GIAÛI TÍCH 12
SỐ PHỨC
I Love Math
0916620899
Lsp02071980@gmail.com
Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,
tôi biên soạn tập tài liệu ôn thi THPTQG của lớp 12.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục
và Đào tạo quy định.
NỘI DUNG
1. Lí thuyết cần nắm.
2. Bài tập tự luận có hướng dẫn giải
3. Bài tập trắc nghiệm.
4. Đáp án.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập
hoàn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 0355.334.679 – 0916 620 899
Email: lsp02071980@gmail.com
Chân thành cảm ơn.
Lư S
ĩ
Pháp
LỜI NÓI ĐẦU
MỤC LỤC
1. KIẾN THỨC CẦN NẮM ------------------------------------ 01 – 03
2. BÀI TẬP TỰ LUẬN ------------------------------------------- 03 – 08
3. TRẮC NGHIỆM ----------------------------------------------- 09 – 41
4. ĐÁP ÁN ---------------------------------------------------------- 42
Tài liệu học tập Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp
1
Chương IV. SỐ PHỨC Lsp02071980@gmail.com. 0916620899
CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Số phức
Số phức
z a bi
= +
có phần thực là a, phần ảo là b
(
)
2
, , 1
a b i
∈ = −
ℝ
. Kí hiệu tập số phức:
ℂ
Lưu ý:
0
z a i
= +
: là số thực cũng là số phức do đó:
.
⊂
ℝ ℂ
0 ; 0 0 0 ; 1 1 0
a a i i i
= + = + = +
0
z bi bi
= + =
: gọi là số thuần ảo
Số
i
được gọi là đơn vị ảo và có 2
1
i
= −
. 3
i i
= −
; 4
1
i
=
; ….; 4
1
n
i
=
; 4 1n
i i
+
=
;4 2
1
n
i
+
= −
; 4 3n
i i
+
= −
Số phức
z x yi
= +
được biểu diễn bởi điểm
(
)
;
M x y
trên mặt phẳng tọa độ
.
Oxy
Lưu ý:
Tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z có thể thỏa mãn: Đường thẳng; đường tròn; hình tròn; ...
Số phức
= +
1
z a bi
và
= +
2
z b ai
có điểm biểu diễn đối xứng qua đường thẳng
=
y x
Độ dài của vectơ
OM
là môđun của số phức z. Kí hiệu:
=
OM z
. Như vậy:
2 2
z OM a b
= = +
Số phức liên hợp của
z a bi
= +
kí hiệu là
z
và
z a bi a bi
= + = −
.
Lưu ý:
z
và
z
đối xứng nhau qua trục Ox
=
z z
,
=
z z
2. Các phép toán trên số phức
Cho hai số phức
(
)
= + = + ∈ = −
ℝ
2
1 2
, , , , , 1
z a bi z c di a b c d i
Hai số phức bằng nhau:
=
= ⇔ + = + ⇔
=
1 2
a c
z z a bi c di
b d
Phép cộng:
(
)
(
)
(
)
(
)
+ = + + + = + + +
1 2
z z a bi c di a c b d i
Phép trừ:
(
)
(
)
(
)
(
)
− = + − + = − + −
1 2
z z a bi c di a c b d i
Phép nhân:
(
)
(
)
(
)
(
)
= + + = − + +
1 2
.
z z a bi c di ac bd ad cb i
Phép chia:
(
)
(
)
+ −
= = = ≠
+
1 1 2 1 2 2
2 2 2
22 2 2
, 0
a bi c di
z z z z z z
zc d
z z z
Cho số phức
= +
z a bi
. Số phức nghịch đảo của z kí hiệu là
−
1
z
và
−
−
= = = =
+
1
2 2 2
1
.
z z a bi
zz z z
a b
z
Số phức đối của z kí hiệu là
′
z
và
′
= − +
z a bi
.
z
và
′
z
đối xứng qua trục tung.
3. Mối liên hệ giữa
z
và
z
Cho số phức
= + ∈ = −
ℝ
2
( , , 1)
z a bi a b i
. Ta có:
= −
z a bi
(
)
(
)
+ = + + − =
2
z z a bi a bi a
(
)
(
)
− = + − − =
2
z z a bi a bi bi
(
)
(
)
= + − = + =
2
2 2
.
z z a bi a bi a b z
(
)
+−
= = = = +
+ +
2
2 2 2
2 2 2 2 2
. 2
. .
a bi
z z z z a b abi
z z z z z
a b a b
z
4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Căn bậc hai của số thực
<
0
a
là
i a
±
Xét phương trình bậc hai
2
0, , , , 0
ax bx c a b c a
+ + = ∈ ≠
ℝ
. Đặt
2
4
b ac
∆ = −
Nếu
0
∆ =
thì phương trình có nghiệm kép
2
b
x
a
= −
(nghiệm thực)
Nếu
0
∆ >
thì phương trình có hai nghiệm thực
1,2
2
b
x
a
− ± ∆
=
Tài liệu học tập Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp
2
Chương IV. S
Ố
PH
Ứ
C
Lsp02071980@gmail.com
.
