Một số bài toán xác suất của lớp 12 trong Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết đã hệ thống kiến thức lý thuyết xác suất có điều kiện; xác suất toàn phần, công thức Bayes thông qua bảng dữ liệu thống kê 2x2 và sơ đồ cây; sử dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện. Bài viết cũng cho thấy việc vận dụng kiến thức trên để giải quyết một bài toán thực tiễn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số bài toán xác suất của lớp 12 trong Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018

MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT CỦA LỚP 12 TRONG CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG MÔN TOÁN NĂM 2018 Trần Thanh Phong1 1. Khoa Sư phạm, Trường Đại học Thủ Dầu Một TÓM TẮT Trong bài viết này, chúng tôi trình bày xác suất có điều kiện, các quy tắc tính xác suất liên quan đến xác suất có điều kiện và vận dụng chúng vào một số bài toán thực tiễn. Từ khóa: xác suất có điều kiện, quy tắc tính xác suất,bài toán xác suất thực tiễn. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018, nội dung thống kê và xác suất có đưa vào xác suất có điều kiện, các quy tắc tính xác suất liên quan đến xác suất có điều kiện. Nội dung này mới được bổ sung lần đầu vào chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 gồm: xác suất có điều kiện; xác suất toàn phần, công thức Bayes thông qua bảng dữ liệu thống kê 2x2 và sơ đồ cây; sử dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện và vận dụng vào một số bài toán thực tiễn; sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất có điều trong một số bài toán thực tiễn liên quan đến thống kê. Nhằm giúp cho giáo viên trung học phổ thông chuẩn bị tốt cho năm học 2024-2025 (đây là năm học đầu tiên, giáo viên Toán 12 sẽ dạy nội dung trên), chúng tôi hệ thống lại cơ sở lý thuyết và trình bày một số bài toán có hướng dẫn giải. 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu chương trình giáo dục phổ thông toán năm 2018, chương trình đào tạo giáo viên môn Toán của các Trường Sư phạm, tài liệu giảng dạy môn xác suất thống kê. Từ đó, chúng tôi hệ thống lại các kiến thức phần lý thuyết và đưa ra một số bài toán minh họa kèm theo hướng dẫn giải. 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1. Xác suất có điều kiện 3.1.1. Định nghĩa Cho hai biến cố A và B, trong đó P( B)  0 . Khi đó, xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P ( A | B ) được xác định như sau: P( AB) P( A | B) = P( B) . Chú ý: AB là giao của hai biến cố A và B. 3.1.2. Công thức nhân xác suất Nếu P( B)  0 thì P( AB) = P( B).P( A | B) = P( A).P( B | A) . Chú ý: 292
(i) P( AB) = P( B) − P( AB) . P( AB) P( B) − P( AB) P( A | B) = = = 1 − P( A | B) (ii) P( B) P( B) . P( AB) P( A) − P( AB) P( A | B) = = (iii) P( B) 1 − P( B) . 3.1.3. Một số bài toán Bài toán 1. Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để: a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm; b) Có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7. Hướng dẫn giải  = 62 = 36 Không gian mẫu: . Gọi biến cố A: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7” . Khi đó A = (1, 6 ) , ( 6,1) , ( 2,5 ) , ( 5, 2 ) , ( 3, 4 ) , ( 4,3 ) . Do đó n( A) = 6 6 1 P( A) = = . Xác suất xảy ra biến cố A là 36 6 B: “ Có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”. Khi đó B = ( 5,1) , (1,5 ) , ( 2,5 ) , ( 5, 2 ) , ( 3,5 ) , ( 5,3 ) , ( 4,5 ) , (5, 4 ) , (5,5 ) , (5, 6 ) , ( 6,5 ) . Do đó n( B ) = 11 . Ta tìm được AB = {(2,5), (5, 2)} . Do đó n( AB) = 2 . 11 2 1 P( B) = ; P( AB) = = . 36 36 18 P( AB) 2 11 2 P( A | B) = = : = a) P( B) 36 36 11 . P( AB) 2 6 2 1 P( B | A) = = : = = . b) P( A) 36 36 6 3 Bài toán 2. Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,7. Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,9. Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai chỉ là 0,4. Tính xác suất để: a) Cả hai thí nghiệm đều thành công; b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công; c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công. 293
Hướng dẫn giải Xét các biến cố sau: A: “ Thí nghiệm thứ nhất thành công” B: “ Thí nghiệm thứ hai thành công” Ta có: P( B | A) = 0,9; P( B | A) = 0, 4 ; P( A) = 0, 7. Ta mô tả bài toán theo sơ đồ cây sau: Với P( B | A) = 1 − P( B | A) = 1 − 0, 4 = 0,6. a) Cả hai thí nghiệm đều thành công: P( AB) = P( A).P( B | A) = 0, 7.0,9 = 0, 63. b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công: P( AB) = P( A).P( B | A) = 0,3.0,6 = 0,18. c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công P( AB) = P( A).P( B | A) = 0,7.0,1 = 0,07 . Bài toán 3. Mỗi bạn học sinh trong lớp của Minh lựa chọn học một trong hai ngoại ngữ là tiếng Anh hoặc tiếng Nhật. Xác suất chọn tiếng Anh của mỗi bạn học sinh nữ là 0,6 và của mỗi bạn học sinh nam là 0,7. Lớp của Minh có 25 bạn nữ và 20 bạn nam. Chọn ra ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố: A: “Bạn được chọn là nam và học tiếng Nhật”; B: “Bạn được chọn là nữ và học tiếng Anh". Hướng dẫn giải Gọi biến cố X: “Bạn được chọn là nữ” E: “ Bạn học sinh được chọn đó học tiếng Anh” 25 5 P( X ) = = Ta có: 45 9 , P( E | X ) = 0,6; P( E | X ) = 0,7 . Ta có sơ đồ cây sau: 294
