Lý thuyết và bài tập Cơ học kết cấu (Tập 2): Phần 2

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:140

Thêm vào BST

Báo xấu

147
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 Tài liệu Cơ học kết cấu (Tâp 2) tóm tắt nội dung lí thuyết và các bài tập vận dụng với các chương sau: Phương pháp phần tử hữu hạn, cơ sở động lực học công trình. Mời các bạn cùng tham khảo để có thêm Tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và bài tập Cơ học kết cấu (Tập 2): Phần 2

ChưoTig 8^ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ H Ũ t HẠN 8.1. K H Ả I N IỆM CHUNG Sư xuất hiện và phái iriển khòng ngừng của raáy lính điện lử (MTĐT) có khả năng tính toán với tốc độ cao đã cho phép từ sự thay đổi vế lượng dần đến sự thay đổi về chất trong việc nghiên cứu các vấn đề cơ học nói chung và trong việc tính toán kết cấu công trình nói riêng. Cụ thế là: - Có thổ chọn lựa và hoàn ch ỉn h các mô hình tính toán phản ánh chính xác tối đa sự làm việc của vật liệu và cùa kết cấu cồim trình Irong tliực tế. - Có thê thay các giả thiết gần đúng được chấp nhận trong tĩnh toán trước đây bảng các dicii kiện chính xác và phù htíp hơn với sự làm việc của kết cấu công trình. - Khối lượng tính khổng còn là \'ân đề klió khăn dẫn đến \ iệc tăng độ chính xác của kci (ỊUii lính. - Có thế lĩiớ rộng các phương pháp lính kết cấu hú thanh trong cơ học kết cấu dế áị) dụng tính hệ kết cấu bất kì không phải hệ thanh như kốt cấu dạng bản, vỏ, kèì cấu tổng hợỊ)... Với sự trự giúp cùa MTĐT các phưírtig pháp tính hiện đại đáp ứng các yêu cầu trên thường (lẫn đế việc mò tả đại lượng nghiên cứu theo một tập hợp số tại một số hữu hạn các diêm Irong kết cấu nên được gọi chung là phương pháp số. Thay việc tìm hàm nghiệm giải tích liên tục cứa đại lượng nghiên cứu các phưríiig pháp số chí xác định được những giá trị rời rạc của đại lượng nghiên cứu nên phương pháp số còn được gọi là phươno pháp rời rạc hoá. Có thể chia thành hai cách rời rạc hoá sau: - Rời rạc hoá toán học, nghĩa là rời rạc hoá phương trình. Cho phương trình của đại lượng nghiên cứu thoả mãn tại một số điếm được chọn trước. Tại mỗi điếm thay phương trình của đại lượng nghiên cứu bằng hàm xấp xí chứa các giá trị số của đại lượng nghiên cứu tại điểm đó và tại một sô hữu hạn các điểm lân cặn được chọn trước. Thuộc loại này có các phương pháp như phương pháp sai phân hữu hạn. phương pháp rời rạc hoá toán tử vi phân. - Rời rạc kết cấu nghĩa là kết cấu liên tục được tướng tưọtig chia nhỏ thành nhiều các kết cấu con, mỗi kết cấu con được gọi là một phần tử hữu hạn (PTHH). Trong phạm vi mỗi phần tử hữu hạn chấp nhận những kết quả nghiên cứu gần đúng với sai số chọn 199
trước khống quá lớn. Sau đó các PTHH được xem liên kết lại với nhau tại một sò điẽm chung. Giá trị của đại lượng nghiên cứu lại các đicm chung được xác định dưới dạna số. Các phương pháp thuộc loại này được gọi là phương pháp phần tử hữu hạn. Các công thức của phương pháp thường được biểu diễn dưới dạng ina trận là một trong những ngôn ngữ phù hợp với việc thực hiện tính toán giá trị số cúa dại lượiig nghiên cứu trên MTĐT. 8.2. NGOẠI L ự c VÀ ÚTVG SUẤT Xét một vật thể đàn hổi tuyến lính bất kì được đạt trong hệ trục toạ độ Descartes oxyz như trên hình 8.1. Vật thể ở trạng thái cân bằng và chịu tác dụng của các ỉ ực sau: - Lực phân bỏ' thế tích hay còn g ọ i là lực ihể tích đơn vị, tác dụng lại từng điểm nằm trong vật thể. V í dụ trọng lượng bản 0 thân, các lực quán tính... Cường độ p của lực thể tích đơn vị là giá trị của lực trên một đơn vị thể lích. Kí hiệu các thành ỊỊình 8.1 phần của lực ihể lích đơn vị tác dụng theo phương ox, oy, oz lần lượt là P y . p^, vectơ lực thể tích