161
s + 4 s + 2
Kü thuËt nµy còng thËt lµ h÷u Ých khi ta muèn tèi gi¶n ®a thøc trong ®ã cã bËc cao h¬n mÉu
sè.
>> x = sym('x');
>> g = (x^3 + 5)/(x^2 - 1)
g =
(x^3 + 5)/(x^2 - 1)
>> diff(int(g))
ans =
x + 3/(-1+ x) - 2/(x + 1)
>> pretty(ans)
3 2
x + ------ - -----
-1 + x x + 1
20.16 Tù lµm
T×m gi¸ trÞ cña e víi ®é chÝnh x¸c 18,29,30 vµ 31 sè. Chó ý r»ng kÕt qu¶ gÇn víi mét gi¸ trÞ sè
nguyªn nhÊt, nh−ng kh«ng hoµn toµn lµ mét sè nguyªn.
>> vpa('exp(pi*sqrt(163))',18)
20.17 Gi¶i ph−¬ng tr×nh
Ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cã thÓ ®−îc gi¶i b»ng c«ng cô to¸n häc cã s½n trong MATLAB. Mét
sè ®è ®· ®−îc giíi thiÖu, mét sè sÏ ®−îc chøng minh ë phÇn sau.
20.18 Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹i sè ®¬n gi¶n
Hµm
solve
g¸n biÓu thøc ®Æc tr−ng vÒ 0 tr−íc khi gi¶i nã:
>> syms a b c x
>> solve(a*x^2 + b*x + c)
ans =
[1/2/a*(-b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))]
[1/2/a*(-b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))]
KÕt qu¶ lµ mét vecto ®Æc tr−ng mµ c¸c phÇn tö cña nã cã d¹ng nh− trªn . §Ó gi¶i phÐp to¸n cã
chøa dÊu b»ng, gi¶i mét chuçi cã chøa biÓu thøc:
>> solve('a*x^2 + b*x - (-c)')
ans =
[1/2/a*(-b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))]
[1/2/a*(-b -
(b^2 - 4*a*c)^(1/2))]
NÕu nh− b¹n muèn gi¶i ®èi sè kh¸c so víi biÕn sè mÆc ®Þnh th× b¹n cã thÓ khai b¸o trong
solve
nh−
sau:
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
162
>> solve(a*x^2 + b*x + c,b)
ans =
-(a*x^2 + c)/x
PhÐp to¸n cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch g¸n biÓu thøc cho 0. B©y giê chóng ta sÏ gi¶i cos(x)=sin(x) vµ
tan(x) =sin(2x) theo x, vµ qui kÕt qu¶ cña chóng vÒ biÕn f vµ t:
>> f = solve(cos(x)- sin(x))
f =
1/4*pi
>> t = solve(tan(x)- sin(2*x))
t =
[ 0]
[ pi]
[ 1/4*pi]
[ -3/4*pi]
KÕt qu¶ d−íi d¹ng sè:
>> double(f)
ans =
0.7854
>> double(t)
ans =
0
3.1416
0.7854
-2.3562
20.19 Mét vµi phÐp to¸n ®¹i sè
Cã thÓ gi¶i vµi phÐp to¸n cïng mét lóc. C©u lÖnh [a1, a2, ..., an ] = solve(f1, f2, ...,fn ) gi¶i n phÐp
to¸n cho c¸c biÕn mÆc ®Þnh vµ tr¶ l¹i kÕt qu¶ trong a1, a2, ..., an. Tuy nhiªn biÕn mÆc ®Þnh sÏ ®−îc l−u
tr÷ . VÝ dô:
>> syms x y
>> [a1 a2] = solve(x^2 + x^y + y - 3, x^2 - 4*x + 3)
a1 =
[ 1]
[ 3]
a2 =
[ 1]
[ -(6*log(3)+lambertw(1/729*log(3)))/log(3)]
20.20 PhÐp to¸n vi ph©n
Th«ng th−êng phÐp to¸n vi ph©n rÊt khã gi¶i, MATLAB cung cÊp cho b¹n mét sè c«ng cô
m¹nh ®Ó t×m kÕt qu¶ cña phÐp to¸n vi ph©n.
Hµm
dsolve
sÏ gi¶i c¸c phÐp to¸n vi ph©n vµ cho ta kÕt qu¶. Có ph¸p cña
dsolve
kh¸c víi phÇn
lín c¸c hµm kh¸c. §èi sè cña hµm ph¶i lµ x©u kÝ tù thay v× biÓu thøc, vÝ nh− x©u chøa mét dÊu “=”.
