ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
“tailieumontoan.com”
Date
Phương pháp điều kiện cần và điều kiện đủ thường tỏ ra
hiệu quả cho lớp dạng toán
“Tìm điều kiện tham số để:
Dạng 1.
PT, BPT, HPT có nghiệm duy nhất.
Dạng 2.
PT, BPT, HPT có nghiệm với mọi giá trị của tham số.
Dạng 3.
PT, BPT, HPT có nghiệm với mọi
xD
∈
.
Dạng 4.
PT, BPT, HPT tương đương với một phương trình
hoặc bất phương trình khác.
Khi giải ta thực hiện các bước sau:
Bước 1:
Đặt điều kiện để các biểu thức của PT, BPT, HPT có
nghĩa.
Bước 2:
Tìm
điều kiện cần
cho bài toán dựa trên việc đánh giá
hay tính đối xứng của bài toán.
Bước 3:
Kiểm tra
điều kiện đủ,
trong bước này cần có được
một số kĩ năng cơ bản.
Chú ý viết tắt:
PT:
Phương trình
BPT:
Bất phương trình
HPT:
hệ phương trình
I. Lý Thuyêt
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
giải phương trình tham số.
Tìm m để phương trình (PT) sau có nghiệm duy nhất
( )
21
x xm
+ −=
Điều kiện cần:
Trong PT (1) vai trò của x và 2 – x là như
nhau. Vì vậy PT (1) có nghiệm là
o
x
thì
2
o
x
−
cũng là
nghiệm của nó. Giả sử PT (1) có nghiệm duy nhất là
o
x
thì
02 1.
oo
x xx
=−⇔=
Thay vào (1) ta được m = 2.
Điều kiện đủ:
Ta xét
m = 2
thì PT (1) có dạng
( )
22 2
xx
+ −=
Cách 1.
Điều kiện
( )
0 2*
x
≤≤
Bình phương hai vế của PT (2) rồi rút gọn được
( ) ( )
2
2 1 10 1
xx x x
− =⇔ − =⇔=
(thỏa mãn (*))
Cách 2.
Áp dụng BĐT Bunhiacovski ta có:
( )
( )
2
2 2 2 4 2 2.
xxxx xx
+− ≤ +−=⇒ +−≤
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2 1.
x xx
=−⇔=
Suy ra PT (2) có nghiệm duy nhất x = 1.
Kết luận.
Vậy với
m =
2 thì phương trình (1) có nghiệm duy
nhất.
Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
44
22
xxxxm
+−+ +−=
Điều kiện cần:
Giả sử PT có nghiệm là
00
2
xx x
= ⇒−
cũng
là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm duy nhất khi
0 00
2 1.
x xx
=−⇔=
Thay
0
1
x
=
vào PT ta được: m = 4
Đó chính là điều kiện cần để PT có nghiệm duy nhất.
II. Bài tâp
Điều kiện đủ:
Với a = 1 và b = 0, khi đó (1) có dạng:
22
1 10 0 0
xx
+− += ⇔ =
luôn đúng.
Vậy với a = 1 và b = 0 phương trình nghiệm đúng với
x
∀
Bài 5.
Tìm m để hai phương trình sau tương đương:
( )
( )
22
5 6 03
xmmx
+ −+ =
và
( ) ( )
22
2 3 7 12 0 4
x m xm m
+ − + − +=
Hướng dẫn
Điều kiện cần:
Giả sử PT (3) và PT(4) tương đương với nhau.
Vì PT(3) luôn có nghiệm x = 0 nên PT (4) cũng phải là
nghiệm x = 0. Vì vậy, ta phải có
3
m
=
hoặc
1
m
=
Điều kiện đủ.
a)
Nếu m = 3 thì PT(3) và (4) đều có dạng
2
x
. Suy ra m = 3
thì PT(3) tương đương với PT(4).
b) Nếu m = 4 thì PT(3) và (4) đều có dạng
2
2 0.
xx
+=
Suy ra với m = 4 thì PT(3) tương đương với PT(4).
Kết luận.
PT(3) tương đương với PT(4) khi và chỉ khi m = 3
hoặc m = 4.
Bài 6.
Cho 2 phương trình::
( )( ) ( )
( )
2
432
52 3 3 1 1
6 9 16 0 2
x x mx x m
xxx
+ − = + +−
+ + −=
Tìm m để (1) và (2) tương đương
Hướng dẫn
Giải (2) ta biến đổi:
( ) ( )( )
( )
2
1
2 1 4 340 4
x
x x xx x
=
⇔ − + + +=⇔
= −
Điều kiện cần:
Giả sử
(1) và (2) tương đương suy ra x = 1 là
nghiệm của (1), khi đó:
( ) ( )
2
0
1 63 3 1
43
m
mm m
mm
>
⇔= +⇔ ⇔ =
= +
Vậy m = 1 là điều kiện cần để (1) và (2) tương đương.
Điều kiện đủ:
Với m = 1, khi đó (1) có dạng:
( )
22
3 10 3 3 3
xx xx
−− += +
Đặt
( )
2
30
t x xt
=+≥
. Khi đó:
( ) ( )
2
2
5
3 3 10 0 2
1
32 4
t loai
tt t
x
xx x
= −
⇔+−=⇔
=
=
⇔ +=⇔
= −
Điều kiện đủ:
Với m = 4, khi đó PT có dạng:
( )
44
2 2 42
xxxx
+−+ +−=
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovski ta có:
22
xx
+ −≤
và
44
22
xx
+ −≤
Do đó
( )
44
22
21
22
xx x
xx
+ −=
⇔ ⇔=
+ −=
là nghiệm
duy nhất của PT.
Vậy với m = 4 thì PT có nghiệm duy nhất.
Bài 3.
Tìm m để Pt sau nghiệm đúng với
0
x
∀≥
:
( )
22
2 24 2 1
x xm m xm
+ − + +=+ −
Hướng dẫn
Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm
0
x
∀≥
suy ra x =
0 là nghiệm của (1), khi đó:
( )
( )
2
2
2
1 24 2
20 3.
24 2
mm m
mm
mm m
⇔− + += −
−≥
⇔ ⇔=
− + += −
Đó chính là điều kiện cần để PT nghiệm đúng
0
x
∀≥
Điều kiện đủ:
Với m = 3, khi đó (1) có dạng:
0
2
2 1 1 1 1 00
x
xx x x x
≥
+ += +⇔+= +⇔ =
luôn
đúng.
Vậy, với m = 3 PT nghiệm đúng với
0
x
∀≥
Chú ý:
Với bài toán có nhiều hơn một tham số ta sẽ
thấy tầm quan trọng của việc lựa chọn điểm thuận lợi
cùng với việc xác định các giá trị của tham số được thực
hiện tuần tự. Chúng ta đi xem xét ví dụ sau:
Bài 4.
Tìm m để Pt sau nghiệm đúng với
x
∀
:
( )
22
1 10 1
a x x bx
+− + +=
Hướng dẫn
Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm
0
xx
∀⇒ =
là
nghiệm của (1), khi đó:
( )
1 1 0 1.
aa
⇔ −= ⇔ =
Với a = 1:
( )
22
22
11 1
1 1 0 0.
x
x x bx
x x bx bx b
∀
⇔ += + +
⇔ += + +⇔ =⇔=
Vậy a = 1 và b = 0 là điều kiện cần để Pt nghiệm đúng
với
x
∀
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
\
Tức là (1) và (2) tương đương.
Vậy với m = 1 thì (1) và (2) tương đương.
Dạng 2: Sử dụng điều kiện cần và đủ
trong giải hệ phương trình tham số.
Bài 7.
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
22
6
xym
xy
+=
+=
Hướng dẫn
Điều kiện cần:
Nhận xét nếu hệ có nghiệm
( )
00
;
xy
thì
( )
00
;
yx
cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy
nhất khi
00
.
xy
=
(*)
Khi đó:
( )
2
0
0
218.
26
xm
HPT m
x
=
⇔ ⇒=
=
Điều kiện đủ:
Với m = 18 ta được:
( )
22
6
18
9
6
xy
xy
HPT xy
xy
+ =
+=
⇔⇔

