên các em hãy cố gắng bỏ suy nghĩ ấy đi và quyết tâm làm việc

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 2

Mai Nguyễn Minh Hoàng

gì thì hãy làm ngay trong ngày hôm nay, cố gắng học hành chăm chỉ để sau khi mình

làm xong việc gì thì luôn cảm thấy mãn nguyện vì mình đã hoàn thành hết sức mình,

đừng bao giờ hối hận vì việc mình chưa làm mà hãy cố gắng hơn ở tương lai các em

nhé. Thầy khuyên các em khi đọc tài liệu này thì hãy giữ một sự tự tin vào bản thân,

đừng sợ hãi kiến thức và luôn nghĩ rằng Thầy luôn đồng hành cùng với các em trên

mỗi dòng viết. Các em cứ nghĩ rằng các em học không phải là cho ai cả mà là cho

chính mình và làm vui lòng cha mẹ, thầy cô và mọi người, nghĩ như vậy các em sẽ

cảm thấy việc học sẽ nhẹ nhàng hơn nhiều. Chúc các em sẽ thành công và đạt kết

quả tốt nhất trong kì thi THPT Quốc Gia sắp tới.

Hãy luôn vững tin vào sức mạnh của bản thân, các em nhé!

Mọi thắc mắc các em có thể gửi tin nhắn cho Thầy thông qua facebook: Minh

Hoang Mai hay qua SĐT: 01227999669. Thầy hứa sẽ tận tình giải đáp thắc mắc của

các em một cách chu đáo nhất. Xin cảm ơn các em!

Mỗi tháng Thầy sẽ ra 1 Quyển Tài liệu để các em tự học, các em có thể tìm

kiếm trên Internet vào mỗi tháng, Thầy sẽ upload lên trên trang Tailieu.vn và để

thuận tiện hơn, các em có thể inbox trực tiếp cho thầy thông qua facebook: Minh

Hoang Mai hoặc nhắn tin trực tiếp cho thầy thông qua SĐT: 01227999669 để nhận

Chúc các em học tốt!

tài liệu học tập.

Đà Nẵng tháng 9 năm 2017

Tác giả

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 3

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Nội dung của quyển 1 - MÔN TOÁN:

Phần I: Khảo sát, vẽ đồ thị và các vấn đề liên quan cơ bản về hàm số

Phần II: Lượng giác

MỘT SỐ KÍ HIỆU, TỪ VIẾT TẮT TRONG TÀI LIỆU

Phần III: Hình học không gian

1) TXĐ: Tập xác định 6) VS.ABC : Thể tích khối chóp S.ABC

2) CĐ: Cực đại; CT: Cực tiểu 7) TCĐ: Tiệm cận đứng; TCN: Tiệm cận

3) //: Song song ; ⊥: Vuông góc ngang, TCX: Tiệm cận xiên

4) ∠: Góc 8) mp: mặt phẳng

5) d(SA, BC) : Khoảng cách giữa SA và BC 9) đpcm: điều phải chứng minh

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 2

Mai Nguyễn Minh Hoàng

∝. LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỰ LUẬN

Các em thân mến!

Như các em đã biết, kể từ kì thi THPT QG 2017, Bộ Giáo dục đã thực hiện phương

thức thi trắc nghiệm đối với môn Toán, điều này làm cho không ít em nghĩ rằng:

“Làm trắc nghiệm thì cần gì phải biết lý thuyết, cứ nhìn vào bài tập là bấm máy tính

là ra hết, và xem nhẹ các bài tập tự luận” Nhưng điều đó đã làm cho không ít em đã

không đạt điểm cao trong kì thi vừa rồi, và không phải nói là đáng buồn có nhiều

em nghĩ vậy đã không đậu vào trường mình mong muốn. Vậy tại sao làm trắc

nghiệm phải biết lý thuyết và làm bài tập tự luận. Thầy xin trả lời cho các em là: Lý

thuyết sẽ là nền để cho các em giải bài trắc nghiệm, các em có thấy khi xây nhà, thì

trước khi xây những hàng gạch để tạo nên bức tường nhà cao lớn, người ta phải

xây gì không? Đó chính là xây mống để làm nền, 1 ngôi nhà muốn vươn cao, chống

chọi được với thiên nhiên, đứng vững chắc được thì cần phải có nền vững chắc, nền

mống lung lay thì nhà sẽ sớm đổ thôi. Còn đối với bài tập tự luận, khi làm sẽ giúp

cho các em hình thành tư duy toán, giúp cho các em củng cố, nắm vững và mở rộng

lý thuyết các em vừa học để từ đó các em có thể ứng dụng vào giải các bài tập trắc

nghiệm một cách nhanh chóng và chính xác hơn. Do đó, các em cần phải nắm vững

lý thuyết và làm kĩ các bài tập tự luận, có như vậy khi thi các em mới có thể làm tốt

bài tập trắc nghiệm được. Chúc các em thành công!

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 3

Mai Nguyễn Minh Hoàng

PHẦN I HÀM SỐ

Các em thân mến!

Hàm số là kiến thức quan trọng trong chương trình phổ thông, các em đã được học

xuyên suốt từ những lớp dưới, và khi đến 12 các em sẽ được học thêm những điều

mới, chẳng hạn các em đã được học đạo hàm ở lớp 11, mà sau khi học các em vẫn

chưa biết sẽ ứng dụng thế nào vào các vấn đề toán học, thì đến bây giờ, các em đã có câu giải đáp, các em hãy tự mình nghiên cứu để khám phá nhé!

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 4

Mai Nguyễn Minh Hoàng

BÀI 0

ÔN TẬP KIẾN THỨC ĐẠO HÀM LỚP 11

1) Kiến thức đạo hàm:

Cho hai hàm số u, v chứa cùng biến số và có đạo hàm u', v' trên cùng một tập

nào đó

a) Đạo hàm của hàm tổng, tích, thương:

(u + v)' = u' + v'

(uv)' = u'v + uv'

= , v ≠ 0 u v uv − uv′ v

Đặc biệt:

, ≠ 0 với a là hằng số

(av)' = av' với a là hằng số

b) Đạo hàm của hàm hằng (tức là hàm không đổi): Cho X là số thực không đổi, ta

có: (X)' = 0

c) Đạo hàm của hàm lũy thừa:

(u∝) =∝ u. u∝ với ∝ là số thực không đổi

= (u) = 1 u −u′ u

√u

u′ = 2√u

Đặc biệt:

(x∝) = α với ∝ là số thực không đổi

x' = 1

= (x) = 1 x −1 x

√x

1 = 2√x

d) Đạo hàm của hàm lượng giác:

(sinu)' = u'.cosu (cosu)' = –u'.sinu

(tanu)′ = = u(1 + tanu) (cotu)′ = = −u(1 + cotu)

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 5

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Đặc biệt:

(sinx)' = cosx (cosx)' = –sinx

(tanx) = = 1 + tanx (cotx) = = −(1 + cotx) 1 cosx −1 sinx

2) Công thức tính nhanh đạo hàm của hàm phân thức thường gặp:

→ y =

( ) =

( )

a) y =

→ y =

( )

. . ( )

c) y =

→ y =

( )

b) y =

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 6

Mai Nguyễn Minh Hoàng

BÀI 1

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC 3

y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0

I) Phương pháp giải:

• Bước 1: Tìm TXĐ: Tất cả các bài toán dạng này TXĐ đều thuộc ℝ ( = ℝ ) 1

• Bước 2: Sự biến thiên:

a) Giới hạn:

= −∞ + Nếu a > 0 th ì: lim → = +∞ ; lim →

+ Nếu a < 0 thì: = +∞ lim → = −∞ ; lim →

b) Chiều biến thiên:

Tính y': y' = 3ax2 + 2bx + c

Tìm nghiệm của y' = 0 nếu có. Còn nếu y' = 0 không có nghiệm (tức là ∆ < 0) thì ta

thực hiện như sau:

Nếu a > 0 th ì y' > 0 ⇒ Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ

Nếu a < 0 th ì y' < 0 ⇒ Hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ c) Bảng biến thiên:

–∞ +∞ x

y' Dấu của y'

y Chiều biến thiên của y'

• Bước 3: Điểm uốn:

Ta có: y'' = 6ax + 2b

y'' = 0 ⇔ 6ax + 2b = 0 ⇔ x = ..... ⇒ y = ...

Suy ra đồ thị đã cho có điểm uốn là I( ...; ...)

• Bước 4: Tìm điểm đặc biệt:

x=0 ⇒ y = ... y=0 ⇒ x = d

• Bước 5: Vẽ đồ thị

Vẽ hệ trục

1 ℝ là Tập hợp các Số Thực Lưu ý: Trong suốt tài liệu này, Hình vẽ của bài minh họa đa số vẽ bằng tay trên giấy học sinh để cho các em biết cách vẽ trong vở của mình

Ghi điểm CĐ, CT ( nếu có ) và điểm uốn

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 7

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Ghi điểm đặc biệt

Vẽ đồ thị theo các điểm trên

* Chú ý: Hình vẽ sẽ đối xứng qua điểm uốn

II) Bài tập minh họa:

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x3 – 3x2 + 6x

Giải

• TXĐ: = ℝ

• Sự biến thiên:

= −∞ + Giới hạn: lim → = +∞ ; lim →

+ Chiều biến thiên:

Ta có: y' = 3x2 – 6x + 6 = 3 (x2 – 2x + 2) = 3(x–1)2 + 3 > 0

⇒ Hàm số đồng biến trên ℝ

+ Bảng biến thiên:2

x −∞ +∞

y' +

y +∞

−∞

• Điểm uốn:

+ Ta có: y'' = 6x – 6

y'' = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y(1) = 4

⇒ Đồ thị có điểm uốn là I(1; 4)

• Điểm đặc biệt:

x = 0 ⇒ y = 0

x = 2 ⇒ y = 8

2 Vẽ Bảng biến thiên với kích thước ngang 7 cm, dọc 4 cm. Bảng gồm 2 cột, 3 dòng: Cột đầu 2 cm, cột sau 5 cm; Dòng đầu 1 cm, dòng thứ hai 1 cm, và dòng cuối 2 cm. (Có thể thay cm bằng ô vở nếu vở có kẻ sẵn ô) 3 Căn cứ vào phần âm, dương của đồ thị để vẽ trục cân xứng. Đối với đồ thị trên, ta thấy phần dương là chủ yếu nên ta sẽ vẽ lệch đồ thị về bên tay TRÁI. Lưu ý: Mỗi đơn vị trên 2 trục có thể khác nhau nhưng CÙNG 1 TRỤC phải GIỐNG nhau.

• Đồ thị:3

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 8

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Bài 2: (Đề thi THPT QG năm 2015)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x3 – 3x

Giải

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = 2x3 – 3x2 + 1

(HD trực tiếp)

Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = –x3 + 2x2 – x

(HD trực tiếp)

III) Bài tập áp dụng:

Bài 1.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = x3 + 3x2 + 3x +1 b) y = (x – 1)3

c) y = –x3 – 3x + 2 d) y = –x3 + 3x2 – 3x – 1

Bài 1.2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = x3 +3x2 – 9x + 5 b) y = − 2 + 3 + 1

c) y = − − 2 − 3 + 1 d) y = –2x3 + 9x2 – 12x + 4

e) y = ( − 3 − 9 − 5) g) y = –x3 + 3x2 – 4x + 2

* Ghi chú: Từ các đồ thị vừa vẽ, hãy rút ra các dạng đồ thị của hàm số bậc 3.

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 9

Mai Nguyễn Minh Hoàng

BÀI 2

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG

y = f(x) = ax4 + bx2 + c, a ≠ 0

I) Phương pháp giải:

• Bước 1: Tìm TXĐ: Tất cả các bài toán dạng này TXĐ đều thuộc ℝ ( = ℝ )

• Bước 2: Sự biến thiên:

a) Giới hạn:

= +∞ + Nếu a > 0 th ì: lim → = +∞ ; lim →

= −∞ + Nếu a < 0 thì: lim → = −∞ ; lim →

b) Chiều biến thiên:

Tính y': y' = 4ax3 + 2bx

Tìm nghiệm của y' = 0

c) Bảng biến thiên:

x –∞ +∞

y' Dấu của y'

y Chiều biến thiên của y'

• Bước 3: Điểm uốn:

Ta có: y'' = 12ax2 + 2b

y'' = 0 ⇔ 12ax2 + 2b = 0 ⇔ x = ± ..... ⇒ y = ...

Suy ra đồ thị đã cho có điểm uốn là I1( – ...; ...) , I2( + ...; ...)

• Bước 4: Tìm điểm đặc biệt:

y=c ⇒ x = ...

