Lý thuyết và bài tập Cơ học kết cấu (Tập 2): Phần 1

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:196

Thêm vào BST

Báo xấu

172
lượt xem 38
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm trang bị cho kĩ sư và sinh viên thuộc ngành Xây dựng những kiến thức cơ bản cần thiết để kết hợp với các chuyên môn khác giải quyết thiết kế và thi công xây dựng, Cơ học kết cấu (Tâp 2) đã được biên soạn với phần 1 cùng các chương sau: Phương pháp lực tính các hệ phẳng siêu tĩnh, chuyển vị và hỗn hợp tính hệ thanh phẳng, phân phối mômen.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và bài tập Cơ học kết cấu (Tập 2): Phần 1

TS. IMGUYỄN VĂN PHƯỢNG Cơ HỌC KẾT CẤU T Â P I I N H À XUẤT B Ả N XÂY D ự N G HÀ N Ò I - 2 0 1 0
LỜI NÓI ĐẦU C ( ỉ h ọ c k ế ỉ c ẩ u l â t ì ì ô / ỉ k ĩ t l ì i i ậ í c ơ s à } ì l ì ằ m Ịrcỉiỉi^ b ị CÌỈO k ĩ s ư v ù s i ỉ ỉ l i v i é ỉ ỉ t ì ì i i ộ c ì ì í ị ủ n l ỉ x ú y d ự ỉ ỉ i ỉ CÔỈỈỊỈ t r ì n l ỉ ììlìữìỉiỊ k i ế n í l ỉ ử c c o ’ h ã n c ầ ì ì ĩ l ì ì ể l d ê k ế t iiợp vcYi c á c m ô n c h u y ê n m ô n k h á c ị ị i à i q u y ể í c ú c v ấ ỉ ì d ê ỉ i ê n ( l a a ỉ ỉ cỉ cn v i ợ c ỉ ì ì ì ế ỉ k ế c ù ỉ ỉ í Ị ỉ i l ỉ i í v i ệ c í l i i c ô ỉ i ị j c á c c ô ỉ ì Ịị í r ì t ỉ l i x â y clựỉỉ^^. \'â n ộ i c lu ỉỉí> sú c lì c íi('ọ 'c h iê n so ạ n p lỉìi h ợ p \'(' )i c lỉiiV ìì^ trìỉilì iỊÌả ỉiiị d ạ y m ôỉì C V / Ììọc kếĩ cấỉi á p d i i ỉ ì ^ ( ' h o h ệ d à o ĩ ụ o k ĩ s ư c ủ c ỉ ỉ g ã ỉ ì l ỉ x â y (lựỉỉi> c ô ỉiíỉ irin lì. Đ ế p h ỉ ) h ợ p y(yi c á c h ọ c p ì ỉ ầ t ì C/IÌỴ d ị i ì l ì v ù d i é i ỉ kiựềì â i ì l o á t , s á c h d ư ợ c h i ê ì i s o ạ n ỉ l ì ủ n l ỉ lìcỉì ĩ ậ p : 7. Cơ học kết cấUy tập I 2. Co học kết cấu, tập 2 1 'r o Ịi^ ề ìỉỏ ị c lỉiíơ ỉìiỊ n ỉK c , ỊỊi^ o à i n ộ i d iiỊĩ^ ìí th iix c ỉ c ò n Ịrìỉi/i h ủ y (ú c v í c lii ĩỉììh ÍO C U Ì và tlc h ù i ịậ p liỉv ệ n / c i/ ) n h ủ ì n iỊÌììp //!*//'()■/ d ụ c Ịim lìic ỉi sâ u liliữ ỉiịị n ộ i c ỉin ií^ l í í h t ỉ v ế ĩ c íồ n ^ ỉ l ỉ ờ i n â ỉ i i ỉ c a o k ĩ ỉìủ n iị ilỉự c lỉà ỉìh và vận c lụ n ^ . 1 H y d ã c ó Ịilỉiẻ ii c ỏ iịả n ^ íro ỉỉiỊ h iê tì s o ạ n ỉìlìtfỉìí^ k h ó iic h ìlì k h ó i lìliữ n ^ ỉliiê n só í, íá c ỉ^ id x i ỉ ì c lìâ ỉỉ ílìà n li c à n ì (/n s ự (/u a n íá m và n h ữ ỉiỊị ỷ k iế n c lỏ ììịỊ ị ịỏ p củ a h tiỉì d ọ c v ù c á c d ồ ỉi^ ỉỉ\ịììỉệ p . r*m‘> ✓ • > l á c giá
Chương 5 PHƯƠNG PHÁP Lực TÍNH CÁC HỆ PHẲNG s i ê u t ĩ n h 5.1. K H Á I N IỆM VỀ HỆ P H Ẳ N G SIÈU TĨNH 1. Địn h nghĩa hệ siêu tĩnh N hư đã biết mội hệ kết cấu biến hình và đủ liẽn kết được gọi là hệ lĩnh dịnh. Klìi hệ tính clịnh (hình 5. la, b) chịu lải trọng chỉ cần dùng ba phương irình cân bằng lĩnh học là có thê xác định được các phán lực và nội lực trong hệ. a) p b) r K c D B )A c) Ầ , dì _ A ,. 