§iÒu nµy râ rµng lµ kh¸c so víi hµm
solve
, mµ ®èi sè cña nã ph¶i lµ mét biÓu thøc ®Æc tr−ng kh«ng cã
dÊu “=”.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
163
PhÐp to¸n vi ph©n ®−îc nhËn ra b»ng kÝ hiÖu ch÷ hoa D vµ D2, D3, v.v... .BÊt kø mét ch÷ nµo
theo sau Ds ®Òu phô thuéc vµo biÕn. PhÐp to¸n ( d2y/dt2 ) ®−îc thay bëi chuçi kÝ tù ‘D2y=0’. c¸c biÕn
®éc lËp cã thÓ ®−îc chØ ra, hoÆc nÕu kh«ng sÏ mÆc ®Þnh lµ t. VÝ dô gi¶i phÐp to¸n
(dy,dt) - 1+2y2:
>> clear
>> dsolve('Dy=1+y^2')
ans =
tan(t - C1)
trong ®ã C1 lµ h»ng sè. Còng bµi to¸n trªn nh−ng cho gi¸ trÞ ban ®Çu lµ y(0) =1 th× sÏ cã kÕt qu¶ sau:
>> dsolve('Dy=1+y^2, y(0)=1')
ans =
tan(t+1/4*pi)
20.21 Mét vµi phÐp to¸n tÝch ph©n
Hµm
dsolve
cã thÓ gi¶i nhiÒu phÐp to¸n vi ph©n cïng mét lóc. Khi gi¶i nhiÒu phÐp to¸n vi
ph©n
dsolve
tr¶ c¸c biÕn vµo mét cÊu tróc hoÆc mét vector nh
solve
®· lµm. Chó ý
dsolve
x¾p xÕp c¸c
biÕn tr−íc khi ®éc lËp tr−íc khi tr¶. VÝ dô:
Gi¶i phÐp to¸n sau:
df/dt = 3f + 4g dg/d = -4f + 3g
>> [f,g] = dsolve('Df = 3*f + 4*g, Dg = -4*f + 3*g')
f =
exp(3*t)*cos(4*t)*C1 + exp(3*t)*sin(4*t)*C2
g =
-exp(3*t)*sin(4*t)*C1 + exp(3*t)*cos(4*t)*C2
20.22 Ma trËn vµ ®¹i sè tuyÕn tÝnh
Ma trËn ®Æc tr−ng vµ vector lµ c¸c m¶ng mµ phÇn tö cña nã lµ c¸c biÓu thøc ®Æc tr−ng. chóng
cã thÓ ®−îc t¹o bëi hµm
sym
:
>> syms a b c s t
>> A = [a,b,c;b,c,a;c,a,b]
A =
[ a, b, c]
[ b, c, a]
[ c, a, b]
>> G = [cos(t),sin(t);-sin(t),cos(t)]
G =
[ cos(t), sin(t)]
[ -sin(t), cos(t)]
KÝch th−íc cña ma trËn ®Æc tr−ng cã thÓ t×m ®−îc b»ng hµm chuÈn
size
vµ
length
. VÝ dô:
>> syms a b c d e f
>> S = [a,b,c;d,e,f]
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
164
S =
[ a, b, c]
[ d, e, f]
>> h = size(S)
h =
2 3
>> [m,n] = size(S)
m =
2
n =
3
>> length(S)
ans =
3
PhÇn tö cña m¶ng ®Æc tr−ng còng ®−îc truy nhËp t−¬ng tù nh− m¶ng sè
>> syms ab cd ef gh
>> G = [ab,cd,ef,gh]
G =
[ ab, cd, ef, gh]
>> G(1,2)
ans =
cd
20.23 PhÐp to¸n ®¹i sè tuyÕn tÝnh
PhÐp nghÞch ®¶o vµ ®Þnh thøc cña ma trËn ®−îc tÝnh bëi hµm:
inv
vµ
det
>> H = sym(hilb(3))
H =
[1, 1/2, 1/3]
[1/2, 1/3, 1/4]
[1/3, 1/4, 1/5]
>> det(H)
ans =
1/2160
>> J = inv(H)
J =
[ 9, -36, 30]
[-36, 192, -180]
[ 30, -180, 180]
>> det(J)
ans =
2160
20.24 Hµm b−íc vµ xung
Hµm
step
, u(t) vµ hµm
impulse,
(t) th−êng ®−îc dïng trong hÖ thèng. Hµm b−íc
Ku(t-a )
trong
®ã K lµ h»ng sè ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: Ku(t-a) =0 nÕu t<a vµ Ku(t-a)= K nÕu T>=a. D-
−íi ®©y lµ hµm b−íc:
20.25 BiÕn ®æi Laplace
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
165
PhÐp biÕn ®æi laplace biÕn ®æi tõ miÒn t sang miÒn s. Hµm cña nã nh− sau:
L(s) =
>> syms a s t w
>> f = exp(-a*t)*cos(w*t)
f =
exp(-a*t)*cos(w*t)
>> L = laplace(f,t,s)
L=
(s + a)/((s + a)^2 + w^2)
>> pretty(L)
s + a
-------------
2 2
s + a) + w
20.26 BiÕn ®æi Fourier
Hµm biÕn ®æi Fourier vµ Fourier ng−îc nh− sau:
F() = f(t)=
MATLAB dïng ‘w’ thay cho trong biÓu thøc ®Æc tr−ng
>> syms t w
>> f=t*exp(-t^2)
f =
t*exp(-t^2)
>> f=fourier(f,t,w) % biÕn ®æi fourier sö dông tham sè t vµ w
f =
-1/2*i*pi^(1/2)*w*exp(-1/4*w^2)
>> ifourier(f,w,t) % timbiÕn ®æi fourier ng−îc
ans =
1/2*4^(1/2)*t*exp(-t^2)
>> simplify(ans)
ans =
t*exp(-t^2)
--------------------------oOo-------------------------
ch−¬ng 21
hép c«ng cô hÖ thèng ®iÒu khiÓn
21.1 Sù biÓu diÔn b»ng ®å thÞ
PhÇn lín c¸c c«ng cô trong Hép c«ng cô hÖ thèng ®iÒu khiÓn ®Òu ®−îc luËn gi¶i dÔ hiÓu trªn
c¶ 2 ph−¬ng diÖn hµm truyÒn vµ kh«ng gian tr¹ng th¸i. Thªm vµo ®ã hÖ thèng nhiÒu ®Çu vµo, nhiÒu
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com