“M t s bài toán c b n v t l th c và các cách gi i”ộ ố ơ ả ề ỉ ệ ứ ả
I. PH N M ĐUẦ Ở Ầ
1. Lý do ch n đ tàiọ ề
Toán h c có vai trò r t quan tr ng đi v i đi s ng và đi v i các ngànhọ ấ ọ ố ớ ờ ố ố ớ
khoa h c. Ngay t th k XIII, nhà t t ng Anh R.Bêc n đã nói r ng: “Ai khôngọ ừ ế ỉ ư ưở ơ ằ
hi u bi t toán h c thì không th hi u bi t b t c m t khoa h c nào khác và cũngể ế ọ ể ể ế ấ ứ ộ ọ
không th phát hi n ra s d t nát c a b n thân mình”. Đn gi a th k XX nhàể ệ ự ố ủ ả ế ữ ế ỉ
v t lí h c n i ti ng (P.Dirac) kh ng đnh r ng khi xây d ng lí thuy t v t líậ ọ ổ ế ẳ ị ằ ự ế ậ
“không đc tin vào m i quan ni m v t lí”, mà ph i “tin vào s đ toán h c,ượ ọ ệ ậ ả ơ ồ ọ
ngay c khi s đ này tho t đu có th không liên h gì v i v t lí c ”. S phátả ơ ồ ạ ầ ể ệ ớ ậ ả ự
tri n c a các nhà khoa h c đã ch ng minh l i tiên đoán c a Các Mác: “M t khoaể ủ ọ ứ ờ ủ ộ
h c ch th c s phát tri n n u có th s d ng đc ph ng pháp toán h c”.ọ ỉ ự ự ể ế ể ử ụ ượ ươ ọ
Môn Toán h c nói chung, Toán h c b c THCS nói riêng, trong đó cóọ ọ ở ậ
ch ng trình Toán l p 7 luôn có s k th a và phát tri n ki n th c li n m chươ ớ ự ế ừ ể ế ứ ề ạ
trong h th ng ki n th c Toán h c c a nhân lo i. Trong quá trình d y h c Toánệ ố ế ứ ọ ủ ạ ạ ọ
7, tôi th y các bài toán v t l th c chi m l ng ki n th c lí thuy t khôngấ ề ỉ ệ ứ ế ượ ế ứ ế
nhi u, song v bài t p có vai trò quan tr ng trong vi c gi i quy t nhi u bài toánề ề ậ ọ ệ ả ế ề
c b n tính toán, suy lu n chúng minh cũng nh vi c áp d ng ki n th c này vàoơ ả ậ ư ệ ụ ế ứ
nhi u ph n ki n th c Toán, k c phân môn Hình h c. ề ầ ế ứ ể ả ọ Trong th c t , nhi u h cự ế ề ọ
sinh b nh m l n gi a t s c a hai s và phân s , gi i các bài t p v t l th cị ầ ẫ ữ ỉ ố ủ ố ố ả ậ ề ỉ ệ ứ
m t cách r p khuôn máy móc và c m th y khó khăn, “s ” các bài t p này. ộ ậ ả ấ ợ ậ
Nguyên nhân c b n c a nh ng khó khăn mà h c sinh g p ph i khi gi i bàiơ ả ủ ữ ọ ặ ả ả
t p v t l th c là h c sinh ch a ch đng rèn luy n cách trình bày l i gi i, cácậ ề ỉ ệ ứ ọ ư ủ ộ ệ ờ ả
l p lu n, nh ng ki n th c đc áp d ng trong quá trình làm bài nên d n đn thậ ậ ữ ế ứ ượ ụ ẫ ế ụ
đng, r p khuôn, thi u tính sáng t o. Do đó, h c sinh mau quên nh ng kĩ năng cộ ậ ế ạ ọ ữ ơ
b n y. Trong th c t , theo ch quan cá nhân tôi, tôi th y đi u c b n c a vi cả ấ ự ế ủ ấ ề ơ ả ủ ệ
d y cách gi i bài t p toán là tìm ra ph ng pháp d y cho h c sinh hi u và tạ ả ậ ươ ạ ọ ể ự
gi i nh ng bài t p quen thu c, c b n m t cách rõ ràng, ng n g n, đ t đó h cả ữ ậ ộ ơ ả ộ ắ ọ ể ừ ọ