1' K c ' D e) B 1 ỉỉin h 5.1 Tuv nhiên, troiig thực tế còn ihường gập những hệ kết cấu nếu chỉ dùng các phưưna (rình cán bằng tĩnh học thì chưa thể xác định được các phản lực và nội lực troag hệ>V í dụ hệ dầm và hệ khung trẽn hình 5.1c, d. Mỗi hệ có thể xem là m ột m iếng cứng nhưng đ cu được nối với mặt đất bằng bốn liên kết ihanh nên với ba phương trình cân bằng'tĩnh học chưa đủ đc tìm được bốn phản lực Irong bốn liên kết ihanh, do đó cũng không thê xác định được nội lực trong hệ. Riêng phần đầu thừa CD trong khung trên hình 5.1d là ũ n h định nên có thê xác định được nội lực trong phần hệ nàv lừ ba phương trình cân bàng tĩnh học. Về cấu tạo hình học đế là hệ bất biến hình mỗi hệ chí cần nối với mặt đất bằng ba licn kết thanh được bố trí hợp lí là vừa đủ. Như vậy mổi hệ thừa một liên kết thanh ktiông cẩn thiết cho sự cấu tạo hình học nhưng vẫn cần cho sự làm việc của hệ. N hũng hệ kếl cấu có chung những đặc điểm irên được gọi là hộ siêu tĩnh. Vậy: ■5
Hộ siêu tĩnh là hệ nếu chi dùng các phưưiia trình cân bằnỉz lĩnh học thi chưa thó xác địn h được các phàn lực và nội lực troníí toàn hệ hay trong một \'ài phán cứa hõ. Hệ siêu tĩnh là hệ bất biên hình \’à có liên kết thừa. 2. Bậc siêu íĩnh Đ ế đặc trưng cho số lièn kết thừa của hệ siêu lĩnh, irong cơ học kcì cấu sử dune khái niệm bậc siêu tĩnh. B ậ c s i ê u t ĩ n h c ủ a h ệ sièii t ĩ nh b à n g s ố l i ê n kẽì i h ừ a tu'ưng d ư ư n u s ô l icn kcì t h a n h ngoài số liên kết cần thiốl \'ừa đii để hệ là bất biến hình. Nếu kí hiệu bậc siêu lĩnh là n thì từ công thức (1-5) trong chưưng 1 suy ra cỏniỉ ihiit xác định bậc siêu tĩnh n của hệ siêu tĩnh là; n = 3H + 2K + T + Q , - 3 D (V I) M ỗi hộ trên hình 5.1c, d đều có thừa một liên kết thanh thuộc các liên kẽì tưa nên dcLi có bậc siêu tĩnh n = 1. Tuy nhiên, không phải licn kếl Ihanh nào irong hệ siêu lĩnh cũng có Ihc xcin là liên k ế t t h ừ a . V í d ụ l i ê n k ế t i h a n h n ằ m n a a n g tại g ố i A c ứ a d ầ m s i c u l ĩ n h I r ê n h i n h .'i.lc kh ôn g phai là liên kêì thừa vì nếu bị loại bỏ thì hệ chí còn nôi với mặt dất bần
tiiaiih EF và thay bằng lực dọc N chưa biế) như trên hình 5.3c, d thì hệ vẫn là bất biến hình. N hư vậy, tiong mỗi hệ liên kêì thanh EF được xem là liên kết thừa và mỗi hệ có bậc siêu tĩnh n = 1. Nếu chỉ dùng ba phương trình cân bằng tĩnh học thì chỉ xác định được các phán lực tại các liên kết lựa A, B \'à nội lực irong các phần AE, BF của hộ eòn nội lực trong phần hệ EFC chưa thể xác định được vì chưa biết lực dọc N trong thanh EF. Xél hệ siêu tĩnh trẽn hình 5.4a, hệ có đủ số liên kết tựa nôi \'ới mặt đất Hình 5.3 \ii có một chu vi kín CDEF. Nếu cắt liôii kèì hàn (tương đương với ba liên kết thanh) lại liết diện K nào đó thuộc chu vi kín (-DEF \'à lliav bàng ba cạp lực iương ứng bằng nhau \'à ngược chiều như trẽn hình 5.4b tliì hệ vẫn bất biến hình và đủ liên kết. Do đó liệ có ba bậc siêu lĩnh hay có thê nói một chu \ i kín luôn có ba bậc siêu lĩnh. r. K V kJ Nk —0— E K F Ỷ Qk Qk Qk c D A B, í i r a) b) Ị c) Hình 5.4 Xél hệ siêu lĩnh trên hình 5.4c, hệ cũng có đủ số liên kết lựa nối với m ặt đất và C(S niộl chu vi kín C D E F với một khớp