đơn vị có dạng; Đơn vị lực Px Py Pz Đơn vị thể tích - Lực phân bố diện lích (ác dụng trên bể m ặ t vật thể, thường là các lực tương tác giữa các vật thể, giữa vật thể và môi trường. V í dụ áp lực của tải trọng sử dụng lên mặt sàn, của nước lên thành đập chắn, của gió lên công trình... Cường độ f của lực phân bố diện tích đơn vị là giá trị của lực trên một đơn vị diện tích. K í hiệu các thành phần của lực diện tích đơn vị tác dụng theo phương ox, oy, oz lần lượt là f^, fy, 4 , vectơ lực diện tích đơn vị có dạng: fv Đơn vị lực Đơn vị thể tích fz - Khi diện tích phân bố của lực là nhỏ, có thế thay thế bằng lực tập trung có giá trị bằng cường độ của lực nhân với diện tích phàn bố. 200
L.úc Iiàv iroiiíi \ ặl thc xuất hiên sự thay dc'i i:ủ.a lực tương tác giữa các phần tử vật cliáì, được uọi ià nội lưc. Đế tìm nội lưc ihườne sử dụng phương pháp mạt cắt. Tưỏng tirơnu dùntỉ mặt cãt 71 chia vậl ihế đang xci thành hai phầi: A \ à B như trên hình 8.1. Tác dụiiii tưong hỏ aiữa liai phần bị cắl là niộl liê iirỊi lực với cường độ nào đó và phân bố ihco inột quv luâl nào dó ticn diện lích bị cất s. Thavhẽ nội lực phân bố bằng hợp lực Sp \'à iriỏmen s^, dược gọi là nội lực lại mặt cát s và đượcxác định từ các điềư kiện cân bàim của phán bị cãt A hay phần bị căl B. Cuòna độ phàn bò’ cứa hệ nội lực tai dicm M(.\. z)bãt kì thuộc mật cắt s có pháp luycn \\ được kí hióLi là Pv và được gọi là ứna suất toàn phần lại điểm M. Nếu xem hợp lưc dPcúa hệ nội luc phân bố trên diện lích vô cùng hé dS lấy bao quanh điểm M thì ứng sual toàn phán tại điếm M dược \ác dịnh ihco biểu thức sau: Pv = lini ^ Như vậ\ ứng suấl toàn phẩn lại điếm M là một voctư có giá trị và phương phụ thuộc \’àt) \ ' 1 irí cúa diCMn M và pháp tuyến V. úiie suất toàn phan thường được phân tích thành 3 ứng suất thành phần llico phirơng các trục loạ độ o\. 0 >', oz. lần lượt kí hiệu là Xy, Yv, /.v Do đó: P\' = Xv + Y, + Zv Khi inat cãt s song soim vứi inặi toạ dộ thì pháp tuyên cua mật cắt chính là trục toạ clộ tương ứng. Ví (lụ klii mật căt s song song với mật toạ fjộ oyz như trên hình 8 .2 a thì pháp tuyến của mặt cắt là trục ox vù ứng suat trên mat cắr này là x^, Y^, ' L ^ . Ilinh 8.2 ÚiiH suất Ihành phần có phương VLiôno góc với măt cắt (trùng với phương của pháp luyến ox) được gọi là ứng suất pháp. Các ứng suất ihành phần và nằm trong mặt cát có pháp tuyến ox \'à có phươiiíỉ song sona với các Iruc toạ độ tương ứng oy và oz dưực aọi là ứno suất tiếp. Đc kí hiệu ứn” suãì có ihế sử dụng các hệ kí hiệu khác nhau. Nếu kí hiệu ứng suất [•)háp là ơ (siunia) \'à ứniỉ suâì liếp là T (ló), có; - ứiiíi suãì pháp irên mặl cắt có pháp tuyến ox. Chỉ số X biểu thị phương pháp luvcn cua mãl cãl chứa ứng suất \'à pliương cúa ứng suất pháp. 201
= T^y, - các ứng suất tiếp nằm trong mặt cắt có pháp tuyến ox và có phương song song với trục oy, oz. Như vậy chỉ số thứ nhất chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt chứa ứng suất, chỉ số thứ hai chỉ phương của ứng suất tiếp. Trên hình 8.2b, c thể hiện các thành phần ứng suất trên mặt cắt song song với mặt toạ độ oxz có pháp tuyến là trục oy và trên mặt cắt song song với mặt oxy có pháp tuyên là trục oz, đi qua điểm M(x, y, z) bất kì thuộc vật thể. Quy định về dấu của ứng suất như sau: - Nếu pháp tuyến của mặt cắt chứa ứng suất hướng theo chiều dương của trục toạ độ tương ứng và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của trục toạ độ tươne ứng thì ứng suất được xem là dương. - Nếu pháp tuyến của mặt cất chứa ứng suất hướng theo chiều âm của trục toạ độ tương ứng và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của trục toạ độ tương ứng thì ứng suất được xem là dưcíng. - Các