BIÊN%SOẠN:%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%
PRO%X%&%PRO%XMAX%CHO%TEEN%2K%–%DUY%NHẤT%TẠI%VTED.VN%!
1
BIÊN%SOẠN:%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%
PRO%X%&%PRO%XMAX%CHO%TEEN%2K%–%DUY%NHẤT%TẠI%VTED.VN%%
1%
MỞ ĐẦU NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website:
www.vted.vn
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại www.vted.vn
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Họ, tên thí sinh:..................................................................... Trường: ...........................................
A – PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Xuất phát từ đạo hàm của hàm số tích, ta có
u(x).v(x)
⎡
⎣⎤
⎦
′=′
u(x).v(x)+′
v(x).u(x)
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
u(x)v(x)
( )
′dx
∫=′
u(x)v(x)+u(x)′
v(x)
⎡
⎣⎤
⎦dx
∫
⇔u(x)v(x)=′
u(x)v(x)dx
∫+u(x)′
v(x)dx
∫
⇒u(x)d(v(x))
∫=u(x)v(x)−v(x)d(u(x))
∫.
Lấy tích phân hai vế, ta được:
u(x).v(x)
⎡
⎣⎤
⎦′dx
a
b
∫=′
u(x).v(x)+′
v(x).u(x)
⎡
⎣⎤
⎦dx
a
b
∫
⇔u(x)d(v(x))
a
b
∫=u(x)v(x)b
a−v(x)d(u(x))
a
b
∫.
hay
u(x). ′
v(x)dx
a
b
∫=u(x)v(x)b
a−v(x). ′
u(x)dx
a
b
∫.
Tổng quát sử dụng tích phân từng phân khi có sự kết hợp giữa 2 loại hàm chẳng hạn
f x,ex
( )
,f x,sin x
( )
,f x,ln x
( )
...
hoặc đơn giản là có
F(x), f(x), ′
f(x), ′′
f(x).
Câu 1. Cho
F(x)=(x−1)ex
là một nguyên hàm của hàm số
f(x)e2x.
Tìm một nguyên hàm của hàm
số
′
f(x)e2x.
A.
′
f(x)e2xdx
∫=2−x
2ex+C.
C.
′
f(x)e2xdx
∫=(x−2)ex+C.
B.
′
f(x)e2xdx
∫=(4−2x)ex+C.
D.
′
f(x)e2xdx
∫=(2−x)ex+C.
Câu 2. Cho
F(x)=1
2x2
là một nguyên hàm của hàm số
f(x)
x.
Tìm một nguyên hàm của hàm số
′
f(x)ln x.
2%
BIÊN%SOẠN:%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%
PRO%X%&%PRO%XMAX%CHO%TEEN%2K%–%DUY%NHẤT%TẠI%VTED.VN%!
2%
BIÊN%SOẠN:%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%
PRO%X%&%PRO%XMAX%CHO%TEEN%2K%–%DUY%NHẤT%TẠI%VTED.VN%%
A.
′
f(x)ln xdx
∫=ln x
x2+1
2x2+C.
C.
′
f(x)ln xdx
∫=−ln x
x2+1
2x2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟+C.
B.
′
f(x)ln xdx
∫=ln x
x2+1
x2+C.
D.
′
f(x)ln xdx
∫=−ln x
x2+1
x2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟+C.
Câu 3. Cho
F(x)=x2
là một nguyên hàm của hàm số
f(x)e2x.
Tìm một nguyên hàm của hàm số
′
f(x)e2x.
A.
′
f(x)e2xdx
∫=2x2−2x+C.
C.
′
f(x)e2xdx
∫=−x2+x+C.
B.
′
f(x)e2xdx
∫=−2x2+2x+C.
D.
′
f(x)e2xdx
∫=−x2+2x+C.
Câu 4. Cho hàm số
f(x)
thoả mãn
(3x+1) ′
f(x)dx
0
1
∫=1
và
4f(1)−f(0) =2017.
Tính tích phân
I=f(x)dx
0
1
∫.
A.
I=2016.
B.
I=672.
C.
I=−2016.
D.
I=−672.
Câu 5. Cho hàm số
f(x)
thoả mãn
ex′
f(x)dx
0
1
∫=1
và
ef (1)−f(0) =2.
Tính tích phân
I=exf(x)dx
0
1
∫.
A.
I=1.
B.
I=−1.
C.
I=3.
D.
I=−3.
Câu 6. Cho hàm số
f(x)
thoả mãn
ln(x+1) ′
f(x)dx
0
1
∫=1
và
f(1) =2.
Tính tích phân
I=f(x)
x+1dx
0
1
∫.
A.
I=1.
B.
I=2 ln 2 −1.
C.
I=−1.
D.
I=1−2 ln 2.