sinh liên t ng, tìm tòi, v n d ng vào trong các bài t p liên quan ho c cùngưở ậ ụ ậ ặ
d ng.ạ V y, làm th nào đ h c sinh kh c sâu và v n d ng nh ng ki n th c v tậ ế ể ọ ắ ậ ụ ữ ế ứ ề ỉ
l th c đ gi i đc các bài t p c b n v t l th c? ệ ứ ể ả ượ ậ ơ ả ề ỉ ệ ứ Đ tr l i câu h i này,ể ả ờ ỏ tôi
đã vi t sáng ki n kinh ngế ế hi mệ tìm hi uể “M t s bài toán c b n v t l th c vàộ ố ơ ả ề ỉ ệ ứ
các cách gi iả” trong ch ng ươ trình Toán l p ớ7, v i mong mu n qua n i dungớ ố ộ
SKKN này, s giúp các em gi i m t s bài t p c b n v t l th c m t cách dẽ ả ộ ố ậ ơ ả ề ỉ ệ ứ ộ ễ
dàng nh t, hi u qu nh t. ấ ệ ả ấ Qua ki n th c trong sách giáo khoa và ế ứ tham kh o m tả ộ
s tài li uố ệ liên quan v t l th c và dãy t s b ng nhau,ề ỉ ệ ứ ỉ ố ằ tôi đã c g ng h th ngố ắ ệ ố
l i m t s d ng bài t pạ ộ ố ạ ậ c b nơ ả liên quan t l th c, mỉ ệ ứ i d ng bài t p đu cóỗ ạ ậ ề
Giáo viên: Đoàn Công Nam Tr ng THCS L ng Th Vinh Trang - ườ ươ ế 1
-
“M t s bài toán c b n v t l th c và các cách gi i”ộ ố ơ ả ề ỉ ệ ứ ả
ph n g i ý nh n xét, đnh h ng nh ng cách gi i thông qua ki n th c đc ápầ ợ ậ ị ướ ữ ả ế ứ ượ
d ng trong bài t p đó. ụ ậ
H n n a, v i mong mu n đc tích lũy thêm ki n th c kinh nghi m trongơ ữ ớ ố ượ ế ứ ệ
gi ng d y, ả ạ d n đc làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c giáo d c, ngàyầ ượ ớ ứ ọ ụ
càng nâng cao nh n th c khoa h c b môn, nh ng lí lu n c n thi t v chuyênậ ứ ọ ộ ữ ậ ầ ế ề
môn ph c v cho công vi c gi ng d y c a b n thânụ ụ ệ ả ạ ủ ả , đng th i nh n đc nhi uồ ờ ậ ượ ề
ý ki n góp ý c a các th y cô đng nghi p trong và ngoài nhà tr ng đ SKKNế ủ ầ ồ ệ ườ ể
này đc tr n v n h n n a. Có l r ng nhi u ý ki n c a tôi nêu ra s ch a th tượ ọ ẹ ơ ữ ẽ ằ ề ế ủ ẽ ư ậ
tr n v n, song tôi luôn hy v ng r ng s tích lũy c a tôi s góp đc m t đi uọ ẹ ọ ằ ự ủ ẽ ượ ộ ề
nh bé nào đó cho m i chúng ta trong quá trình gi ng d y m ng ki n th c này.ỏ ỗ ả ạ ả ế ứ
Đây là lí do giúp tôi ch n nghiên c u SKKN này.ọ ứ
M c dù đã c g ng đ hoàn thành SKKN này, song ặ ố ắ ể vi c m c ph i nh ngệ ắ ả ữ
sai sót trong trình bày, trong di n đt …ễ ạ là đi u không ềth ểtránh kh i. Tôi r tỏ ấ
mong nh nậ đc s góp ý, b sung c a ượ ự ổ ủ quý th y côầ giáo, c a các đng nghi pủ ồ ệ
và b n đc đ SKKN c a tôi đc hoàn thi n h nạ ọ ể ủ ượ ệ ơ n a. ữ
2. M c tiêu, nhi m v c a đ tàiụ ệ ụ ủ ề
*M c tiêuụ
- Xây d ng c s lý thuy t v t l th c đ gi i các bài toán c b n liênự ơ ở ế ề ỉ ệ ứ ể ả ơ ả
quan.