trường hợp khác với nội dung trên thì ứng suất được xem là âm. Trên hình 8.2 các ứng suất được thể hiện đều là ứng suất dương. Như vậy, trên ba mật cắt trực giao vuông góc với các trục toạ độ ox, oy, oz và đi qua điểm M(x, y, z) bất kì thuộc vật thể đàn hồi tuyến tính cân bằng, trong trường hợp tổng quát luôn có 9 thành phần ứng suất. Tại các điểm khác nhau trong vật thể các ứng suất có các giá trị khác nhau và là hàm sô' của toạ độ tại điểm đang xét; - Ba ứng suất pháp: y, z), Qy = ơy(x, y, z), ơ_, = ơ^(x. y, 7 .) - Sáu ứng suất tiếp: = T^y (x, y, z), T y , = Ty^ (x, y, z), Ty, = (x. y, z) "^zy ^zy (x, y, z), (x, y, z), (x, y, z) 8.3. PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG NAVIER Bằng những mặt cắt song song với nhau, cách nhau một khoảng dx, dy, dz và vuông góc với các trục toạ độ chia vật thể đàn hồi tuyến tính cân bằng khi chịu tác dụng của ngoại lực như trên hình 8.3 thành: - Những phần tử hình hộp, mỗi phần tử có 6 mặt nằm trong vật thể. - Những phần tử ít nhất có một mặt trùng với bề mặt vật thể. Trong trường hợp tổng Hình 8.3 quát, phần tử này có 4 mặt được gọi là phần tử hình tứ diên. 202
Xéi phấn tứ liìnli hộp có kích thước d.\, dy, dz trên hình 8.4. Trên mỗi mặt của phần tử có ba thành phần ứiig suất song sona với các trục toạ độ. Các úfng suất trên ba mặt phần tứ di qua đicm 0 (x, y, z) là: - Trên mật oaee có: - Trêii mạt ocgli có: ơỵ, - Trên mặt ohba có: ơ^, Các ứng suất trên ba mặt phần tử di C|ua điciri d(x + dx, y +dy, z + dz) là; - Trên mặt dghb có: ơ + _ liL (jx , Xvv + - ^ d x , ^ d x . ỡx ' ỡx ỡx ỠƠ-. ỠTvx Ỡ T y2 - Trên mật cibac có; ơ ỵ + ^ íiy , Tyx +^d y, T ,, +^ d y. d y õ y ■ õ y - Trôn mặt egdc có: 5z ỡz õ z Giá sử các ứng suất là dương và hình chiếu của lực thể tích đơn vị Pjj, Py, lên pliương các trục loạ độ cũng là dương. Từ điều kiện cân bằng tổng hình chiếu cúa các lực tác dụng trên phần tử hình hộp lên pliươns trục ox bàiiíỉ không có: rx. Z1\ = H------- (\M(\7-n d v-d ơ^dvdz dydz ? + T ++ d xd z- ' ax ỔT -T^,^d.\dz + dxdv - X dxdy + p dxdydz = 0 203
Sau khi ihực hiện rút gọn sẽ nhận được phương trình vi phán: õa õĩ dx —^ ^ + Pv = 0 õ \ õ y õ z Từ các điểu kiện cân bằng IPy = 0 và = 0 cíia phần tử hình hộp sẽ nhận được hai phương trình vi phân có dạng tương tự. Như vậy ba phương trình vi phân biếu thị điều kiện cân bằng tĩnh của các phần tử hình hộp nằm trong vật the có dạng sau; +p =0 ỡx ỡy õ z ỡa,, —^ ^ ^ + p, = 0 (8-1) ỡx ỡy ỡz ^ ỔT ỠT da ^ + p, = 0 Pvx ơ ỹ y ỹ ỵ Các phương trình (8-1) dược gọi là phương trình cân bằng Navier. Từ điểu kiẹn cân bằng tống mômen của các lực lác dụng trẽn phần lử hình hộp lấy với trục oy bằng khổng, có: { õ"Ì/T a \^ A -r dz dz í A 'ỉ A Ỡ T ,.. , ^ IM^, = ơ, + ^ d x d y d z y ơ,dydz “ ^x; + —^ d x dydzdx 4- , . ỡx J V r lx ; ỠT í ỡơ^ + + dz dvdxdz - ơ, + —^ d z dxdy —- + ơ^dxdy — - J J _ -I J ổz ^ ỡz -T.,„dxdz^ 'vx A A + dy dxdz — + T „ ,,d x d z — 9 ay 2 2 Ty^ + ^ d y d x d z y + p ,d x d y d z y -p ^ d x d y d z y = 0 Bó qua các số hạng là vô cùng bé bậc bốn. Sau khi rút gọn sẽ nhận được biểu thức ^,\z ^zx Từ các điều kiện cân bằng ZM_, = 0, IM ^ = 0, sẽ nhận được hai biểu thức có dạng tương tự. Như vậy, từ ba điểu kiện cân bằng lổng mômen của các lực tác dụng trên phần tứ hình hộp, lấy với các trục tọa độ bằng không, có các biểu thức sau; ^vz = (8-2) 204
