Một phương pháp giải bài toán phát hiện trong mạng radar nhiều vị trí khi tín hiệu từ các đài radar thành phần không độc lập thống kê

Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHÁT HIỆN TRONG MẠNG<br /> RADAR NHIỀU VỊ TRÍ KHI TÍN HIỆU TỪ CÁC ĐÀI RADAR<br /> THÀNH PHẦN KHÔNG ĐỘC LẬP THỐNG KÊ<br /> Nguyễn Đức Minh* <br /> Tóm tắt: Bài báo trình bày các phương pháp giải bài toán phát hiện phân tán<br /> trong mạng radar nhiều vị trí khi tín hiệu từ các đài radar thành phần không độc<br /> lập thống kê. Các phân tích về một số phương pháp kinh điển giải bài toán phát<br /> hiện phân tán như: phương pháp giải sử dụng khai triển Bahadur-Lazarsfeld,<br /> phương pháp sử dụng thêm một biến ngẫu nhiên “ẩn” trung gian, phương pháp sử<br /> dụng công cụ toán học copulas và thống kê phi tham số, mà theo đó đều huớng đến<br /> việc biến đổi bài toán để có thể đưa về trường hợp đơn giản hơn đã giải được khi<br /> tín hiệu từ các đài radar thành phần là độc lập thống kê. Trong bài báo này, chúng<br /> tôi cũng đề xuất một phương pháp giải bằng cách tính trực tiếp các tích phân xác<br /> suất áp dụng cho một lớp các bài toán phát hiện phân tán cho phép giảm thiểu khối<br /> lượng tính toán khi mối tương quan của tín hiệu giữa các đài radar là đối xứng và<br /> bằng nhau.<br /> Từ khóa: Radar, Phát hiện phân tán, Tương quan, Tích phân xác suất.<br /> <br /> 1. ĐẶT VẤN ĐỀ<br /> Trong  bài  toán  phát  hiện  của  radar,  thực  hiện  theo  tiêu  chuẩn  Bayest  hay  tiêu  chuẩn <br /> Neyman-Pearson  mọi  tính  toán  đều  dẫn  đến  việc  tìm  hàm  hợp  lý  (LR-Likehood  Ratio). <br /> Với trường hợp các đài radar được kết nối thành mạng có một trung tâm hợp nhất dữ liệu, <br /> các đài radar thành phần truyền về trung tâm hợp nhất các kết quả quan sát của mình. Tại <br /> trung tâm hợp nhất các kết quả này sẽ được hợp nhất theo một quy luật xác định nhằm đưa <br /> ra quyết định cuối cùng về việc có hay không có mục tiêu. Độ phức tạp của bài toán theo <br /> tiêu chuẩn Neyman-Pearson phụ thuộc rất nhiều vào việc tín hiệu thu được từ các đài radar <br /> thành phần là độc lập hay phụ thuộc.  Khi tín hiệu ở các đài radar thành phần là độc lập <br /> thống kê chúng ta có thể sử dụng công thức tính tích các xác suất có điều kiện : <br /> n<br />   p ( y1 , y2 ,..., yn H l )   p ( yi H l ) ,     i  0,1    (1) <br /> i 1<br /> <br /> Lúc này quy luật quyết định ở trung tâm hợp nhất là quy luật ngưỡng trên cơ sở hàm <br /> hợp  lý.  Các  tác  giả  Thomopoulos,  Viswanathan  và  Bougoulias  [1]  cũng  đã  chứng  minh <br /> rằng: điều kiện để kiểm định tỷ số hợp lý ở trung tâm hợp nhất là tối ưu khi kiểm định ở <br /> các  đài  thành  phần  cũng  phải  là  kiểm  định  tỷ  số  hợp  lý.  Bài  toán  phát  hiện  trong  mạng <br /> radar nhiều vị trí phân tán với giả thiết về tính độc lập của các phép quan sát từ các đài <br /> radar thành phần đã được giải quyết bởi các tác giả Chair-Varshney [2-3] và một số tác giả <br /> khác.  