Câu 7. Cho
(x2+1) ′
f(x)dx
0
1
∫=2
và
2f(1)−f(0) =1.
Tính
I=xf (x)dx
0
1
∫.
A.
I=−1.
B.
I=3.
C.
I=−1
2
.
D.
I=1.
Câu 8. Gọi
F(x)
là một nguyên hàm của hàm số
f(x)
thoả mãn
(x2+1) f(x)dx
0
1
∫=2
và
2F(1)−F(0) =1.
Tính
I=xF (x)dx
0
1
∫.
A.
I=−1
2
.
B.
I=1
2
.
C.
I=3
2
.
D.
I=1.
Câu 9. Cho
F(x)=excos x
là một nguyên hàm của hàm số
f(x)e2x.
Tìm một nguyên hàm của hàm số
′
f(x)e2x.
BIÊN%SOẠN:%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%
PRO%X%&%PRO%XMAX%CHO%TEEN%2K%–%DUY%NHẤT%TẠI%VTED.VN%!
3
BIÊN%SOẠN:%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%
PRO%X%&%PRO%XMAX%CHO%TEEN%2K%–%DUY%NHẤT%TẠI%VTED.VN%%
3%
A.
′
f(x)e2xdx
∫=−exsin x+cos x
( )
+C.
B.
′
f(x)e2xdx
∫=exsin x+cos x
( )
+C.
C.
′
f(x)e2xdx
∫=−exsin x−cos x
( )
+C.
D.
′
f(x)e2xdx
∫=exsin x−cos x
( )
+C.
Câu 10. Cho
′
f(x)cos xdx
0
1
∫=1
và
f(1)cos1−f(0) =2018.
Tính
I=f(x)sin xdx
0
1
∫.
A.
I=2017.
B.
I=2019.
C.
I=−2019.
D.
I=−2017.
Câu 11. Cho
F(x)=−1
3x3
là một nguyên hàm của hàm số
f(x)
x.
Tìm một nguyên hàm của hàm số
′
f(x)ln x.
A.
′
f(x)ln xdx
∫=ln x
x3+1
3x3+C.
C.
′
f(x)ln xdx
∫=−ln x
x
3
+1
3x
3
+C.
B.
′
f(x)ln xdx
∫=ln x
x3−1
5x5+C.
D.
′
f(x)ln xdx
∫=ln x
x3+1
5x5+C.
Câu 12. Cho
F(x)=ex
x
là một nguyên hàm của hàm số
f(x).
Tìm một nguyên hàm của hàm số
f(x)+′
f(x)
( )
ex.
A.
f(x)+′
f(x)
( )
exdx
∫=exxex−ex
( )
x2+C.
C.
f(x)+′
f(x)
( )
exdx
∫=−e2x
x+C.
B.
f(x)+′
f(x)
( )
exdx
∫=e2x
x+C.
D.
f(x)+′
f(x)
( )
exdx
∫=−exxex−ex
( )
x2+C.
Câu 13. Cho hàm số
f(x)
thoả mãn
ef (1)−f(0) =10, ex′
f(x)dx
0
1
∫=1.
Tính
I=exf(x)dx
0
1
∫.
A.
I=11.
B.
I=−11.
C.
I=−9.
D.
I=9.
Câu 14. Cho hàm số
f(x)
có đạo hàm
′
f(x)
liên tục trên nửa khoảng
[0;+∞)
thoả mãn
f(x)+′
f(x)=e−x. 2x+1.
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
e4f(4) −f(0) =26
3.
C.
e4f(4) −f(0) =4
3.
B.
e4f(4) −f(0) =−26
3.
D.
e4f(4) −f(0) =−4
3.
4%
BIÊN%SOẠN:%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%
PRO%X%&%PRO%XMAX%CHO%TEEN%2K%–%DUY%NHẤT%TẠI%VTED.VN%!
4%
BIÊN%SOẠN:%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%
PRO%X%&%PRO%XMAX%CHO%TEEN%2K%–%DUY%NHẤT%TẠI%VTED.VN%%
Câu 15. Gọi
F(x)
là một nguyên hàm của hàm số
f(x)
thoả mãn
2F(1)−F(0) =1
và
F(x)dx
0
1
∫=10.
Tính
I=(x+1) f(x)dx
0
1
∫.
A.
I=11.
B.
I=9.
C.
I=−9.
D.
I=−11.
Câu 16. Cho hai hàm số
y=f(x), y=g(x)
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[0;1]
thoả mãn
′
f(x)g(x)=x(x−1)ex,∀x∈[0;1]
và
′
f(0). ′
f(1) ≠0.
Tính tích phân
I=f(x)′
g(x)dx
0
1
∫.
A.
I=e−3.
B.
I=0.
C.
I=e.
D.
I=3−e.