Biếu thức (8-2) biếu thị định luật đối __ ứng cúa ứim suất tiếp với nội dung sau: ;• - ^~ T-*- Trên hai mặt cắt vLiỏna góc với I nhau, ứng suất tiếp theo phưưna vuông g(')c \'ới uiao tuyên chung có trị số bằng Hitih 8.5 nhau \'à cùno hướng vào hoặc cùng hướng ra khỏi cạiih chune như irêii hình 8.3. Từ định luật dối ứng của ứng suất tiếp suv ra tại mội diểm bất kì trong vật thế đàn hồi luyến tính càn bằng, trên ba mặt cắt vuòne góc với các iruc toạ độ đi qua điểm đang xét, có 6 thành phần ứng suất. Vectơ ứnq suất tại một điếm trong vật thể sẽ có dạng: T ơ Phương irình cân bằng Navier (8-1) khi kò đến (8-2). có thế viết dưới dạng ma trận: \ (■ d 0 0 0 í")x ry '^y (; (■ à 0 0 0 Px Py Pz =0 ry c \ i - i ■*N Ị t c 1 0 0 í) í ^vv Õ z ổx ' J Hay: [v][a| + =0 (8-3) Trong đổ: [V] - ma trán toán tử vi phàn có kích thước ( 3 x 6 ) và chỉ có ý nghĩa khi đi cùng với inộl vectơ; [a] - \ ectơ các thành phần ứng suất biếu thị trạng thái ứng suất tại một điếm trong vật ihế và là ma (rạn cột có kích thước ( 6 X 1); [p] - vectư lực thể tích đơn vị tác dụne tại một điểm nằm trong vật thê’ và là ma trận cột có kích thước (3 X 1), 8.4. ÚN(Ỉ SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG. ĐIỂU KIỆN CÂN BẰNG TRÊN BỂ MẶT Xét phán từ hình tứ diện trên hình 8 . 6 có mệ-t cắt nghiêng abc với pháp tuyến V. Trong hệ trục toạ độ oxyz, cosin chỉ phưcfng cua pháp tuvến V ỉầiì ỉượt kí hiệu ỉà: / = cos(v, x), m = cos(v, y I, n = cos(v, z) 205
Gọi diện tích mật cắt nghiêng abc là dS, có: - Diện tích mặt oab có pháp tuyến ox bằng: dS| = cos(v, x)dS = /dS - Diện tích mặt obc có pháp tuyến oy bằng: dS, = cos(v, y)dS = mdS - Diện tích mặt oac có pháp tuyến oz bằng: dS3 = cos(v, z)dS = ndS Trong trường hợp tổng quát trên mỗi mặt của H ì n h 8 .6 phần tử đều có ba thành phần ứng suất và giả sử các ứng suất là dương như trẽn hình 8 .6 . Trên mặt cất nghiêng abc hình chiếu của ứng suất toàn phần Pv lên phương các trục toạ độ ox, oy, oz lần lượt kí hiệu là Xv, Yy, Zv Từ điều kiện cân bằng tổng hình chiếucủa các lực tác dụng trên phần tử hình tứ diện lên phương ox bằng không có: ZP^ = -ơ^dSị - - x^^dS3 + X^.dS + p^dv = 0 Bỏ qua số hạng vô cùng bé bậc ba .dv (dv là thể tích hình tứ diện vàlà vô cùng bé bậc ba), so với các số hạng còn lại là vô cùng bé bậc hai có: (-ơ^/ - Ty^m - T.^^n + X^, )dS = 0 hay: ơ ^ / + Xy^m + = x^, Từ các điều kiện cân bằng ZPy = 0 và = 0 của phần tử hình tứ diện, sẽ nhận được hai biểu thức có dạng tương tự. Như vậy ba phương trình cân bằng biểu thị quan hệ giữa ba ứng suất trên mặt cắt nghiêng có pháp tuyến V và sáu ứng suất trên ba mặt cát vuông góc với các trục toạ độ và đi qua điểm đang xét 0 (x, y, z) sẽ có dạng: (8-4) Nếu mặt cắt nghiêng abc trùng với bề mặt vật thể có: X\. = f^, Yy = fy, Zv = thì phưofng trình (8-4) lúc này có dạng: /ơ, + mty, + /x^y + m ơy + nx^y = (8 Õ 206
Phương trình (8-5) biếu thị điều kiện cân bằng cùa mọi điếm nằm trên b ề mặt vật thể, được gọi là điều kiện cân bằng trên bề mặl và có thế viết dưới dạng ma trận: ơ. ơ, / 0 0 m 0 n ơ 0 in 0 / n 0 hay [L ] [ ơ ] = [f] ( 8-6 ) XV 0 0 n 0 m / Trong đó: [L] - ma trận cosin chỉ phương của pháp l u v ế n V tại điểm đang xét thuộc bề mặt vật th c \'ã c ó k íc h th ư ớ c (3 X 6): [f] - vectơ lực phân bố diện tích đơn vị tác dụng trèn bé mặt vật thể và là ma trận cột có kích thước (3 X 1). Như vậy nếu 6 thành phầii ứng suất tại các diêm thuộc vật thế thoả mãn phưoìig trình cán bằng Navier (8-3) và diéu kiện cân bãng trên bé mặt i 8 -6 ) thì vật thể sẽ ỏ trạng thái cân bàng. 8.5. PH Ư Ơ N G TRÌNH CANCHY - QUAN HỄ (ỈIỪA BIẾN D Ạ N G VÀ C H U Y Ể N v ị Trong hệ trục loạ độ Oxyz (liếm A(x, y, z) ;y - thuộc vật thể đàn hồi tuyến lính, dịch chuyến A ,(x i,y i,z ,) đ ế n vị trí m ớ i A | ( X | , y , , Z|) sau khi vật thể bị w A(x,y,z) u biến dạng. ĐoạnAA|được gọi là chuyển vị 1 thẳng của điểm A (hình 8,7). 