tại tiết diện K. Nếu cắt liên kết khớp (tương dương hai liên kết thanh) tại K và ihay bàiiíỉ hai cặp lực tương ứng bằng nhau và ngược chiểu như trên hình 5.4d thì hệ vẫn bất biến hình và đủ liên kết. Do đó hệ có hai bậc siêu tĩnh hav có thể nói nếu mộl chu vi kín có một khớp đơn giản thì bậc siêu tĩnh của chu vi kín iiiám đi một đơn \'ị. Như vậy nếu hệ có sỏ' chu vi kín là V ihì bậc siêu tĩnh của hệ là 3V, nếu trong V chu vi kín có K khớp đơn giản thì bậc siêu tĩnh của hệ giám đi K đơii vị. D o đó bậc siêu ũnli n của hệ siêu tĩnh có thể được xác định theo cóng thức đơn giản sau; n = 3 V -K (5-2)
Khi sứ d ụ n g côn g thức (.5-2) cần ------------- cp — - luôn luôn quan niệm mặt đất là một iniếng cứng hớ. V í d ụ 5.1: T ìm bậc siêu lĩnh của A 8 __ c A B ^ ĩỉỉh hệ trẽn hình 5.5a, b. - Hệ trên hình 5.5a, sau khi xác định m iếng cứng mặt đất qua các liên kết ngàin lại A, B và c , có số chu \'i kín V = 3, số khớp đơn giản K = 0. ^riieo (5-2) bậc siêu tĩnh của hệ bằng; n = 3.3 - 0 = 9 - Hệ Irên hình 5.5b, sau khi xác định miếng cứng mật đất qua liên kết khớp tại A, liC'n kết thanh tại B và liên kết ngàm tại c , có số chu vi kín V = 3, khớp phức lạp lại E tương đương với số khớp đơn giản bằng D - 1 = 3 - 1 = 2 do đó số khớp đơn giản cùa hộ là K = 5. T h e o (5-2) bậc siêu tĩnh của hệ bằng: n = 3 .3 -5 = 4 3. T ín h chất của hệ siêu tĩnh So với hộ tĩnh định lương ứng dược tạo thành sau khi loại bỏ tất cá các lién kêl thừa lừ hệ siêu tĩnh thl hệ siêu tĩnh có những tính chất sau: 1. C huyen vị biến d ạn g và nòi lực trong hệ siêu tĩnh nói chung nhó hoìi trong hệ lĩnh định có cùng kích thước và tiii trọng. V í dụ so sánh dầm đơn giản lĩnh định có hai đầu tựa khớp và dầm siẽu tĩnh có hai đáu n gàm , có c ù ng độ cứng El, chicLi dài nhịp ỉ và cùng chịu tải trọn^ phân bô đều q như trên hình 5.6a, b, dễ d àng thấy chuyển vị và nội lực trong d ầm siêu tình nhỏ hơn trong d ầ m tĩnh định khá nhiều. N hư vậy, dù n g hệ siêu tĩnh sẽ tiết kiệm được vật liệu hơn so \'ới hệ lĩnh dịnh iu'(Jng ứng và do đó hệ siêu tĩnh hay được sử dụng trong các công trình xây dựng. E Í n i a i o i i a f M i i i i ị /Tĩh Eĩ --------,4 q/ q/ y- f ^ í Ymax 354 ^max 384 E1 / 112 ỈI2 112 112 ' / (M. Mmax ^ Ííĩííí 5 a; 27 bì q/ q/' M 24 ĩỉin h 5.6
2. Trong hệ siêu tĩnh phát sinh nội lực do sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị gối tựa, sự c h ế tạo Jb aj và lắp ráp không chính xác gây ra. Ví dụ: - Khi chịu sự thay đổi nhiệt độ, dầm tĩnh định trcn hình 5.7a bị biến dạng tự do vì nhiệt nên trong b) dầm không phát sinh phản lực và nội lực, còn dầm t >2 > '1 sièu tĩnh trên hình 5.7b không thể biến dạng tự do, H ìn h 5.7 vì có liên kết thừa tại B ngăn cản. Tại các liên kết xuất hiện các phản lực và trong dầm xuất hiện các nỏi lực vì nhiệt. aj - Khi liên kết lựa có chuyển vị cưỡng bức, dầm tĩnh định trên hình 5.8a chỉ bị nghiêng tự do, trong d ầ m có chuyên vị nhưng không xuất hiện biến b) d ạn g và nội lực, còn dầm siêu