M T S BÀI TOÁN TÌM GIÁ TR L N NH T, NH NH T.Ộ Ố Ị Ớ Ấ Ỏ Ấ
Bài 1 : Cho các s d ng x, y, z thoa mãn: 1/x + 1/y + 1/z = 4ố ươ
Tìm max c a: P= 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z)ủ
V i a,b > 0 ta có bđt : 1/(a + b) ≤ 1/4.(1/a + 1/b) (*)ớ
Áp d ng bđt (*) v i a = (x + y) > 0 ; b = (x + z) > 0 ta có :ụ ớ
1/(2x + y + z) = 1/ [ (x + y) + (x + z) ] ≤ 1/4.[ 1/(x + y) + 1/(x + z) ]
L i áp d ng bđt (*) ta có : ạ ụ
. 1/(x + y) ≤ 1/4(1/x + 1/y)
. 1/(x + z) ≤ 1/4(1/x + 1/z)
--> 1/(2x + y + z) ≤ 1/16.(2/x + 1/y + 1/z)
T ng t ta có :ươ ự
. 1/(x + 2y + z) ≤ 1/16.(1/x + 2/y + 1/z)
. 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(1/x + 1/y + 2/z)
--> 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(4/x + 4/y + 4/z)
--> P ≤ 1/4.(1/x + 1/y + 1/z) = 1 (do 1/x + 1/y + 1/z = 4)
--> đ.p..c.m . D u " = " x y ra <=> x = y = z = 3/4ấ ả
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
CM (*) , ta có (*) <=> 1/(a + b) ≤ (a + b)/4ab <=> 4ab ≤ (a + b)²
<=> 4ab ≤ a² + 2ab + b² <=> 0 ≤ a² - 2ab + b²
<=> 0 ≤ (a - b)² --> luôn đúng --> (*) đ c CM ượ
D u " = " x y ra <=> a = bấ ả
Cach kh¸c: gi s u và v là hai s d ng ta có: (u+v)(1/u + 1/v) >=4ả ử ố ươ
<=> 4/(u+v) <= 1/u + 1/v
có 1/(2x+y+z) = 1/[(x+y)+(x+z)] <=(1/4)*(1/(x+y) + 1/(x+z))
<=(1/16)*(2/x+1/y+1/z)
làm t ng t cho hai bi u th c còn l i và c ng các v c a 3 BĐT ta đ cươ ự ể ứ ạ ộ ế ủ ượ
VT<=(1/16)*(4/x + 4/y + 4/z) = 1
Bài 2:Cho tam giác ABC c đ nh vuông t i A, đ ng cao AD. V đ ng tròn tâm (O1) ngo iố ị ạ ườ ẽ ườ ạ
ti p tam giác ABD và đ ng tròn (O2) ngo i ti p tam giác ACD. Qua A k đ ng th ng d b tế ườ ạ ế ẻ ườ ẳ ấ
kì không c t đo n th ng BC. G i giao đi m c a d v i (O1) là E, v i (O2) là F. G i giao đi mắ ạ ẳ ọ ể ủ ớ ớ ọ ể
c a DE v i AB là M, giao đi m c a DF v i AC là N....Hãy xác đ nh v trí c a EF đ chu vi c aủ ớ ể ủ ớ ị ị ủ ể ủ
t giác BEFC đ t giá tr l n nh t?ứ ạ ị ớ ấ
@ 3 câu h i tr c cho bi t khi d quay quanh A t s (BE+EA)/(AF+FC) luôn không đ i và MN//EFỏ ướ ế ỉ ố ổ
BC c đ nh nên ch c n xác đ nh v trí EF sao cho : BE+EA+AF+FC l n nh t. G i góc EAB = α,ố ị ỉ ầ ị ị ớ ấ ọ
AB=c, AC=b khi đó BE+EA = c(sinα+cosα), (1)
∡ BAC vuông nên ∡ ACF = α => AF+FC = b(sinα+cosα). (2)
BE+EA+AF+FC = (sinα+cosα)(b+c) = (b+c) √2.cos(45-α) => α =45 đ BE+EA+AF+FC l n nh t. ộ ớ ấ
T (1)&(2) => (BE+EA)/(AF+FC) = c/b ( const.)ừ
∡BAD =∡AFD, t giác AMDN n i ti p đ ng tròn do ứ ộ ế ườ ∡MAN =∡MDN =90 đ nên ộ ∡BAD
=∡MND => ∡AFD = ∡MND => MN//EF.