- Phân lo i và h th ng các d ng bài t p t d đn khó. ạ ệ ố ạ ậ ừ ễ ế
- Rèn luy n kĩ năng th c hành gi i bài t p, phát tri n và rèn luy n t duyệ ự ả ậ ể ệ ư
sáng t o cho h c sinh qua vi c tìm tòi, ch n l c, tham kh o ki n th c và cácạ ọ ệ ọ ọ ả ế ứ
cách gi i đi v i m i bài t p.ả ố ớ ỗ ậ
- H ng m r ng SKKN trong đi u ki n th c thi đc n i dung m r ng.ướ ở ộ ề ệ ự ượ ộ ở ộ
* Nhi m vệ ụ
- C ng c đc các ki n th c c b n v t l th c, các kĩ năng th c hi nủ ố ượ ế ứ ơ ả ề ỉ ệ ứ ự ệ
phép tính, tính toán thông th ng ph c v cho SKKN, đng th i phân bi t, nh nườ ụ ụ ồ ờ ệ ậ
d ng đc t ng lo i bài t p, v n d ng ph ng pháp h p lý c a t ng d ng vàoạ ượ ừ ạ ậ ậ ụ ươ ợ ủ ừ ạ
gi i toán. T đó hi u đc b n ch t các d ng bài t p c b n v t l th c.ả ừ ể ượ ả ấ ạ ậ ơ ả ề ỉ ệ ứ
- Phát huy kh năng t duy sáng t o trong khi làm bài, bi t suy lu n t bàiả ư ạ ế ậ ừ
d đn bài khó v i cách gi i hay h n thông qua vi c luy n m t s cách gi i phùễ ế ớ ả ơ ệ ệ ộ ố ả
h p cho t ng d ng.ợ ừ ạ
Giáo viên: Đoàn Công Nam Tr ng THCS L ng Th Vinh Trang - ườ ươ ế 2
-
“M t s bài toán c b n v t l th c và các cách gi i”ộ ố ơ ả ề ỉ ệ ứ ả
V i sáng ki n kinh nghi m này, tôi mu n đa ra m t s bài toán c b n vớ ế ệ ố ư ộ ố ơ ả ề
m t s cách gi i các bài toán c b n v t l th c trong ch ng trình Toán 7 vàộ ố ả ơ ả ề ỉ ệ ứ ươ
nh ng cách gi i thông th ng. C th :ữ ả ườ ụ ể
+ H th ng m t s bài toán c b n v t l th c trong ch ng trình Toán 7ệ ố ộ ố ơ ả ề ỉ ệ ứ ươ
(n i dung ki n th c trong tu n 5 và tu n 6 - Bài 7: T l th c và Bài 8: Tính ch tộ ế ứ ầ ầ ỉ ệ ứ ấ
c a dãy t s b ng nhau). ủ ỉ ố ằ
+ Tìm hi u k t qu và m c đ đt đc khi tri n khai sáng ki n sau ba nămể ế ả ứ ộ ạ ượ ể ế
th c hi n. T đó phân tích, rút ra bài h c kinh nghi m.ự ệ ừ ọ ệ
3. Đi t ng nghiên c uố ượ ứ
- Ki n th c c b n v ế ứ ơ ả ề t l th cỉ ệ ứ và dãy t s b ng nhau trong ch ng trìnhỉ ố ằ ươ
Toán 7 và m t s tài li u liên quan.ộ ố ệ
- H c sinh L p 7 b c trung h c c s ọ ớ ở ậ ọ ơ ở – Tr ng THCS L ng Th Vinh ườ ươ ế –
Huy n Krông Anaệ các năm h c 2012 – 2013; 2013 – 2014; 2014 – 2015.ọ
4. Gi i h n, ph m vi nghiên c uớ ạ ạ ứ
Do tu i đi và tu i ngh ch a nhi u, v i s tích lũy có h n c a b n thân,ổ ờ ổ ề ư ề ớ ự ạ ủ ả
tôi ch m n phép nghiên c u ỉ ạ ứ v ềm t s cách gi i các bài toán c b n v t lộ ố ả ơ ả ề ỉ ệ
th cứ và dãy t s b ng nhau trong ch ng trình Toán 7, trong th i gian nghiênỉ ố ằ ươ ờ
c u và áp d ng SKKN là các năm h c g n đây tôi đc tr c ti p d y ch ngứ ụ ọ ầ ượ ự ế ạ ươ
trình Toán 7.