tĩnh trên hình 5.8b kliông thể nghiêng tự do vì có liên kết thừa tại c ngãn cản. D ầm bị biến dạng. Tại các liên kết xuất H ìn h 5.8 hiện các phản lực và trong dầm xuất hiện-các nội lực do chuyển vị gối tựa gây ra. t - Khi hệ siêu tĩnh có sự c h ế tạo và lắp ráp không ch ín h xác, cháng hạn chiều dài chế tạo của thanh E F trong hệ siêu tĩnh trên hình 5.9 ngắn hơn chiều dài thiết k ế một đoạn A, thì sau khi lắp ráp thanh E F bị dãn ra và làm thanh AB bị uốn cong, do đó H ìn h 5.9 tại các liên kết xuất hiện các phản lực và trong hệ xuất hiện các nội lực do sự c h ế tạo không chính xác gây ra. Tính chất này của hệ siêu tĩnh có thê được sử dụng để trước khi hệ chịu tải trọng tạo ra trong hệ trạng thái biến dạng và nội lực ban đầu ngược chiều với trạng thái biến dạng và nội lực trong hệ khi chịu tải trọng, làm cho biến dạng và nội lực tổng cộng trong hệ nh ỏ hơn và phân bố hợp lí hơn. Do đó tiết kiệm được vật liệu hoặc tăng khả năng chịu lực của hộ. Kết cấu có trạng thái chuyển vị và nội lực ban đầu trước khi chịu tải trọng được gọi là kết cấu có ứng suất trước hay gọi tắt là kết cấu ứng suất trước. 3. Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vào vật liệu và hình dáng, kích thước tiết diện cúa các cấu kiện trong hệ. Nội dung được trình bày trong các mục tiếp theo sẽ cho thấy rõ là để xác đ ịnh được các phản lực và nội lực trong hệ siêu tĩnh thì ngoài các phưcíng trình cân bằng tĩnh học cần bổ sung thêm các phương trình biểu thị điều kiện biến dạng và c h u y ể n vị tại m ộ t số tiết diện trong hệ. Biến dạng và chuyến vị lại phụ thuộc vào vật liệu, hlnh d á n g và kích thước các tiết diện của các cấu kiện, tức là phụ thuộc vào các độ cứng EA , EI, G A của
các cấu kiện. Do đó việc tính hê siêu lĩnh phức tạp hưn việc tính liệ tĩnh dịnh, cụ th£- là cần giả định trước hình dáng và kích thước của các tiêì diện và chọn vật liệu. Trẽn cơ S(V đó xác định nội lực và chuyển vị, rồi theo các kết quá nhận được kiếm tra lại kích Uuiớc tiết diện đã chọn. 5.2. NỘI DUNG PHƯƠN í ; pháp L ự c TÍNH HỆ S IÊ U TĨNH CHIU TẢI TRỌN(Ỉ BẤT ĐÔNG 1. Hệ cơ bản Giả sử cần xác định nội lực và chuvển \'ị trong hệ siêu lĩnh bâì kì chịu tái trọiis Iiliư trên hình 5.1 Oa. Để có thể dể dàng xác định được nội lực và chuyển vị, quá trình tính không được thực hiện trực tiếp trên hệ siêu tĩnh mà được Ihực hiện trên hệ tương ứng được suy ra từ hệ siêu ũnh đã cho bằng cách loại bò bớt các liên kếl thừa và thiết lập các điều kiC'n bố sung sao cho hai hệ làm việc giông nhau về lực và chuycn vị, Hệ tương ứng được suy ra từ hệ siêu tĩnh bằng cách loại bò bớt các liên kéì thừa dưi.