Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 38: Xác suất

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 38: Xác suất giúp học sinh hiểu rõ các nguyên tắc tính xác suất trong các bài toán thực tế. Nội dung bao gồm công thức xác suất, xác suất có điều kiện, biến cố độc lập và các dạng bài tập trắc nghiệm từ cơ bản đến nâng cao. Chuyên đề hỗ trợ học sinh rèn luyện tư duy logic và kỹ năng giải bài toán xác suất hiệu quả. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu "Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 38" để học tập và củng cố kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 38: Xác suất

Chuyên đề 38 XÁC SUẤT TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM 1. Qui tắc đếm :  Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.  Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì: n ( A  B ) = n ( A) + n ( B ) .  Quy tắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc. 2. Hoán vị, Chính hợp, tổ hợp.  Hoán vị : + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. + Số các hoán vị Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: Pn = n! ( n  1)  Chỉnh hợp : + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) . Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. +Số các chỉnh hợp n! Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1  k  n) . Ta có: An = k (1  k  n ) ( n − k )!  Tổ hợp : + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) . Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. + Số các tổ hợp: n! Kí hiệu C nk là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0  k  n) . Ta có: Cn = k (0  k  n) . k !(n − k )! 3. Tính xác xuất : n ( A)  Tính xác suất bằng định nghĩa : Công thức tính xác suất của biến cố A : P ( A) = . n ( )  Tính xác suất bằng công thức : + Quy tắc cộng xác suất: * Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì P ( A  B ) = P ( A) + P ( B ) * Nếu các biến cố A1 , A2 , A3 ,..., Ak xung khắc nhau thì P ( A1  A2  ...  Ak ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P ( Ak ) + Công thức tính xác suất biến cố đối: Xác suất của biến cố A của biến cố A là: ( ) P A = 1 − P ( A) + Quy tắc nhân xác suất: * Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì Trang 1
P ( AB ) = P ( A) .P ( B ) * Một cách tổng quát, nếu k biến cố A1 , A2 , A3 ,..., Ak là độc lập thì P ( A1 , A2 , A3 , ..., Ak ) = P ( A1 ) .P ( A2 ) ...P ( Ak ) Câu 1. (Mã 102-2021-Lần 2) Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp gồm 17 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số chẵn bằng 7 9 9 8 A. . B. . C. . D. . 34 34 17 17 Câu 2. (Mã 101-2021-Lần 1) Từ một hộp chứa 12 quả bóng gồm 5 quả màu đó và 7 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu xanh bằng 7 2 1 5 A. . B. . C. . D. . 44 7 22 12 Câu 3. (Mã 103 - 2021 - Lần 1) Từ một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy 3 quả màu đỏ bằng 1 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 5 6 5 30 Câu 4. (Mã 102 - 2021 Lần 1) Từ một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu xanh bằng 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 6 30 5 5 Câu 5. (Mã 104 - 2021 Lần 1) Từ một hộp chứa 12 quả bóng gồm 5 quả màu đỏ và 7 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu đỏ bằng 1 7 5 2 A. . B. . C. . D. . 22 44 12 7 Câu 6. (Đề Tham Khảo 2021) Chọn ngẫu nhiên một số trong 15 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số chẵn bằng? 7 8 7 1 A. . B. . C. . D. . 8 15 15 2 Câu 7. (Mã 120-2021-Lần 2) Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp gồm 19 số nguyên dương đầu tiên. Xác xuất để chọn được hai số lẻ bằng 9 10 4 5 A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19 Câu 8. (Mã 101-2021-Lần 2) Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp gồm 19 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số chẵn bằng 10 5 4 9 A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19 Câu 9. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng 25 5 65 55 A. . B. . C. . D. . 42 21 126 126 Trang 2
Câu 10. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng 17 41 31 5 A. . B. . C. . D. . 42 126 126 21 Câu 11. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp 1;2;3;4;5;6;7 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng 9 16 22 19 A. . B. . C. . D. . 35 35 35 35 Câu 12. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp 1;2;3;4;5;6;7 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng 1 13 9 2 A. . B. . C. . D. . 5 35 35 7 Câu 13. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng có cùng tính chẵn lẻ bằng 4 2 2 1 A. . B. . C. . D. . 9 9 5 3 Câu 14. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng khác tính chẵn lẻ bằng 50 1 5 5 A. . B. . C. . D. . 81 2 18 9 Câu 15. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng có cùng tính chẵn lẻ bằng 4 32 2 32 A. . B. . C. . D. . 9 81 5 45 Câu 16. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp số có ba chữ số khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là số chẳn bằng 41 4 1 16 A. . B. . C. . D. . 81 9 2 81 Câu 17. Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A , 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C , ngồi và hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng 1 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 6 20 15 5 Câu 18. Cho đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm A. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Tính xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho. 2 31 28 52 A. . B. . C. . D. . 5 55 55 55 Trang 3