5. Ph ng pháp nghiên c uươ ứ
- Ph ng pháp nghiên c u tài li u.ươ ứ ệ
- Ph ng pháp đàm tho i – g i m . ươ ạ ợ ở
- Ph ng pháp thu th p và x lý s li u.ươ ậ ử ố ệ
- Ph ng pháp tác đng giáo d c .ươ ộ ụ
- Ph ng pháp ki m tra đánh giá.ươ ể
- Ph ng pháp th c nghi m.ươ ự ệ
II. PH N N I DUNGẦ Ộ
1. C s lí lu nơ ở ậ
Qua th c t gi ng d y môn Toánự ế ả ạ THCS nói chung và môn Toán l p ớ7 b cậ
trung h c c s ọ ơ ở – Tr ng THCS L ng Th Vinh ườ ươ ế – Huy n Krông Anaệ các năm
h c 2012 – 2013; 2013 – 2014; 2014 – 2015 ọnói riêng, tôi th y môn Toán 7 - phânấ
môn Đi s đã t o ra nh ng ạ ố ạ ữ s liên k t ki n th c c a cu i ch ng trình Toán 6ự ế ế ứ ủ ố ươ
Giáo viên: Đoàn Công Nam Tr ng THCS L ng Th Vinh Trang - ườ ươ ế 3
-
“M t s bài toán c b n v t l th c và các cách gi i”ộ ố ơ ả ề ỉ ệ ứ ả
và đu ch ng trình Toán 7, trong đó có ph n ki n th c v t l th c. Đ amầ ươ ầ ế ứ ề ỉ ệ ứ ể
hi u c n k m ng ki n th c này, đòi h i ng i h c ph i luôn có s đam mêể ặ ẽ ả ế ứ ỏ ườ ọ ả ự
khám phá, tìm hi u và ghi nh đnh nghĩa, tính ch t c a t l th c m t cách chínhể ớ ị ấ ủ ỉ ệ ứ ộ
xác và sáng t o. Nh ng ki n th c m c đ căn b n th ng yêu c u t t cạ ữ ế ứ ở ứ ộ ả ườ ầ ấ ả
ng i h c ph i n m đc. Nh ng ki n th c m r ng, nâng cao, luôn t o raườ ọ ả ắ ượ ữ ế ứ ở ộ ạ
nhi u c h i m i cho nh ng ai có lòng say mê b môn, có tính kiên trì, ngh l c,ề ơ ộ ớ ữ ộ ị ự
có b n lĩnh v t khó tìm hi u và chinh ph c. ả ượ ể ụ
Trong quá trình gi ng d y, cùng v i s trao đi qua các đng nghi p, tôiả ạ ớ ự ổ ồ ệ
th y k t qu c a h c sinh trong khi h c m ng ki n th c v t l th c đc thấ ế ả ủ ọ ọ ả ế ứ ề ỉ ệ ứ ượ ể
hi n r t rõ qua vi c luy n t p trên l p, bài ki m tra 15 phút l n m t và bài ki mệ ấ ệ ệ ậ ớ ể ầ ộ ể
tra m t ti t l n m t. Có nh ng bài h c sinh trình bày r t t t, sáng t o, tuy nhiênộ ế ầ ộ ữ ọ ấ ố ạ
có nhi u bài làm trình bày s sài, d th a ho c thi u sót nhi u, th m chí nhi uề ơ ư ừ ặ ế ề ậ ề
bài không đnh hình đc cách trình bày…Và sau khi h ng d n, tìm cho các emị ượ ướ ẫ
nh ng m o nh , nh ng cách trình bày ng n g n thì các em ph n nào đã c i thi nữ ẹ ớ ữ ắ ọ ầ ả ệ
đc ch t l ng bài làm, nhi u em h c sinh khá gi i r t h ng thú v i m ngượ ấ ượ ề ọ ỏ ấ ứ ớ ả
ki n th c này. ế ứ
Ki n th c lí thuy tế ứ ế
1/ Đnh nghĩa ị
- Tỉ l th c là đng th c gi a hai tệ ứ ẳ ứ ữ ỉ số:
a c
b d
=
ho c ặ
a : b c : d=
(v i ớ
a, b, c, d Q; b,d 0ι
là các s h ng c a t l th c; a và d là các ngo i t ; bố ạ ủ ỉ ệ ứ ạ ỉ
và c là các trung t )ỉ
2/ Tính ch tấ