1 1 ^ Hình chiếu chuyên vị thắng của điểm A , u/ lên phương các trục toạ độ ox. oy, oz bằng hiệu số toạ độ của các điểm A| và A: u = X, - X , V = y, - y, w = z, - 7. H ìn h 8 .7 u, V , w - chuyến vị tháng theo phương ox, oy, oz cúa điếm A và được xem là dưcíng khi có chiều trùng với chiều của trục toạ độ tươna ứno. Các chuyển vị đều là hàm số của toạ độ tại điểm A: u = u(x, y, z) và v(x, V, z). w = vv(x, y, z). Hiệu s ố của chuyến vị giữa các điểm trong vật thế được gọi là biến dạng. Vớ: giá thiết biến dạng nhỏ có thể xét biến dạng của phần tử hình hộp có kích thước bé tuỳ ý dx, dv, dz. thông qua biến dạng của các hình chiếu của các mặt phần tử trên các mặt toạ độ tương ứng. V í dụ xét biến dạng của hình chiếu của mật phần tử abdc trên măt toạ đó oxz như trên hình 8 .8 . 207
Điểm a có chuyển vị thẳng theo phưcỉng ox là u, theo phương oz là w. Điểm b cách điểm a một vi phân chiều dài dx có chuyển vị thẳng theo phương ox là u + — dx và theo phương oz d x là w + — dx . Điểm c cách điểm a một ỡx vi phân chiểu dài dz, có chuyển vị thẩng theo phương ox là u + — dz và õ z H ìn h 8 .8 theo phương oz là w + — d z. õ z Cạnh ab == dx sau biến dạng có vị trí mới a|b| với hình chiếu lên phương trục ox tà a|bỊ và bằng: a,b = dx - u + u + — dx = dx + — dx ' ' õ x ổx Biến thiên chiều dài cạnh ab theo phưcmg ox bằng: Aab = a,b! 1^1 - ab = dx + — dx -d x = — dx a.x ax Biến dạng dài tỉ đối theo phương ox bằng: Aab ổu , 1 ỡu 8 ^ = — = — dx •— = — ab ổx dx õ x Thực hiện tưofng tự đối với cạnh ac sẽ nhận được biến dạng dài tỉ đối theo phươiig oz bằng: ổw õ z Như trên hình 8 . 8 sự thay đổi góc giữa các cạnh ab và ajb| được xác định như sau: ổw , ỡw , õ w , ,, w + --- dx - w -- - dx 120 = _____ - -
c\-l c ’w Thực hiện tương tự đối với các mặt còn lai cùa phần tử hình hộp sẽ nhận được: cN' cu dv c v(?w 7‘ yv x. \ = — + — -V T>z = ^
Trong đó: v]* - ma trận chuyển trí của ma trận toán tử vi phân có kích thước ( 6 X 3); e] - vectơ biến dạng tỉ đối biểu thị trạng thái biến dạng tại một điểm trong vật thể và là ma trận cột có kích thước ( 6 X 1); [u] - vectơ chuyển vị tại một điểm trong vật thể và là ma trận cột có kích thước (3 X 1 1. Như vậy nếuchotrước vectơ hàm chuyển vị [u] tại một điểm trong vật thể đàn hồi tuyến tính cân bằng thì có thể tìm được vectơ biến dạng tỉ đối tương ứng [e] theo công thức Cauchy (8 -8 ). Nếu giải bài toán ngược là tìm ba hàm chuyển vị theo sáu biến dạng tỉ đối thì cần tích phân sáu phưcíng trình Cauchy, số phương trình lớn hơn số án số, do đó các biến dạng tỉ đối phải có quan hệ phụ thuộc với nhau, Các quan hệ này được thiết lập như sau: - Trong mặt phẳng oxz lấy đạo hàm bậc hai của theo y, trong mặt phắng oyz lấy đạo hàm bậc hai của Sy theo X. Sau khi cộng các kết quả và thực hiện biến đổi s ẽ nhân được biểu thức: õ \ ^ õy^ ổx^ dxõy Biểu ihức này cho thấy nếu cho trước biến dạng dài tỉ đối theo hai phương vuông góc với nhau thì biến dạng góc tỉ đối trong mặt phẳng chứa hai phương đó khống được cho trước tuỳ ý. - Đạo hàm biến dạng góc theo z, biến dạng góc Yy^ theo X , biến dạng góc theo y rồi cộng hai phương trình đầu và trừ đi phưcmg trình thứ ba. Tiếp đó đạo hàm hai \'ế của biểu thức tổng cộng theo y và sau khi biến đổi sẽ nhận được: ỡy Õz ỡx ÕỴ õ\õz Biểu thức này cho thấy nếu cho trước ba biến dạng góc tỉ đối trong ba mặt phắng irực giao thì biến dạng dài tỉ đối không được lấy tuỳ ý. Thực hiện tương tự sẽ tìm được điều kiện tưcmg thích của các biến dạng tỉ đối để lích phân các phương trình Cauchy tìm ba hàm chuyển vị u, V , w đcfn trị và liên tục. Các điều kiện tương thích có dạng sau: A + A ổy^ ổx^ ỡxỡy ổz^ ổy^ ổyổz ^õ \ ^ õz^ õy } õzõx 210