Câu 19. Từ một đội văn nghệ gồm 5 nam và 8 nữ cần lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca. Xác suất để trong 4 người được chọn đều là nam bằng C84 A54 C54 C84 A. . B. . C. . D. . 4 C13 C84 4 C13 4 A13 Câu 20. Một em bé có bộ 6 thẻ chữ, trên mỗi thẻ có ghi một chữ cái, trong đó có 3 thẻ chữ T, một thẻ chữ N, một thẻ chữ H và một thẻ chữ P. Em bé đó xếp ngẫu nhiên 6 thẻ đó thành một hàng ngang. Tính xác suất em bé xếp được thành dãy TNTHPT 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 120 720 6 20 Câu 21. Một chiếc hộp chứa 9 quả cầu gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có ít nhất 1 quả màu đỏ bằng 1 19 16 17 A. . B. . C. . D. . 3 28 21 42 Câu 22. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng tất cả các chữ số của số đó bằng 7? A. 165 . B. 1296 . C. 343 . D. 84 . Câu 23. Ban chỉ đạo phòng chống dịch Covid-19 của sở Y tế Nghệ An có 9 người, trong đó có đúng 4 bác sĩ. Chia ngẫu nhiên Ban đó thành ba tổ, mỗi tổ 3 người để đi kiểm tra công tác phòng dịch ở địa phương. Trong mỗi tổ, chọn ngẫu nhiên một người làm tổ trưởng. Xác suất để ba tổ trưởng đều là bác sĩ là 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 42 21 14 7 Câu 24. Cho tập S = 1;2;...;19;20 gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc . Xác S suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng là 5 7 3 1 A. . B. . C. . D. . 38 38 38 114 Câu 25. Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy song song. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 90%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 80%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là A. 98%. B. 2%. C. 80%. D. 72%. Câu 26. Giải bóng chuyền VTV cup gồm 12 đội tham gia, trong đó có 9 đội nước ngoài và 3 đội Việt Nam. Ban tổ chức bốc cho thăm ngẫu nhiên và chia thành 3 bảng đấu A, B, C mỗi bảng 4 đội. Xác suất để ba đội Việt Nam nằm ở 3 bảng gần nhất với số nào dưới đây? 11 3 39 29 A. . B. . C. . D. . 25 20 100 100 Câu 27. Xếp ngẫu nhiên 5 học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một dãy 5 ghế thẳng hàng (mỗi bạn ngồi một ghế). Tính xác suất để hai bạn A và B không ngồi cạnh nhau. 1 3 2 4 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 28. Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ nhóm 10 học sinh đó đi lao động. Tinh xác suất để trong 3 học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh nữ. 4 17 17 2 A. . B. . C. . D. . 9 24 48 3 Trang 4
Câu 29. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số chẵn A. 72000 . B. 64800 . C. 36000 . D. 60000 . Câu 30. Cho S là tập các số tự nhiên có 8 chữ số. Lấy một số bất kì của tập S . Tính xác suất để lấy được số lẻ và chia hết cho 9 . 3 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 8 9 9 18 Câu 31. Đội học sinh giỏi trường trung học phổ thông chuyên bến tre gồm có 8 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh. Xác suất để trong 8 học sinh được chọn có đủ 3 khối là 71131 35582 143 71128 A. . B. . C. . D. . 75582 3791 153 75582 Câu 32. Cho một đa giác đều 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O . Gọi X là tập hợp tất cả các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác trên. Tính xác suất P để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều. 144 7 23 21 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 136 816 136 136 Câu 33. Cho tập A = 1, 2,3, 4,5,6 . Gọi S là tập hợp các tam giác có độ dài ba cạnh là các phần tử của A . Chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộc S . Xác suất để phần tử được chọn là một tam giác cân bằng. 6 19 27 7 A. . B. . C. . D. . 34 34 34 34 Câu 34. Chọn ngẫu nhiên bốn số tự nhiên khác nhau từ 70 số nguyên dương đầu tiên. Tính xác suất để bốn số được chọn lập thành một cấp số nhân có công bội nguyên. 12 11 10 9 A. . B. . C. . D. . 916895 916895 916895 916895 Câu 35. Có 6 học sinh gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Tính xác suất để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của cả 3 lớp A, B, C. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 120 3 30 15 Câu 36. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất để tích số chấm 3 lần gieo là chẵn. 7 1 5 3 A. B. C. D. 8 8 8 8 Câu 37. Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh gồm 3 nam 3 nữ ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng 1 3 1 2 A. . B. . C. D. . 10 5 20 5 Câu 38. Xếp ngẫu nhiên 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C vào sáu ghế xếp quanh một bàn tròn (mỗi học sinh ngồi đúng một ghế). Tính xác suất để học sinh lớp C ngồi giữa 2 học sinh lớp B 2 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 13 10 7 14 Trang 5