=
+=
3
xy
⇔==
là nghiệm duy nhất
Vậy với m = 18 hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 8.
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
22
2
1
x xy y m
x y xy m
+ + = +
+=+
Hướng dẫn
Điều kiện cần:
Nhận xét nếu hệ có nghiệm
( )
00
;
xy
thì
( )
00
;
yx
cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy
nhất khi
00
.
xy
=
(*)
Khi đó:
( )
2
00
3
0
22
21
x xm
HPT xm
+=+
⇔= +
3
0
32
00
21
2 2 10
3
1, 3, 4
o
mx
xx x
mm m
= −
⇔− − +=
⇒= =− =−
Điều kiện đủ:
Thay lại các giá trị
1, 3,
mm
= = −
3
4
m
= −
và giải ta thấy có giá trị
3
1, 4
mm
= = −
là hệ
thỏa mãn điều kiện có nghiệm duy nhất.
Kết luận:
Với
3
1, 4
mm
= = −
là hệ thỏa mãn điều kiện có
nghiệm duy nhất.
Bài 9.
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
( )
2
2
*
xy ym
y x xm
= −+
= −+
Hướng dẫn
Điều kiện cần:
Nhận xét nếu hệ có nghiệm
( )
00
;
xy
thì
( )
00
;
yx
cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy
nhất khi
00
.
xy
=
(*)
Khi đó:
( ) ( )
22
000 0 0
* 2 03
xxxm x xm
⇔ = −+⇔ − +=
Do
0
x
là nghiệm duy nhất nên PT (3) có nghiệm duy nhất
( )
3
' 01 0 1
mm
∆ = ⇔− = ⇔ =
Điều kiện đủ:
Với m = 1 hệ có dạng:
( ) ( )
2
22
2
22
12
1
1 1 0 1.
xy y xyx y xy
yx x
x y xy
= −+
⇒+= + −−+
= −+
⇔ − + − =⇔==
Nghiệm thỏa mãn hệ và là nghiệm duy nhất.
Vậy với m = 1 hệ có nghiệm duy nhất
Bài 10.
Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
( )
2
22
1
1
ax x y
xy
++ =
+=
Hướng dẫn
Điều kiện cần.
Giả sử hệ (I) có nghiệm duy nhất
( )
00
;.
xy
Do
( )
00
;
xy
là nghiệm của hện (I) nên suy ra
( )
00
;
xy
−
cũng là nghiệm của hệ (I). Từ tính duy nhất
nghiệm suy ra
00
0.
xx x
=−⇔ =
Thay vào hệ (I), ta được
21
ay
y
=
=
suy ra a = -1 hoặc a = 1
Điều kiện đủ.
a) Nếu a = - 1 thì hệ (I) có dạng
( )
2
22
1
1
xx y
II
xy
= ++
+=
Ta thấy hệ (II) có ít nhất hai nghiệm (x; y) = (1; -1) và
(x; y) = (0; -1) nên
1
a
= −
không là giá trị cần tìm.
b) Nếu a = 1 thì hệ (I) có dạng
( )
2
22
1
1
xx y III
xy
+=−
+=
Từ
2
1
y xx
−= +
suy ra
1
y
≥
, từ
22
1
xy
+=
suy
ra
1
y
≤
. Vậy ta có y = 1.
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Thay y = 1 vào hệ (III) ta được
2
2
0
0
xx
x
+=
=
Vậy (x; y) = (0; 1) là nghiệm duy nhất của hệ (III).
Kết luận:
Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a = 1.
Bài 11.
Tìm a sao cho với mọi giá trị của b hệ phương trình sau
có nghiệm:
( )
( ) ( )
55
42
11
11
a xy IV
a bxy a
− +=
++ =
Hướng dẫn
Điều kiện cần:
Giả sử hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của
b suy ra với b = 0 hệ (IV) cũng có nghiệm, tức là hệ sau có
nghiệm:
( ) ( )
55
2
11
1
a xy IV
a
− +=
=
Suy ra a = 1 hoặc a = -1.
Điều kiện đủ,
a) Với a = 1 thì hệ (IV) có dạng
51
0
y
bx
=
=
Hệ này ít nhất có (x; y) = (0; 1) là nghiệm với mọi giá trị
của b. Suy ra hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của b.
b) Với a = -1 hệ (IV) có dạng
25
21
11
xy
− +=
=
Hệ này nhận ít nhất (x; y) = (0; 1) là nghiệm với mọi giá
trị của b.
Kết luận.
Với a = 1 hoặc a = -1 thì hệ (IV) có nghiệm với
mọi giá trị của b.
Dạng 3: Sử dụng điều kiện cần và đủ
trong giải bất phương trình tham số.
Bài 12.
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:
( )
22
21
x m mx
−≤
Hướng dẫn
Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm là
00
xx x
= ⇒−
cũng
là nghiệm của (1),
Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi
00
0.
o
xxx
=−⇔ =
Thay
0
0
x
=
vào (1) ta được: m = 0
Đó chính là điều kiện cần để bất phương trình có nghiệm duy
nhất.
Điều kiện đủ:
Giả sư m = 0 khi đó (1) có dạng:
200
xx
≤⇔=
là nghiệm duy nhất của bất phương
trình.
Vậy khi m = 0 bất phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 13.
Tìm m để bất phương trình
( )( ) ( )
2
24 2 1
x x x xm
+ −≤−+
nghiệm đúng
2;4 .
x
∀ ∈−