(8-9) õ í ^ ổx cy ổz j cxry Điều kién tương thích cúa biến dạng ti đc=i (8-9) còn đưọc gọi là điều kiện biến dạng licn lục Saint - Vcnant và có ý nghĩa hình học sau: Tướng lượng chia nhỏ \’ậl thế đã cho thành các phần tử có kích thước bé tuỳ ý. Nếu mỗi pliấn tử có biến dạiia iLiỳ ý ihì khi liên kết các phán lử đã bị biến dạng lại với nhau sẽ kliỏng nhận được vặt thê ban đáu ớ trạoiỉ thái hị biến dạng liên tục. Nếu các biến dạng cúa các phần tứ thoả mãn điéu kiện biến dạng liêu lục Saint - Venant (8-9) thì khi liên kết các phần tứ đã bị biến dạng lại \'ới nhau sẽ nhận được vật ihế ban đầu ớ trạng thái bị biến dạng liên tục. 8.6. P H Ư Ơ N (; TRÌNH Đ ỊN H L U Ậ T H O O K E T ổ N ( ; Q U Á T - Q U A N H Ệ GIỮA ÍÍNG S U Ả 1’ VÀ BIẾN DẠNCỈ Cliáp nhộn giá thiết \'(u liệu là đàn hổi tuyệt dối, đồng chái \'à đẳng hướng, giữa ứng suài pliáp và biến dạng diìi li dối eùng Ịihưcilg cví quan hè Uiyến tính theo định luật Hooke; (a) Biến dạng dài tí dối theo phương vuông gík với ứng suất là: a e= - ve = -V -- ' (b) íỉ Biến dạng trượt lí đổi và ứng suất tiếp tuân iheo định luật Hooke trượt: Trong đó: E - môđun đàn hồi kéo (nén) của vật liệu; V - hệ số biến dạng ngang của vát iiệu hay còn được gọi là hệ số Poisson; E G - - inôđun đàn hồi trượt của vật liệu. 2 {l + v) Xét biến dạng tí đối cúa phần tử hình hộp có kích thước bé tuỳ ý dx, dy, dz được tách ra khỏi \’ật thế. Biến dạng dài tí đối của cạnh phần tứ theo phương ox bằng: - Do ứng suâì pháp ơ^, theo (a) có: 211
- Do ứng suất pháp ơ y và ơ^, theo (b) có: r" t-x = _V£ = —V —£— ’ e'" = - v s = - v ^ E Theo nguyên lí cộng tác dụng có: 8 ,= s ;+ 8 ;+ < = ơ ,-v (ơ ^ + ơ ^ ) Thực hiện tương tự sẽ tìm được biểu thức quan hệ giữa biến dạng dài tỉ đối của cạnh phần tử theo phương oy và oz với các thành phần ứng suất pháp. Biến dạng trượt tỉ đôi cùa các mặt phần tử song song với các mặt toạ độ tương ứng được xác định theo định luật Hooke trượt (c). Sáu phưcmg trình định luật Hooke tổng quát biểu thị quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là: 1 1 ơ x -v K + a ,) ơ -v(ơ^ + ơ^) ^z = -v(ơ^ +ơy) E E _ 2 ( l+ v ) 2 ( 1 + v) 2 (l + v) ^ZX = (8-10) "^xXyV I- g "^xy -xy Q G ’ /vz 'yz E £ y. G G Các biểu thức (8-10) có thể viết dưới dạng ma trận: 'e.x ’ ' 1 -V -V 0 0 0 s - V 1 -V 0 0 0 ""y _ 1 -V - V 1 0 0 0 Yxy “ E 0 0 0 2 ( 1 + v) 0 0 T^xy Yyz 0 0 0 0 2 ( 1 + v) 0 Jzx. 0 0 0 0 0 2 ( 1 + v) Hay: LeJ w . = [D]-'' lơ =LDJ [ơ], [ơ] = LDJleJ j, suy ra: LơJ [D][e] (8-11) Trong đó: [D] - ma trận đàn hồi chứa các đặc trưng cơ học E, V của vật liệu hay của vật thể đang xét và là ma trận vuông đối xứng, không suy biến, có kích thước ( 6 X 6 ). Ma trận đàn hồi có cấu trúc sau: 2(1 - V ) 2 v 2 v 0 0 0 2 v 2(1 - V ) 2 v 0 0 0 2 v 2 v 2(1 - V ) 0 0 0 D] = (8-12 2 (l + v ) ( l - 2 v) 0 0 0 ( l - 2 v) 0 0 0 0 0 0 ( l - 2 v) 0 0 0 0 0 0 ( l - 2 v) 212
8.7. T R Ư Ờ N G HƠP BÀI TOÁ N Đ À N H ổ l P H Ẳ N G Trong trườiig hợp lổng quát lại một điểm .VI(x . y, z) thuộc hệ đàn hồi tuyến tính bất kì được đặt trong hệ toạ độ Dcscartes oxyz có 15 ẩn số cần xác định là 6 ứng suất, 3 c h u v ể n vị và 6 b iến d ạ n g lí đ ối. Các ẩ n s ố nàv đ ểu là h à m s ố c ù a t o ạ đ ộ X, y, z tại điểm M đang xét và được tìm từ 15 phương trình ià ?> P'hương trình cân bằng (phương trình cân bãng Navier và các điều kiện Irẽn bề mặt). 6 phương trinhCauchy và 6 phương trình định luật Hookc. Trường họp này được aọi là bài toán đàn hồikhônggian.Tuy nhiên trong thực tế việc tính toán một số cỏns trình ihường iỉặp có thể đưa về trường hợp bài toán đàn hổi phắna với các ẩn sỏ là hàm sổ của hai toạ độ tại điểm đang xét. Có hai dạng bài toán đàn hồi phắng là bài toán ứng suất phảng \ à bài toán biến dạng phẳng. 