Câu 39. Có 12 học sinh gồm 6 nam và 6 nữ ngồi vào hai hàng ghế đối diện nhau tùy ý. Xác suất để mỗi một em nam ngồi đối diện với một em nữ là? 1 4 8 16 A. . B. . C. . D. . 924 165 165 231 Câu 40. Có 50 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 50. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3 bằng 8 11 769 409 A. . B. . C. . D. . 89 171 2450 1225 Câu 41. Cho đa giác đều ( H ) có 30 đỉnh. Lấy tùy ý 3 đỉnh của ( H ) . Xác suất để 3 đỉnh lấy được tạo thành một tam giác tù bằng 39 39 45 39 A. . B. . C. . D. . 140 58 58 280 Câu 42. Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 10 , lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu. Xác suất để tích các số ghi trên 5 quả cầu đó chia hết cho 3 bằng 5 7 1 11 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 12 Câu 43. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A. Xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 25 bằng 43 1 11 17 A. . B. . C. . D. . 324 27 324 81 Câu 44. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn là một số chia hết cho 6. 13 2 17 11 A. . B. . C. . D. . 60 9 45 45 Câu 45. Trường trung học phổ thông Bỉm Sơn có 23 lớp, trong đó khối 10 có 8 lớp, khối 11 có 8 lớp, khối 12 có 7 lớp, mỗi lớp có một chi đoàn, mỗi chi đoàn có một em làm bí thư. Các em bí thư đều giỏi và rất năng động nên Ban chấp hành Đoàn trường chọn ngẫu nhiên 9 em bí thư đi thi cán bộ đoàn giỏi cấp thị xã. Tính xác suất để 9 em được chọn có đủ cả ba khối? 7345 7012 7234 7123 A. . B. . C. . D. . 7429 7429 7429 7429 Câu 46. Trước kì thi học sinh giỏi, nhà trường tổ chức buổi gặp mặt 10 em học sinh trong đội tuyển. Biết các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành cấp số cộng. Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế và mỗi ghế chỉ được ngồi một học sinh. Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 954 252 945 126 Câu 47. Người ta muốn chia tập hợp 16 học sinh gồm 3 học sinh lớp 12A, 5 học sinh lớp 12B và 8 học sinh lớp 12C thành hai nhóm, mỗi nhóm có 8 học sinh. Xác suất sao cho ở mỗi nhóm đều có học sinh lớp 12A và mỗi nhóm có ít nhất hai học sinh lớp 12B là Trang 6
42 84 356 56 A. . B. . C. . D. . 143 143 1287 143 Câu 48. Một hộp đựng 15 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 15. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ trong hộp. Xác suất để tổng các số ghi trên 6 tấm thẻ được chọn là một số lẻ bằng. 71 56 72 56 A. . B. . C. . D. . 143 715 143 143 Câu 49. Một số điện thoại có bảy chữ số, trong đó chữ số đầu tiên là 8 . Số điện thoại này được gọi là may mắn nếu bốn chữ số đầu là chữ số chẵn phân biệt và ba chữ số còn lại là lẻ, đồng thời hai chữ số 0 và 9 không đứng liền nhau. Tính xác suất để một người khi lắp điện thoại ngẫu nhiên được số điện thoại may mắn. 5100 2850 5100 2850 A. P( A) = 7 . B. P( A) = . C. P( A) = . D. P( A) = . 10 107 106 106 Câu 50. Cho tập hợp A = 1; 2; 3; 4; 5 . Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S , tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 . 1 3 22 2 A. . B. . C. . D. . 30 25 25 25 Câu 51. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập thành từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Tính xác suất để số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn. 24 144 72 18 A. . B. . C. . D. . 35 245 245 35 Câu 52. Cho tập S = 1;2;3;...;19;20 gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S . Xác suất để ba số lấy được lập thành một cấp số cộng là 7 5 3 1 A. . B. . C. . D. . 38 38 38 114 Câu 53. Một bàn cờ vua gồm 8 8 ô vuông, mỗi ô có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình chữ nhật, hai ô là hình chữ nhật,… Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị bằng 5 17 51 29 A. . B. . C. . D. . 216 108 196 216 Trang 7
Câu 54. Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số lập được từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 số từ tập M . Xác suất để cả 2 số lấy được đều có chữ số hàng chục nhỏ hơn các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị là 8 5 296 695 A. . B. . C. . D. . 21 16 2051 7152 Câu 55. Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A , 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C , ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng 1 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 6 20 15 5 Câu 56. Có 7 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 7 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A , 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C , ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác suất để 2 học sinh lớp C không ngồi cạnh nhau và cũng không ngồi cạnh học sinh lớp A bằng ( 2.2.3)! 