0916620899
Nếu
0∆ <
thì phương trình có hai nghiệm phức
1,2
2
b i
xa
− ± ∆
=
5. Cực trị số phức
a. Bất đẳng thức tam giác
1 2 1 2
z z z z+ ≤ +
1 2 1 2
z z z z− ≤ +
1 2 1 2
z z z z− ≤ −
b. Công thức trung tuyến:
( )
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 .z z z z z z+ + − = +
c. Tập hợp điểm
( )z a bi r− + =
:
Đườ
ng tròn tâm
( ; )I a b
, bán kính
.r
1 1 2 2
( ) ( )z a b i z a b i− + = − +
:
Đườ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a
AB
v
ớ
i
1 1 2 2
( ; ), ( , ).
A a b B a b
1 1 2 2
( ) ( ) 2 .z a b i z a b i a− + + − + =
V
ớ
i
1 1 2 2
( ; ), ( , )
A a b B a b
2AB a=:
Đườ
ng th
ẳ
ng qua
A
và .B
2AB a<: Elip (
E
) nh
ậ
n
A
và
B
làm tiêu
đ
i
ể
m v
ớ
i
độ
dài tr
ụ
c l
ớ
n là 2 .a
Đặ
c bi
ệ
t:
2 2
2 2
2 ( ) : 1
x y
z c z c a E a b
+ + − = + =
v
ớ
i
2 2 .b a c= −
6. Một số dạng cơ bản tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
z
Cho s
ố
ph
ứ
c
z
th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) cho tr
ướ
c.
B
ướ
c 1: Tìm t
ậ
p h
ợ
p (
H
) các
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c
z
th
ỏ
a mãn (*).
B
ướ
c 2: Tìm s
ố
ph
ứ
c
z
t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n
( )M H∈
sao cho kho
ả
ng cách OM nh
ỏ
nh
ấ
t,
l
ớ
n nh
ấ
t.
Dạng 1.
Cho s
ố
ph
ứ
c
z
th
ỏ
a mãn
( ) , 0.z a bi R R− + = >
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t, l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
z
.
Ta có:
( ) , 0z a bi R R− + = >
T
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m
M
bi
ể
u di
ễ
n s
ố
ph
ứ
c
z
là
đườ
ng tròn tâm
( ; )I a b
, bán kính .R
Khi
đ
ó:
2 2
2
2 2
1
max
min
z OM OI R a b R
z MO
z OM OI R a b R
• = = + = + +
=• = = − = + −
Tìm t
ọ
a
độ
đ
i
ể
m
đ
i
ể
m
1 2
,
M M
( hay tìm s
ố
ph
ứ
c
z
có môdun nh
ỏ
nh
ấ
t, l
ớ
n nh
ấ
t).
T
ọ
a
độ
đ
i
ể
m
1 2
,
M M
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
2 2 2
( ) : ( ) ( )
C x a y b R− + − =
và
đườ
ng th
ẳ
ng
d
đ
i qua hai
đ
i
ể
m
,O I
, có ph
ươ
ng trình:
0.Ax By C+ + =
Dạng 2.
Cho s
ố
ph
ứ
c
z
th
ỏ
a mãn
1 1 1
, 0.z z r r− = >
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t, giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
2.P z z= −
G
ọ
i
, ,I M A
là t
ậ
p h
ợ
p
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n c
ủ
a
1 2
,
z z
và
.z
Khi
đ
ó:
1 1 2
1 2 2
2 1 2
max
min
P AM r r
IA z z r P AM r r
= = +
= − = = = −
T
ọ
a
độ
đ
i
ể
m
1 2
,M M là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng tròn
1
( , )I r và
đườ
ng
th
ẳ
ng .AI
Dạng 3.
Cho s
ố
ph
ứ
c
z
th
ỏ
a mãn
1 2 , 0.z z z z k k− + − = >
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t, giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
.P z=
G
ọ
i
1 2
, ,M M M là t
ậ
p h
ợ
p
đ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n c
ủ
a
1
,z z và
2
z .