• Bước 5: Vẽ đồ thị

Vẽ hệ trục

Ghi điểm CĐ, CT (nếu có) và điểm uốn

Ghi điểm đặc biệt

Vẽ đồ thị theo các điểm trên

* Chú ý: Hình vẽ sẽ đối xứng qua trục tung Oy

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 10

Mai Nguyễn Minh Hoàng

II) Bài tập minh họa:

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x4 + x2 – 2

Giải

• TXĐ: = ℝ

• Sự biến thiên:

= +∞ + Giới hạn: lim → = +∞ ; lim →

+ Chiều biến thiên:

Ta có: y' = 4x3 + 2x = 2x(2x2 + 1)

Vì 2x2 + 1 > 0 nên y' = 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y(0) = –2

+ Bảng biến thiên:4

x −∞ 0 +∞

y' − 0 +

y −∞ +∞

Từ bảng biến thiên trên suy ra:

Hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞ ; 0)

đồng biến trên khoảng (0 ; +∞ )

đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = –2

(Và hàm số đã cho không có cực đại)

• Điểm uốn:

+ Ta có: y'' = 12x2 + 2 > 0 , ∀ ∈

⇒ Đồ thị hàm số lõm trên R

• Điểm đặc biệt:

x = ± 1 ⇒ y = 0

4 Vẽ Bảng biến thiên với kích thước ngang 8 cm, dọc 4 cm. Bảng gồm 2 cột, 3 dòng: Cột đầu 2 cm, cột sau 6 cm; Dòng đầu 1 cm, dòng thứ hai 1 cm, và dòng cuối 2 cm. (Có thể thay cm bằng ô vở nếu vở có kẻ sẵn ô) 5 Đối với đồ thị dạng bậc 4 này, ta thấy nó đối xứng qua trục Oy, nên khi vẽ hình ta vẽ trục Oy chính giữa trang giấy và căn cứ theo các đơn vị mà chọn kích thước phù hợp.

• Đồ thị:5

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 11

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Bài 2:(Đề thi ĐH khối A năm 2012)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x4 – 2x2

Giải

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x4 – 2x2 + 2

(HD trực tiếp)

Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = –x4 + 10x2 – 9

(HD trực tiếp)

III) Bài tập áp dụng:

Bài 2.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = + + b) y = − − +

c) y = –x4 – 2x2 + 3 d) y = − −

e) y = –x4 + 2x2 f) y= (x–1)2(x+1)2

g) y = x4 – 3x2 +2 h) y= –x4 – 2x2 + 1

* Ghi chú: Từ các đồ thị vừa vẽ, hãy rút ra các dạng đồ thị của hàm số bậc 4 trùng

phương.

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 12

Mai Nguyễn Minh Hoàng

BÀI 3 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC NHẤT

y = f(x) =

, c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0

I) Phương pháp giải:

• Bước 1: Tìm TXĐ:

Vì đây là bài toán có mẫu thức nên mẫu thức cx + d phải khác 0

} Do đó TXĐ: = ℝ \{−

• Bước 2: Sự biến thiên:

a) Giới hạn và tiệm cận:

+ Ta có: = −∞ (+∞ ) ; = +∞ (−∞ ) lim → lim →

⇒ Đồ thị có tiệm cận đứng là : x = −

Và lim → ±

⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang là : y =

b) Chiều biến thiên:

( )

Tính y': y' =

+ Nếu ad – bc < 0 thì y' < 0, ∀ ∈ + Nếu ad – bc > 0 thì y' > 0, ∀ ∈

⇒ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng của ⇒ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng của

c) Bảng biến thiên:

+ Nếu y' < 0 + Nếu y' > 0

x –∞ –d/c +∞ x –∞ –d/c +∞

y' – – y' + +

+∞ +∞

y y –∞ –∞

• Bước 3: Tìm điểm đặc biệt:

x = 0 ⇒ y = , nếu d ≠ 0

, nếu a ≠ 0 y = 0 ⇒ x = −

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 13

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Ngoài 2 điểm giao với trục hoành và trục tung ở trên ta nên tìm thêm 2 điểm khác

trên đồ thị có hoành độ đối xứng qua O để thuận lợi trong việc vẽ đồ thị

* Chú ý: Nên kẻ bảng giá trị và lấy 4 cặp giá trị thì việc vẽ sẽ thuận tiện hơn

• Bước 4: Vẽ đồ thị

Vẽ hệ trục

Vẽ các đường tiệm cận

Ghi điểm đặc biệt

Vẽ đồ thị theo các điểm trên

* Chú ý: Hình vẽ sẽ đối xứng qua giao điểm của TCĐ và TCN.

II) Bài tập minh họa:

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y =

Giải

• TXĐ: = ℝ \{–1}

• Sự biến thiên:

+ Giới hạn và tiệm cận:

Ta có: = −∞ ; = +∞ lim → () lim → ()

⇒ Đồ thị có tiệm cân đứng là : x = −1

= 1 Và lim → ±

⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang là : y = 1

+ Chiều biến thiên:

( ) < 0, ∀ ∈

Ta có: y' =

⇒ Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ ; –1) , (–1; +∞ )

+ Bảng biến thiên:6

x −∞ –1 +∞

y' − −

1 +∞

6 Vẽ Bảng biến thiên với kích thước ngang 8 cm, dọc 4 cm. Bảng gồm 2 cột, 3 dòng: Cột đầu 2 cm, cột sau 6 cm; Dòng đầu 1 cm, dòng thứ hai 1 cm, và dòng cuối 2 cm. (Có thể thay cm bằng ô vở nếu vở có kẻ sẵn ô)

y −∞ 1

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 14

Mai Nguyễn Minh Hoàng

• Điểm đặc biệt:7

x –3 –2 –1 0 1

y 0 –1 3 2

• Đồ thị:8

Bài 2:(Đề thi minh họa THPTQG năm 2015)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y =

7 Vẽ Bảng biến thiên với kích thước ngang 8 cm, dọc 4 cm. Bảng gồm 2 cột, 2 dòng: Cột đầu 2 cm, cột sau 6 cm; Dòng đầu 1 cm, dòng thứ hai 1 cm. (Có thể thay cm bằng ô vở nếu vở có kẻ sẵn ô) 8 Để vẽ đồ thị dạng phân thức bậc nhất sao cho đẹp, ta thực hiện như sau: Vì đồ thị đối xứng qua TCN và TCĐ, nên ta sẽ vẽ TCN và TCĐ vuông góc với nhau trước tại giao điểm ngay chính giữa trang giấy. Từ đó, ta căn chỉnh theo đơn vị trục để vẽ trục Oxy, sau đó tiến hành vẽ các nhánh cong để hoàn thiện đồ thị. Lưu ý: Đường cong ta có thể dùng thước có dạng cong để vẽ. Tuy nhiên không phải khi nào ta cũng luôn có thước, nên ta cố gắng luyện tập vẽ bằng tay, mới đầu tuy chưa đẹp nhưng vẽ nhiều lần sẽ hoàn thiện hơn.

Giải

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 15

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y =

(HD trực tiếp)

Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y =

(HD trực tiếp)

III) Bài tập áp dụng:

Bài 3.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 16

Mai Nguyễn Minh Hoàng

a) y = b) y =

c) y = d) y =

Bài 3.2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

e) y = f ) y = −1 +

* Ghi chú: Từ các đồ thị vừa vẽ, hãy rút ra các dạng đồ thị của hàm số phân thức

bậc nhất.

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 17

Mai Nguyễn Minh Hoàng

BÀI 4

NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN VỀ HÀM SỐ

* Nhận xét: Bài toán về sự tương giao và tiếp tuyến của đồ thị là hai dạng toán

thường gặp trong các đề thi nên trong tập tài liệu này sẽ đề cập đến các dạng toán

xoay quanh 2 vấn đề này. Hy vọng các em sẽ nghiên cứu, rèn luyện kĩ lưỡng để hoàn

thành tốt các dạng toán liên quan tới hai dạng này. Còn các bài toán khác về hàm số

Thầy sẽ đưa vào các tập tài liệu tiếp theo và các em sẽ nghiên cứu sau khi học phần

A) VẤN ĐỀ 1: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ:

I) Bài toán tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số :

này.

1) Phương pháp giải:

Cho hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x). Để tìm giao điểm của hai đồ thị này ta

làm như sau:

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho. Sau đó giải

phương trình để tìm ra giá trị của x (nếu có)

Nếu phương trình vô nghiệm thì 2 đồ thị đã cho không giao nhau

Nếu phương trình có 1 nghiệm, 2 nghiệm, 3 nghiệm, ... thì 2 đồ thị cắt nhau tại 1

điểm, 2 điểm, 3 điểm

Bước 2: Thay các giá trị x vừa tìm được vào 1 trong 2 biểu thức f(x) hoặc g(x). Sau

đó suy ra tọa độ giao điểm của các đồ thị đã cho.

2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây: y = + 2 + 3

và y = x

Giải

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị đã cho là:

+ 2 + 3 = 1 3

9 Để giải phương trình bậc 3, nếu không có máy tính ta sẽ sử dụng cách đoán nghiệm, tức là tìm giá trị x thay vào vế trái để vế trái bằng 0 (= vế phải). Nếu có máy tính, chẳng hạn máy tính FX-570VN PLUS ta sẽ bấm như sau: Bấm phím MODE, sau đó bấm số 5 để chọn 5:EQN, tiếp theo ta thấy trên màn hình hiện 4 số từ 1 đến 4, trong đó số 4 có dạng phương trình bậc 3, ta sẽ bấm số 4. Sau đó nhập lần lượt các giá trị của a,b,c,d với a là hệ số của x3, b là hệ số của x2, c là hệ số của x và d là hệ số tự do. Cụ thể trong bài này là a = 1, b = 6, c = 6, d = 0. Sau đó bấm phím = liên tiếp ta sẽ được các giá trị của x thỏa mãn phương trình.

⇔ + 6 + 6 = 0 9

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 18

Mai Nguyễn Minh Hoàng

⇔

= 0 ⇒ = 0 = −3 − √3 ⇒ = −3 − √3 = −3 + √3 ⇒ = −3 + √3

Vậy 2 đồ thị đã cho giao nhau tại các điểm là: A(0; 0), B(–3–√3; –3–√3), C(–3+√3;

–3–√3) 10

Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây:

y = và y = 2x + 1

Giải

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị đã cho là:

= 2x + 1 , x≠ 1

⇔ x2 + 2x + 1 = (x–1)(2x+1)

⇔ x2 + 2x + 1 = 2x2 – x – 1

⇔ x2 – 3x – 2 = 0

⇒ = 4 + √17 ⇒ = 4 − √17

√ √

⇔

Vậy 2 đồ thị đã cho giao nhau tại các điểm là:

√

A( ; 4 + √17), B( ; 4 − √17)

Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây: y = x4 + 2x2 và y =

4x2 – 1

(HD trực tiếp)

Bài 4: Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = m – x cắt đồ thị của hàm số y =

tại 2 điểm phân biệt

(HD trực tiếp)

3) Bài tập áp dụng:

Bài 4.1: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây:

y = x3 + 3x2 – 3x – 1 và y = 0

10 Sau khi làm xong 1 bài toán, ta cần phải ghi kết luận, vừa làm rõ ý đề yêu cầu, vừa tránh mất điểm khi thi.

Bài 4.2: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây:

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 19

Mai Nguyễn Minh Hoàng

y = 2x3 + 3x2 + 1 và y = 2x2 + 1

Bài 4.3: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt

đường cong y = tại 2 điểm phân biệt.

Bài 4.4: Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = m cắt đường cong y = x4 – 2x2 –

II) Bài toán biện luận số nghiệm của phương trình f(x,m) = 0 bằng

đồ thị:

3 tại 4 điểm phân biệt. 11

1) Phương pháp giải:

Đây là phương trình theo x có chứa tham số m. Để giải bài toán dạng này ta sẽ tìm

cách chuyển x sang cùng 1 vế, chẳng hạn vế trái và chuyển m sang vế phải còn lại

bằng cách cộng trừ nhân chia, nhóm m lại với nhau, ... Sau đó Vế trái chứa x ta sẽ vẽ

đồ thị theo các dạng đã học: bậc 3, bậc 4, phân thức bậc 1 còn Vế phải chứa m sẽ là

đường thẳng song song với Ox ( vuông góc với Oy). Sau đó dựa vào yêu cầu bài toán

và đồ thị vừa vẽ để biện luận số giao điểm của phương trình đã cho, bởi vì phương

trình đã cho cũng chính là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường

thẳng vừa mới vẽ.

* Chú ý: Sau khi biện luận xong nhớ kết luận.

2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình sau:

+ 2 + 3 + = 0 1 3

Giải

Ta có phương trình đã cho

+ 2 + 3 = − (1)

⇔

+ 2 + 3 (C)

Đặt y = VT(1) =

11 Để giải bài 4.4, ta sẽ lặp phương trình hoành độ giao điểm, sau đó đặt t = x2 rồi giải phương trình theo t. Sau đó tìm điều kiện của m sao cho phương trình theo t có 2 nghiệm dương phân biệt, tức là ∆> 0, > 0, > 0

y = VP(1) = –m (d) (⊥ Oy)

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 20

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Khi đó phương trình (1) hay phương trình đã cho là phương trình hoành độ giao

điểm của (C) và (d). Suy ra số nghiệm của phương trình đã cho cũng chính là số

giao điểm của (C) và (d)

Vẽ (C) và (d):

+ 2 + 3 (C)

Vẽ (C): y = VT(1) =

Ta có: y' = x2 + 4x + 3

y' = 0 ⇔ = −3 ⇒ = 0 = −1 ⇒ =

Vẽ (d): Ta có (d) là đường thẳng song song với trục Ox, hay vuông góc trục Oy.