Câu 17. Cho hàm số
y=f(x)
thoả mãn
′
f(x)
x+1dx
0
1
∫=1
và
f(1)−2f(0) =2.
Tính
I=f(x)
(x+1)2dx
0
1
∫.
A.
I=0.
B.
I=3.
C.
I=−1.
D.
I=1.
Câu 18. Gọi
F(x)
là một nguyên hàm của hàm số
f(x)
với
F(1) =1, F(x)dx
0
1
∫=−1.
Tính
xf (x)dx
0
1
∫.
A.
xf (x)dx
0
1
∫=0.
B.
xf (x)dx
0
1
∫=−1.
C.
xf (x)dx
0
1
∫=−2.
D.
xf (x)dx
0
1
∫=2.
Câu 19. Cho hàm số
f(x)
có đạo hàm liên tục trên
!
thoả mãn
f(1)sin1=10.
Tính
I=f(x)cos x+′
f(x)sin x
( )
dx
0
1
∫.
A.
I=20.
B.
I=−10.
C.
I=−20.
D.
I=10.
Câu 20. Cho
F(x)=x2ex
là một nguyên hàm của hàm số
f(x)
x.
Tìm một nguyên hàm của hàm số
′
f(x)ln x.
A.
′
f(x)ln xdx
∫=exx3ln x+2x2ln x+x2
( )
+C.
C.
′
f(x)ln xdx
∫=exx3ln x−2x2ln x−x2
( )
+C.
B.
′
f(x)ln xdx
∫=−exx3ln x+2x2ln x−x2
( )
+C.
D.
′
f(x)ln xdx
∫=exx3ln x+2x2ln x−x2
( )
+C.
Câu 21. Cho
F(x)=cos x
x
là một nguyên hàm của hàm số
f(x)sin x.
Tìm một nguyên hàm của hàm số
′
f(x)cos x.
A.
′
f(x)cos xdx
∫=−cos x
x−cos2x
x2sin x
+xcos x+C.
B.
′
f(x)cos xdx
∫=−cos x
x−cos2x
x2sin x−xcos x+C.
C.
′
f(x)cos xdx
∫=cos x
x+cos2x
x2sin x
+xcos x+C.
BIÊN%SOẠN:%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%
PRO%X%&%PRO%XMAX%CHO%TEEN%2K%–%DUY%NHẤT%TẠI%VTED.VN%!
5
BIÊN%SOẠN:%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM%
PRO%X%&%PRO%XMAX%CHO%TEEN%2K%–%DUY%NHẤT%TẠI%VTED.VN%%
5%
D.
′
f(x)cos xdx
∫=cos x
x+cos2x
x2sin x−xcos x+C.
Câu 22. Cho
0<a<π
2
và
b=xtan x
0
a
∫dx.
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
x
cos x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
dx
0
a
∫=atan a−2b.
C.
x
cos x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
dx
0
a
∫=a2tan a−2b.
B.
x
cos x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
dx
0
a
∫=b−a2tan a.
D.
x
cos x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
dx
0
a
∫=a2tan a−b.
Câu 23. Cho hàm số
y=f(x)
có đạo hàm liên tục trên
!.
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
(x−1) ′
f(x)dx
∫=(x−1) f(x)−f(x)dx
∫.
C.
(x−1) ′
f(x)dx
∫=(x−1) f(x)+f(x)dx
∫.
B.
(x−1) ′
f(x)dx
∫=−(x−1) f(x)−f(x)dx
∫.
D.
(x−1) ′
f(x)dx
∫=−(x−1) f(x)+f(x)dx
∫.
Câu 24. Cho hàm số
y=f(x)
có đạo hàm liên tục trên
!.
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
xf (x)
x2+1
dx
∫=f(x)x2+1−x2+1′
f(x)dx
∫.
B.
xf (x)
x2+1
dx
∫=1
2f(x)x2+1−1
2x2+1′
f(x)dx
∫.
C.
xf (x)
x2+1
dx
∫=f(x)x2+1+x2+1′
f(x)dx
∫.
D.
xf (x)
x2+1
dx
∫=1
2f(x)x2+1+1
2x2+1′
f(x)dx
∫.
Câu 25. Cho
0<a<π
2
và
b=xcot x
a
π
2
∫dx.
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
x
sin x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
dx
a
π
2
∫=−a2cot a+2b.
C.
x
sin x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
dx
a
π
2
∫=−a2cot a−2b.
B.
x
sin x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
dx
a
π
2
∫=a2cot a−2b.
D.
x
sin x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
dx
a
π
2
∫=a2cot a+2b.
Câu 26. Cho hàm số
()fx
thỏa mãn
sin x.f(x)dx =f(0) =1
0
π
2
∫.
Tính
I=cosx.f'(x)dx
0
π
2
∫.
A.
=1.I
B.
=−1.I
C.
=0.I
D.
=2.I