Bài 3: Cho hàm s :ố
( )
( )
43
52.162
)(
2
22
−+
+−++
== xx
xxx
xfy
1/ Tìm t p xác đ nh c a hàm s : ậ ị ủ ố
)(xfy =
.
2/ Ch ng minh ứ
3≤y
. Ch rõ d u b ng x y ra khi x b ng bao nhiêu?ỉ ấ ằ ả ằ
( Đ thi tuy n sinh vào l p 10 chuyên ngo i ngề ể ớ ạ ữ
Tr ng Đ i h c ngo i ng - ĐHQG Hà N i Năm h c 2003- 2004ườ ạ ọ ạ ữ ộ ọ )
H ng d n:ướ ẫ
1
1/ Tìm t p xác đ nh c a hàm s : ậ ị ủ ố
)(xfy =
.
0)2).(1( 2≥−+ xx
và
043
2≠−+ xx
V y TXĐ :ậ
2≥x
;
2/ Ch ng minh ứ
3≤y
. Ch rõ d u b ng x y ra khi x b ng bao nhiêu ?ỉ ấ ằ ả ằ
( )
( )
43
52.162
)(
2
22
−+
+−++
== xx
xxx
xfy
43
5)2).(1(61212993
2
222
−+
+−++−+−+−
=xx
xxxxxx
43
)179)2).(1(6()43.(3
2
222
−+
−+−+−−−+
=xx
xxxxxx
3
)4).(1(
)231(
3
22
≤
+−
−−+
−= xx
xx
Vì v i ớ
2≥x
;
thì
0
)4).(1(
)231( 22 ≥
+−
−−+
xx
xx
D u b ng x y ra khi và ch khi : ấ ằ ả ỉ
2.31
2−=+ xx
⇔
1891
2−=+ xx
( Bình ph ng hai v không âm)ươ ế
⇔
0199
2=+− xx
⇔
2
59
1
−
=x
;
2
59
2
+
=x
Bài 4: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c : ị ớ ấ ỏ ấ ủ ể ứ
2
1xxy −=
.
H ng d n:ướ ẫ
Ta có TXĐ :
x
∀
\
1≤x
.
Xét
2
1xxy −=
2
1
2
122 =
−+
≤xx
. V y ậ
2
1
≤y
suy ra :
2
1
2
1≤≤− y
D u “ = ” x y ra khi và ch khi ấ ả ỉ
22 1xx −=
( hay
2
2
±=x
)
Min y =
2
1
−
khi và ch khi ỉ
2
2
−=x
Max =
2
1
khi và ch khi ỉ
2
2
=x
.
Bài 5: Tìm giá tr nh nh t : P =ị ỏ ấ
1x
2x
2
2
+
+
?
H ng d n:ướ ẫ
TXĐ
x
∀
∈
R .
P =
1x
2x
2
2
+
+
=
1x
11x
2
2
+
++
=
1x
1
1x 2
2
+
++
Có :
1x
1
1x 2
2
+
++
≥
1x
1
1x2 2
2
+
⋅+
≥
2
1⋅
≥
2 .
V y ậ
1x
2x
2
2
+
+
≥
2 . Min P = 2 khi và ch khi ỉ
1x2+
=
1x
1
2
+
Min P = 2 khi và ch khi x= 0.ỉ
Bài 6: Cho ba s dố ư ng a ; b ; c tho mãn a + b + c = 1. Tìm giá tr nh nh t c a :ơ ả ị ỏ ấ ủ
c
ab
b
ca
a
bc
A++=
H ng d n:ướ ẫ
Ta có
ab
abc
b
ca
a
bc
2
2
≥+
⇔
c
b
ca
a
bc 2
≥+
2
ac
cab
c
ab
a
bc
2
2
≥+
⇔
b
c
ab
a
bc 2
≥+
bc
bca
c
ab
b
ca
2
2
≥+
⇔
a
c
ab
b
ca 2
≥+
Suy ra :
).(. cba
c
ab
b
ca
a
bc
++≥
++
22
cba
c
ab
b
ca
a
bc
++≥++
c
ab
b
ca
a
bc
++
≥
1
D u b ng x y ra khi và ch khi ấ ằ ả ỉ
3
1
===
cba
V y v i ậ ớ
3
1
===
cba
thì
c
ab
b
ca
a
bc
A++=
đ t giá tr nh nh t b ng 1.ạ ị ỏ ấ ằ
Bài 7: Cho
0
≥
cba ;;
và tho mãn: a.b.c=1. Tìm giá tr nh nh t c a:ả ị ỏ ấ ủ
( ).( ).( )P a b b c c a
= + + +
H ng d n:ướ ẫ
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có : ụ ấ ẳ ứ
abba .2
≥+
bccb .2≥+
caac .2≥+
.