4 2 P( A) = P( X E ) = P( X ).P( E | X ) = .0,3 = a) Xác suất xảy ra biến cố A là: 9 15 . 5 1 P( B) = P( XE ) = P( X ).P( E | X ) = .0, 6 = b) Xác suất xảy ra biến cố B là: 9 3. 3.2. Công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes 3.2.1. Công thức xác suất toàn phần Cho hai biến cố A, B với 0  P( B)  1 . Khi đó: P( A) = P( AB) + P( AB) = P( B).P( A | B) + P( B) P( A | B) . Chú ý: Công thức xác suất toàn phần cũng đúng với biến cố B bất kì. 3.2.2. Công thức Bayes Giả sử A và B là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn P( A)  0 và 0  P( B)  1 . Khi đó: P( B).P( A | B) P( B | A) = P( B).P( A | B) + P( B).P( A | B) . Chú ý: (i) Công thức Bayes vẫn đúng với biến cố B bất kì. P( B).P( A | B) P( B | A) = (ii) Với P( A)  0, công thức P( A) cũng được gọi là công thức Bayes. 3.2.3. Một số bài toán Bài toán 4. Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là 52%. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật lần lượt là 18% và 15%. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. a) Tính xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật; b) Biết rằng học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. Tính xác suất học sinh đó là nam. Hướng dẫn giải a) Xét các biến cố sau: A: “Học sinh được chọn là nữ” B: “Học sinh đó tham gia câu lạc bộ nghệ thuật” Theo đề ta có : P( A) = 0,52; P( B | A) = 0,18; P( B | A) = 0,15. P( B) = P( A).P( B | A) + P( B | A).P( A) = 0,18.0,52 + 0,15.(1 − 0,52) = 0,1656 b) Biết rằng học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật, xác suất học sinh đó là nam là: Theo Bayes, ta có: P( B | A).P( A) 0,15.0, 48 10 P( A | B) = = = . P( B) 0,1656 23 Bài toán 5. Ở một khu rừng nọ có 7 chú lùn, trong đó có 4 chú luôn nói thật, 3 chú còn lại luôn tự nhận mình nói thật nhưng xác suất để mỗi chú này nói thật là 0,5. Bạn Tuyết gặp ngẫu nhiên một 295
chú lùn. Gọi A là biến cố “Chú lùn đó luôn nói thật” và B là biến cố “Chú lùn đó tự nhận mình luôn nói thật". a) Tính xác suất của các biến cố A và B; b) Biết rằng chú lùn mà bạn Tuyết gặp tự nhận mình là người luôn nói thật. Tính xác suất để chú lùn đó luôn nói thật. Hướng dẫn giải 4 3 P( A) = ; P( B) = . a) 7 7 b) Ta có: P( B | A) = 0,5 Theo Bayes, ta có: 4 0,5. P( B | A).P( A) 7=2 P( A | B) = = P( B) 3 3 7 . Bài toán 6. Một loại linh kiện do nhà máy số I, số II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: 4%; 3%. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó. a) Tính xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt; b) Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất? Hướng dẫn giải A1 : “Linh kiện lấy ra là của nhà máy số I” A2 : “Linh kiện lấy ra là của nhà máy số II” A: “Linh kiện lấy ra là phế phẩm” Theo đề, ta có: 80 2 120 3 P( A1 ) = = ; P( A2 ) = = ; P( A | A1 ) = 0, 04; P( A | A2 ) = 0, 03. 200 5 200 5 Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: 2 3 P( A) = P( A | A1 ).P( A1 ) + P( A | A2 ).P( A2 ) = .0, 04 + .0, 03 = 0, 034. 5 5 Xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt là: P( A) = 1 − P( A) = 0,966. 2 .0, 04 P ( A | A1 ).P( A1 ) 5 8 P ( A1 | A) = = = . b) Ta có P ( A) 0, 034 17 3 P ( A | A2 ) P ( A2) .0, 03 9 P ( A2 | A) = =5 = P ( A) 0, 034 17 . Ta có: P( A1 | A)  P( A2 | A) . 296
Sản phẩm đó do nhà máy II sản suất là cao nhất. 4. KẾT LUẬN Bài viết đã hệ thống kiến thức lý thuyết xác suất có điều kiện; xác suất toàn phần, công thức Bayes thông qua bảng dữ liệu thống kê 2x2 và sơ đồ cây; sử dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện. Bài viết cũng cho thấy việc vận dụng kiến thức trên để giải quyết một bài toán thực tiễn. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bộ giáo dục và đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán. 2. Trường Đại học Sư phạm TP.HCM (2023), Chương trình đào tạo ngành Sư phạm Toán học. 3. Trường Đại học Thủ Dầu Một (2023), Chương trình đào tạo ngành Cử nhân Toán học. 4. Nguyễn Quang Báu (2009), Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, TXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 5. Đinh Văn Gắng (1999), Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, NXB Giáo dục. 6. Đinh Văn Gắng (1999), Bài tập lý thuyết xác suất và thống kê toán học, NXB Giáo dục. 7. Đặng Hùng Thắng (2010), Bài tập xác suất, NXB Giáo dục. 8. Đặng Hùng Thắng (2011), Bài tập thống kê, NXB Giáo dục. 297