1. Bài toán ứng suất phảng Xél inột hệ đàn hồi tuyến tính có kích thước theo phương trục oz nhỏ hơn nhicu lần so với kích thước theo phương ox và oy, chịu tác dụng của tái trọng có phương song song với mặt phảiiií oxy và được xem là phân bố đéu theo phương oz. Ví dụ bán có độ dày mỏng chịu tái trọng như trên hìnli 8.9. Vì kích thước của bản theo phương oz là nhỏ nên có ihế xcir. tại mọi điểm trong vát thế trên các măt song song \’ới mặt oxy các ứng suất a^, đcu bằng khóng V'à các ứng suất còn lại ơ^, ơy, phân bố đều theo phương trục 07. và là hàm số của loạ đ ộ X. V tại điểrn đang xét. Lúc này trong bản sẽ xuất hiện trạng thii H ìn h 8 .9 ứng suất được gọi là trạng Ihái ứng suất phắng: ơ, = ơ,(x, y), ơy = ơy(x, y). = t,(x, y), ơ, = Ty, = = 0 Các phương trình cơ bản trong trường hợp nà\' s.ẽ có dạng sau: dĩ y x - Phương trình cân bàng Navier: + Px = 0 ỡx dy ỠTXV Õ G + =0 cx cy ■ Viết dưới dạng ma trận: ■õ õ ■ 0 'ơ.x' õ\ ôy Px ơ,.> + = Ohay [ v ] [ ơ j + [p] = 0 (8-13) ỡ d - _ 0 _^xy_ õy d\ 213
- Điểu kiện trên bề mặt: /ơ^ + mXy^ = / T^y + may = fy Viết dưới dạng ma trận: ,\ / 0 m 'fx = hay [L ][ơ ] = [f] (8-14) y 0 m I _fy "xy_ - Phương trình Cauchy biểu thị quan hệ biến dạng và chuyển vị: ổu ỡv ỡu ỡv Viết dưới dạng ma trận: A 0 ỡx 0 hay [s] = [ v ] ' [u] (8-15) ổy ■xy a õ õ y ỡx Phương trình liên tục Saint - Venant: _ Ổ“Yxy + (8-16) õ y~ d x^ õ x õ y - Phương trình định luật Hooke: Sx = - ; ^ ( ơ x - v ơ y ) , Ey = - ^ ( ơ y - v ơ j . EI 2 ( 1 + v) T xx vy = £ T,y, M 8 ,- = - | -£( ơ , + ơ y ) Vì 0 riên mặt của bản song song với mặt oxy sẽ bị biến dạng uốn. Viết dưới dạng ma trận; ■ 1 -V 0 " _ 1 s -V 1 0 = hay [ 8 ] [ D ĩ '[ a ] “ E 0 0 2 ( l + v)_ _Yxy_ ."xy. Suy ra: [a ] = [D ][s] (8-17) 214
Tronu đó ma trận đàn hồi [D] cùa trạnu thái iniíỉ suất phắng có dạng sau: 1 0 E D V 1 0 (8-18) 1 -v - 1 -v 0 0 2 . 2. lià i toán biên dạng phảng l'rong Ihực tế thường gặp những hệ kết cấu như iường chăn, đường hầm, đường ống dài, bán dài... như trên hình 8 . 1 0 . là những hệ đàn hổi có kích thước theo phương trục oz lớn hưn nhiều so với kích ihước theo phương ox \ ' ã ov chịu lác dụng của tải trọng có phương song song với mặt phẩng oxy và có giá trị khỏns c5ổi theo phương oz. llinh 8.10 Trong những Irường hợp nàv theo phương dài oz có thc xem biến dạng = 0 và chuyến vị \v = 0. Trong hệ chi xuất hiện chuvển v ị u. V theo phương ox và oy tại các điếm trong các mặl phảng song song với mặt oxy. Các chuvển vị này là hàm sô của toạ đ ộ X, y lại đ i ể m đ a n g xét: u = Li(x, y ), V = v (x , y). Trong hệ xuất hiện trạng thái biến dạng được gọi là trạng Ihái biến dạng phắng: s, = 8 ,(x, y), £y = 8 y(x, y), y,y = y,y(x, y), y,,, = = 0 (a) Vì = 0 nên trong hệ theo phương oz xuất hiện ứng suất pháp phụ thuộc vào các ứng suất ơ^, ơ^, trong mặt phắng oxy. Theo biểu thức thứ ba của định luật Hooke tổng quái( 8 - 1 0 ) có; ơ ^ -v(ơ ^+ơ y) = 0 , suy ra: ơ ^ = \'(ơ ,+ ơ y ) Thay biểu thức vào biểu thức thứ nhất và thứ hai của định luật Hooke tổng quát ( 8 - 1 0 ), nhận được: 1 I 1 -■V2 / ơ ,-v (ơ ,+ c ,) ơx- a. -v ,a ) (b) E 1 -v bi 215
/ \ _ l- v 2 1 'ơy -v(ơ^ +ơ^)’' (c) E ~E, Trong đó: E| = V, = — - các hằng số đàn hồi quy ước. 1 -v^2 ' I ■ 1 -v Biến dạng trượt tỉ đối trong mặt phẳng oxy: 2 (l + v) xy £ -x y (d) Từ các biểu thức (a), (b), (c), (d) suy ra trong hệ lúc này xuất hiện trạng thái ứng suất: ơ^ = ơ^(x, y), ơy = ơy(x, y), = T,y(x, y), = 0 Các biểu thức quan hệ giữa biến dạng và ứng suất (b), (c), (d) có thể viết dưới dạng; (1 - v ) - V 0 1+ V -V (1 - v ) 0 hay [s]= ^ [ o r ‘ [a ] E ,Yxy_ 0 0 2 _ /xy_ Suy ra: [a ]:= [D ][d (8-19) Trong đó ma trận đàn hồi [D' của trạng thái biến dạng phẳng có hai dạng sau ' 2 (l- v ) 2 v 0 E 1 [D] = 2 v 2 (1 - v ) 0 ( 8 - 20 ) 2 (l + v ) ( l - 2 v ) 0 0 ( l - 2 v)_ Như vậy trong bài toán biến dạng phẳng các phương trình cơ bản