Suy ra :
cabcabaccbba .....)).().(( 222
≥+++
.
222
8cbaaccbba ≥+++ )).().((
.
8
≥+++
)).().(( accbba
D u b ng x y ra khi và ch khi : ấ ằ ả ỉ
1
===
cba
V y v i ậ ớ
1
===
cba
thì minP = 8
Bài 8: Cho ba s d ng tho mãn a + b + c = 1. Tìm giá tr l n nh t c a:ố ươ ả ị ớ ấ ủ
( ) ( ) ( )
[ ]
abcaccbbaP .
+++++=
H ng d n:ướ ẫ
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho ba s không âm a, b, c ta có:ụ ấ ẳ ứ ố
3
3abccba ≥++
⇒
3
31 abc≥
⇒
3
3
1abc≥
⇒
abc≥
27
1
. (1)
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3accbbaaccbba +++≥+++++ ...
⇒
( ) ( ) ( ) ( )
3
32 accbbacba +++≥++ ...
⇒
( ) ( ) ( )
3
32 accbba
+++≥
...
⇒
( ) ( ) ( )
3
3
2accbba +++≥ ..
⇒
)).().(( accbba
+++≥
27
8
(2)
Nhân v v i v c a (1) và (2) ta đ c : ế ớ ế ủ ượ
abcaccbba ).).().((
+++≥⋅
27
8
27
1
Suy ra :
729
8
≤+++
)).().(.( accbbaabc
D u “=” x y ra khi và ch khi a=b=c=ấ ả ỉ
3
1
.
V y maxP=ậ
729
8
⇔
a=b=c=
3
1
.
Bài 9: Cho ba s dống a ; b; c . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ươ ị ỏ ấ ủ ể ứ
1 1 1
( ).M a b c abc
= + + + +
H ng d n:ướ ẫ
Vì a ; b; c là ba s d ng. áp d ng b t đ ng th c Côsi ta có: ố ươ ụ ấ ẳ ứ
3
3abccba ≥++
(1)
Vì
a
1
;
b
1
;
c
1
là ba s dống. áp d ng b t đ ng th c Côsi ta có: ơ ụ ấ ẳ ứ
3
1
3
111
abccba ≥++
(2)
T (1) và (2) suy ra :ừ
3
3abccba ≥++
Suy ra :
9
111
≥
++++
cba
cba ).(
.
3
1
3
111
abccba ≥++
3
V y min M = 9.ậ
Bài 10: Cho ba s dố ư ng a; b; c có a + b + c =1. Tìm giá tr nh nh t c a:ơ ị ỏ ấ ủ
1 1 1
1 1 1Aabc
= + + +
H ng d n:ướ ẫ
Ta có:
+a
1
1
=
++
+
a
cba
1
=
a
c
a
b
+++
11
≥
42
4a
bc
+b
1
1
=
++
+
a
cba
1
=
b
c
b
a
+++
11
≥
42
4b
ac
+c
1
1
=
++
+
a
cba
1
=
c
b
c
a
+++
11
≥
42
4c
ab
Suy ra :
+
+
+
cba
1
1
1
1
1
1
≥
4222
222
64 cba
cba
+
+
+
cba
1
1
1
1
1
1
≥
64. D u b ng x y ra khi và ch khi :ấ ằ ả ỉ
3
1
===
cba
.
V y Min A= 64 khi và ch khi ậ ỉ
3
1
===
cba
.
Bài 11: Cho x ; y là hai s dố ư ng tho mãn đi u ki n ơ ả ề ệ
2
22 =+ yx
.