Tuy  nhiên,  giả  thiết  về  tính  độc  lập  thống  kê  trong  kết  quả  quan  sát  của  các  trạm <br /> radar trong mạng thường không phù hợp cho bài toán phát hiện phân tán trên thực tế. Hàm <br /> mật độ xác suất liên kết tại trung tâm hợp nhất không thể biểu diễn được như là tích của <br /> các hàm mật độ thành phần, đồng thời kiểm định tối ưu tại từng trạm radar trong mạng sẽ <br /> không còn đơn thuần là kiểm định ngưỡng dựa trên tỷ số phù hợp nhất. Do đó, chúng ta <br /> không thể sử dụng công thức nhân xác suất như ở (1). Bài toán không thể tìm được lời giải <br /> hợp  lý  do vấp  phải  khó  khăn  là  khối  lượng  tính  toán  quá  lớn.  Đã  có  rất  nhiều  các  công <br /> trình nghiên cứu về vấn đề này, tuy nhiên, các kết quả còn rời rạc và thường là giải bài <br /> toán trong các điều kiện ràng buộc cụ thể.  <br />  <br />  <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 40, 12 - 2015                               49<br />  Ra đa<br /> <br /> 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐIỂN HÌNH<br /> 2.1. Phương pháp sử dụng khai triển Bahadur-Lazarsfeld<br /> Tác giả Drapopoulos-Lee (1991) đã mở rộng kết quả của Chair-Varshney (1986) cho <br /> trường  hợp  các  quyết  định  cục  bộ  phụ  thuộc  thống  kê.  Họ  đã  sử  dụng  tất  cả  các  hệ  số <br /> tương quan thay cho các xác suất quyết định có điều kiện liên kết. Theo ý tưởng tương tự <br /> như vậy, tác giả Kam (1992) và các cộng sự [4] đã chuẩn hóa các quyết định cục bộ sau đó <br /> sử dụng khai triển của đa thức Bahadur-Lazarsfeld và các hệ số tương quan được chuẩn <br /> hóa  để  biểu  diễn  quy  luật  hợp  nhất  tối  ưu  cho  trường  hợp  các  quyết  định  cục  bộ  tương <br /> quan trong bài toán quyết định nhị phân phân tán. Hàm mật độ xác suất (MĐXS) của các <br /> quyết định nhị phân thành phần có tương quan với nhau có thể được biểu diễn thông qua <br /> tích giữa các hàm MĐXS của các quyết định nhị phân thành phần độc lập thống kê và các <br /> hệ số tương quan. Quy luật hợp nhất theo phương pháp này có dạng: <br /> n  (1  pM i )(1  pFi )  n pM i<br /> log  ( U)   ui log    log <br /> i 1  pM i pFi  i 1 (1  pFi )<br /> <br />   1    ij1 zi1 z1j  1 1 1 1 1 1 1 1    (2) <br /> i j<br /> <br /> i jk<br /> z z z  ...   12...<br /> ijk i j k n z1 z2 ....zn<br /> <br /> log<br /> 1    ij0 zi0 z 0j   0 0 0 0 0<br /> z z z  ...   12...<br /> ijk i j k<br /> 0 1 0<br /> n z1 z2 .... zn<br /> i j i jk<br /> <br /> <br /> Trong đó:  U  u1 ,  u2 ,, un   là vector của các quyết định tương quan. <br /> pM i   và  p Fi   tương  ứng  là  xác  suất  bỏ  sót  mục  tiêu  và  xác  suất  báo  động  lầm  của  trạm <br /> radar thứ I;<br /> n<br />  zi i 1  là các hệ số tương quan và được xác định bởi: <br /> <br />  ij   z i z j P (U) <br /> U<br /> <br /> (HÖ sè t­¬ng quan bËc 2) <br /> <br />  ijk   z i z j zk P( U) <br />   U     (3) <br /> <br /> (HÖ sè t­¬ng quan bËc 3) <br /> ..... <br /> <br />  12...n   z 1 z2 ....zn P (U) <br /> U<br /> <br /> (HÖ sè t­¬ng quan bËc n) <br /> Khi các hệ số tương quan được đặt bằng 0 thì quy luật hợp nhất tối ưu của bài toán lúc <br /> này trở về với quy luật hợp nhất cho trường hợp độc lập thống kê mà các tác giả Chair-<br /> Varshney  đã  đưa  ra  trong  [2].  