íc gọi là hệ cơ bản. Nếu chí loại bỏ một số liên kếl thừa thì hệ cư bản là siêu tĩnh cỗ bậc sièu tĩnli th.ip hơn. Nếu loại bỏ tất cả các liên kết Ihừa Ihì hệ cơ bản là tĩnh định nên có ihế dẻ dàng xac định được nội lực và chuyến vị. Vì váy Irong đa sô các trường hợp thường chon dùng liệ cơ bán tĩnh định. Có nhiều cách loại bỏ tất cả các liên kết thừa để có hệ cơ bán tĩnh dinh. Trên hình 5.10b. c, d thế hiện một số hò cơ bán lĩnh định được suy ra từ hệ siêu tĩnh trên liìiih 5.1 Oa. Vì quá trình tính được thực hiện trên hệ cơ bản nên thường chọn hệ cư bán cho phép dễ dàng xác định được nội lực. chẳng hạn chọn hệ cơ bản là hệ tĩnh định dưn giản có một liên kết ngàm tại B như trên hình 5. lOb. Để thiết lập các điểu kiện bổ sung cần so sánh hệ siêu tĩnh và hệ cơ bán sao cho hai hệ làm việc giống nhau về lực và chuyên vị. Ẩ .. . ' Ẩ _ ^ A .K ỉ/ĩứ? c /7777? c) ứ) /fí777 H inh 5.10 Hình 5.11 10
- Vc lực: Tại các vỊ trí loại bó liên kết trên hệ cơ bản không có các lực, còn trên hệ siêu lĩnh tại các \'ị trí tương ứng nói chung đều có các phản lực. Do đó trẽn hệ cơ bản cần đặt các lực tưoìig ứng \'ào vị trí các liên kết bị loại bỏ và kí hiệu là X |, X , ...... X 5 như trên hìiìh 5.11. Nhữiig lực này chưa biết chiều và trị sô' nên được giả định có chiều bất kì và xem là các án số cần tìm. VI lấy lực làm ẩn số nên phương pháp được gọi là phương pháp lực. • Vể chuyển vị; Cliuvèn vị tại vỊ trí và theo phương các liên kết bị loại bỏ trên hệ cơ bản đều tồn tại, còn tròn hệ siêu tĩnh các chuyến vị tương ứng đều bằng không. Do đó trên hệ cơ bản cần thiêì lập các điểu kiện là chuyến vị tưoTig ứng với vị trí và phương của các liên kết bị loại b(') phái bằng khòng, hay nói cách khác là trong hệ cơ bán chuyển vị tương ứng với vị tn' \’ù phương cúa ấn sổ lực X |, X , ...... do các lực X |, X 2.............. X 5 và lải trọng đã cho gây ra phải bàng không. A .................... = 0 . v ớ i K = 1, 2 , . . . , 5 ^K(\ i . \ 2...\5.p) • 7'rưừng hợp lổng quát nếu hệ siêu tĩnh có n bậc siêu lĩnh và chịu tải trọng bất động thì cũng Ihực hiện iưcmg lự như trên, sau khi chọn hộ cơ bản tĩnh định và từ việc so sánh hệ siêu tĩnh và hệ cơ bản đế hai hệ làm việc giống nhau, điều kiện chuyển vị tương ứng với vị trí và phương cúa ẩn số lực X|^ do các lực X |, X , ...... X|^........X|^ và tải trọng gây ra trên hệ cơ bản phái bằng không, sẽ là: ... X...... x„ , , , = 0 - ™ K = I . 2 ........ K , . . . , n (5-3) II điều kiện (5-3) dược gọi là liệ phương trình cơ bản của phưcíng pháp lực. Hệ phương trình này nghiệm đúng với tất cả các hệ luân theo cũng như không luân theo nguyên lí cộng lác dụng. Sau khi giải n phương trình cơ bản và tìm được các ẩn số lực X |, Xị, X|
^ K (X |.X 2.....X k......x„.p) - '^Kl ■'■^K2 ■*■■■■■'"‘^KK ^Kn 0 với K = 1 ,2 , ,.., n Trong đó: A|
_ M - N - Q Chia hai vế của biểu thức trên cho và đặt = - ^ , N|^ UA số công thức tính hệ „A' «u.. ĨX. phụ là (5-5) ỗKm = z. Eỉ EA GA Cũng thực hiện tương tự như trên, công thức tính hộ số chính là 'M .M . V-. r N . N . ^ Q kQ K -K ^s+ y í ^ ^ ^ d s + y (5-6) ỏKK = z . EA GA E1 h a 1'rong đó: VI ' ^ K 'Q k ■ ^hức giải tích cùa m ôm en uốn, lực dọc và lực cắt do riêng lực X(^ = 1 gây ra Irong hệ cơ bán; M, , N .Q-n - biểu thức giải tích của m ôm en uốn, lực dọc và lực cắt do riêng lực X,^ = 1 gâv ra trong hệ cơ bán. N hư vậv dễ dàng thấy; - Hệ số phụ ôị^n-, có the có giá trị âm hoặc bằng không hay dương và theo định lí M axw ell có = ỗn,|