2!2! 1 1 A. . B. . C. . D. . 7! 7! 70 105 Câu 57. Một hộp có chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và n viên bi vàng ( các viên bi kích thước như nhau, n là số nguyên dương). Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Biết xác suất để trong ba viên vi lấy 45 được có đủ 3 màu là . Tính xác suất P để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi 182 đỏ. 135 177 45 31 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 364 182 182 56 Câu 58. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số mà các chữ số đều khác 0. Lấy ngẫu nhiên một số từ S . Xác suất để lấy được số chỉ có mặt 3 chữ số gần với số nào nhất trong các số sau? A. 0,34 . B. 0,36 . C. 0,21 . D. 0,13 . Câu 59. Một xưởng sản xuất thực phẩm gồm 4 kỹ sư chế biến thực phẩm, 3 kĩ thuật viên và 13 công nhân. Để đảm bảo sản xuất thực phẩm chống dịch Covid 19, xưởng cần chia thành 3 ca sản xuất theo thời gian liên tiếp nhau sao cho ca I có 6 người và 2 ca còn lại mỗi ca có 7 người. Tính xác suất sao cho mỗi ca có 1 kĩ thuật viên, ít nhất một kĩ sư chế biến thực phẩm. 440 441 41 401 A. . B. . C. . D. . 3320 3230 230 3320 Câu 60. Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có năm ghế. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam và 5 nữ ngồi vào hai dãy ghế sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng 1 1 8 8 A. . B. . C. . D. . 3 30 63 37 Câu 61. Một con châu chấu nhảy từ gốc tọa độ O ( 0;0 ) đến điểm A ( 9;0 ) dọc theo trục Ox của hệ trục tọa độ Oxy . Con châu chấu có bao nhiêu cách nhảy để đến điểm A biết mỗi lẫn nó có thể nhảy 1 bước hoặc 2 bước( 1 bước có độ dài 1 đơn vị). A. 47 . B. 51 . C. 55 D. 54 . Câu 62. Hai bạn A và B mỗi bạn viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để các chữ số có mặt ở hai số bạn A và B viết giống nhau bằng Trang 8
31 1 1 25 A. . B. . C. . D. . 2916 648 108 2916 Câu 63. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ tập X = 0;1;2;3;4;5;6;7. Rút ngẫu nhiên một số thuộc tập S. Tính xác suất để rút được số mà trong số đó, chữ số đứng sau luôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước. 2 11 3 3 A. B. C. D. 7 64 16 32 Câu 64. Đội thanh niên tình nguyện của một trường THPT gồm 15 HS, trong đó có 4 HS khối 12, 5 HS khối 11 và 6 HS khối 10. Chọn ngẫu nhiên 6 HS đi thực hiện nhiệm vụ. Tính xác suất để 6 HS được chọn có đủ 3 khối. 4248 757 151 850 A. . B. . C. . D. . 5005 5005 1001 1001 Câu 65. Từ một hộp chứa 12 quả cầu, trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy ngẫu nhiên 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu bằng: 23 21 139 81 A. . B. . C. . D. 44 44 220 220 Câu 66. (Đề minh họa 2022) Từ một hộp chứa 16 quả cầu gồm 7 quả màu đỏ và 9 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Xác suất để lấy được hai quả có màu khác nhau bằng 7 21 3 2 A. , B. , C. , D. , 40 40 10 15 Câu 67. (Mã 101-2022) Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn  40;60 . Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng 4 2 3 3 A. B. C. D. 7 5 5 7 Câu 68. (Mã 102 - 2022) Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn  40;60 . Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng 2 4 3 3 A. . B. . C. . D. . 5 7 7 5 Câu 69. (Mã 103 - 2022) Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn 30;50 . Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng 11 8 13 10 A. . B. . C. . D. . 21 21 21 21 Câu 70. (Đề Minh Họa 2023) Một hộp chứa 15 quả cầu gồm 6 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 6 và 9 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 9 . Lấy ngẫu nhiên hai quả từ hộp đó, xác suất để lấy được hai quả khác màu đồng thời tổng hai số ghi trên chúng là số chẵn bằng 9 18 4 1 A. . B. . C. . D. . 35 35 35 7 Câu 71. (Mã 104-2023) Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để trong 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng 71 72 128 15 A. . B. . C. . D. . 143 143 143 143 Trang 9
Câu 72. (Mã 103 - 2023) Goi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để chọn được số có tổng hai chữ số bằng 8 là 1 4 8 7 A. . B. . C. . D. . 9 81 81 81 Câu 73. (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - Lần 1 - 2022 - 2023) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau và khác 0 , chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp S, xác suất để chọn được số mà không có hai chữ số cuối cùng không cùng tính chẵn, lẻ là 5 4 25 7 A. B. C. D. 18 9 38 18 Câu 74. (THPT-Thị Xã Quảng Trị-Lần 1-2022 2023) Một hộp chứa 16 quả cầu gồm 6 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 6 , năm quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 5 và năm quả cầu vàng được đánh số từ 1 đến 5 . Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số bằng 1 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 7 28 28 14 Câu 75. (THPT Phan Châu Trinh - Đà Nẵng - Năm 2022 - 2023) Trên măt phằng Oxy , ta xét đa giác ABCD với các điềm A(1;4), B(5;4), C(1;0), D( 3;0) . Gọi S là tập hợp tất cả các điểm M ( x; y) với x, y nằm bền trong (kề cả trên cạnh) của đa giác ABCD . Lấy ngẫu nhiên một điềm M ( x; y) S . Tính xác suất để 2x y 2 . 