* Sau đây là đồ thị:

* Biện luận:

Từ đồ thị trên suy ra:

v − m > 0 ⇔ >

v m < 0 12 ta có (C) và (d) giao nhau tại

+ Khi − < −

1 điểm. Do đó phương trình đã cho có 1 nghiệm.

v − m = 0 ⇔ =

v m = 0, ta có (C) và (d) giao nhau tại 2

+ Khi − = −

điểm. Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm.

< −m < 0 ⇔ 0 < m <

, ta có (C) và (d) giao nhau tại 3 điểm. Do đó

+ Khi −

hoặc m < 0.

v m < 0 tức là >

12 Kí hiệu v là phép tuyển, chẳng hạn >

phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 21

Mai Nguyễn Minh Hoàng

* Kết luận:

v m < 0, ta có phương trình đã cho có 1 nghiệm.

+ Khi >

v m = 0, ta có phương trình đã cho có 2 nghiệm.

+ Khi =

, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm.

+ Khi 0 < m <

Bài 2: Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình sau:

x4 – 2x2 + 2m – 1 = 0 theo m

Giải

Ta có phương trình đã cho

⇔ x4 – 2x2 = 1 – 2m (1)

Đặt y = VT(1) = x4 – 2x2 (C)

y = VP(1) = 1 – 2m (d) ( Oy)

Khi đó phương trình (1) hay phương trình đã cho là phương trình hoành độ giao

điểm của (C) và (d). Suy ra số nghiệm của phương trình đã cho cũng chính là số

giao điểm của (C) và (d)

Vẽ (C) và (d):

Vẽ (C): y = VT(1) = x4 – 2x2 (C)

Ta có: y' = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1)

y' = 0 ⇔ = 0 ⇒ = 0 = ± 1 ⇒ = −1

Vẽ (d): Ta có (d) là đường thẳng song song với trục Ox, hay vuông góc trục Oy.

* Sau đây là đồ thị:

* Biện luận:

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 22

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Từ đồ thị trên suy ra:

+ Khi 1 – 2m < –1 ⇔ m > 1 , ta có (C) và (d) không giao nhau. Suy ra phương trình

đã cho có vô nghiệm.

+ Khi 1 – 2m = –1 v 1 – 2m > 0 ⇔ m = 1 v m < , ta có (C) và (d) giao nhau tại 2

điểm. Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm.

+ Khi 1 – 2m = 0 ⇔ m = , ta có (C) và (d) giao nhau tại 3 điểm. Suy ra phương

trình đã cho có 3 nghiệm.

+ Khi –1 < 1 – 2m < 0 ⇔ < m < 1 , ta có (C) và (d) giao nhau tại 4 điểm. Suy ra

phương trình đã cho có 4 nghiệm.

* Kết luận:

+ Khi m > 1 , ta có phương trình đã cho có vô nghiệm.

+ Khi m = 1 v m < , ta có phương trình đã cho có 2 nghiệm.

+ Khi m = , ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm.

+ Khi < m < 1 , ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Bài 3: Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình sau: x3 + 3x2 + 2 + 2m

= 0 theo m

(HD trực tiếp)

= 1 −

Bài 4: Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình sau:

theo m

(HD trực tiếp)

3) Bài tập áp dụng:

Bài 4.5: Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình sau: x3 – 3x2 + m – 3

= 0

Bài 4.6: Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình sau:

x4 – 8x2 + 7 – 4m = 0

Bài 4.7: Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình sau: 4x2 (1 – x2 ) + 1

III) Bài toán biện luận số nghiệm hai đồ thị:

– 2m = 0

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 23

Mai Nguyễn Minh Hoàng

1) Phương pháp giải:

Cho hai đồ thị (C1) y = f1(x, m) và (C2) y = f2(x, m). Để biện luận số giao điểm của

hai đồ thị ta thực hiện như sau:

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2):

f1(x, m) = f2(x, m)

Bước 2: Giải phương trình đã cho bằng các kĩ thuật tìm nghiệm đặc biệt hoặc biện

luận theo ∆, , như đã học ở lớp 10.

* Nhắc lại kiến thức lớp 10: Cho phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

Khi đó ta có: ∆ = b2 – 4ac hay nếu b chẵn thì ∆′ = b’2 –ac

và = =

Nếu ∆ hay ∆′ không âm, tức là phương trình có 2 nghiệm , (có thể bằng nhau

hoặc phân biệt) thì theo hệ thức Vi–et ta có: = + = −

2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị (C1) và (C2) của hai hàm số sau

− 3 (C1) và y = m(x–3) (C2)

đây: y =

Giải

− 3 = m(x–3)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là:

⇔ x3 – 9x – 3m(x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(x2 + 3x – 3m) = 0

⇔ = 3 + 3 − 3 = 0 (1)

Xét phương trình (1):

Ta có: a = 1 ≠ 0

∆ = b2 – 4ac = 9 + 12m

∆ = 0 ⇔ m =

Bảng xét dấu:

m −∞ +∞

∆ – 0 +

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 24

Mai Nguyễn Minh Hoàng

* Biện luận: Từ bảng xét dấu trên suy ra:

• Khi m < , ta có: ∆ < 0 ⇒ Phương trình (1) vô nghiệm

⇒ Phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm x = 3

⇒ (C1) và (C2) giao nhau tại 1 điểm.

≠ 3

• Khi m = , ta có: ∆ = 0 ⇒ Phương trình (1) nghiệm kép x1 = x2 =

⇒ Phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt

⇒ (C1) và (C2) giao nhau tại 2 điểm.

• Khi m > , ta có: ∆ > 0 ⇒ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

+ Với x = 3, ta có: (1) ⇒ 18 – 3m = 0 ⇒ m = 6

Suy ra:

• Khi m = 6, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x = 3

⇒ Phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt

⇒ (C1) và (C2) giao nhau tại 2 điểm.

• Khi m > và m ≠ 6, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 3

⇒ Phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm x = 3

⇒ (C1) và (C2) giao nhau tại 3 điểm.

* Kết luận:

• Khi m < , ta có (C1) và (C2) giao nhau tại 1 điểm

• Khi m = hoặc m = 6, ta có: (C1) và (C2) giao nhau tại 2 điểm

• Khi < m ≠ 6 , ta có: (C1) và (C2) giao nhau tại 3 điểm

Bài 2: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị (C1) và (C2) của hai hàm số sau

đây: y = (C1) và y = mx + 2 (C2)

Giải

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là:

= mx + 2 ⇔ x2 + x + 1 = mx2 + mx + 2x + 2 , x ≠ –1

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 25

Mai Nguyễn Minh Hoàng

⇔ g(x) = (m – 1)x2 + (m + 1)x + 1 = 0 , x ≠ –1 (1)

* Biện luận:

+ Khi a = m – 1 = 0 ⇔ m = 1

Khi đó: (1) ⇒ 2x + 1 = 0 ⇔ x = ≠ –1

⇒ Phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm

⇒ (C1) và (C2) giao nhau tại 1 điểm

+ Khi a = m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Ta có: ∆ = (m+1)2 – 4(m – 1) = m2 – 2m + 5 = (m – 1)2 + 4 > 0, ∀ ≠ 1 13

⇒ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m khác 1

Với x = –1, ta có g(–1) = m – 1 – (m + 1) + 1 = –1 ≠ 0, ∀ ≠ 1

Suy ra:

∀ ≠ 1, phương trình (1) không có nghiệm x = –1

⇒ ∀ ≠ 1, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

⇒ phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt, ∀ ≠ 1

⇒ (C1) và (C2) giao nhau tại 2 điểm, ∀ ≠ 1

* Kết luận:

+ Khi m = 1: (C1) và (C2) giao nhau tại 1 điểm

+ Khi m ≠ 1: (C1) và (C2) giao nhau tại 2 điểm

Bài 3: Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (d) : (C) y = x3 – 6x2 + 9x – 6 và (d)

y = mx – 2m – 4

(HD trực tiếp)

3) Bài tập áp dụng:

Bài 4.8: Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2) của hai hàm số sau

đây: y = x3 – 4x2 + 4x (C1) và y = mx (C2)

Bài 4.9: Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2) của hai hàm số sau

đây: y = (C1) và y = 3x + m (C2)

Bài 4.10: Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (d) : (C) y = x3 + mx + m + 1 và

13 Kí hiệu ∀ là “Với mọi”, chẳng hạn ∀ ≠ 1 nghĩa là “Đúng hay xảy ra với mọi m khác 1”

(d) y = 0

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 26

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Bài 4.11: Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (d) : (C) y = và (d) y = –mx

IV) Bài toán tìm giá trị của m để hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau:

+ 1

1) Phương pháp giải:

Cho hai đồ thị hàm số y = f(x, m) (C1) và y = g(x) (C2). Để tìm m sao cho hai đồ thị

này tiếp xúc với nhau ta thực hiện như sau:

Bước 1: Ta lập hệ phương trình hoành độ tiếp điểm ( hay nói cách khác là hệ điều

kiện tiếp xúc ) của 2 đường đã cho như sau:

f(x, m) = g(x)

f'(x, m) = g'(x) ( tức là lấy đạo hàm 2 vế của phương trình trên )

Bước 2 : Tìm m để hệ trên có nghiệm bằng các kĩ thuật nhóm hạng tử, tách, cộng

trừ nhân chia, ...

Bước 3 : Kết luận giá trị m vừa tìm được.

* Chú ý: Khi giải một hệ phương trình ta nên chọn phương trình nào đơn giản nhất

của hệ để giải trước còn phức tạp giải sau, nên tách riêng xuống dòng giải từng

phương trình, không nên tương đương hết cả hệ, vì như vậy sẽ dài dòng và rối, làm

ta khó giải hơn.

2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Tìm m để đồ thị hàm số sau đây: y = x3 + 2mx2 – 4x – 8m tiếp xúc với trục Ox

Giải

Ta có hệ phương trình hoành độ tiếp điểm của 2 đường đã cho là:

+ 2 − 4 − 8 = 0 (1) 3 + 4 − 4 = 0 (2)

Ta có: (1) ⇔ x(x2 – 4) + 2m(x2 – 4) = 0 ⇔ (x2 – 4)(x + 2m) = 0

⇔

= −2 = 2 = −2

Với x = –2, (2) ⇒ 12 – 8m – 4 = 0 ⇒ m = 1

Với x = 2, (2) ⇒ 12 + 8m – 4 = 0 ⇒ m = –1

Với x = –2m, (2) ⇒ 12m2 – 8m2 – 4 = 0 ⇒ 4m2 = 4 ⇒ m = ± 1

Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm của m là: m = ± 1

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 27

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số sau đây: y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx - 8 tiếp xúc

với trục Ox

(HD trực tiếp)

Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số sau đây: y = tiếp xúc đường thẳng y = – x + 7,

m ≠ –1

(HD trực tiếp)

3) Bài tập áp dụng:

Bài 4.12: Tìm m để đồ thị hàm số sau đây: y = x4 – 8x2 + 7 tiếp xúc đường thẳng y

= mx – 9

Bài 4.13: Tìm m để đồ thị hàm số sau đây: y = − + 3 tiếp xúc đường thẳng y

}

B) VẤN ĐỀ 2: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

I) Bài toán tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

= m(x – 3) ĐS: ∈ {−6;

1) Phương pháp giải:

Cho đồ thị hàm số y = f(x). Khi biết hoành độ tiếp điểm là xo để tìm tiếp tuyến ta

làm như sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm cấp một y' của hàm số y = f(x)

Bước 2: Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến theo công thức: k = f '(xo)

* Chú ý:

a) Ta cũng có thể giải tương tự đối với bài toán tìm hoành độ tiếp điểm khi biết hệ

số góc k của tiếp tuyến. Nhưng ở bước 2 để tìm xo khi biết k thì ta cũng sẽ giải

phương trình k = f '(xo)

b) Gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến và trục hoành Ox. Khi đó ta có: ||=

c) Hai đường thẳng vuông góc nhau thì tích hai hệ số góc của chúng bằng –1

2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số: y = x3 – 3x2, biết tiếp tuyến tại đó song song

với đường thẳng y = 2x

Giải

Gọi M(xo ; yo ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị // với đường thẳng y =

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 28

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Ta có: y’ = 3x2 – 6x

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thì hàm số tại điểm có hoành độ xo là: k =

3xo2 – 6xo

Theo giả thiết: tiếp tuyến này song song với đường thẳng y = 2x nên ta có: k = 2

⇒ 3xo2 – 6xo = 2

± √

∓ √

⇒ xo = ⇒ yo =

√ √ ;

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là: M1 ( ), M2 ( )

Bài 2: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số: y = , biết tiếp tuyến tại đó tạo với trục

Ox một góc 45O

Giải

Gọi M(xo ; yo ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm

()

Ta có: y’ =

() (1) Theo giả thiết:

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thì hàm số tại điểm có hoành độ xo là: k =

Tiếp tuyến này tạo với trục Ox một góc 45O nên ta có: ||= 45 = 1 (2)

() = 1 ⇔ xo2 – 4xo + 4 = 3

Từ (1) và (2) suy ra:

⇔ = 2 − √3 ⇒ = 1 − √3 = 2 + √3 ⇒ = 1 + √3

Vậy tọa dộ các điểm cần tìm là: M1 (2 − √3 ; 1 − √3), M2 (2 + √3 ; 1 + √3)

Bài 3: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số: y = , biết tiếp tuyến tại đó ⊥ đường

thẳng y = x

(HD trực tiếp)

3) Bài tập áp dụng:

Bài 4.14: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số: y = x3 – 3x – 2, biết tiếp tuyến tại đó có

hệ số góc bằng 9

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 29

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Bài 4.15: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số: y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1, biết tiếp tuyến

II) Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp

điểm M thuộc đồ thị:

tại đó ⊥ đường thẳng y = 2x + 1

1) Phương pháp giải:

Cho đồ thị hàm số y = f(x). Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

tiếp điểm M ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm hoành độ xM và tung độ yM

Bước 2: Tìm đạo hàm cấp một của hàm số đã cho: y' = f '(x). Suy ra hệ số góc k của

tiếp tuyến tại điểm M là k = f '(xM )

Bước 3: Lập phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = y '(xM )(x – xM ) + yM

Bước 4: Kết luận phương trình tiếp tuyến cần tìm

2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Cho đồ thị hàm số: y = x3 – 3x2 + 2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

của đồ thị hàm số

Giải

Ta có: y’ = 3x2 – 6x; y’’ = 6x - 6

y'' = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y(1) = 0

Suy ra: Đồ thị có điểm uốn là I(1;0)

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm I là: y'(1) = –3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn I(1;0) là:

y = –3(x – 1) + 0 = –3x + 3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = –3x + 3

Bài 2: Cho đồ thị hàm số: y = x3 – 3x2 + 2. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm

của đồ thị với trục tung Oy

Giải

Ta có: x = 0 ⇒ y = 2

⇒ Đồ thị và trục tung Oy giao nhau tại điểm A (0; 2)

Mặt khác ta có: y’ = 3x2 – 6x ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là: y '(0) = 0

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(0;2) là:

y = y '(0)(x – 0) + 2 = 2

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 30

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2

Bài 3: Cho đồ thị hàm số: y = x3 – 3x2 + 2. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm

của đồ thị với trục hoành Ox

(HD trực tiếp)

3) Bài tập áp dụng:

Bài 4.16: Cho đồ thị hàm số: y =

− 3 + . Viết phương trình tiếp tuyến tại các

điểm uốn của đồ thị hàm số

Bài 4.17: Cho đồ thị hàm số: y = − 3 + . Viết phương trình tiếp tuyến tại

giao điểm của đồ thị với trục hoành Ox

Bài 4.18: Cho đồ thị hàm số: y = − 3 + . Viết phương trình tiếp tuyến tại

giao điểm của đồ thị với trục tung Oy

Bài 4.19: Cho đồ thị hàm số: y = . Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm

của đồ thị với trục tung Ox

Bài 4.20: Cho đồ thị hàm số: y = (x – 1)(x – 2)(x – 3). Viết phương trình tiếp tuyến

tại giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ

Bài 4.21: Cho đồ thị hàm số: y = (C). Chứng minh rằng tồn tại tiếp tuyến tại

điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến đó luôn cắt hai đường tiệm cận của (C) tại

III) Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1

điểm A cho trước (A có thể thuộc hoặc không thuộc đồ thị):

2 điểm phân biệt A, B và M là trung điểm AB

1) Phương pháp giải: Bài này ta có thể giải bằng 1 trong 2 cách sau:

Cách 1:

Bước 1: Gọi xM là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến tại điểm M của đồ thị đi qua

điểm A cho trước. Vì tiếp tuyến tại điểm M nên phương trình tiếp tuyến sẽ có dạng:

y = y '(xM )(x – xM ) + yM (1)

Bước 2: Vì tiếp tuyến đi qua điểm A nên ta có: yA = y '(xM )(x – xM ) + yM (2)

Bước 3: Giải phương trình (2) tìm ra xM rồi thay vào (1) ta được phương trình tiếp

tuyến thỏa mãn

Bước 4: Kết luận phương trình tiếp tuyến cần tìm

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 31

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Cách 2: (Sử dụng điều kiện tiếp xúc)

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A cho trước, với hệ số góc k có dạng:

y = k(x – xA ) + yA (*)

Bước 2: Gọi x là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A. Khi đó x là nghiệm của

hệ: ( − ) + = ()(1) = () (2)

Bước 3: Thay k ở phương trình (2) vào (1). Rồi giải tìm ra giá trị của x, rồi thay vào

(2) tìm ra được k. Có k thay vào (*) suy ra phương trình tiếp tuyến thỏa mãn

Bước 4: Kết luận phương trình tiếp tuyến cần tìm

* Chú ý: Các em nên giải theo cách 2 thì lời giải sẽ hay hơn

2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x3 – 3x + 2, biết tiếp

tuyến đi qua điểm A(2;4)

Giải

Cách 1:

Gọi (xo ; yo ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm

Ta có: yo = xo3 – 3xo + 2

y’o = 3xo2 – 3

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng là:

y = y’o(x - xo) + yo = (3xo2 – 3)(x - xo) + xo3 – 3xo + 2 = (3xo2 – 3)x – 2xo3 + 2 (1)14

Theo giả thiết ta có: Tiếp tuyến đi qua điểm A(2;4) nên ta có:

4 = (3xo2 – 3).2 – 2xo3 + 2 ⇔ 2xo3 – 6xo2 + 8 = 0 ⇔ xo3 – 3xo2 + 4 = 0

⇔ = −1 = 2

Với xo = –1, từ (1) suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4

Với xo = 2, từ (1) suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x – 14

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm đi qua A có phương trình là: y = 4, y = 9x – 14

Cách 2: (Sử dụng điều kiện tiếp xúc)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm đi qua A có dạng: y = k(x – 2) + 4

14 Ở đây ta tiến hành phân tích bằng cách nhóm các x lại với nhau và đặt nhân tử chung, để tới bước tiếp theo ta thay tọa độ của A gồm hoành độ x và tung độ y vào ta sẽ tìm được xo

Ta có hệ phương trình hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số là:

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 32

Mai Nguyễn Minh Hoàng

k(x – 2) + 4 = x3 – 3x + 2 (1)

k = 3x2 – 3 (2)

Thay (2) vào (1) ta được: 3x3 – 6x2 – 3x + 6 + 4 = x3 – 3x + 2

⇔ 2x3 – 6x2 + 8 = 0

⇔ x3 – 3x2 + 4 = 0

⇔ = −1 = 2

Với x = –1, ta có (2) ⇒ k = 0 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = 4

Với x = 2, ta có (2) ⇒ k = 9 ⇒ phương trình tiếp tuyến là:

y = 9(x – 2) + 4 = 9x – 14

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm đi qua A có phương trình là: y = 4, y = 9x – 14

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến đi

qua điểm A(–1;0)

Giải

Bài này Thầy xin chỉ giải bằng cách 2, còn cách 1 em giải tương tự như trên

Cách 2: (Sử dụng điều kiện tiếp xúc)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm đi qua A có dạng: y = k(x + 1)

Ta có hệ phương trình hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số là:

k(x + 1) = (1)

( ) (2)

k =

Thay (2) vào (1) ta được: =

⇔ 1 = 2x + 1 , x ≠ –1

⇔ x = 0

Với x = 0, ta có (2) ⇒ k = 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = x + 1

Vậy tiếp tuyến cần tìm đi qua A có phương trình là: y = x + 1

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 2, biết tiếp tuyến

đi qua A(–1; –2)

(HD trực tiếp)

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 33

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + 2, biết tiếp

tuyến đi qua A(0; 2)

(HD trực tiếp)

3) Bài tập áp dụng:

Bài 4.22: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = –4x3 + 3x, biết tiếp

tuyến đi qua A(1; 3)

Bài 4.23: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến đi

qua A(1;8)

Bài 4.24: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1, biết tiếp

tuyến đi qua A(–1; –9)

Bài 4.25: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến

)

( )

đi qua A(0;

Bài 4.26: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến

IV) Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp

tuyến // hay ⊥ với một đường thẳng (d) y = ax + b cho trước hay

tạo với đường thẳng này một góc nhọn ∝:

đi qua gốc tọa độ O

1) Phương pháp giải: Bài này ta có thể giải bằng 1 trong 2 cách sau:

Cách 1:

Bước 1: Gọi xM là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến tại điểm M của đồ thị hàm số

cần tìm. Vì tiếp tuyến tại điểm M nên phương trình tiếp tuyến sẽ có dạng:

y = y '(xM )(x – xM ) + yM = y '(xM ).x – y '(xM ).xM + yM (1)

* Chú thích: Từ (1) suy ra hệ số góc k của tiếp tuyến là k = y '(xM)

Bước 2:

Nếu tiếp tuyến // đường thẳng (d) y = ax + b thì ta có y '(xM ) = a và

–y '(xM ).xM + yM ≠ b

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 34

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Nếu tiếp tuyến ⊥ đường thẳng (d) y = ax + b thì ta có y '(xM ) = (vì 2 đường

thẳng vuông góc nhau sẽ có tích hệ số góc bằng –1)

∝

Nếu tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) y = ax + b một góc nhọn ∝ thì ta có hệ số

=tan∝

∝

góc k = y'(xM ) thỏa mãn công thức sau:

Nhưng thông thường các bài toán trong đề thi người ta thường cho trường hợp đặc

biệt là tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc ∝ thì thì ta có hệ số góc k = y'(xM )

thỏa mãn công thức sau: |k| =tan∝

Bước 3: Giải phương trình vừa lập được để tìm hệ số góc k của tiếp tuyến. Sau đó

thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến thỏa mãn

Bước 4: Kết luận phương trình tiếp tuyến cần tìm

Cách 2: (Sử dụng điều kiện tiếp xúc)

Bước 1: Dựa vào giả thiết để lập phương trình tiếp tuyến. Cụ thể là:

Nếu tiếp tuyến // đường thẳng (d) y = ax + b thì phương trình tiếp tuyến có dạng:

y = ax + m với m chưa biết và m khác b

Nếu tiếp tuyến ⊥ đường thẳng (d) y = ax + b thì phương trình tiếp tuyến có dạng:

y = x + m với m chưa biết (vì 2 đường thẳng vuông góc nhau sẽ có tích hệ số góc

là 1)

∝

Nếu tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) y = ax + b một góc nhọn ∝ thì ta có hệ số

=tan∝

∝

góc k thỏa mãn công thức sau:

Nhưng thông thường các bài toán trong đề thi người ta thường cho trường hợp đặc

biệt là tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc ∝ thì ta có hệ số góc k của tiếp tuyến

thỏa mãn công thức sau: |k| =tan∝

Bước 2: Gọi x là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị. Khi đó x là nghiệm

của hệ:

kx + m = f(x) (1)

k = f’(x) (2)

Bước 3: Từ (2) ta sẽ tìm được x, sau đó thay x ở phương trình (2) vào (1). Rồi giải

tìm ra giá trị của m. Có m suy ra phương trình tiếp tuyến thỏa mãn

Bước 4: Kết luận phương trình tiếp tuyến cần tìm

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 35

Mai Nguyễn Minh Hoàng

* Chú ý: Các em nên giải theo cách 2 thì lời giải sẽ hay hơn.

2) Bài tập minh họa:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = , biết tiếp tuyến //

đường thẳng (d) x + y – 1 = 0

Giải

Cách 1:

Gọi (xo ; yo ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm

Ta có: yo =

()

y’o =

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng là:

()(x – xo) +

()

y = y’o(x – xo) + yo = (1)

Theo giả thiết ta có: Tiếp tuyến // đường thẳng (d) x + y – 1 = 0 ⇔ y = –x + 1 nên

ta có:

() = −1 () ≠ 1

⇔ = 1 ± √5

Với xo = 1 –√5, từ (1) suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = – x + 4 – 2√5

Với xo = 1 +√5, từ (1) suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = – x + 4 + 2√5

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = – x + 4 – 2√5 và y = – x + 4

+ 2√5

Cách 2: (Sử dụng điều kiện tiếp xúc)

Theo giả thiết : Tiếp tuyến // đường thẳng (d) x + y – 1 = 0 ⇔ y = –x + 1 nên

phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: y = –x + m ; m ≠ 1 (*)

Ta có hệ phương trình hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số là:

− + = (1)

() (2)

−1 =

Ta có: (2) ⇔ (x – 1)2 = 5, x ≠ 1

⇔ x2 – 2x – 4 = 0, x ≠ 1

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 36

Mai Nguyễn Minh Hoàng

⇔ = 1 ± √5

√ √

Với x = 1 – √5, từ (1) ⇒ m = 1 – √5 + = 4 –2√5 ≠ 1. Suy ra phương

trình tiếp tuyến cần tìm là: y = – x + 4 – 2√5

= 4 +2√5 ≠ 1. Suy ra phương

√ √

Với x = 1 + √5, từ (1) ⇒ m = 1 + √5+

trình tiếp tuyến cần tìm là: y = – x + 4 + 2√5

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = – x + 4 – 2√5, y = – x + 4 +

2√5

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = , biết tiếp tuyến ⊥

đường thẳng (d) y = x

Giải

Bài này Thầy xin chỉ giải bằng cách 2

Cách 2: ( Sử dụng điều kiện tiếp xúc )

Theo giả thiết : Tiếp tuyến ⊥ đường thẳng (d) y = x nên phương trình tiếp tuyến

cần tìm có dạng: y = –x + m (*)

− + =

(1)

−1 =

() (2)

Ta có hệ phương trình hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số là:

Ta có: (2) ⇔ (x – 1)2 = –1 < 0 ⇒ Phương trình vô nghiệm

Vậy không có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:y = , biết tiếp tuyến ⊥

đường thẳng (d) y = –4x

(HD trực tiếp)

Bài 4: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + 1. Từ gốc tọa độ O có thể kẻ được bao nhiêu tiếp

tuyến với đồ thị hàm số. Viết các phương trình tiếp tuyến đó.