vẫn có dạng như trong bài toán ứng suất phẳng bao gồm 8 phương trình: phương trình cân bằng Navier (8-13), điều kiện trên bề mặt (8-14), 3 phương trình Cauchy (8-17), 3 phương trình định luật Hooke (8-17), chỉ khác là trong bài toán ứng suất phẳng ma trận đàn hồi [D] được xác định theo công thức (8-18) còn trong bài toán biến dạng phẳng ma trận đàn hồi [D] được xác định theo công thức (8-20). Tám phương trình này chứa tám ẩn số cần tìm là 3 ứng suất, 2 chuyển vị và 3 biến dạng tỉ đối, đều là hàm số của toạ độ X , y tại điểm đang xét thuộc hệ ở trạng thái ứng suất phẳng hay ở trạng thái biến dạng phẳng. 8.8. D Ạ N G M A T R Ậ N C Ủ A N G U Y Ê N LÍ C Ô N G K H Ả DĨ L A G R A N G E 1. C ông khả dĩ của ngoại lực Xét lực tác dụng tĩnh trên hệ đàn hồi cân bẳng. Quan hệ giữa lực và chuyển vị điểm đặt của lực được thể hiện bằng đồ thị như trên hình 8.11. Tại thời điểm lực đạt giá trị p thì chuyển vị tương ứng đạt giá trị u. Khi lực tăng lèn một giá trị nhỏ ỖP thì chuyển vị 216
tương ứng cũng lăng lên một giá trị nhỏ ôu. Lúc này lực p +ỖP sinh công trên chuyên vị nhỏ ỗu bằng: ÔA = (P + ỖP)ỖU = p.ôư -f ỗP.5u Nêu bỏ qua vô cùng bé bậc hai, có: ÔA = p.ỗu. Chuyến vị ôu không do giá trị p của lực gâv ra nên được xem là chuyến vị khá dì lương ứng với lực p và ỖA được gọi là còng khả dĩ của lực p. Khi trên hộ có nhiều lực tập trung P|, ? 2 , .... p„ tác dụng H in h 8 .1 1 tĩnh thì cóng khả dĩ của hệ lúc nàv bằng: ỖU| = P,ÔU, + + ... + P,Su„ = [ P| p, ... p„ r ^ '^ 2 p f[8 u l Trong dó: P1 = t P,P^ I w ... p„11 l' J - vectơ niíoai u . lưc ; và là ma trân cót có kích thước (n X 1); 'ỏu] = [ÔU| 5u, ... 5u„ ] - vectơ chuyến vị khả dĩ tương ứng và là ma trận cột có kích thước (n X 1). Khi hệ chịu lực phân bố thổ tích đơn vỊ [ p ] - p„, ^ tác dụng tại từng điểm trong hệ và lực phân bố diện tích đơn vị [f 1 = fy í) r tác dụng tại từng điểm trên diện tích bề mặt s của hệ. thì công khả dĩ của hệ lúc này được xác định theo công thức: ÔA= [ [ p f [ôu]dv+ |'[f f [ou]dS (8 - 2 1 ) J •> % • \ Trong dó: [ỏu] = [ôu ôv ô\v]^ - vectơ chuyẻn vị khả dĩ tương ứng. 2. C òng khả dĩ của nội lực. T h ế năng biến dạn g đàn hồi khả dĩ Khi chịu tác dụng của các nguyên nhân bén ngoài, tại môt điểm M(x, y, z) trong hệ đàn hồi cân bằng xuất hiện trạng thái ứng suất và hiến dạne được xác định bằng: - Vectơ ứng suất: [ơ] = "-xv ’^zx - Vectơ biến dạng tỉ đối: [e] = Yxv yyz Yzx 217
Đồ thị quan hệ giữa ứng suất và biến dạng được thể hiện như trên hình 8 . 1 2 . Khi ứng suất tăng lên một giá trị nhỏ ỗơ thì biến dạng tỉ đối cũng tăng lên một giá trị nhỏ tưcmg ứng ÔE. Lúc này trong hệ xuất hiện sự thay đổi nãng lượng biến dạng đàn hồi trên một đơn vị thể tích ôwo được gọi là thế năng biến dạng đàn hồi khả dĩ tỉ đối và được đo bằng công khả dĩ của nội lực trên một đcm vị thể tích: H ìn h 8 .1 2 ỖW(, = [ ơ ] ' [ ô £ ] + [ ô ơ ]'^[ ỗ s ] Nếu bỏ qua vô cùng bé bậc hai có; ÔSy ÔVVq = [ ơ ]' [ ỗ e ] = xy ■yz zx (8- 2 2 ) ôyy^ ỗ. Hay: ■y?, I yz Do đó công khả dĩ của nội lực trên những biến dạng khả dĩ đàn hồi tương ứiig hay thế năng biến dạng đàn hồi khả dĩ trong toàn hệ bằng: ôw = ÔW(, = [ơ ]'[ô e]d v (8-23) V V 3. N guyên lí công khả dĩ L agrange Đối với hệ đàn hồi tuyến tính cân bằng khi chịu tác dụng của các ngoại lực, ngoài công khả dĩ của ngoại lực cần phải kể đến còng khả dĩ của nội lực. Do đó nguyên lí công khả dĩ Lagrange áp dụng cho hệ đàn hồi cân bằng được phát biểu như sau: Điều kiện cần và đủ để hệ biến dạng đàn hổi ở trạng thái cân bằng khi chịu tác dụng của các ngoại lực là công khả dĩ của ngoại lực trên những chuyển vị khả dĩ tưcfng ứng bằng công khả dĩ của nội lực trên những biến dạng khả dĩ tưcmg ứng. Do đó: 5A = ôw 218