(3-9) Kp = S 1 E1 EA GA T rong đó: M p, Np, Qp - biểu thức m òm en uốn, lực dọc và lực cắt do riêng tải trọng gây ra trong hệ c ơ bản. C ông ihức tính số hạng tự do viết dưới dạng nhân biếu đồ là: A kp = ( M k ) ( M p ) + ( N k ) ( N ; ) + ( Q k ) ( Q J ) (>10) Trong đó: (M " ), (N " ), (Q*’) - biểu đồ mõmen uốn, lực dọc và lực cắt riêng do riêng tải trọiiị; gâv ra trong hệ cơ bản. Cũng dễ dàng thấy số hạng tự do A|
M p, N p, Qp - biếu thức nội lực trong hộ siêu tĩnh do tải trọng gây ra hay trong hệ cơ bản tương ứng do các lực X |, X 2...... và tải trọng gây ra. N ếu sử d ụng công thức chuvển vị ở dạng nhân biểu đồ, có: Ak p = ( M Ỉ ) ( M k ) + ( N ° ) ( N p ) + ( Q ° ) ( Q p ) (5-12) T ron g đó: ( M ^ ) , ( N ^ ) , (Qị^) - biểu đồ nội lực ở trạng thái khả dĩ "K" được tạo ra trên hệ cơ bản bất kì suv ra từ hệ siêu tĩnh do P|
- Tách từng đoạn thanh trong đó tải trọng tác dụng là liên tục ra khỏi hệ. Từ biểu đồ m ôm en uốn dễ dàng xác định được m ôm en uốn tại từng tiết diện ở hai đầu đoạn thanh. - Sử dụng hai phương trình cân bằng là tổng m ôm en của các lực tác dụng trên đoạn thanh lấy với từng tiết , Ui|,= u q U|,ị= u diện ở đầu đoạn thanh, sẽ lìm được 'C ^ f n 3 J z r r m 3 ^ ^ k . lực cắt tại từng tiết diện ở hai đầu p m\= m' t 9 P đoạn thanh. Theo kết q u ả nh ận được » Ả vẽ biểu đổ lực cắt trong đo ạn thanh. Đế tiện lợi trong tính toán, lực cắt r T T T ''i ì r f - r a tại từng tiết diện ở hai đ ầ u đoạn thanh trong một số trường hợp thường gặp, có thể xác định theo c ô n g thức chung được lập sẵn như sau: • Tách ra khỏi hệ m ột đoạn thanh iK bất kì có trục tạo thành góc a so với phương nằm n gang và chịu tải trọng thẳng đứng phân b ố đều q dọc trục, các nội lực tại tiết diện ở hai đầu đoạn thanh được giả thiết là dương theo q u y định và được kí hiệu như H ình 5.12 trên hình 5 .l2 a . Từ hai điều kiện cân bằng: = 0 và SM | = 0, có: QiK^iK + 0 Qkì^ìK “ ^ K i + 4l|K 2 /,K = . Suy ra: cosa cosa q/ M .ị-M iK q/ M '’ - M ‘ ro---- ------------------------------------------- _ _ c O S a Q '^ = Q k ì = - v + / 16
• Thực hiện tương tự: - Đối với đoạn thanh trên hình 5.12b, có: 2 / íịl M^-M Q^=- + (5-16) 2 I - Đối với đoạn Ihanh trên hình 5.12c, có: q/ M ^-M ' Q = — COSƠ + ------------ c o s a 2 / q/ cosa (5-17) 2 / - Đối với đoạn thanh không có tải trọng tác dụng như Irên hình 5.12d, có; -M Q '= Q '’ = Q = cosa (3-18) / cl) C ách vẽ l)ìểii (lồ lực dọc ílieo hiểu dồ lực cắt Đê xác định lực dọc tại các liết diện đầu thanh cần Ihực hiện như sau: - Tách lừng núl ĩấ khói hệ - Tại mỗi nút tliổ hiện tái trọng (nếu có) và lại các tiết diện đầu thanh quy tụ tại nút, tlieo quy định chung Ihc liiện: lực cắt đã biết, lực dọc đã biết và lực dọc cần lìm được giá thiết là dircmg. 