(HD trực tiếp)

3) Bài tập áp dụng:

Bài 4.27: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x3 – 3x2 + 1, biết tiếp

tuyến // đường thẳng (d) y = 9x

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 37

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Bài 4.28: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x3 – 3x2 + 2, biết tiếp

tuyến // đường thẳng (d) y = –3x

Bài 4.29: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:y = , biết tiếp tuyến

⊥ đường thẳng (d) x – y – 1 = 0

Bài 4.30: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = –x4 – x2 + 6, biết tiếp

tuyến ⊥ đường thẳng (d) y = x – 1

Bài 4.31: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = , biết tiếp tuyến

⊥ đường thẳng (d) y = x

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 38

Mai Nguyễn Minh Hoàng

PHẦN II LƯỢNG GIÁC

Các em thân mến!

Lượng giác là phần kiến thức thường xuất hiện trong đề thi, đặc biệt là kì thi THPT

Quốc Gia. Câu hỏi này thường không quá khó để giải nhưng để giải nó các em cần

phải nắm vững một số kiến thức cơ bản. Vì thế trong quyển 1 này, các em sẽ nắm

được phần cơ bản của lượng giác mà bấy lâu nay được học nhưng vì lâu quá nên

quên mất thì bây giờ được củng cố và rèn luyện. Thầy hy vọng sau khi học xong

phần này thì câu hỏi lượng giác sẽ trở nên đơn giản và nằm trong tầm tay của các

BÀI 1

BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

em. Chúc các em thành công!

I) Vòng tròn lượng giác:

* Ghi chú: Chiều quay lượng giác giống chiều mở nắp chai nước, ...

II) Một số công thức liên hệ giữa các góc:

* Thần chú: "cos đối sin bù phụ chéo khác pi là tan, cot "

1) Hai góc đối nhau: " cos đối "

cos(–x) = cos x

Còn đối với sin, tan, cot thì:

sin(–x) = –sin x ; tan(–x) = –tan x ; cot(–x) = –cot x

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 39

Mai Nguyễn Minh Hoàng

2) Hai góc bù nhau: " sin bù "

sin ( – x) = sin x ; cos ( – x) = –cos x

tan ( – x) = –tan x ; cot ( – x) = –cot x

3) Hai góc phụ nhau : "phụ chéo – nghĩa là sin đi với cos, tan đi với cot "

sin ( – x) = cos x ; cos ( – x) = sin x

tan ( – x) = cot x ; cot ( – x) = tan x

4) Hai góc hơn kém nhau : " khác pi là tan , cot "

sin ( + x) = –sin x ; cos ( + x) = –cos x

tan ( + x) = tan x ; cot ( + x) = cot x

5) Hai góc hơn kém nhau :

sin ( + x) = cos x ; cos ( + x) = –sin x

tan ( + x) = –cot x ; cot ( + x) = –tan x

III) Một số công thức cơ bản:

1) sin2x + cos2x = 1

2) 1 + tan2x =

3) 1 + cot2x =

4) tan x . cot x = 1

5) Công thức tổng hiệu:

sin (a ± b) = sina.cosb ± sinb.cosa

cos (a ± b) = cosa.cosb ∓ sina.sinb

∓ .

tan (a ± b) =

6) Công thức nhân đôi, nhân ba:

a) sin2x = 2sinx.cosx

b) cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x

Thần chú: sin thì 3,4 cos thì 4,3

c) sin3x = 3sinx – 4sin3x

d) cos3x = 4cos3x – 3cosx

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 40

Mai Nguyễn Minh Hoàng

e) tan2x = ; tan3x =

7) Công thức biến đổi tổng thành tích:

* Thần chú: sin cộng sin bằng 2 sin cos, sin trừ sin bằng 2 cos sin, cos cộng cos bằng

2 cos cos, cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin.

a) sin a + sin b = 2sin cos

b) sin a + sin b = 2sin cos

c) cos a + cos b = 2cos cos

d) cos a – cos b = –2 sin sin

) = √2cos(a –

) e) sin a + cos a = √2sin(a +

) = – √2cos(a +

) f) sin a – cos a = √2sin(a –

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 41

Mai Nguyễn Minh Hoàng

PHẦN III

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Các em thân mến!

Hình học không gian là phần kiến thức quan trọng, không thể thiếu trong các kì thi,

đặc biệt là kì thi THPT Quốc Gia. Trong những năm gần đây, trong đề thi tuyển sinh

Đại học, Cao đẳng thì hình học không gian không còn quá khó và đặc biệt kể từ năm

2015, với xu thế ra đề chung vừa xét tốt nghiệp và tuyển sinh đại học, cao đẳng thì

phần hình học KG trở nên câu hỏi trung bình, không quá khó để giải, chỉ cần nắm

vững kiến thức cơ bản thì cũng có thể làm được câu này. Nhưng theo Thầy được

biết, nhiều em lại rất sợ phần này, bởi vì cách vẽ hình và tìm lời giải cho câu hình

học KG. Thầy nghĩ rằng các em chỉ cần nắm vững kiến thức hình KG của lớp 11 kết

hợp với phần kiến thức của lớp 12 thì các em có thể giải câu này một cách đơn giản.

Trong phần 3 này, Thầy sẽ tóm tắt cơ bản kiến thức hình lớp 11, phân tích và đưa

ra cách vẽ hình và lời giải cụ thể để các em có thể tiếp thu dễ dàng hơn. Thầy hy

vọng sau khi học xong, các em có thể tự tin nói rằng: " A, Hình học Không gian thật

dễ!" để các em có thể hoàn thành tốt kì thi sắp tới với số điểm như các em mong

muốn. Chúc các em thành công và sẽ tự tin hơn sau khi học xong phần này.

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 42

Mai Nguyễn Minh Hoàng

BÀI 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÌNH KHÔNG GIAN

I) Công thức tính chu vi, diện tích một số hình phẳng:

1) Tam giác:

Cho ∆ABC có độ dài 3 canh là a, b, c. Gọi p là nửa chu vi của tam giác và R, r lần lượt

là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác. Ta có:

a) Chu vi: CV = 2p = a + b + c

b) Diện tích: Có 5 công thức tính diện tích tam giác:

ℎ =

S = ℎ = ℎ (với ℎ, ℎ, ℎ lần lượt là đường cao kẻ từ đỉnh A,B,C)

(Công thức này là công thức Hê–rông) = ( − )( − )( − ) với p =

= =

* Cần chú ý những trường hợp đặc biệt sau:

AB.AC =

BC.ha

• Cho ∆ABC vuông tại A. Ta có diện tích tam giác là: S =

Và đường cao h kẻ từ đỉnh A được tính bằng công thức:

• Định lý sin: = = (Sử dụng cho ∆ABC bất kì)

• Định lý hàm số cos: (Sử dụng cho ∆ABC bất kì)

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC

2) Tứ giác:

a) Hình vuông có cạnh là a: Chu vi: CV = 4a; Diện tích: S = a2 ; Đường chéo: d = a√2

b) Hình chữ nhật có cạnh là a, b: Chu vi: CV = 2(a+b); Diện tích: S = ab

c) Hình bình hành cạnh a,b: Chu vi: CV = 2(a+b); S = absinA = aha = bhb

.tích của 2 đường chéo

.(tổng 2 đáy).chiều cao e) Hình thang: Chu vi: CV = tổng của 4 cạnh; Diện tích: S =

d) Hình thoi cạnh a: Chu vi: CV = 4a ; Diện tích: S =

3) Đường tròn bán kính R: Chu vi: CV = 2R; Diện tích: S =R2

II) Công thức tính Sxq, Stp, V của các hình không gian:

1) Hình lăng trụ:

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 43

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Cho hình lăng trụ có đường cao h. Ta có các công thức sau:

a) Diện tích xung quanh: Sxq = Tổng diện tích các mặt bên

b) Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2.Sđáy

c) Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy . Chiều cao h

2) Hình chóp:

Cho hình chóp có đường cao h. Ta có các công thức sau:

a) Diện tích xung quanh: Sxq = Tổng diện tích các mặt bên

b) Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + Sđáy

.Sđáy . Chiều cao h

c) Thể tích khối lăng trụ: V =

* Chú ý: Khi một hình chóp bị cắt bởi một mặt phẳng thì ta có công thức tính tỉ số

thể tích như sau: Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên đoạn SA, SB, SC lấy 3 điểm M,

N, P (không trùng S) .

Khi đó ta có:

. .

(Công thức tính tỉ số thể tích)

* Ghi chú: Hình lăng trụ và hình chóp là 2 hình quan trọng, thường xuất hiện chính

trong các đề thi học kì, học sinh giỏi và kì thi tuyển sinh đại học, tốt nghiệp và THPT

Quốc Gia. Còn những hình khác như hình nón, hình chóp cụt, hình cầu sẽ ít gặp hơn

và sẽ được học trong những tháng tiếp theo.

III) Quan hệ song song, vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian:

1) Quan hệ song song:

a) Đường thẳng song song đường thẳng:

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 44

Mai Nguyễn Minh Hoàng

a // mpα

⇒ a // b b // mpβ

b = (α) ∩ (β)

mpα // mpβ

⇒ a // b a = (α) ∩ (γ)

b = (β) ∩ (γ)

a // c, b // c ⇒ a // b

a, b không có điểm chung

a ⊥ mpα , b ⊥ mpα ⇒ a // b

a, b không có điểm chung

a // mpα , a ⊂ mpα ⇒ a // b

b = (α) ∩ (β)

b) Đường thẳng song song mặt phẳng:

a // b ⊂ mpα ⇒ a // mp

M ∈ a ⇒ M ∉ (α)

a // b // mpα ⇒ a // mp

M ∈ a ⇒ M ∉ (α)

a ⊥ b (mpβ), mpα ⊥ b (mpβ) ⇒ a // mp M ∈ a ⇒ M ∉ (α)

c) Mặt phẳng song song mặt phẳng:

a // mpβ, b // mpβ ⇒ mp // mp

a, b ⊂ mpα

a ⊥ mpα, a ⊥ mpβ ⇒ mp // mp M ∈ mpα ⇒ M ∉ mpβ

mpα // mpγ, mpβ // mpγ ⇒ mp // mp M ∈ mpα ⇒ M ∉ mpβ

2) Quan hệ vuông góc:

a) Đường thẳng vuông góc đường thẳng:

a ⊥ c ⇒ a ⊥ b b // c

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 45

Mai Nguyễn Minh Hoàng

a ⊥ mpα ⇒ a ⊥ b b ⊂ (//) mpα

Góc tạo bởi a và b bằng 90O ⇒ a ⊥ b

* Chú ý: (Định lý 3 đường vuông góc)

Gọi a' là hình chiếu của a lên mp(P) và b ⊂ mp(P).

Khi đó ta có: b ⊥ a ⇔ b ⊥ a’

b) Đường thẳng vuông góc mặt phẳng:

a // b ⇒ a ⊥ mp

b ⊥ mpα

mpα // mpβ ⇒ a ⊥ mp

a ⊥ mpβ

mpα ⊥ mpβ

⇒ a ⊥ mp a ⊂ mpβ

a ⊥ b = mpα ∩ mpβ

mpα ⊥ mpβ

⇒ a ⊥ mp mpα ⊥ mpγ

a = mpγ ∩ mpβ

a ⊥ b, a ⊥ c

⇒ a ⊥ mp b ∩ c = A

b, c ⊂ mpα

c) Mặt phẳng vuông góc mặt phẳng:

a ⊥ mpβ ⇒ mp ⊥ mp

a ⊂ mpα

mpα ⊥ mpγ ⇒ mp ⊥ mp

mpβ // mpγ

2 mặt phẳng tạo với nhau 1 góc vuông ⇒ mpα ⊥ mpβ

IV) Góc và khoảng cách:

1) Góc:

a) Góc tạo bởi 2 đường thẳng phải là góc nhọn, tức là góc đó lớn hơn 0 bé hơn 90O

. Để xác định góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a, b trong không gian ta cần tìm

thêm 1 đường thẳng song song với 1 trong 2 đường a hoặc b sao cho nó cắt đường

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 46

Mai Nguyễn Minh Hoàng

còn lại. Khi đó góc tạo bởi 2 đường thẳng đã cho là góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt

nhau ở trên.

b) Góc tạo bởi 2 mặt phẳng là góc tạo bởi 2 đường thẳng vuông góc với giao tuyến

chung của 2 mặt phẳng.