Ưu  điểm  chính  của  phương  pháp  sử  dụng  khai  triển <br /> Bahadur-Lazarsfeld  đó  là  có  thể  giảm  thiểu  số  lượng  các  phép  tính  và  đưa  ra  một  cách <br /> tổng quát để giải các bài toán phát hiện khi không còn giả thiết về tính độc lập thống kê <br /> cho từng kết quả quan sát của mỗi trạm radar thành phần trong mạng. Tuy nhiên, khó khăn <br /> vẫn  còn  ở  chỗ  khi  số  lượng  các  đài  radar  trong  mạng  lớn  và  khi  các  hệ  số  tương  quan <br /> không thể triệt tiêu hoặc coi bằng 0 thì gánh nặng tính toán là rất lớn và không thể vượt <br /> qua.  Bên  cạnh  đó,  cũng  rất  khó  khăn  để  mở  rộng  kết  quả  bài  toán  cho  trường  hợp  tổng <br /> quát đối với những hệ thống có kiểm định thống kê đa giả thiết m-ary. <br /> <br />  <br /> <br /> 50     N. Đ. Minh, “Một phương pháp giải bài toán phát hiện trong mạng radar… thống kê.”  <br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> 2.2. Phương pháp dùng biến ngẫu nhiên trung gian<br /> Phương pháp giải thứ hai cho bài toán phát hiện phân tán, được tác giả P.K.Varshney <br /> [5] và các cộng sự đưa ra, đã xây dựng một mô hình khung cho lớp các bài toán phát hiện <br /> phân tán dựa trên mô hình độc lập có điều kiện. Thông qua một biến ngẫu nhiên trung gian <br /> được thêm vào để tạo ra sự độc lập có điều kiện giữa phép quan sát của các đầu thu thành <br /> phần trong mạng. Mô hình đưa ra đã hợp nhất bài toán phát hiện phân tán với các phép <br /> quan sát độc lập và phụ thuộc. Nền tảng mới tách riêng sự ảnh hưởng lẫn nhau của các quy <br /> luật quyết định cục bộ tối ưu cho bài toán phụ thuộc giống như trường hợp với bài toán <br /> độc lập. Quy luật hợp nhất tối ưu tìm được sẽ là quy luật hợp nhất chung cho cả hai trường <br /> hợp độc lập và phụ thuộc. <br /> 2.3. Phương pháp sử dụng lý thuyết Copulas<br /> Với việc hợp nhất các quyết định tương quan, lý thuyết copulas không yêu cầu các thông <br /> tin về xác suất tiên nghiệm của phép quan sát từ các bộ phát hiện hay từ các quyết định. Lý <br /> thuyết này xây dựng nên các hàm phân bố xác suất dựa trên một thủ tục lựa chọn copulas. <br /> Trong [6] tác giả Ashok Sundaresan và các cộng sự đã trình bày nghiên cứu của mình với <br /> một hệ thống các sensor phân tán hoạt động ở cùng một ngưỡng và chỉ biết về phân bố riêng <br /> của các quan sát của từng sensor mà không biết xác suất tiên nghiệm của phân bố liên kết <br /> của chúng. Quy luật hợp nhất ở trung tâm sử dụng tiêu chuẩn Neyman-Pearson. Kết quả cho <br /> thấy  rằng  quy  luật  hợp  nhất  dựa  trên  các  hàm  copulas  sẽ  không  thể  tốt  hơn  phương  pháp <br /> Chair-Varshney nếu hàm phân bố