2.1) Tính ch t 1ấ (tính ch t c b nấ ơ ả c a t l th c)ủ ỉ ệ ứ : Trong m t t l th c,ộ ỉ ệ ứ
tích các trung t b ng tích các ngo i t . ỉ ằ ạ ỉ T từ ỉ l th c ệ ứ
a c suy ra a.d b.c
b d
= =
2.2) Tính ch t 2:ấ T đng th c ừ ẳ ứ
a.d b.c=
v i ớ
a, b, c, d 0
, cho ta các tỉ lệ
th c:ứ
a c a b d c d b
; ; ;
b d c d b a c a
= = = =
2.3) Tính ch t 3: ấ(tính ch t hoán vấ ị các s h ng c a t l th c): ố ạ ủ ỉ ệ ứ T từ ỉ lệ
th c ứ
a c ;(a, b, c, d 0)
b d
=
, suy ra các tỉ l th c: ệ ứ
+ Đi ch ngo i tổ ỗ ạ ỉ:
d c
b a
=
Giáo viên: Đoàn Công Nam Tr ng THCS L ng Th Vinh Trang - ườ ươ ế 4
-
“M t s bài toán c b n v t l th c và các cách gi i”ộ ố ơ ả ề ỉ ệ ứ ả
+ Đi ch trung tổ ỗ ỉ:
a b
c d
=
+ Đi ch ngo i t và đi ch trung tổ ỗ ạ ỉ ổ ỗ ỉ:
d b
c a
=
3/ Dãy các t s b ng nhau:ỉ ố ằ
* Dãy t s b ng nhau g m ba t s b ng nhau tr lên: ỉ ố ằ ồ ỉ ố ằ ở
* Tính ch t:ấ
+ T từ ỉ l th c ệ ứ
a c
b d
=
suy ra tỉ l th c sau:ệ ứ
a c a c a c ;(b d)
b d b d b d
+ −
= = =
+ −
+ Dãy t s b ng nhau: ỉ ố ằ
a c e a c e a c e 2a 3c e ...
b d f b d f b d f 2b 3d f
+ + − + + −
= = = = = =
+ + − + + −
* N u ếa, b, c tỉ l v i ệ ớ m, n, p, ta có:
a b c
m n p
= =
* N u có ế
a c e m
b d f
= = =
thì
a b.m, c d.m, e f.m= = =
* Ngoài ra, ta th y t l th c là m t đng th c nên nó cũng có tính ch t c a m t ấ ỉ ệ ứ ộ ẳ ứ ấ ủ ộ
đng th cẳ ứ : T từ ỉ l th c ệ ứ
a c ;(a, b, c, d 0)
b d
=
, suy ra:
+/
2 2
a c a c
.
b d b d
� � � �
= =
� � � �
� � � �
+/
( )
a c
m. m. ; m 0
b d
=
2
a c e
+/ .
b d f
� �=
� �
� �
+/
( )
m.a n.c ; m;n 0
m.b n.d
=
+/
3 3 3
a c e a c e a c e
. .
b d f b d f b d f
� � � � � �
= = = = =�� � � � � �
� � � � � �
2. Th c tr ngự ạ
Sau th i gian đc phân công gi ng d y các l p 7 trong nh ng năm h c v aờ ượ ả ạ ớ ữ ọ ừ
qua t i tr ng THCS L ng Th Vinh, b n thân tôi đã tích lũy đc nh ng ki nạ ườ ươ ế ả ượ ữ ế
th c và h c h i t đng nghi p r t nhi u kinh nghi m quý báu, đi u đó đã giúpứ ọ ỏ ừ ồ ệ ấ ề ệ ề
tôi có nhi u thu n l i h n trong quá trình th c hi n nhi m v gi ng d y đcề ậ ợ ơ ự ệ ệ ụ ả ạ ượ
phân công. Trong nh ng năm tôi m i ra tr ng, tôi đã đc phân công d y l p 7.ữ ớ ườ ượ ạ ớ
T năm h c 2007– 2008, tôi đã tích lũy m t s ki n th c và các d ng bài t p cừ ọ ộ ố ế ứ ạ ậ ơ
b n v t l th c và dãy t s b ng nhau. Tôi đã d n s u t m, tìm hi u các bàiả ề ỉ ệ ứ ỉ ố ằ ầ ư ầ ể
toán v v n đ này và áp d ng vào d y các năm h c 2012 – 2013; 2013 – 2014;ề ấ ề ụ ạ ọ
Giáo viên: Đoàn Công Nam Tr ng THCS L ng Th Vinh Trang - ườ ươ ế 5
-