1 'ừ hai phương liình cân bằng là lổng hình chiếu của các lực đặt tại nút lên hai phưcíng giao nhau được chọn Irước phái bằng khống sẽ xác dịnh dược các lực dọc cần tìin. Đ ể tính toán đơn giản và dỗ dàng nên tách nút theo thứ tự sao ch o tại mỗi nút chi có hai iực dọc cần tìm, đồng thời cần chọn trục chiếu sao cho phương trình cân bằng chỉ c h ứa một lực dọc chưa biết. V í d ụ 5.2: Vẽ các biếu dồ nội lực và tìm góc xoay tại nút K trong khung siêu tĩnh cliịu tải trọng cho trên hình 5.13a. Bài giải: 1. Xác định bậc siêu tĩnh n = 3 V - K = 3.1 - I = 2 2. Chọn hệ cơ bản tĩnh định. A Xt —^ L o ại bỏ hai liên kết thanh tại gối X, bì A và Ihay bằng hai ẩn số lực tuơng ứng X| và X ị . Hệ cơ bản n h ư trên hình 5.13b. lỉìn h 5.13 17
3. Hệ phương trình chính tắc Hệ có hai bậc siêu tĩnh nên hệ phương trình chính tắc hai ẩn s ố có dạng: ô | i X , + 6 , 2X 2 + A | p = 0 ỗ2|X| +Ô22X2 + Ả2p =0 4. Xác định các hệ số và số hạng tự do của hệ phương trình chính tắc Áp dụng các công thức (5-7), (5-8) và (5-12). T rong hệ khung, dầm khi tính chuyên vị có thể bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt nên chỉ cần vẽ các biếu đồ inôm en uốn đơn vị ( M | ) , ( M 2 ) và biếu đồ m ôm en uốn (M p) lần lượt do X | = 1, X 2 = ] và lải trọng gâv ra trên hệ cơ bản như trên hình 5.14a, b, c. a /2 (Mo) à) x^=1 c) H ình 5.14 Do đó: 2EI 3 EI 3 EI Ô22-(M2)(M2) = — 2E1 3 3 EI 5 ĩ /tTì X a.a a la 8 „ = 5 ,,= (M ,)(M ,)--— = A, = (M , K M " ) = ■ ỉ a .a = Ỉ í ỉ ỉ l 3 2 EI 4 2 EI 8 EI qa^ ã ã _ 1 A2 p = ( M 2 ) ( M ; ) = - 2 EI 2 4 EI Thay các kết quả đã tính được vào hệ phưcíng trình chính tắc có: a 4 1 5 —X I X 9 -ị— oa =0 E1 3 ' 2 - 8^ aV =0 EI . 18
5. (,íiâi hệ phương trình chính tắc 3 3 n n i đươc các aii số là: X| = - —C]a; X:, = — qa ' 7 - 2 8 6 . Vẽ biểu đ ồ niòmen UỎÌI (Mj,) Áp dụng biểu ihức (5-14) có: (Mp) = (M ,)X , + ( M , ) X , + { M ' ’) Do dó iheo ng uy ên lí cộna tác dụng cần: - Vẽ biếu đồ m ô m en uốn: 3q a và ( M ,) = ( M , ) X . = ( M , ) - ; ^ q a 28 như trêii hình 5.13a, b. Trong dó Ihớ căng irong biếu dồ (M |) phải ngược chiều với thớ căng tid n s biếu đồ ( M | ) vì X| mang giá Irị àm nên có chiều ngược với chiều được giả định khi chọn h ê cơ bản. 14 - qa^ _ 3,5qa (M,) bì cj lỉin h 5.15 - Trên lừng đo ạn Ihanh xác định giá trị m ỏinen uốn trong biểu đồ (Mp) tại tiết diện ớ liai đẩu đoạn thanh bằng cách cộng giá trị m ôm en uốn tại tiết diện tương ứng trong biếu dồ (M |), (M 2) và ( M p ) . Khi đoạn thanh chịu lải trọng phân bô' liên tục thì m ôinen uốn tại tiết diện giữa đoạn được xác định theo cách treo biểu đồ. T hanh KB: k hô ng có tải trọng tác dụng, biếu đồ mỏmcn uốn là một đoạn thẳng . . J3 T „ ua qa' 1 2 / - V ^K B ^ + 0 - - ^ = = — —qa (căng trên) ...2 3 _ 2 1 ..„2 1 .„.2 . ^ ^BK = - q a + — qa = — qa (cáng dưới) 7 ■ 28 ■ 2 ‘ 28 Tlianh AK: chịu tải trọng phân bố đều nên biểu đồ mỏincn uốn là đường cong bậc hai, M|^.^ = —q a ' + 0 - —qa" = — 1- q a " (căng bên trái) Biêu đồ m ô n ien uốn (M,,) đưưc vẽ như trên hình 5.15c. 19
