Lý thuyết và bài tập ứng dụng cực trị hàm bậc ba

Chia sẻ: Trần Thị Trúc Diễm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

146
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hướng dẫn giải cực trị hàm bậc ba bao gồm phần lý thuyết và bài tập kèm theo đáp án giúp các bạn ôn tập kiến thức và có thêm tư liệu chuẩn bị ôn thi Đại học với kết quả tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và bài tập ứng dụng cực trị hàm bậc ba

CỰC TRỊ HÀM BẬC BA I.Tóm tắt lý thuyết: 1.Hàm số y  f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d ( a  0 ) 2.Đạo hàm : y '  f ' ( x )  3ax 2  2bx  c 3.Điều kiện tồn tại cực trị Hàm số y  f (x) có cực trị  y  f (x) có cực đại và cực tiểu  f ' ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt  '  b 2  3ac  0 . 4.Kỹ năng tính nhanh cực trị: Bước1:Thực hiện phép chia f (x) cho f ' ( x) ta có: 1 b 2 b  bc  f ( x)   x   f ' ( x)  c   x   d   3 9a  3 3a   9a  Tức là: f ( x)  q ( x). f ' ( x)  r ( x)  2 b bc  f ' ( x1)  0  y1  f ( x1)  r ( x1)  3 (c  3a ) x1  (d  9a )  Bước 2:Do  nên   f ' ( x 2)  0  y 2  f ( x 2)  r ( x 2)  2 (c  b ) x 2  (d  bc )   3 3a 9a .Hệ quả:Đường thẳng đi qua CĐ,CT có phương trình là: 2 b bc Y  r (x) hay y  (c  )  (d  ) 3 3a 9a II.Các dạng bài tập: Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị:
Bài tập: 1 Bài 1:Tìm m để hàm số : y  x 3  mx 2  (m  6) x  (2m  1) có cực đại và cực tiểu 3 Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương trình y ' ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt  x 2  2mx  (m  6)  0 có hai nghiệm phânbiệt  '  m 2  m  6  0  (m  2)  (m  3) Bài 2:Tìm m để hàm số y  (m  2) x 3  3x 2  mx  5 có cực đại và cực tiểu Giải: Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương trình y ' ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt  3(m  2) x 2  6 x  m  0 có hai nghiệm phân biệt m  2  0 m  2  2  2  3  m  2  1 '  3m  6m  9  0  m  2m  3  0 1 Bài 3:Tìm m để hàm số y  x 3  (m  2) x 2  (5m  4) x  (m 2  1) đạt cực trị tại 3 x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1
1 Bài 5: Tìm m để hàm số y  x 3  (m 2  m  2) x 2  (3m 2  1) x  (m  5) đạt cực tiểu 3 tại x=2. Giải: *Điều kiện cần: Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 suy ra f ' (2)  0 ta có f ' ( x )  x 2  2(m 2  m  2) x  3m 2  1 suy ra  m 2  4m  3  0  m  1; m  3 *Điều kiện đủ: Nếu m=3 thì f ' ' ( x)  2 x  16  f ' ' (2)  12  0  x CT  2 Nếu m=1 thì f ' ' ( x)  2 x  4  f ' ' (2)  0 nhưng lúc đó ta có f ' ( x )  ( x  2) 2  0x  Hàm số không có cực trị *Kết luận:m=3 Dạng 2:phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu Bài 1:Tìm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại,cực tiểu của hàm số f ( x)  x 3  3 x 2  6 x  8 Giải: .Ta có f ' ( x )  3( x 2  2 x  2)  x1  1  3 f ' ( x)  0  g ( x)  x 2  2 x  2  0   x2  1  3  suy ra hàm số y  f (x) đạt cực trị tại x1,x2  g ( x1)  0 .Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta có f ( x)  g ( x)( x  1)  6( x  1) do   g ( x 2)  0   y1  f ( x1)  6( x1  1)  6 3 nên   y 2  f ( x 2)  6( x 2  1)  6 3   f ' ' ( x1)  6 3  0  f ct  f ( x1)  6 3 . f ' ' ( x)  6( x  1)       f ' ' ( x 2)  6 3  0   f cd  f ( x 2)  6 3  .Phương trình đường thẳng đi qua CĐ,CT là y  6( x  1)
