Mặt tròn xoay và một số bài toán trong thực tế

Chia sẻ: Liễu Yêu Yêu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết "Mặt tròn xoay và một số bài toán trong thực tế" trình bày một số kiến thức mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay. Tiếp theo chúng tôi trình bày một số bài toán trong thực tế được giải quyết bằng cách sử dụng kiến thức vừa nêu. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Mặt tròn xoay và một số bài toán trong thực tế

MẶT TRÒN XOAY VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG THỰC TẾ Trần Thanh Phong1 1. Khoa Sư phạm. phongtt.khtn@tdmu.edu.vn, TÓM TẮT Bài viết trình bày một số kiến thức mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay. Tiếp theo chúng tôi trình bày một số bài toán trong thực tế được giải quyết bằng cách sử dụng kiến thức vừa nêu. Từ khóa: Bài toán thực tế , mặt nón tròn xoay, mặt trụ tròn xoay. 1. GIỚI THIỆU Trước đây, đa số học sinh tốt nghiệp trung học phổ thông chưa giải quyết được những bài toán trong thực tế. Giải quyết các bài toán trong thực tế là chủ đề được quan tâm. Gần đây, các em học sinh được tiếp cận bài toán thực tế và được giáo viên hướng dẫn tìm ra cách giải quyết bài toán. Trong chương Hình học lớp 12, mặt tròn xoay được trình bày và lý thuyết này có nhiều ứng dụng trong đời sống hằng ngày. Đặc biệt là lý thuyết mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay có thể tìm thấy nhiều ứng dụng. Trong bài viết này, chúng tôi tổng hợp lý thuyết toán học cơ bản về mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay, cùng một số bài toán thực tế được giải quyết bằng cách sử dụng khéo léo các lý thuyết này. 2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong mục này, chúng tôi nhắc lại lý thuyết toán học cơ bản về mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay, lý thuyết này và hình ảnh minh họa có thể tìm thấy trong [2], [3] và [4]. 2.1. Định nghĩa mặt nón tròn xoay Trong mặt phẳng ( P ) cho hai đường thẳng d và  cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc  với 0 0 . Khi mặt phẳng ( P ) quay xung quanh     90 0 thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O . Người ta thường gọi mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳng  gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh và góc 2  gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó (Hình 1.1). 729
2.2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay Cho tam giác OIM vuông tại I (Hình 1.2). Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón. Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi IM quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của hình nón, điểm O gọi là đỉnh của hình nón. Độ dài đoạn IO gọi là chiều cao của hình nón, đó cũng là khoảng cách từ O đến mặt phẳng đáy. Độ dài OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón. Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh trục OI gọi là mặt xung quanh của hình nón đó. Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kế cả hình nón đó. Người ta còn gọi khối tròn xoay là khối nón. Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón ứng với khối nón ấy được gọi là điểm trong khối nón. Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng nữa tích độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh. Thể tích của khối nón bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao. 2.3. Định nghĩa mặt trụ tròn xoay Trong mặt phẳng ( P ) cho hai đường thẳng  và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r . Khi quay mặt phẳng ( P ) xung quanh  thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay là mặt trụ. Đường thẳng  gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.(Hình 1.3). 2.4. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay Ta hãy xét hình chữ nhật ABCD . Khi quay hình chữ nhật đó xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB , đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay hay còn gọi tắt là hình trụ (Hình 1.4). Khi quay quanh AB , hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ. Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ, phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ. Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ. Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một 730
hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó. Khối trụ tròn xoay còn gọi là khối trụ. Những điểm không thuộc khối trụ được gọi là những điểm ngoài của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ gọi là những điểm trong của khối trụ. Ta gọi mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ theo thứ tự là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay bằng tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh. Thể tích của khối trụ tròn xoay bằng tích diện tích đáy và chiều cao. 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG THỰC TẾ Bài toán 1. ([1] – Câu 44) Ông Bình làm lan can ban công ngôi nhà của mình bằng một tấm kính cường lực. Tấm kính đó là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình bên. Biết giá tiền của 2 1 m kính như trên là 1.500.000 đồng. Hỏi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông Bình mua tấm kính trên là bao nhiêu? A. 23.519.000 đồng. B. 36.173.000 đồng. C. 9.437.000 đồng. D. 4.718.000 đồng. Giải Giả sử ( O , R ) là đường tròn đáy của hình trụ. Áp dụng định lý sin trong tam giác AMN , với ( O ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN . Ta có MN = 2 R  R = 4, 45. sin A Suy ra diện tích xung quanh của hình trụ là: S xq = 2 Rh = 2 .4, 45.1, 35 = 12, 015 m( 2 ). Vì OM = ON = MN = 4, 45 nên OMN là tam giác đều nên MON = 60 0. Do đó diện tích tấm cường lực là: 1 6 ( 2) S xq m . Vậy số tiền ông Bình mua tấm kính trên là: 1 .12,105 .1500000  9436558 (đồng). 6 Chọn C. 731
Bài toán 2. Một công ty sản xuất bồn đựng 3 nước hình trụ có thể tích thực 1 m với chiều cao bằng 1 m . Biết bề mặt xung quanh bồn được sơn bởi loại sơn màu xanh tô như hình vẽ và màu trắng là phần còn lại của mặt xung quanh; với mỗi mét vuông bề mặt lượng sơn tiêu hao 0.5 lít sơn. Công ty cần sơn 10000 bồn thì dự kiến cần bao nhiêu lít sơn màu xanh gần với số nào nhất, biết khi đo được dây cung BF = 1 m . A. 6150 . B. 6250 . C. 1230 D. 1250 Giải Gọi r là bán kính đường tròn đáy 1 Ta có: V =  r .h  r = 2 .  2 2 r − BF 2  Xét tam giác O BF ta có : cos( BO F ) = =1− . 2 2 2r Suy ra: BO F  2,178271695 (rad) Vậy độ dài cung BF : l = r .  1, 2289582 (m), với  = BO F (đơn vị đo là rad). Tổng số lít sơn màu xanh cho mỗi bồn nước là: T = l .h.0.5 = 0.6144791001 (lít). Vậy tổng số sơn cần cho 10000 bồn S  6145 (lít) Chọn A. Bài toán 3. Cổ động viên bóng đá của đội tuyển Indonesia muốn làm một chiếc mũ có dạng hình nón sơn hai màu Trắng và Đỏ như trên quốc kỳ. Giả thiết rằng thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân, S là đỉnh, AB là đường kính đường tròn đáy và O là tâm đường tròn đáy. Cổ động viên muốn sơn màu Đỏ ở bề mặt phần hình nón có đáy là cung nhỏ MBN , phần còn lại là của hình nón sơn màu Trắng. Tính tỉ số phần diện tích hình nón được sơn màu Đỏ với phần diện tích sơn màu Trắng. 2 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 7 5 4 3 Giải 732
Do tam giác SAB vuông cân tại S nên SO = OA = OB = r (Với r là bán kính đường tròn đáy). Suy ra: SM = r 2 = MN . Do dó tam giác OMN vuông cân tại O . Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón, S d là diện tích xung quanh của phần hình nón được sơn màu đỏ, ứng với góc MON = 90 0 nên 0 S1 90 1 = = . S 0 4 360 Sd 1 Suy ra: = . St 3 Chọn D. Bài toán 4. Một thợ thủ công trang trí 100 chiếc nón lá có hình nón giống nhau như hình vẽ bên. Biết SA = 25 cm, AB = 20 3 cm và 0 AIB = 60 . Ở phần mặt trước của mỗi chiếc nón (từ A đến B không chứa điểm I ) có sơn và vẽ hình trang trí với giá tiền công là 50000 đồng / m 2 , phần còn lại của chiếc nón chỉ sơn với giá tiền công là 12000 đồng / m 2 . Tổng số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà người thợ nhận được mỗi đợt trang trí nón bằng A. 387000 đồng. B. 257000 đồng. C. 410000 đồng. D. 262000 đồng. Giải 1 3 Đổi SA = 25cm = m, AB = 20 3cm = m. 4 5 Do AIB = 60 0 nên 0 AOB = 2 AIB = 120 . Áp dụng định lí sin trong tam giác OAB ta có: OA AB = . sin OBA sin AOB Từ đó suy ra: AB AB 2 1 R = OA = = . = (m) , với R là bán kính đường tròn đáy. 0 2 5 2 sin120 3 733
1 Do AOB = 120 0 nên S1 = S xq ( S1 là diện tích phần mặt trước của mỗi chiếc nón từ 3 A đến B không chứa điểm I có sơn và vẽ hình trang trí). 2 Từ đó suy ra: S 2 = S xq ( S 2 là phần còn lại của chiếc nón chỉ sơn). 3 1 1 1 Ta có: S xq =  Rl =  . . =  (m 2 ). 5 4 20 Suy ra tổng số tiền mà người thợ nhận được mỗi đợt trang trí 1 chiếc nón là: 1 2 50000 S1 + 12000 S 2 = 50000. S xq + 12000. S xq 3 3 1 1 2 1 = 50000. .  + 12000. .  3 20 3 20 3700 =  (đồng). 3 Vì số tiền làm tròn đến hàng nghìn nên số tiền người thợ nhận được là 387000 đồng. Chọn A. 4. KẾT LUẬN Bài viết đã cho thấy một số ứng dụng đơn giản của kiến thức mặt tròn xoay để giải quyết một số bài toán trong thực tế. Những bài toán này có thể được sử dụng để phân loại thí sinh trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông để xét tuyển vào các trường đại học có uy tín. Ngoài ra, nó có thể ứng dụng vào thực tế nhằm đem lại hiệu quả cao trong công việc, đời sống hằng ngày. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bộ giáo dục và Đào tạo (2021), Đề thi tham khảo môn Toán – Kỳ thi tốt nghiệp THPT. https://moet.gov.vn/tintuc/Pages/tin-tong-hop.aspx?ItemID=7275. 2. Lê Khắc Bảo (1977), Hình học giải tích, NXB Giáo dục. 3. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2019), Sách giáo khoa Hình học 12 (tái bản lần thứ 11), NXB Giáo dục. 4. https://mathworld.wolfram.com/SurfaceofRevolution.html. 734