15 14 11 16 A. . B. . C. . D. . 25 25 25 25 Câu 76. (THPT Ninh Giang - Hải Dương - Lần 1 - Năm 2022 - 2023) Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc được chế tạo cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp độc lập. Gọi m là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, n là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai. Xác suất để phương trình x2 + mx + n = 0 có nghiệm bằng: 4 19 17 5 A. . B. . C. . D. . 9 36 36 9 Câu 77. (THPT Nguyễn Khuyến- TPHCM- lần 1- 2022-2023) Một hộp gồm 23 quả cầu được đánh số từ 1 đến 23 . Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để lấy được 2 quả cầu và tích hai số ghi trên 2 quả cầu đó là một số chia hết cho 6 bằng 8 95 4 98 A. . B. . C. . D. . 23 253 11 253 Câu 78. (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - 2023 - lần 1) Một hộp có 6 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng. 190 310 6 12 A. . B. . C. . D. . 1001 1001 143 143 Câu 79. (LIÊN TRƯỜNG NGHỆ AN- 2022-2023) Hội chợ Xuân ở thành phố Vinh có một dãy gồm 15 gian hàng lưu niệm liên tiếp nhau. Một doanh nghiệp X bốc thăm chọn ngẫu nhiên 4 gian hàng trong 15 gian hàng trên để trưng bày sản phẩm. Xác suất để trong 4 gian hàng chọn được của doanh nghiệp X có đúng 3 gian hàng kề nhau bằng 44 4 22 2 A. . B. . C. . D. . 455 55 455 33 Câu 80. (THPT Liên trường -Hải Phòng-Năm học 2022-2023) Xếp 10 quyển sách tham khảo khác nhau gồm: 1 quyển sách Văn, 3 quyển sách tiếng Anh và 6 quyển sách Toán (trong đó có hai quyển Toán T1 và Toán T2) thành một hàng ngang trên giá sách. Tính xác suất để mỗi quyển sách Tiếng Anh đều được xếp ở Trang 10
giữa hai quyển sách Toán, đồng thời hai quyển Toán T1 và Toán T2 luôn xếp cạnh nhau. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 300 210 420 600 Câu 81. Chọn ngẫu nhiên ba số a, b, c trong tập hợp S = 1;2;3;...;20 . Biết xác suất để ba số tìm được m m thỏa mãn a2 + b2 + c2 chia hết cho 3 là , với m, n là các số nguyên dương, phân số tối giản. n n S = m + n bằng A. 58. B. 127. C. 85. D. 239. Câu 82. (THPT Kiến Thụy – Hải Phòng – 2022 - 2023) Một hộp chứa 16 quả cầu gồm 8 quả cầu màu xanh đánh số từ 1 đến 8 và 8 quả cầu màu đỏ đánh số từ 9 đến 16. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đã cho. Xác suất để lấy được 3 quả cầu có đủ hai màu đồng thời tích của các số ghi trên chúng là số chẵn bằng 5 2 3 25 A. . B. . C. . D. . 7 7 28 28 Câu 83. (Liên trường huyện Nam Trực-Nam Định năm 2022-2023) Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để lấy được 2 quả cầu khác màu 8 5 6 5 A. . B. . C. . D. . 11 11 11 22 Câu 84. (Trường THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh 2022-2023) Trong năm học 2022-2023, khối 12 trường THPT Hồng Lĩnh có 12 lớp được đặt tên theo thứ tự 12A1 đến 12A12. Nhằm chuẩn bị cho đợt sinh hoạt 92 năm ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3/1931-26/3/2023), Đoàn trường chọn ngẫu nhiên 4 lớp 12 để tổ chức sinh hoạt mẫu. Tính xác suất để trong 4 lớp được chọn có đúng 3 lớp có thứ tự liên tiếp nhau. 14 16 56 8 A. P = B. P = C. P = D. P = 99 99 495 55 Câu 85. (THPT - Hoàng Hoa Thám - ĐÀ NẲNG - 2022 - 2023) Một hộp chứa 15 quả cầu gồm 6 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 6 và 9 quả mầu xanh được đánh số từ 1 đến 9 . Lấy ngẫu nhiên hai quả từ hộp đó, xác xuất để lấy được hai quả khác màu, khác số và có ít nhất một quả ghi số chẵn, bằng 2 13 9 12 A. . B. . C. . D. . 7 35 35 35 Câu 86. (THPT Hàm Long - Bắc Ninh - Lần 1 - Năm 2022 - 2023) Người ta sử dụng 7 cuốn sách Toán, 8 cuốn sách Vật lí, 9 cuốn sách Hóa học (các cuốn sách cùng loại giống nhau) để làm phần thưởng cho 12 học sinh, mỗi học sinh được 2 cuốn sách khác loại. Trong số 12 học sinh trên có hai bạn Tâm và Huy. Tính xác suất để hai bạn Tâm và Huy có phần thưởng giống nhau. 5 1 19 1 A. . B. . C. . D. . 18 11 66 22 Câu 87. (SGD Thanh Hóa - Lần 02 - Năm 2022 - 2023) Một hộp đựng 9 viên bi được đánh số từ 1 đến 9. Bạn Hòa bốc ngẫu nhiên 6 viên bi và xếp thành số có 6 chữ số. Xác suất để bạn Hòa xếp được có chữ số 4 và 5 đứng cạnh nhau là 5 5 4 1 A. . B. . C. . D. . 72 36 25 252 Câu 88. (SGD Thái Nguyên - Lần 2 - 2022 - 2023) Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20 . Chọn ngẫu nhiên 8 tấm, xác suất để chọn được 5 tấm ghi số lẻ, 3 tấm ghi số chẵn trong đó có ít nhất 2 tấm ghi số chia hết cho 4 bằng Trang 11