Bài 2:Tìm m để hàm số f ( x)  2 x 3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  1 có đường thẳngđi qua CĐ,CT song song với đường thẳng y  ax  b Giải: .Đạo hàm f ' ( x )  6( x 2  (m  1) x  m  2) f ' ( x )  0  g ( x )  x 2  (m  1) x  m  2  0 hàm số có CĐ,CT  f ' ( x)  0hayg ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt   g  (m  3) 2  0  m  3 .Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta có f ( x)  g ( x)[2 x  (m  1)]  (m  3) 2 x  (m 2  3m  3) Với m  3 thì g ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2  g ( x1)  0  y1  f ( x1)  (m  3) 2 x1  (m 2  3m  3) do  nên    g ( x 2)  0  y 2  f ( x 2)  (m  3) 2 x 2  (m 2  3m  3)  suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là(  ): y  (m  3) 2 x  (m 2  3m  3) ta có (  ) song song với đường m  3 m  3, a  0 a  0 a  0 y  ax  b   2  2    (m  3)  a (m  3)   a m  3    a m  3   a vậy nếu a  0 thì không tồn tại m;nếu a
.Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta có f ( x)  g ( x)[2 x  (m  1)]  (3m  1) 2 x  m(m  1)(1  2m) 1 Với m  thì g ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại 3 x1,x2  g ( x1)  0  y1  f ( x1)  (3m  1) 2 x1  m(m  1)(1  2m) do  nên   2  g ( x 2)  0  y 2  f ( x 2)  (3m  1) x 2  m(m  1)(1  2m)  suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là(  ): y  (3m  1) 2 x  m(m  1)(1  2m) Ta có CĐ,CT nằm trên đường thẳng  3m  1  2  (3m  1) 2  4  y  4 x  ()  ( y  4 x )     1  m 1 m(m  1)(1  2m)  0 m  0;1;    2 Bài 4: Tìm m để hàm số f ( x)  x 3  mx 2  7 x  3 có đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu vuông góc với đường thẳng y  3 x  7 Giải: Hàm số có CĐ,CT  f ' ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt  ' g  m 2  21  0  m  21 .Thực hiện phép chia f (x) cho f ' ( x) ta có 1 1 2 7m f ( x)  f ' ( x)[ x  m]  [21  m 2 ]x  3  3 9 9 9 Với m  21 thì f ' ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2  2 2 7m  f ' ( x1)  0  y1  f ( x1)  9 (21  m ) x1  3  9 do  nên    f ' ( x 2)  0  y 2  f ( x 2)  2 (21  m 2 ) x 2  3  7m   9 9 2 7m suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là(  ): y  (21  m 2 ) x  3  9 9
 m  21  ta có (  ) vuông góc với đường thẳng y  3 x  7   2 2  (21  m )3  1 9 dạng 3:sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị 2 bài 1:Cho f ( x)  x 3  (cos a  3 sin a ) x 2  8(1  cos 2a) x  1 3 1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. 2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2.CMR:x1 2 +x2 2  18 Giải: 1.Xét phương trình: f ' ( x )  2 x 3  2(cos a  3 sin a ) x  8(1  cos 2a)  0 Ta có '  (cos a  3 sin a ) 2  16(1  cos 2a) '  (cos a  3 sin a ) 2  32 cos 2 a  0a cos a  0 cos a  0 Nếu '  0 thì    0  cos 2 a  sin 2 a  1  0  1  vôlý cos a  3 sin a  0 sin a  0 Từ đó suy ra '  0a  f ' ( x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2.  x1  x 2  3 sin a  cos a 2.Theo định lý Viét ta có   x1x 2  4(1  cos 2a) Suy ra x1 2 +x2 2 =(x1+x2) 2 - 2x1x2= (3 sin a  cos a ) 2  8(1  cos 2a )  9 sin 2 a  6 sin a cos a  17 cos 2 a Khi đó BĐT:x1 2 +x2 2  18  9 sin 2 a  6 sin a cos a  17 cos 2 a  18(sin 2 a  cos 2 a )  0  (3 sin a  cos a) 2 luôn đúng 2 Bài 2: Cho f ( x)  x 3  (m  1) x 2  (m 2  4m  2) x 3 1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 2.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1.
3.Gọi các điểm cực trị là x1,x2.tìm max của A= x1x 2  2( x1  x 2) Giải: Đạo hàm f ' ( x )  2 x 2  2(m  1) x  m 2  4m  3 1.-5