7. Vẽ biểu đồ lực cắt theo biếu đồ m ô m e n uốn Thanh KB: Lực cắl là hàng số, theo (5-18) với c o s a = 1 có: ^ ^ c ' 14 3 Q kb - Q BK hk - qa / a 28 Thanh AK: biếu đổ lực cắt là đường thẳng bậc nhất. Chọn vị trí người quan sá( tlieo quy định và theo (5-16) có: -0 ,^q/ 14 3 = fia a í qa- -0 14 4 = -ỷ c ,a VKA ^ 2 1 2 Biểu đồ lực cắt (Qp) dược vẽ nh ư trên hình 5 . lóa. K ™ E™ B yp ai (Qp) n ^ Q l = 7 qa N in h 5.16 8 . Vẽ biểu đồ lực dọc theo biểu đồ lực cắt Trong trường hợp này lực dọc trong các thanh là một hằng số. Tách nút K ra khói hệ và theo quy định thê hiện các lực cắt đã biết tại các tiết diện đầu thanh quy tụ lại nút. các lực dọc N(^|J, chưa biếl được giả sử là dương như trên hình 5.16b. Từ các phương trình cân bằng của nút K: 4 4 = 0 có; N |
9. Tiin góc xoav lại nút K T ạo irạnu ihái khả dĩ "K": Trên hộ cơ bản. tại tiếl diện K đặt m ô m e n M k = I, vẽ biếu (ỉổ (M'|^) như licn hình 5 .1 7b. Tlieo (5-12) có : > H g= yqa qa' a J qa' a 7 ,‘Pki V' 14 2E1 28 2EI "K" qa tương đối theo phương Iigang giữa hai khớp F \'à 1 irong khung siêu tĩnh chịu tái trọng như trên hình 5 . 18a. R»= Hình 5.18 B à i giải: 1. Bậc siêu tĩnh: n = 1. Hê có đủ số liên kết tựa nối \'ới mật đất nên từ ba điểu kiện cân bàng tĩnh học của hệ dỏ dàng lìm được các phản lực H \ = 1/3P; R|j = 1/3P nh ư trên hình 5.18a. 2. Chọn hệ cơ bản tĩnh dịnli: cắt ihanh có kliớp ờ hai đấu FI và thay bàng lực dọc chưa biêì X| Iihưirên hình .5.18b. 3. Phưưnu trình chính tác: 5 ,,X ,+ A ,p = 0 4. Tính hệ số ỗ| I và số liạng lự do A|p: - Vẽ bicu đổ m ôm en uốn (M | )do riêng X| - 1 gây ra và ( M p ) do riêng tái trọng gây ra trong liệ cơ bản như trên hình 5.19a, b. 21
x,= 1 x,= 1 F i\ (M,) a A c B 11 1 Ị 1 a /Ằ? aj bì ỉlin h 5.19 - Khi lính ch uv ển vỊ chi có thè bỏ qua lực dọc và lực cắt irong các thanh chịu Liỗn nhưng không được bó qua lực dọc trong thanh có khớp ờ hai dầu chỉ chịu kéo hay Iiéii, Trên hệ cơ bản lực dọc Irong thanh F1 do X| = 1 gáv ra bằna N| = X| = I còn do tái trọng gây ra bằng Np = 0. Do đó: ô,, = ( M , ) ( M , ) + ( N , ) ' ' ' ( N , ) ' ' ‘ a. a 2 _ a.2a 1.2 a . l 5 a ' 2 a 5 a" 5 a'^ ~ '' „ ■— 3— ' 'ả H-----------------= " 7 1 7 7 m “ — 2EI 3 2EI EA 3 E1 3E1 E1 a ,p = ( m ,)( m ;;)+ ( n ,)''''(n ;;)'' Pa^ Pa + Pa.a 2 _[V — —a + -■a -f 0 = 2EI 3 2.2EI E1 5. Giải phương irình chíiih tác: 5 — X| + tìm (iược X| = - — 6 . Biểu đồ m ô m en uốn (M|,) trong hệ siêu tĩnh được võ Ihco biếu thức: hay: 5 Kết quả nhận được biểu đồ (Mp) như trên hình 5.20a. 7. Vẽ biếu đổ lực cắt (Qp) và lực dọc (Np) Theo công thức (5-18) và theo biểu đồ m ôm en uốn (M|J, biểu đồ lực cắt (Q|,) được vẽ như trên hình 5.20b. Tách các nút của hệ như irẽn hình 5.20c và ihco biếu đồ lực cắt (Qp), dễ dàng vẽ được biếu đồ lực dọc (Np) như Irẽii hình 5.20d. 8 . Tim chuyển vị thẳng tương đối iheo phương imang aiữa hai khóp F và I. Tạo trạng thái khả dĩ "K" Irèn hệ cơ bán: tại hai khớp F \'à I theo phương ngang dặt hai lực Pị^; = 1 ngược chiều nhau \'à vẽ biểu dồ (M'|^) như trên hình 5.20e. 22