417 90 504 41 A. . B. . C. . D. . 4199 4199 4199 4199 Câu 89. (SGD Sóc Trăng - Năm 2022 - 2023) Ba bạn An, Bình, Chi lần lượt viết ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc tập hợp M = 1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Xác suất để ba số được viết ra có tổng là một số chẵn bằng 364 41 13 164 A. . B. . C. . D. . 729 126 64 729 Câu 90. (SGD Phú Thọ - Lần 1- 2022-2023) Trong kho đèn trang trí có 7 bóng đèn loại I và 8 bóng đèn loại II, các bóng đèn trong kho khác nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra 7 bóng đèn bất kì. Xác suất để 7 bóng đèn lấy ra có đủ hai loại và số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II bằng 868 868 521 521 A. . B. . C. . D. 2145 2143 2145 2149 Câu 91. (SGD Phú Thọ - Lần 1- 2022-2023) Trong kho đèn trang trí có 8 bóng đèn loại I và 12 bóng đèn loại II, các bóng đèn trong kho khác nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra 8 bóng đèn bất kì. Xác suất để 8 bóng đèn lấy ra có đủ hai loại và số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II bằng 7132 7132 7084 7132 A. . B. . C. . D. . 62985 62987 62985 62983 Câu 92. (SGD Ninh Bình-Lần 1- 2022-2023) Một nhóm gồm 2 người đàn ông, 3 người phụ nữ và 4 trẻ em. Chọn ngẫu nhiên 4 người từ nhóm người đã cho. Xác suất để 4 người được chọn có cả đàn ông, phụ nữ và trẻ em bằng? 8 4 2 3 A. . B. . C. . D. . 21 7 7 7 Câu 93. (SGD Ninh Bình-Lần 1- 2022-2023) Một nhóm gồm 2 người đàn ông, 3 người phụ nữ và 4 trẻ em. Chọn ngẫu nhiên 4 người từ nhóm người đã cho. Xác suất để 4 người được chọn có cả đàn ông, phụ nữ và trẻ em bằng? 8 4 2 3 A. . B. . C. . D. . 21 7 7 7 Câu 94. (THPT Lương Thế Vinh-Kon Tum-2022-2023) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc đoạn 20;50 . Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 28 10 23 9 A. B. C. D. . 31 31 31 31 Câu 95. (THPT Lương Thế Vinh- Kiên Giang-2022-2023) Có 5 bông hoa màu đỏ, 6 bông hoa màu xanh và 7 bông hoa màu vàng (các bông hoa đều khác nhau). Một người chọn ngẫy nhiên ra 4 bông hoa từ các bông trên. Xác suất để người đó chọn được bốn bông hoa có cả ba màu là 35 11 11 35 A. . B. . C. . D. . 68 612 14688 1632 Câu 96. (SGD Hà Tĩnh - Online - Lần 1 – 2022-2023) Một hộp chứ 7 viên bi đỏ, 8 viên bi trắng, 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên trong hộp ra 4 viên bi. Tính xác suất để chọn được 4 viên bi trong đó có nhiều nhất 2 viên bi vàng. 13 12 18 15 A. . B. . C. . D. . 14 13 19 16 Câu 97. (SGD Cần Thơ - Lần 01 - 2022 - 2023) Một hộp đựng 19 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 19 . Chọn ngẫu nhiên 8 tấm thẻ trong hộp. Xác suất để tổng các số ghi trên 8 tấm thẻ được chọn là một số lẻ bằng Trang 12
1760 2036 2096 2086 A. . B. . C. . D. . 4199 4199 4199 4199 Câu 98. (SGD Cần Thơ - Lần 01 - 2022 - 2023) Một hộp đựng 19 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 19 . Chọn ngẫu nhiên 8 tấm thẻ trong hộp. Xác suất để tổng các số ghi trên 8 tấm thẻ được chọn là một số lẻ bằng 1760 2036 2096 2086 A. . B. . C. . D. . 4199 4199 4199 4199 Câu 99. SGD Bình Thuận - Lần 01 - 2022 - 2023 Một hộp chứa 15 quả cầu gồm 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu vàng. Các quả cầu đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 8 quả từ hộp đó, xác suất để số quả cầu còn lại có đủ ba màu bằng 661 8 6 54 A. .. B. . . C. . . D. . 715 15 7 715 Câu 100. SGD Bình Thuận - Lần 01 - 2022 - 2023 Một hộp chứa 15 quả cầu gồm 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu vàng. Các quả cầu đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 8 quả từ hộp đó, xác suất để số quả cầu còn lại có đủ ba màu bằng 661 8 6 54 A. .. B. . . C. . . D. . 715 15 7 715 Câu 101. Một nhóm gồm 3 học sinh lớp 10 , 3 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 được xếp vào ngồi một hàng có 9 ghế, mỗi em ngồi một ghế. Xác xuất để 3 học sinh lớp 10 không ngồi 3 ghế liền nhau bằng: 5 11 1 7 A. B. C. D. 12 12 12 12 Câu 102. Một hộp chứa 15 quả cầu gồm 6 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 6 và 9 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 9 . Lấy ngẫu nhiên hai quả từ hộp đó, xác suất để lấy được hai quả khác màu đồng thời tổng hai số ghi trên chúng là số chẵn bằng 9 18 4 1 A. . B. . C. . D. . 35 35 35 7 Câu 103. (Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 01 - Năm 2022 -2023) Cho đa giác đều P gồm 16 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh là đỉnh của P . Tính xác suất để tam giác chọn được là tam giác vuông. 3 1 2 6 A. . B. . C. . D. . 14 5 3 7 Câu 104. (Chuyên Vinh - Lần 01 - Năm 2022 - 2023) Có 6 bạn nam trong đó có Hoàng và 3 bạn nữ xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Xác suất để không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau và Hoàng đứng ở ngoài cùng bằng 10 5 5 5 A. . B. . C. . D. . 21 126 21 63 Câu 105. (Chuyên KHTN - Hà Nội - Lần 1B - 2022 - 2023) Cho tập M gồm các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập 0;1;2;3;4;5 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M. Tính xác xuất để số được chọn có chữ số hàng trăm nhỏ hơn chữ số hàng chục. 3 2 1 2 A. . B. . C. . D. . 5 5 3 3 Câu 106. (Chuyên Hạ Long - Lần 2 - 2022-2023) Một hộp có 5 quả cầu vàng, 7 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả cầu. Tính xác suất để 4 quả cầu lấy được có đủ 3 màu khác nhau. 165 35 35 225 A. . B. . C. . D. . 408 612 68 3060 Trang 13