Hướng dẫn
Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm
2;4 1
xx
∀ ∈− ⇒ =

là nghiệm của (1), khi đó:
31 4
mm
≤ −⇔ ≥
Đó là điều kiện cần để bất phương trình có nghiệm đúng
với
2;4 .
x
∀ ∈−

Điều kiện đủ:
Giả sử
4
m
≥
, khi đó:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái ta được:
( )( )
24
2 4 3.
2
xx
VT x x
+ +−
= + −≤ =
Biến đổi vế phải về dạng:
( )
2
2
2 1 13
VP x x m x m
= − + = − + −≥
Suy ra
( )( )
2
24 2
x x x xm
+ −≤−+
Vậy với
4
m
≥
bất phương trình có nghiệm đúng với
2;4 .
x
∀ ∈−

Bài 1.
Tìm a để các phương trình và hệ phương trình sau có
nghiệm duy nhất
( )( )
( ) ( )
22
322
3
33
22
) 59 ;
) 36 3 6 ;
)2 2 4 ;
2
)1
12
)3.
ax xa
bx x x x a
c xa xa x a a
xy x y a
dx y xy a
x ya
exy a
−+ − =
++ −− + − =
+ + − + +=
++=+
+=+
++ + =
+=
Bài 2.
Tìm a để mọi giá trị của b hệ phương trình sau có
nghiệm:
( )
22
ax y x y b
yxb
+ ++=
−=
Bài 3.
Tìm m để hai phương trình sau đương đương
( ) ( )
22 2 2
1 2 1 30
mx m xm
+ − − + −=
và
( )
22
1 3 10
x m xm m
+ − + − +=
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