được tạo ra sử dụng một hàm copulas có tham số xác định <br /> mà không mô hình hoá đầy đủ hàm phân bố xác suất cơ sở của các phép quan sát. Để chọn <br /> được hàm copulas tốt nhất cần một quá trình huấn luyện. Nhìn chung hướng nghiên cứu sử <br /> dụng lý thuyết copulas còn mới và chưa có nhiều kết quả. <br /> 2.4. Phương pháp phi tham số<br /> Trong phương pháp phi tham số các yêu cầu kinh điển của mô hình thống kê tham số <br /> đối với tín hiệu và nhiễu quan sát được sẽ được nới lỏng ra. Điều này có nghĩa là bài toán <br /> kiểm định giả thuyết tổng hợp sẽ không bị ràng buộc chặt chẽ vào các hàm mật độ xác suất <br /> với các họ tham số đặc biệt. Các sơ đồ phát hiện với tỷ số báo động lầm cố định (CFAR) <br /> nhìn chung thường dựa trên các giả thuyết tham số với tham số thường là công suất nhiễu <br /> chưa được biết. Những tham số này có thể thu được từ việc ước lượng các kết quả quan sát <br /> để thu lấy xác suất báo động lầm cố định hoặc được giới hạn. Theo tác giả Jerry D. Gibson <br /> và các cộng sự [7] phương pháp phi tham số tỏ ra tổng quát và hữu hiệu hơn phương pháp <br /> tham số nhất là đối với các trường hợp phép quan sát từ các sensor có tương quan. Tuy <br /> nhiên hạn chế chính của phương pháp phi tham số khi các phép quan sát là không độc lập <br /> thống kê chính là việc không thể duy trì được tỷ số báo động lầm không đổi đối với một <br /> ngưỡng phát hiện cố định khi các phép quan sát là tương quan hoặc hàm mật độ xác suất <br /> của nhiễu nền thay đổi.  <br /> 3. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHÁT HIỆN PHÂN TÁN BẰNG CÁCH<br /> TÍNH TRỰC TIẾP CÁC TÍCH PHÂN XÁC SUẤT<br /> Bài toán tìm quy luật hợp nhất tối ưu khi các quyết định tương quan, một cách tự nhiên, <br /> luôn  dẫn  tới  việc  tính  toán  các  tích  phân  đa  biến  của  các  hàm  mật  độ  xác  suất,  nhưng <br /> không phải lúc nào cũng có thể tính được các tích phân phức tạp ấy. Việc giảm thiểu khó <br /> khăn này có thể thực hiện bằng phương pháp giải bài toán bằng cách tính trực tiếp các tích <br /> phân xác suất. Kết quả của việc tính toán các tích phân được áp dụng cho việc giải một lớp <br /> các bài toán phát hiện phân tán. Tại trung tâm hợp nhất phép kiểm định tỷ số hợp lý có thể <br /> viết như sau: <br />  <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 40, 12 - 2015                               51<br />  Ra đa<br /> H<br /> P (u | H1 ) P (u1 , u 2 ,.., u N | H1 ) 1<br />    (u )        (4) <br /> P (u | H 0 ) P (u1 , u 2 ,.., u N | H 0 ) H 0<br /> Trong  đó     là ngưỡng  tại  trung  tâm  hợp  nhất,  được  xác  định bởi  mức  độ  hiệu  năng <br /> theo yêu cầu. Nếu ràng buộc các trạm radar hoạt động với cùng một ngưỡng t và phân bố <br /> trong phép quan sát của các trạm radar là đối xứng thì khi đó:  <br /> <br />   ...  p<br /> u1 u2 uN<br /> Z1 ... Z N ( Z1 ,..., Z N | H1 ) dZ1 ....dZ N<br />   (u)     (5) <br />   ...  