Câu 107. (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - Lần 2 - 2022 - 2023) Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ. Gọi P là xác suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó P bằng: 100 115 1 118 A. . B. . C. . D. . 231 231 2 231 Trang 14
Chuyên đề 38 XÁC SUẤT 1. Qui tắc đếm :  Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.  Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì: n ( A  B ) = n ( A) + n ( B ) .  Quy tắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc. 2. Hoán vị, Chính hợp, tổ hợp.  Hoán vị : + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. + Số các hoán vị Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: Pn = n! ( n  1)  Chỉnh hợp : + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) . Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. +Số các chỉnh hợp n! Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1  k  n) . Ta có: An = k (1  k  n ) ( n − k )!  Tổ hợp : + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) . Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. + Số các tổ hợp: n! Kí hiệu C nk là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0  k  n) . Ta có: Cn = k (0  k  n) . k !(n − k )! 3. Tính xác xuất : n ( A)  Tính xác suất bằng định nghĩa : Công thức tính xác suất của biến cố A : P ( A) = . n ( )  Tính xác suất bằng công thức : + Quy tắc cộng xác suất: * Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì P ( A  B ) = P ( A) + P ( B ) * Nếu các biến cố A1 , A2 , A3 ,..., Ak xung khắc nhau thì P ( A1  A2  ...  Ak ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P ( Ak ) + Công thức tính xác suất biến cố đối: Xác suất của biến cố A của biến cố A là: ( ) P A = 1 − P ( A) + Quy tắc nhân xác suất: * Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P ( AB ) = P ( A) .P ( B ) Trang 1
* Một cách tổng quát, nếu k biến cố A1 , A2 , A3 ,..., Ak là độc lập thì P ( A1 , A2 , A3 , ..., Ak ) = P ( A1 ) .P ( A2 ) ...P ( Ak ) Câu 1. (Mã 102-2021-Lần 2) Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp gồm 17 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số chẵn bằng 7 9 9 8 A. . B. . C. . D. . 34 34 17 17 Lời giải Chọn A  Ta có: Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp gồm 17 số nên n ( ) = C17 . 2  Gọi A :” là biến cố chọn được hai số chẵn” ta có n ( A) = C82 . C82 7  Khi đó P ( A ) = 2 = C17 34 Câu 2. (Mã 101-2021-Lần 1) Từ một hộp chứa 12 quả bóng gồm 5 quả màu đó và 7 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu xanh bằng 7 2 1 5 A. . B. . C. . D. . 44 7 22 12 Lời giải Chọn A Không gian mẫu n ( ) = C12 = 220 . 3 Gọi A là biến cố: “Lấy được 3 quả màu xanh” n ( A) 35 7 n ( A) = C7 = 35  P ( A) = 3 = = . n (  ) 220 44 Câu 3. (Mã 103 - 2021 - Lần 1) Từ một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy 3 quả màu đỏ bằng 1 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 5 6 5 30 Lời giải Chọn D Ta có: n ( ) = C10 . Gọi biến cố A:“3 quả lấy ra màu đỏ”. Suy ra n ( A) = C4 . 3 3 n ( A) 1 Vậy Xác suất để lấy 3 quả màu đỏ bằng P ( A) = = . n (  ) 30 Câu 4. (Mã 102 - 2021 Lần 1) Từ một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu xanh bằng 1 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 6 30 5 5 Lời giải Chọn A Trang 2
3 Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ 10 quả bóng đã cho có C10 cách. 3 Lấy được 3 quả màu xanh từ 6 quả màu xanh đã cho có C6 cách. 3 C6 1 Vậy xác suất để lấy được 3 quả màu xanh là P = 3 = . C10 6 Câu 5. (Mã 104 - 2021 Lần 1) Từ một hộp chứa 12 quả bóng gồm 5 quả màu đỏ và 7 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu đỏ bằng 1 7 5 2 A. . B. . C. . D. . 22 44 12 7 Lời giải Chọn A Không gian mẫu n ( ) = C12 . 3 Gọi A là biến cố “ cả 3 quả bóng lấy ra đều là màu đỏ”  n ( A) = C5 . 3 n ( A) C5 3 1 Xác suất để lấy được 3 quả màu đỏ là: P ( A) = = 3 = . n (  ) C12 22 Câu 6. (Đề Tham Khảo 2021) Chọn ngẫu nhiên một số trong 15 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số chẵn bằng? 7 8 7 1 A. . B. . C. . D. . 8 15 15 2 Lời giải Chọn C Chọn ngẫu nhiên một số trong 15 số nguyên dương đầu tiên có 15 cách chọn Số cách chọn số nguyên dương chẵn trong số 15 số nguyên đầu tiên là 7 7  Xác suất để chọn được số chẵn bằng . 15 Câu 7. (Mã 120-2021-Lần 2) Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp gồm 19 số nguyên dương đầu tiên. Xác xuất để chọn được hai số lẻ bằng 9 10 4 5 A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19 Lời giải Chọn D Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp gồm 19 số nguyên dương đầu tiên ta có n (  ) = C19 . 2 Trong 19 số nguyên dương đầu tiên có 10 số lẻ và 9 số chẵn nên số cách chọn được hai số lẻ từ 19 số này là: C10 . 2 2 C10 5 Vậy xác suất cần tìm là: 2 = . C19 19 Câu 8. (Mã 101-2021-Lần 2) Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp gồm 19 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số chẵn bằng 10 5 4 9 A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19 Lời giải Chọn C Trang 3