2) Khoảng cách:

a) Khoảng cách từ một điểm đến 1 đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc chung kẻ

từ điểm đó đến mặt phẳng.

b) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng: Để tìm khoảng cách giữa 2 đường thẳng ta lấy

1 điểm thuộc đường thẳng này và kẻ vuông góc với đường thẳng còn lại. Khi đó

đoạn vừa kẻ là khoảng cách giữa 2 đường thẳng cần tìm.

c) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp song song với a là khoảng cách từ 1 điểm

bất kì trên A đến mp song song đó.

d) Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song: là khoảng cách từ 1 điểm bất kì thuộc

mặt phẳng này đến mặt phẳng còn lại.

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 47

Mai Nguyễn Minh Hoàng

BÀI 2

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ HÌNH KHÔNG GIAN

I) Phương pháp giải:

Để tìm thể tích, diện tích, khoảng cách ta sẽ xác định chính xác các yếu tố liên quan

và sử dụng các công thức ở bài 1 để tính. Một số bài toán phức tạp chúng ta nên vẽ

riêng các phần hình có liên quan ra giấy (Vì khi nhìn dưới góc độ mặt phẳng, không

còn là không gian thì dễ phát hiện tính chất, nhờ vậy ta giải sẽ đơn giản hơn)

II) Bài tập minh họa:

Bài 1: (Đề thi THPTQG năm 2015)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), góc giữa

đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45O. Tính theo a thể tích khối chóp

S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC

Phân tích và định hướng cách giải

* Về cách vẽ hình:

_ Trước tiên ta cần vẽ đáy trước. Theo đề, đáy ABCD là hình vuông nhưng trong

không gian thì tất cả các tứ giác ta đều vẽ hình bình hành và đây là hình vuông nên

ta sẽ kí hiệu góc vuông và kí hiệu bằng nhau đối với 4 cạnh. Lưu ý cạnh nào nhìn

thấy sẽ vẽ nét liền, còn không nhìn thấy sẽ vẽ nét đứt,

_ Tiếp theo, ta sẽ vẽ đường cao SA. Vì SA ⊥ (ABCD) nên từ A ta sẽ kẻ 1 đường thẳng

vuông góc với cạnh nằm ngang AD. Theo tính chất của đường thẳng vuông góc mặt

phẳng thì SA sẽ vuông góc với tất cả các cạnh của mp (ABCD).

_ Sau khi vẽ xong SA ta sẽ nối SB, SC, SD. Tiếp theo ta sẽ xác định góc giữa đường

thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Vì AC là hình chiếu của SC lên đáy nên góc SCA là

góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABCD).

_ Cần kí hiệu các giả thiết vào hình để dễ sử dụng làm bài

_ Sau đây là hình vẽ:

* Hướng dẫn giải:

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 48

Mai Nguyễn Minh Hoàng

• Tính VS.ABCD :

Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA là đường cao của khối chóp S.ABCD. Do đó ta có:

VS.ABCD = SA.SABCD (1)

Vì ABCD là hình vuông cạnh bằng a ⇒ SABCD = a2 (2)

và AC = a√2

Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD). Do đó: SCA = sc, (ABCD) = 45O 15

∆SCA vuông tại A có SCA = 45O nên ta có: SA = AC.tanSCA = a√2.tan45O = a√2 (3)

√

Từ (1),(2) và (3) suy ra: VS.ABCD = (đvtt) a√2.a2 =

• Tính d(SB,AC):

Để tính khoảng cách giữa SB và AC ta làm như sau:

Vì SB và AC là 2 đường thẳng chéo nhau nên để tính khoảng cách này ta cần dựng

1 mp chứa SB và AC. Khi đó khoảng cách giữa SB và AC chính là khoảng cách từ A

đến mp vừa dựng

Sau đây là lời giải:

Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC. Kẻ AM ⊥ d tại M. AH ⊥ SM tại H.

Vì BM//AC ⇒ d(SB, AC) = d(AC, (SBM)) = d(A, (SBM)) (4)

Ta có: SA ⊥ BM (Vì SA ⊥ (ABCD) và BM ⊂ (ABCD))

Và AM ⊥ BM (theo cách dựng)

⇒ BM ⊥ (SAM) Mà AH ⊂ (SAM)

⇒ BM ⊥ AH

Mà AH SM

⇒ AH ⊥ (SBM)

Do đó: d(A,(SBM)) = AH (5)

15 , ( ) là góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABCD). Lưu ý: Khi ghi tên mặt phẳng ta phải ghi tên và đặt vào trong dấu ngoặc tròn. Chẳng hạn: mặt phẳng (ABC) Khi ghi tên góc tạo bởi 2 đường thẳng hoặc tạo bởi 2 mặt phẳng hoặc tạo bởi 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng ta phải để trong dấu ngoặc tròn và trên đầu có đánh dấu góc như trên.

Vì AC//BM ⇒ BAC = ABM = 45O

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 49

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Mà AMB = 90O (Vì AM ⊥ BM)

⇒ ∆ABM vuông cân tại M

√

⇒ AM = BM =

∆SAM vuông tại M có đường cao AH nên ta có:

+ √

⇒ AH = (6)

√

Từ (4), (5) và (6) suy ra: d(BM, AC) = (đơn vị độ dài)

Bài 2: (Đề thi minh họa năm 2015)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2a, ACB = 30O. Hình

chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và SH = a√2.

Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mp(SAB).

Giải

* Tính VS.ABC

Theo giả thiết: HA = HC = AC = a và SH ⊥ (ABC)

Xét ∆ABC vuông tại B ta có: BC = AC.cosACB = 2a.cos30O = a√3

.2a.a√3.sin30o =

√

Do đó: SABC = AC.BC.sinACB =

.a√2.

√

Vậy VS.ABC = .SH.SABC = = (đvtt) 16

* Tính d(C, (SAB))

16 đvtt: đơn vị thể tích

Vì CA = 2HA nên d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)) (1)

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 50

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Gọi N là trung điểm AB. Ta có HN là đường trung bình của ∆ABC.

Do đó HN//BC ⇒ AB ⊥ HN

Mặt khác ta có: AB ⊥ SH nên AB ⊥ (SHN). Do đó (SAB) ⊥ (SHN). Mà SN là giao tuyến

của 2 mặt phẳng vừa nêu, nên trong mp(SHN), hạ HK ⊥ SN, ta có: HK ⊥ (SAB)

Vì vậy d(H, (SAB)) = HK. Kết hợp với (1), suy ra d(C, (SAB)) = 2HK (2)

BC =

√

Vì HN là đường trung bình ∆ABC nên HN =

Vì SH ⊥ (ABC) nên SH ⊥ HN. Xét ∆SHN vuông tại H, ta có:

= √

⇒ HK = (3)

√

Thế (3) vào (2) ta được d(C, (SAB)) = (đvđd)

Bài 3: (Đề thi Đại học khối A và A1 năm 2014)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = , hình chiếu

vuông góc của S trên mp (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích

khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mp (SBD).

(đvtt) ; d(A, (SBD)) =

ĐS: VS.ABCD = (đvđd)

(HD trực tiếp)

Bài 4: (Đề thi đại học khối D năm 2014)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam

giác đều cạnh a và mp (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích của khối

chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.

(đvtt) ; d(SA, BC) =

√

ĐS: VS.ABC = (đvđd)

(HD trực tiếp)

III) Bài tập áp dụng:

Bài 2.1: (Đề thi Đại học khối A và A1 năm 2013)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC = 30O,

SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 51

Mai Nguyễn Minh Hoàng

theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mp (SAB).

(đvtt) ; d(C, (SAB)) =

√

ĐS: VS.ABC = (đvđd)

Bài 2.2: (Đề thi Đại học khối D năm 2013)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc với đáy, BAD = 120O, M là trung điểm cạnh BC và

SMA = 45O. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và

khoảng cách từ điểm D đến mp (SBC).

√

ĐS: VS.ABCD = (đvtt) ; d(D, (SBC)) = (đvđd)

Bài 2.3: (Đề thi Đại học khối A và A1 năm 2012)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu

vuông góc của S trên mp (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho

HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mp (ABC) bằng 60O. Tính

thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng SA và BC theo a.

√

ĐS: VS.ABC = (đvtt) ; d(SA, BC) = (đvđd)

Bài 2.4: (Đề thi Đại học khối D năm 2012)

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, tam giác

A'AC vuông cân, A'C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB'C' và

khoảng cách từ điểm A đến mp (BCD') theo a.

a6 6

√

ĐS: VABB'C' = (đvtt) ; d(A, (BCD')) = (đvđd)

Bài 2.5: (Đề thi Đại học khối A năm 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,

AB = BC = 2a; hai mp (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mp

(ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mp qua SM và song song

với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa 2 mp (SBC) và (ABC) bằng

60O. Tính thể tích của khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và

SN theo a.

√

(đvđd) ĐS: VS.BCNM = a√3 (đvtt) ; d(AB, SN) =

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 52

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Bài 2.6: (Đề thi Đại học khối D năm 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. BA =

3a, BC = 4a, mp (SBC) vuông góc với mp (ABC). Biết SB = 2a√3 và SBC = 30O. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách

từ điểm B đến mp (SAC) theo a.

√

(đvđd) ĐS: VS.ABC = 2a√3 (đvtt) ; d(B, (SAC)) =

Bài 2.7: (Đề thi Đại học khối A năm 2010)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD, H

là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mp

(ABCD) và SH = a√3. Tính thể tích của khối chóp S.CDNM

và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

√

ĐS: VS.CDNM = (đvtt) ; d(DM, SC) = (đvđd)

Bài 2.8: (Đề thi Đại học khối D năm 2010)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mp

(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC, AH = . Gọi CM là đường

cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối tứ diện

SMBC theo a.

Hướng dẫn và ĐS:

a) Để chứng minh M là trung điểm SA ta chứng minh tam giác SAC cân tại C.

√

b) VS.MBC = (đvtt)

Bài 2.9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại các đỉnh

A và D. Biết rằng AB = 2a, AD = CD = a. Cạnh bên SA = 3a vuông góc với đáy.

a) Tính diện tích tam giác SBD theo a ĐS: a2 (đvdt)

b) Tính thể tích tứ diện SBCD theo a ĐS: a3 (đvtt)

Bài 2.10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hinh thoi cạnh a và góc BAC bằng

60O. Các mặt bên nghiêng đều trên đáy góc α.

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 53

Mai Nguyễn Minh Hoàng

a) Tính theo a và α thể tích khối chóp S.ABCD và diện tích toàn phần hình chóp

tanα (đvdt) ; Stp =

(1 +

) (đvdt)

√

S.ABCD ĐS: VS..ABCD =

b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a và α

√

ĐS: d(A, (SBC)) = (đvđd)

Bài 2.11: Cho tam giác OAB có OA = OB = 2a, góc AOB bằng 120O. Cho CD ⊥ (OAB),

với O ở trong C và D, tam giác ABC vuông ở C và tam giác ABD đều.

a) Tính theo a thể tích tứ diện ABCD ĐS: VS.ABCD = a√6 (đvdt)

b) Tính theo a diện tích toàn phần tứ diện ABCD

ĐS: Stp = a(3 + 6√2 + 3√3) (đvdt)

Bài 2.12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình vuông cạnh

bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của hình chóp bằng 45O.

a) Tính theo a diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD ĐS: Stp = a(1 + √3) (đvdt)

√

b) Tính theo a khoảng cách giữa BC và SA ĐS: d(BC, SA) = (đvđd)

Bài 2.13: Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy AB là tam giác vuông tại B, AB = a√3, AC

= 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.

Góc giữa cạnh AC và mp (SBC) bằng 30O.

