CỰC TRỊ HÀM BẬC BA
I.Tóm tắt lý thuyết:
1.Hàm số dcxbxaxxfy 23
)( (0
a)
2.Đạo hàm : cbxaxxfy 23)('' 2
3.Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số )(xfy
có cực trị
)(xfy
có cực đại và cực tiểu 0)('
xf có
hai nghiệm phân biệt
03' 2acb .
4.Kỹ năng tính nhanh cực trị:
Bước1:Thực hiện phép chia )(xf cho )(' xf ta có:
a
bc
dx
a
b
cxf
a
b
xxf 933
2
)('
93
1
)(
Tức là: )()(').()( xrxfxqxf
Bước 2:Do
0)2('
0)1('
xf
xf nên
)
9
(2)
3
(
3
2
)2()2(2
)
9
(1)
3
(
3
2
)1()1(1
a
bc
dx
a
b
cxrxfy
a
bc
dx
a
b
cxrxfy
.Hệ quả:Đường thẳng đi qua CĐ,CT có phương trình là:
)(xrY
hay )
9
()
3
(
3
2
a
bc
d
a
b
cy
II.Các dạng bài tập:
Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị:
Bài tập:
Bài 1:Tìm m để hàm số : )12()6(
3
123 mxmmxxy có cực đại và cực tiểu
Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu
phương trình 0)('
xy có hai nghiệm phân
biệt
0)6(2
2 mmxx
có hai nghiệm phânbiệt )3()2(06' 2 mmmm
Bài 2:Tìm m để hàm số 53)2( 23 mxxxmy có cực đại và cực tiểu
Giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu
phương trình 0)('
xy có hai nghiệm phân
biệt
06)2(3 2 mxxm có hai nghiệm phân biệt
123
032
2
0963'
02
22
m
mm
m
mm
m
Bài 3:Tìm m để hàm số )1()45()2(
3
1223 mxmxmxy đạt cực trị tại
x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2
Giải: yêu cầu bài toán 0)45()2(2)(' 2 mxmxxy có hai nghiệm phân
biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2 3093)1('.1
mmy
Bài 4:Tìm m để hàm số )()3(4)3(
3
1223 mmxmxmxy đạt cực trị tại
x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<<x2
Giải: yêu cầu bài toán 0)3(4)3(2)(' 2 mxmxxy có hai nghiệm phân
biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<x2
3
2
7
)3(1
072
032
2
1
0)1('.1
0' 2
m
m
m
mm
S
f
Bài 5: Tìm m để hàm số )5()13()2(
3
12223 mxmxmmxy đạt cực tiểu
tại x=2.
Giải:
*Điều kiện cần:
Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 suy ra 0)2('
f ta có
13)2(2)(' 222 mxmmxxf suy ra 3;1034
2 mmmm
*Điều kiện đủ:
Nếu m=3 thì 2012)2(''162)('' CT
xfxxf
Nếu m=1 thì 0)2(''42)(''
fxxf nhưng lúc đó ta có xxxf 0)2()(' 2
Hàm số không có cực trị
*Kết luận:m=3
Dạng 2:phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu
Bài 1:Tìm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại,cực tiểu của
hàm số 863)( 23 xxxxf
Giải:
.Ta có )22(3)(' 2 xxxf
312
311
022)(0)(' 2
x
x
xxxgxf
suy ra hàm số )(xfy
đạt cực trị tại x1,x2
.Thực hiện phép chia )(xf cho )(xg ta có )1(6)1)(()(
xxxgxf do
0)2(
0)1(
xg
xg
nên
36)12(6)2(2
36)11(6)1(1
xxfy
xxfy
.
36)2(
36)1(
036)2(''
036)1(''
)1(6)(''
xff
xff
xf
xf
xxf
cd
ct
.Phương trình đường thẳng đi qua CĐ,CT là )1(6
xy
Bài 2:Tìm m để hàm số 1)2(6)1(32)( 23 xmxmxxf có đường thẳngđi qua
CĐ,CT song song với đường thẳng baxy
Giải:
.Đạo hàm )2)1((6)(' 2 mxmxxf
02)1()(0)(' 2 mxmxxgxf
hàm số có CĐ,CT 0)(0)('
xhaygxf có hai nghiệm phân
biệt 30)3( 2 mm
g
.Thực hiện phép chia )(xf cho )(xg ta có
)33()3()]1(2)[()( 22 mmxmmxxgxf
Với 3
m thì 0)(
xg có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại
x1,x2
do
0)2(
0)1(
xg
xg nên
)33(2)3()2(2
)33(1)3()1(1
22
22
mmxmxfy
mmxmxfy
suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là(
): )33()3( 22 mmxmy
ta có (
) song song với đường
am
a
am
a
am
am
am
m
baxy 3
0
3
0
)3(
0,3
)3(
3
22
vậy nếu 0
a thì không tồn tại m;nếu a<0 thì am 3
Bài 3: Tìm m để hàm số xmmxmxxf )21(6)1(32)( 23 có cực đại và cực
tiểu nằm trên đường thẳng xy 4
Giải:
.Đạo hàm ))21()1((6)(' 2mmxmxxf
0)21()1()(0)(' 2 mmxmxxgxf
hàm số có CĐ,CT 0)(0)('
xhaygxf có hai nghiệm phân
biệt
3
1
0)13()21(4)1( 22 mmmmm
g
.Thực hiện phép chia )(xf cho )(xg ta có
)21)(1()13()]1(2)[()( 2mmmxmmxxgxf
Với
3
1
m thì 0)(
xg có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại
x1,x2
do
0)2(
0)1(
xg
xg nên
)21)(1(2)13()2(2
)21)(1(1)13()1(1
2
2
mmmxmxfy
mmmxmxfy
suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là(
): )21)(1()13( 2mmmxmy
Ta có CĐ,CT nằm trên đường thẳng
1
2
1
;1;0
213
0)21)(1(
4)13(
)4()(4
2
m
m
m
mmm
m
xyxy
Bài 4: Tìm m để hàm số 37)( 23 xmxxxf có đường thẳng đi qua cực đại và
cực tiểu vuông góc với đường thẳng 73
xy
Giải:
Hàm số có CĐ,CT 0)('
xf có hai nghiệm phân
biệt 21021' 2 mm
g
.Thực hiện phép chia )(xf cho )(' xf ta có
9
7
3]21[
9
2
]
9
1
3
1
)[(')( 2m
xmmxxfxf
Với 21mthì 0)('
xf có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại
x1,x2
do
0)2('
0)1('
xf
xf nên
9
7
32)21(
9
2
)2(2
9
7
31)21(
9
2
)1(1
2
2
m
xmxfy
m
xmxfy
suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là(
):
9
7
3)21(
9
22m
xmy