Gọi X là tập hợp 19 số nguyên dương đầu tiên. Suy ra X = 1;2;3;...;18;19 Khi đó tập X có 19 phần tử, trong đó có 9 phần là số chẵn, 10 phần tử là số lẻ. Chọn đồng thời hai số từ tập X , ta có C19 (cách chọn) 2 Gọi  là không gian mẫu của phép thử chọn đồng thời hai số từ tập X . Suy ra số phần tử của không gian mẫu: n ( ) = C19 2 Gọi A là biến cố: “Chọn được hai số chẵn từ tập X” Khi đó số phần tử của biến cố A : n ( A) = C92 n ( A) C92 4 Vậy xác suất của biến cố A : P ( A) = = 2 = . n (  ) C19 19 Câu 9. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng 25 5 65 55 A. . B. . C. . D. . 42 21 126 126 Lời giải Chọn A Có A 9 cách tạo ra số có 4 chữ số phân biệt từ X = 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 . 4  S = A9 = 3024 . 4   = 3024 . Gọi biến cố A:”chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn”. Nhận thấy không thể có 3 chữ số chẵn hoặc 4 chữ số chẵn vì lúc đó luôn tồn tại hai chữ số chẵn nằm cạnh nhau. Trường hợp 1: Cả 4 chữ số đều lẻ. 4 Chọn 4 số lẻ từ X và xếp thứ tự có A 5 số. Trường hợp 2: Có 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn. Chọn 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn từ X và xếp thứ tự có C3 .C1 .4! số. 5 4 Trường hợp 3: Có 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ. 2 2 Chọn 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn từ X có C5 .C 4 cách. Xếp thứ tự 2 chữ số lẻ có 2! cách. Hai chữ số lẻ tạo thành 3 khoảng trống, xếp hai chữ số chẵn vào 3 khoảng trống và sắp thứ tự có 3! cách.  trường hợp này có C5 .C 2 .2!.3! số. 2 4 Trang 4
A A5 + C3 .C1 .4!+ C5 .C2 .2!.3! 25 4 2 Vậy P ( A) = = 5 4 4 = .  3024 42 Câu 10. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng 17 41 31 5 A. . B. . C. . D. . 42 126 126 21 Lời giải Chọn A Số các phần tử của S là A94 = 3024 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S có 3024 (cách chọn). Suy ra n (  ) = 3024 . Gọi biến cố A : “ Chọn được số không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ”. Trường hợp 1: Số được chọn có 4 chữ số chẵn, có 4! = 24 (số). Trường hợp 2: Số được chọn có 1 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn, có 5.4.4! = 480 (số). Trường hợp 3: Số được chọn có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn, có 3. A52 . A4 = 720 (số). 2 Do đó, n ( A) = 24 + 480 + 720 = 1224 . n ( A) 1224 17 Vậy xác suất cần tìm là P ( A) = = = . n (  ) 3024 42 Câu 11. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp 1;2;3;4;5;6;7 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng 9 16 22 19 A. . B. . C. . D. . 35 35 35 35 Lời giải Chọn C Không gian mẫu  = A7 = 840 . 4 Gọi biến cố A thỏa mãn yêu cầu bài toán. Có các trường hợp sau: TH1: 4 chữ số đều lẻ: 4! số. TH2: 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn: C4 .C3 .4! số. 3 1 TH3: 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn: C4 .C32 .2!. A32 số. 2 528 22 Như vậy A = 528 . Vậy xác suất P ( A) = = . 840 35 Câu 12. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp 1;2;3;4;5;6;7 . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng 1 13 9 2 A. . B. . C. . D. . 5 35 35 7 Trang 5
Lời giải Chọn B Số phần tử không gian mẫu là n ( ) = A7 . 4 Để chọn được số thỏa mãn bài toán, ta có các trường hợp: + Trường hợp số được chọn có đúng 1 chữ số lẻ: Chọn chữ số lẻ trong 4 số lẻ: có 4 cách. Xếp các chữ số lấy được có 4! cách. Trường hợp này có 4  4! = 96 cách. + Trường hợp số được chọn có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn. Lấy ra 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn có C4  C32 cách. 2 Xếp các chữ số chẵn có 2 cách, tiếp theo xếp 2 chữ số lẻ vào 3 vị trí ngăn cách bởi các số chẵn có A32 cách. Suy ra trường hợp này có C4  C3  2  A3 = 216 cách. 2 2 2 Số kết quả thuận lợi cho biến cố 96 + 216 = 312 312 13 Xác suất của biến cố P = 4 = . A7 35 Câu 13. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng có cùng tính chẵn lẻ bằng 4 2 2 1 A. . B. . C. . D. . 9 9 5 3 Lời giải Chọn A Gọi số cần lập là a1a2 a3a4 a5 a6 , ai 0,1,...,9 ; i = 1,6; a1  0 . Gọi A là biến cố: “chọn được số tự nhiên thuộc tập S sao cho số đó có hai chữ số tận cùng có cùng tính chẵn lẻ”. Do đó n ( ) = 9. A9 = 136080 . 5 Trường hợp 1: a1 chẵn và hai chữ số tận cùng chẵn. Số cách lập: 4. A4 . A7 = 10080 . 2 3 Trường hợp 2: a1 chẵn và hai chữ số tận cùng lẻ. Số cách lập: 4. A52 . A7 = 16800 . 3 Trường hợp 3: a1 lẻ và hai chữ số tận cùng chẵn. Số cách lập: 5. A52 . A7 = 21000 . 3 Trường hợp 4: a1 lẻ và hai chữ số tận cùng lẻ. Số cách lập: 5. A4 . A7 = 12600 . 2 3 Xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng có cùng tính chẵn lẻ bằng: n ( A) 60480 4 P ( A) = = = . n (  ) 1360809 9 Câu 14. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng khác tính chẵn lẻ bằng 50 1 5 5 A. . B. . C. . D. . 81 2 18 9 Lời giải Chọn D Trang 6