√

a) Tính theo a thể tích hình chóp S.ABC ĐS: VS.ABC = (đvtt)

√

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.AHC ĐS: VS.AHC = (đvtt)

Hướng dẫn: VS.AHC = VS.ABC VH.ABC

Bài 2.14: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với (ABC), AB = 5a, BC = 6a,

√

CA = 7a. Khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn: Để tính thể tích khối chóp S.ABC ta sẽ tính SA và tính diện tích tam giác

ABC bằng công thức He–rông

ĐS: VS.ABC = 6a√2 (đvtt)

Bài 2.15: (Đề thi Đại học khối B năm 2008)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a, SA = a, SB = a√3

và mp(SAB) vuông góc với mp đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 54

Mai Nguyễn Minh Hoàng

BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc tạo bởi hai

đường thẳng SM, DN

√

ĐS: VS.BMDN = (đvtt) và cos (SM, DN) =

Bài 2.16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường

tròn đường kính AD = 2a, SA = a√6 và SA vuông góc với mp (ABCD). Gọi H là hình

chiếu vuông góc của A lên SB. Tính theo a thể tích của khối chóp H.SCD và khoảng

cách giữa 2 đường thẳng AD và SC

√

ĐS: VH.SCD = (đvtt) và d(AD, SC) = (đvđd)

Bài 2.17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 2a, SA = a , SB

= a√3, góc BAC bằng 60O, mp(SAB) vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung

điểm AB và BC. Tính theo a thể tích của khối tứ diện NSDC và cosin của góc tạo bởi

hai đường thẳng SM và DN

√

ĐS: VNSDC = (đvtt) và cos(SM, DN) =

Bài 2.18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, góc

BAD bằng 120O. Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) trùng với trọng tâm của

tam giác ABD. Biết khoảng cách từ A đến (SCD) bằng . Tính theo a thể tích của

khối chóp S.ABCD và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng SB và AC

√

ĐS: VS.ABCD = (đvtt) và cos(SB, AC) =

Bài 2.19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SC = a. Hình

chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) trùng với điểm H là trung điểm AO, mp(SAD)

tạo với đáy (ABCD) một góc 60O. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và

khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

√

ĐS: VS.ABCD = (đvtt) và d(AB, SC) = (đvđd)

Bài 2.20: Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a√2, BC = BD = a. Khoảng cách từ B tới

√

mp(ACD) bằng . Biết thể tích của khối tứ diện ABCD bằng . Tính góc tạo

bởi hai mặt thẳng (ACD) và (BCD)

ĐS: Góc tạo bởi hai mặt thẳng (ACD) và (BCD) bằng 45O

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 55

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Bài 2.21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu

vuông góc của S xuống (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD, mặt bên (SAB)

tạo với đáy (ABCD) một góc 60O. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD

√

ĐS: VS.ABCD = (đvtt)

Bài 2.22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a. Gọi

M và N lần lượt là trung điểm của OB, SD và mp(NAC) tạo với đáy (ABCD) một góc

60O. Hai mp (SAM) và (SCM) cùng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối

chóp S.ACN

√

ĐS: VS.ACN = (đvtt)

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 56

Mai Nguyễn Minh Hoàng

. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Các em thân mến!

Như các em đã biết, kể từ năm 2017, Bộ Giáo dục để thay thế phương pháp

thi tự luận đối với MÔN TOÁN bằng phương pháp thi trắc nghiệm làm cho một số

em băn khoăn lo lắng không biết phải thi như thế nào. Tuy nhiên các em đừng lo,

nếu các em nắm vững lý thuyết, cộng thêm các em có phương pháp, kỹ thuật làm

bài tốt thì các em sẽ chinh phục các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm một cách đơn giản và đạt hiệu quả nhất. Chúc các em thành công.

1) Nắm vững lý thuyết bài học, bởi vì khi ra đề trắc nghiệm, người ta sẽ nhắm vào cốt lõi nội

dung, và có các đáp án tương tự nhau, nếu như các em không có kiến thức lý thuyết thật

tốt thì các em sẽ dễ bị mắc sai lầm. Để làm được điều này, các em cần đọc thật kĩ sách giáo

khoa, làm các câu hỏi lý thuyết trong SGK và SBT, đồng thời tham khảo thêm các nguồn tài

liệu đáng tin cậy trong các sách hoặc trên mạng để mở rộng kho tàng kiến thức lý thuyết

của mình

2) Khi nhìn vào một câu hỏi trắc nghiệm, điều đầu tiên các em cần bình tĩnh đọc thật kĩ và

chính xác câu hỏi và đáp án, từ đó sử dụng các phương pháp như loại trừ đáp án, … để có

thể chọn câu chính xác trong thời gian nhanh nhất

3) Các em cần luyện tập thật nhiều các câu hỏi trắc nghiệm, bởi vì kho các câu hỏi trắc nghiệm

sẽ đa dạng và đồ sộ hơn nhiều so với câu hỏi tự luận, nếu như các em không làm nhiều các

em sẽ khó mà làm được tốt các câu hỏi trắc nghiệm khi thi (thông thường thời gian làm

bài dành cho 1 câu trắc nghiệm chỉ tối đa 2 phút, ít hơn nhiều so với 1 câu hỏi tự luận)

4) Khi làm trắc nghiệm, các em nên luyện cho mình các kỹ năng, trong đó có kỹ năng bấm

máy tính, các em cần sử dụng thành thạo các chức năng quan trọng cần sử dụng của máy

tính để khi thi các em mới giải quyết tốt được

5) Khi luyện tập, các em nên canh thời gian phù hợp theo đề thi đã cho để có thể lường trước

được thời gian làm bài từ đó có thể tìm ra các giải pháp phù hợp tiếp theo để nâng điểm

số khi thi. Đồng thời, ngoài việc khoanh tròn trực tiếp đáp án, các em nên chuẩn bị bút chì

và tô vào phiếu đáp án vì khi thi các em sẽ được làm bài tô trên phiếu đáp án để chấm tự

động bằng máy. Các em cần nhớ: “Tô thì ai tô cũng được, nhưng tô đẹp là cả 1 nghệ thuật”

MỘT VÀI LƯU Ý KHI LÀM BÀI TRẮC NGHIỆM:

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 57

Mai Nguyễn Minh Hoàng

PHẦN I HÀM SỐ

CÂU HỎI

GHI CHÚ

Câu 1. Hàm số y = x3 – 3x2 + 4 nghịch biến trên các khoảng

a) (–2;0) b) (–∞ ; 0) ∪ ( 2 ; +∞ )

c) ( 3; +∞ ) d) (0 ; 2)

Câu 2. Hàm số y = nghịch biến trên các khoảng

a) R b) (–∞ ; –1) và (–1; + ∞ )

c) (–∞ ; 1) và (1; + ∞ ) d) R \ {–1; 1}

Câu 3. Đồ thị hàm số y = x3 + (m – 3)x2 – (2m – 1)x – 3(m +

1) đi qua điểm nào ghi dưới đây với bất kỳ giá trị nào của m.

a) (-1;-8) b) (-3;0) c) (3;0) hay (-1;-8) d) (2;1)

Câu 4. Hàm số y = x4 – 16x2 + 17 có bao nhiêu điểm cực trị

a) 3 b) 2 c) 1 d) Không có

Câu 5. Điểm cực đại của hàm số y = –x3 + 3x2 + 2 là:

a) x =0 b) x = 2 c) (0; 2) d) ( 2; 6)

Câu 6. Đồ thị hà m sô có bao nhiêu tiệm cận. ́ y =

a) 3 b) 2 c) 1 d) Không có

Câu 7. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y = x3 – 3x2 – 9x

+ 35 trên đoạn [–4; 4] lần lượt là:

a) 40 ; 8 b) 40; 15 c) 15; -41 d) 40; -41

Câu 8. Với giá trị nào của m thì phương trình x4 – 2x2 – m = 0

có 4 nghiệm phân biệt

a) –1 < m < 1 b) 0 < m < 1

c) –1 ≤ m ≤ 0 d) –1 < m < 0

Câu 9. Hàm số y = √2 − đồng biến trên khoảng

a) (1;2) b) (–∞ ; 1) c) (1; +∞ ) d) (0 ; 1)

Câu 10. Với giá trị nào của m thì hàm số y = sin2x - msinx đạt

cực trị tại điểm x =

√

b) m = c) m = –2 d) m = 2 a) m = −

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 58

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Câu 11 . Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y = x +

√16 − x lần lượt là:

a) 4; –4 b) 4√2; 4 c) 4√2; –4 d) 4√2; 2√2

Câu 12. Cho hàm số y = ,đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm

trên đồ thị mà chúng cách đều hai trục tọa độ

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

Câu 13. Một tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = song song

với đường thẳng 2x + y + 2016 = 0 là:

a) y = –2x – 10 b) y = –2x – 7

c) y = –2x + 7 d) y = –2x + 1

Câu 14. Trên đồ thị hàm số y = có bao nhiêu điểm có tọa

độ nguyên :

a) 0 b) 5 c) 1 d) 2

Câu 15. Với giá trị nào của m thì hàm số y = sin3x + mcosx

đạt cực đại tại điểm x =

c) m = –6 d) m = 6 a) m = –2√3 b) m = 2√3

Câu 16. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = |–x3 + 3x2 –

3| trên đoạn [1; 3] lần lượt là M và m, thế thì M+m gần nhất

với số :

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

có phương trình tiếp tuyến tại

Câu 17: Đồ thị hàm số y =

điểm có hoành độ x = 0 là :

a) y = –2x – 1 b) y = –2x + 1

c) y = 2x + 1 d) y = 2x – 1

Câu 18. Định m để hàm số y = x4 + mx3 – 2x2 – 3mx + 1 có 3

cực trị:

c) m ≠ ±

d) ∀m a) m ≠ ± 1 b) m ≠ ±

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 59

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Câu 19. Đồ thị hàm số y = x3 + (m – 3)x2 – (2m – 1)x – 3(m+1)

cắt trục Ox tại 3 điểm có hòanh độ dương với giá trị nào của

a) –1 ≤ m ≤ 2 – 2√2 b) –1 < m < 2 – 2√2

c) m > –1 d) m > 2

Câu 20: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào ?

x –∞ 0 2 +∞

y’ – 0 + 0 –

y +∞ 2

–2 –∞

a) y = x3 – 3x2 – 1 b) y = –x3 + 3x2 – 2

c) y = x3 + 3x2 – 1 d) y = –x3 – 3x2 – 2

Câu 21: Tìm m để hàm số y = 2x3 + (3 – m)x2 – 16x + 4m

nghịch biến trên khoảng (–1; 1)

a) 10 b) 11 c) 9 d) Vô số

Câu 22: Có hai giá trị m để hàm số y = x3 – (2 + m)x2 + (1 –

m)x + 3m – 1 đạt cực trị tại x1; x2 mà |x1 – x2| = 2.Tổng của

hai số đó là :

a) –1 b) –3 c) –5 d) –7

;

là:

Câu 23 . Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y = trên

;

b) c) d) Một đáp số khác a)

Câu 24. Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m2.Để hàm số có 3

cực trị thì :

a) m ≠ ± 1 b) m > –1 c) m < –1 d) ∀m

Câu 25. Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m2.Để hàm số có 3

điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông thì :

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 60

Mai Nguyễn Minh Hoàng

a) m = 0 b) m = –1 c) m = 1 d) ∀m

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 61

Mai Nguyễn Minh Hoàng

PHẦN II LƯỢNG GIÁC

GHI CHÚ

CÂU HỎI

Câu 1: Chọn câu sai . Với k Z

a/ Hàm số y = sinx có tập xác định là R

b/ Hàm số y = cosx có tập xác định là R

c/ Hàm số y = tanx có tập xác định là R\{k}

d/ Hàm số y = cotx có tập xác định là R\{– k}

Câu 2: Chọn câu sai .

 2

a/ Hàm số y = sinx đồng biến trong (0 ; )

 2

b/ Hàm số y = cosx đồng biến trong (0 ; )

 2

c/ Hàm số y = tanx đồng biến trong (0 ; )

 2

) d/ Hàm số y = cotx nghịch biến trong (0 ;

Câu 3: Chọn câu sai

 2

a/ Hàm số y = sinx đồng biến trong (– ; 0)

 2

b/ Hàm số y = cosx đồng biến trong (– ; 0)

 2

c/ Hàm số y = tanx đồng biến trong (– ; 0)

 2

d/ Hàm số y = cotx đồng biến trong (– ; 0)

Câu 4: Chọn câu sai . Với k Z

a/ Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên R

b/ Hàm số y = cosx là hàm số lẻ trên R

 2

c/ Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên R\{ +k}

d/ Hàm số y = cotx là hàm số lẻ trên R\{k}

Câu 5: Chọn câu sai

a/ y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2

b/ y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 62

Mai Nguyễn Minh Hoàng

c/ y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2

d/ y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 

Câu 6: Chọn câu sai . Với k Z

a/ Hàm số y = sinx có tập giá trị là [–1 ; 1]

b/ Hàm số y = cosx có tập giá trị là [–1 ; 1]

c/ Hàm số y = tanx có tập giá trị là R

d/ Hàm số y = cotx có tập giá trị là R\{ k}

Câu 7: Chọn câu sai:

a/ 0  sin2x  1 ,  x R

b/ 0  cos2x  1 ,  x R

 2

c/ –1  sinx  0 ,  x[– ; 0]

 2

d/ –1  cosx  0 ,  x[– ; 0]

3 4

Câu 8: Chọn câu đúng .  x[0 ; ] ta có :

2 2

a/ 0  sinx 

b/ 0  sinx  1

c/ –1  sinx  0

2 2

d/ –1  sinx 

 2

 3

Câu 9: Chọn câu đúng .  x[– ] ta có : ;