Tìm giá tr nh nh t c a: ị ỏ ấ ủ
yx
11
+
?
H ng d n:ướ ẫ
Ta có :
3222 11
3
112 x
xx
x
xx
x
x
⋅⋅≥++=+
Suy ra :
3
2
2
≥+
x
x
(1)
3222
11
3
112 y
yy
y
yy
y
y
⋅⋅≥++=+
Suy ra :
3
2
2
≥+ y
y
(2)
V y t (1) và (2) suy ra :ậ ừ
6
11
2
22 ≥
+++ yx
yx .
Suy ra :
2
11 ≥+ yx
D u b ng x y ra khi và ch khi :ấ ằ ả ỉ
2
11 x
xx
==
;
2
11 y
yy ==
và
2
22 =+ yx
D u b ng x y ra khi và ch khi x=y=1. V i x=y=1 thì ấ ằ ả ỉ ớ
yx
11
+
đ t giá tr nh nh t b ng 2.ạ ị ỏ ấ ằ
Bài 12: Cho
1
≥+
ba
. Tìm giá tr nh nh t c a : ị ỏ ấ ủ
33
ba
+
.
H ng d n:ướ ẫ
Ta có :
1
≥+
ba
⇒
ab
−≥
1
⇒
323 331 aaab
−+−≥
⇒
233
331 aaba
+−≥+
⇒
233 331 aaba
+−≥+
⇒
4
1
4
1
3
233
+
+−≥+
aaba .
⇒
4
1
2
1
3
2
33
+
−≥+
aba .
D u b ng x y ra khi và ch khi : ấ ằ ả ỉ
2
1
=a
.
Bài 13: Cho
0>cba ;;
. Tìm giá tr nh nh t c a:ị ỏ ấ ủ
1 1 1
a b c
Pb c a
= + + +
H ng d n:ướ ẫ
Vì a; b; c là ba s d ng. Áp d ng b t đ ng th c Côsi ta có:ố ươ ụ ấ ẳ ứ
4
b
a
b
a21 ≥+
.
c
b
c
b.21 ≥+
.
a
c
a
c.21 ≥+
Suy ra :
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a... 222111 ≥
+
+
+
abc
abc
a
c
c
b
b
a8111 ≥
+
+
+
8111 ≥
+
+
+a
c
c
b
b
a
D u b ng x y ra khi và ch khi:ấ ằ ả ỉ
1
===
cba
V y v i ậ ớ
1
===
cba
thì
1 1 1
a b c
Pb c a
= + + +
giá tr nh nh t b ng 8.ị ỏ ấ ằ
Bài 14:
Cho bi u th c ể ứ
+
−
+
−
+
+
−
−
+
+
+
+
=
1
11
1
1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a
M:
a) Rút g n bi u th c M ?ọ ể ứ
b) Cho a+b=1 hãy tính giá tr nh nh t c a M ?ị ỏ ấ ủ
H ng d n:ướ ẫ
a) Rút g n bi u th c M ọ ể ứ
TXĐ :
0
≥
a
0
≥
b
1
≠
ab
.
+
−
+
−
+
+
−
−
+
+
+
+
=
1
11
1
1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a
M:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
11
11111
11
11111
−+
−++++−−+
−+
−+−+++−+
=
abab
abababaababa
abab
abababaababa
M
...
:
...
( ) ( )
1
12
1
12
−
+−
−
+
=
ab
a
ab
aab
M:
.
( ) ( )
12
1
1
12
+−
−
⋅
−
+
=
a
ab
ab
aab
M.
abM −=
b) Cho a + b =1. Hãy tính giá tr nh nh t c a M ị ỏ ấ ủ
Khi a+b=1 v i ớ
0
≥
a
0
≥
b
. Áp d ng b t đ ng th c Côsi ta có:ụ ấ ẳ ứ
ab
ba
≥
+
2
suy ra :
2
1
≤ab
hay
2
1
−≥−
ab
D u b ng x y ra khi và ch khi :ấ ằ ả ỉ
2
1
==
ba
. V y v i ậ ớ
2
1
==
ba
thì giá tr nh nh t c a M b ng ị ỏ ấ ủ ằ
2
1
−
5