p<br /> u1 u2 uN<br /> Z1 ... Z N ( Z1 ,..., Z N | H 0 )dZ1....dZ N<br /> <br /> Trong  đó  u1,  u2,…,uN  biểu  diễn  không  gian    hay  vùng  tương  ứng  của  tích  phân  tùy <br /> thuộc vào việc ui=0 hay 1. Công thức (5) có thể được viết gọn lại như sau: <br /> t t t<br /> <br /> <br />   ....  P (Z | H )dZ z 1<br /> <br />    (u)   <br /> t t<br /> <br /> t<br />    (6) <br />   ....  P (Z | H z 0<br /> ) dZ<br />   <br /> <br /> Với  Pz ( Z | H i ) ; (i  0,1)  là hàm mật độ xác suất của các quan sát của radar dưới giả <br /> thuyết Hi và là một hàm của hệ số tương quan ij . Từ kết quả nghiên cứu toán học của tác <br /> giả  S.Santi  Gupta  [8]  về  việc  tính  tích  phân  xác  suất  với  các  biến  ngẫu  nhiên  phân  bố <br /> chuẩn ta có công thức : <br /> t1 t2 tn<br /> <br />   <br />                   Fn t1 , t2 ,..., tn ; ij    <br />  ...  f x1 , x2 ,..., xn ;ij  dx1...dxn             (7) <br />   <br /> <br /> Để ý rằng (7) là tích phân cần tính và chính là tử và mẫu số của biểu thức (6) <br /> Nếu  ma  trận  tương  quan  ij    của  các  xi   có  cấu  trúc:  ij   i j (i  j)   trong  đó <br /> 1   i  1   khi  đó  biến  xi   có  thể được tạo  ra từ (n+1)  biến  ngẫu nhiên  phân bố  chuẩn <br /> Z1 , Z 2 ,..., Z n ; Y   bằng  việc  biến  đổi:  X i  Z i 1   i   iY   ,  và  điều  này  dẫn  đến  công <br /> thức: <br />   n  t  y <br />   f (t1 , t2 ,..., tn ;{ij })    F i i<br />   f ( y )dy    (8) <br />  2 12 <br />  i 1  (1   i ) <br /> Nếu  ij    với mọi i, j khi đó công thức (7) trở thành: <br /> <br /> n<br />  t  y <br />                                         f (t , t ,..., t ;{ })    (1   2 ) 12  f ( y )dy                           (9) <br /> F<br />   <br /> Với  n,  t  và  ρ  cho  trước  có  thể  tính  được  tích  phân  trên  bằng  phương  pháp  khai  triển <br /> chuỗi tetrachoric và f(y) cùng  với  F(X)  một cách  tương  ứng là hàm phân  bố  tích  lũy và <br /> hàm phân bố chuẩn. Tác giả S.Santi Gupta đã hoàn thiện một bảng tính của các tích phân <br /> trên với n từ 0 đến 30 và ρ chạy từ 0 tới 1 với bước nhảy 0,05. Như vậy với các cơ sở toán <br /> học đã trình bày, hoàn toàn có thể tìm được giá trị của biểu thức (6) thông qua cách tính <br /> trực  tiếp  các  tích  phân  và  do  đó  tìm  được  lời  giải  cho  một  lớp  bài  toán  phát  hiện  trong <br /> <br />  <br /> <br /> 52     N. Đ. Minh, “Một phương pháp giải bài toán phát hiện trong mạng radar… thống kê.”  <br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> mạng  radar  phân  tán  nhiều  vị  trí  được  kết  nối  thành  mạng  khi  các  đài  radar  thành  phần <br /> hoạt động tại cùng một ngưỡng, có mối tương quan đối xứng và bằng nhau. <br /> Xét một hệ thống gồm 3 trạm radar hoạt động tại cùng một ngưỡng t và mức tín hiệu S, <br /> chịu  ảnh  hưởng  của  nhiễu  Gaussian  trung  bình  0  tương  quan  bằng  nhau  và  bằng     sao <br /> cho mật độ kết hợp tại các sensor có ma trận hiệp phương sai như dạng sau [10]: <br /> 1  <br /> <br />   1   , 0