1 2

a/ 0  cosx 

b/ 0  cosx  1

c/ –1  cosx  0

1 2

d/ –1  cosx 

 4

 3

Câu 10: Chọn câu đúng .  x[– ] ta có : ;

a/ –1  tanx  1

b/ 1  tanx  3

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 63

Mai Nguyễn Minh Hoàng

c/ –1  tanx  3

3 3

d/ –1  tanx 

1 2

 2

Câu 11: Phương trình sinx = có nghiệm x( ; ) là

5 6

 6

a/ { } b/ { ; }

2 3

5 6

c/ { } d/ { }

1 2

Câu 12: Với k Z. Phương trình cosx = – có tập nghiệm là

 3

a/ { + k2 ; – + k2}

2 3

b/ { + k2}

 3

c/ {– + k2}

2 3

d/ { + k2 ; – – k2}

Câu 13: Chon câu sai .Với k Z. Phương trình cos x = 0 có tập

nghiệm là

 2

a/ { + k2 ; – + k2}

 2

b/ { + k}

 2

c/ {– + k}

 2

d/ { + k2}

Câu 14: Chon câu sai .Với k Z Phương trình sin x = 0 có tập

nghiệm là

a/ {+ k2; k2}

b/ {+ k}

c/ { – k}

d/ {k2}

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 64

Mai Nguyễn Minh Hoàng

3 3

Câu 15: Chon câu sai .Với k Z Phương trình cot x = – có

tập nghiệm là

2 3

 3

a/ { + k2 ; – + k2}

2 3

b/ { + k }

 3

c/ {– + k}

 3

d/ { + k2 ; – + k2}

Câu 16: Phép biến đổi tương nào sai

x x

 

cos cos

x x

 

0 0

sin  b/ sin2x – cos2x = 0   sin 

a/ sin2x – cos2x = 0  cos2x = 0

c/ sin2x – cos2x = 0  2 sin2x = 1

d/ sin2x – cos2x = 0  sinx = cosx

 4

Câu 17: Cho phương trình sin(2x + ) = –1 Số nghiệm phương

trình thuộc [; 2] là

a/ 0 b/ 2

37 

cos

c/ 1 d/ 3

Câu 18: Cho y = . GTLN của y là

a/ 10 b/ 2

c/ 1 d/ 7

Câu 19: GTLN của hàm số y = sin4x + cos4x là

a/ 0 b/ 2

1 2

c/ 1 d/

Câu 20: Cho y = sinx – cosx . GTLN của y là

a/ 0 b/ 2

c/ 1 d/ 2

Câu 21: GTLN của hàm số y = sin2x + 2cos2x là

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 65

Mai Nguyễn Minh Hoàng

a/ 0 b/ 2

c/ 1 d/ 3

 2

Câu 22: Cho y = 4tanx + cotx ,  x( 0 ; ) thì

a/ y  6 b/ y  10

c/ y  8 d/ y  4

Câu 23: Trong hệ trục Oxy , cho ⃗ = (– 1 ; 1) và M(sin ; cos2

). Giá trị  nào thì T(M)

⃗ = O

 2

a/  = b/  = –

c/  =  d/  = – 

Câu 24: Hàm số y = sin6x + cos3x tuần hoàn và có chu kỳ T là :

a/ T = 2 b/ T = 3

2 3

c/ T = 6  d/ T =

Câu 25: GTNN của hàm số y = sin2x + sinx là

a/ 0 b/ – 1

1 4

1 2

c/ – d/ –

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 66

Mai Nguyễn Minh Hoàng

PHẦN III

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

CÂU HỎI

GHI CHÚ

ACB 

Câu 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông

060 tại A, AC=a, (BCC’B’) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc tích của khối lăng trụ theo a ?

. Đường chéo BC’ của mặt bên 030 . Tính thể

3 6 3

32 a 3

34 a 3

B. C. D. A. 3 6 a

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AC=2a, BD=3a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC ?

a B.

a C.

1 208 3 217

1 208 2 217

208 217

3 208 2 217

A. D.

3 3 3

34 a 3

35 a 3

32 a 3

Câu 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt 060 . Mặt phẳng (P) chứa bên của hình chóp tạo với đáy góc AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M,N. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMN ? 3 A. B. C. D.

Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống (ABC) là trung 045 . Tính thể

32 a 3

33 a 16

a 16

C. B. A. D. điểm của AB. Mặt bên (ACC’A’) tạo với đáy góc tích khối lăng trụ này ? 3 3 3

BAD 

060

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành

với AB=a, AD=2a, , SA vuông góc với đáy, góc giữa

060 . Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số

V 3 a

SC và đáy bằng

D. 2 7 B. 3 C. 7

B. Hình tứ giác D. Hình lục giác

là: A. 2 3 Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD. Lấy một điểm M thuộc miền trong tam giác SBC. Lấy một điểm N thuộc miền trong tam giác SCD. Thiết diện của hình chóp S.ABCD với (AMN) là: A. Hình tam giác C. Hình ngũ giác Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh SA vuông góc với mặt đáy , biết AB=2a, SB=3a. Thể

8V 3 a

tích khối chóp S.ABC là V. Tỉ số có giá trị là:

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 67

Mai Nguyễn Minh Hoàng

8 3 3

8 5 3

4 5 3

4 3 3

A. B. C. D.

BA 

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I

D 60 và có cạnh bằng a, góc và SH vuông góc với (ABCD). Góc giữa SC và (ABCD) bằng . Tính thể tích khối chóp S.AHCD ?

. Gọi H là trung điểm của IB 045

a B.

a C.

3 a

39 32

39 16

35 32

35 16

A. D.

BAC 

0120

Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A,

. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm AB=AC=a, trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC ?

32a

a 2

a 8

A. C. D. B. 3a

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

S  D

17 2

hình chiếu vuông góc H của S lên mặt (ABCD) là

trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a ?

3a 7

21 7

A. B. C. D. a

Câu 11: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, 060 . M,N là trung điểm của góc giữa mặt bên và đáy bằng cạnh SD, DC. Tính theo a thể tích khối chóp M.ABC.

3 2 4

3 3 24

3 2 2

a 8

A. B. C. D.

Câu 12: Cho tứ diện ABCD có AB=AD=a 2 , BC=BD=a.

a 3

Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng . Tính góc

giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD), biết thể tích của khối tứ

3 15 27 B.

diện bằng

060

120 C.

045

A. D. Cả A,B,C đều sai

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 68

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 69

Mai Nguyễn Minh Hoàng

. ĐỀ THI THỬ LẦN I NGÀY … / … / 2017

Thời gian làm bài: 30 phút



f x ( )

x '( )

Câu 1: Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên. Kết

y = f'(x)



f x ( )

luận nào sau đây là đúng?



f x ( )

A. Hàm số đồng biến trên (1; 2)

 ; 2)



f x ( )

B. Hàm số nghịch biến trên (

C. Hàm số có hai điểm cực trị

D. A, B, C đều đúng

Câu 2: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ . Gọi I, J, H, G lần lượt là trung điểm của BC, AB, CC’, B’C’. Tỷ số thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và thể tích khối chóp HIJG là bao nhiêu ?



3 3 



Đáp án:

Câu 3: Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân

 4m

4m 

 4m

 4m

biệt khi:

A. B. C. D.

Câu 4: Đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây:

B. y = (x + 3)(x – 1)2

A. y = (x + 3)2(x – 1)



C. y = (x + 3)(x – 1) D. y = (x + 3)2(x – 1)2

2 m

 

x 3 x 3

Câu 5: Tìm m để hàm số đồng biến trên (0;1)

1m 

 B.

m   2

1m 

3m 

A. 2 C. D.

Câu 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông cân tại

A cạnh AB = 1 ; biết A’B= 2 . Thể tích khối trụ là:

1 6

2 3

2 2

1 2

A. B. C. D.

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 70

Mai Nguyễn Minh Hoàng

.S ABCD có cạnh đáy 2a , góc giữa mặt bên và mặt

060 . Tính thể tích của hình chóp .S ABCD ?

Câu 7: Cho hình chóp đều đáy bằng

ABCD

32 a 3

34 a 3

32 a 3

3 3 3

= -

A. B. C. D.

? Câu 8 : Tìm giá trị cực đại yCÑ của hàm số

y = - CÑ

y =CÑ

y = - CÑ

=CÑ

A. B. C. D.

, bán kính đáy

Câu 9: Một hình nón tròn xoay có đường cao . Thể tích khối nón tạo nên bởi hình nón đó là:

2500 3

12000 p 3

1200 p 3

12500 p 3

A. B. C. D.

ABC SA ),

(

Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên

cạnh SB, SC. Thể tích của khối chóp S.AMN tính theo a bằng:

a 400

381 a 400

3 3 6

A. B. C. D.

+ và đường cong

Câu 11 : Gọi M và N là giao điểm của đường thẳng

6 2

x 7 + x -

. Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng:

7 2

A. 7 B. C. D. 3

Câu 12 : Hàm số y = -x4 – x2 - 2 nghịch biến trên khoảng:







A. (-1; +∞) B. (0; +∞) C. (-∞; 0) D. (-∞; 1)

Câu 13 : Tập xác định của hàm số là :

A. D = R B. D = R\ {1) C. D = (-∞; 1) D. D = (0; +∞)

) . Khẳng định nào sau đây là

Câu 14 : Xét hàm số y = xa trên khoảng (0;

Sai?

0a  .

A. Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1;1) . B. Đồ thị hàm số không có tiện cận khi

0a  .

a  0.

C. Hàm số luôn nghịch biến khi D. Đồ thị hàm số không có tiện cận khi



Câu 15: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V, đáy là hình bình

1 3

hành. Lấy A’ trên cạnh SA sao cho . Mặt phẳng qua A/ và song song

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 71

Mai Nguyễn Minh Hoàng

với đáy hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B/, C/, D/. Khi đó thể tích khối chóp S.A/B/C/D/ là:

V 3

V 9

V 27

V 81





A. B. C. D.

 là:

Câu 16: Tập xác định của hàm số

D      C. [4;

 ; 1



 D  

1; 4

 D  

1; 4





23 x

A. D = R B. D. .

 là:

Câu 17 : Các điểm cực tiểu của hàm số

y  

A. Q(-1; 6) B. P(1; 6) C. N(0; -2) D. M(0; 2)

 đồng biến trên khoảng:

x 2



3; 4 . 

;1 .

Câu 18 : Hàm số

  .

;0

B.  1; C.  D.  A. 



2 2   x

 x 2

y Câu 19 : Toạ độ giao điểm của đồ thị các hàm số và x  là : 1



(



3)(

  x

với trục

A. (2; 2) B. (2; -3) C. (-3; 4) D. (-∞; 1)

Câu 20: Số giao điểm của đồ thị hàm số hoành là :

A. 2 B. 3 C. 0 D. 1

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 72

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 73

Mai Nguyễn Minh Hoàng

TIẾN TRÌNH HỌC TẬP

Ngày

Nội dung

Đã thực hiện

Ghi chú

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 74

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Ngày

Nội dung

Đã thực hiện

Ghi chú

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 75

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Ngày

Nội dung

Đã thực hiện

Ghi chú

Luyện thi THPT QG Quyển 1 Trang 76

Mai Nguyễn Minh Hoàng

TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA QUYỂN SÁCH NÀY:

Tài liệu MÔN TOÁN từ INTERNET và các giáo trình có

liên quan

GHI CHÚ:

1. Mỗi ngày các em nên dành thời gian để tự học, ít nhất mỗi tuần

phải dành 2 – 3 tiếng tự học mỗi môn

2. Sau mỗi buổi tự học, các em tự ghi vào TIẾN TRÌNH HỌC TẬP, về nội dung học, trang bao nhiêu, bài tập em đã làm và nội dung chưa hiểu để từ đó các em sẽ có cái nhìn chính xác hơn về quá trình học của mình

3. Khi làm bài tập trắc nghiệm, các em nên thực hiện đồng thời khoanh tròn trực tiếp đáp án trên đề, sau đó dùng BÚT CHÌ để tô đen vào phiếu đáp án trắc nghiệm. Khi thực hiện như vậy các em sẽ quen dần với việc tô trắc nghiệm và khi đi thi các em sẽ tự tin hơn

4. Cuối mỗi tháng, các em tự dành thời gian để tự luyện tập các đề tổng hợp, như trong tài liệu này, Thầy đã đưa vào cho các em 1 đề với thời gian 30 phút/ 20 câu hỏi. Các em nên tự canh giờ đúng 30 phút để từ đó biết được kiến thức của mình đến đâu để đưa ra phương pháp học tập phù hợp cho thời gian tiếp theo

5. Như Thầy đã nói ở phần MỞ ĐẦU, mỗi tháng Thầy sẽ ra 1 Quyển Tài liệu Luyện thi để các em tự học, các em có thể tìm kiếm trên Internet vào mỗi tháng, Thầy sẽ upload lên trên trang Tailieu.vn và để thuận tiện hơn, các em có thể inbox trực tiếp cho thầy thông qua facebook: Minh Hoang Mai hoặc nhắn tin trực tiếp cho thầy thông qua SĐT: 01227999669 để nhận tài liệu học tập