Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán năm 2014 - 2015

Chia sẻ: Nguyễn Năng Suất | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:83

Thêm vào BST

Báo xấu

279
lượt xem 52
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán năm 2014 - 2015 giới thiệu về cấu trúc đề thi Đại học môn Toán năm 2014, cách làm bài thi, một số chủ đề ôn tập như hình học không gian oxyz, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng, tìm điểm,... Mời các bạn tham khảo tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán năm 2014 - 2015

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 20142015 **************************** A.CẤU TRÚC ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014 (Tham khảo) Câu I (2 điểm): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)... Câu II (1 điểm): Biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác. Câu III (1 điểm): Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số. Câu IV (1 điểm): Tìm giới hạn. Tìm nguyên hàm, tính tích phân. Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Câu V (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. Các bài toán về khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, khoảng cách gữa 2 đường thẳng chéo nhau. Câu VI (1 điểm): Bài toán tổng hợp.(Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số) Câu VII (1 điểm):Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng . Xác định tọa độ của điểm, vectơ. Đường tròn, đường thẳng, elip. Câu VIII (1 điểm):Phương pháp tọa độ trong không gian: Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu. Tìm điểm thoả điều kiện cho trước. Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Câu IX (1 điểm):Số phức Tổ hợp, xác suất. B.CÁCH LÀM BÀI THI: Khi làm bài thi chú ý không cần theo thứ tự của đề thi mà theo khả năng giải được câu nào trước thì làm trước. Khi nhận được đề thi, cần đọc thật kỹ để phân định đâu là các câu hỏi quen thuộc và dễ thực hiện ưu tiên giải trước, các câu hỏi khó nên giải quyết sau. Có thể ta đánh giá một câu hỏi nào đó là dễ và làm vào giấy thi nhưng khi làm mới thấy là khó thì nên dứt khoát chuyển qua câu khác, sau đó còn thì giờ hãy quay trở lại giải tiếp. Khi gặp đề thi không khó thì nên làm rất cẩn thận, đừng chủ quan để xảy ra các sai sót do cẩu thả; 1
còn với đề thi có câu khó thì đừng nên nản lòng sớm mà cần kiên trì suy nghĩ. Phải biết tận dụng thời gian trong buổi thi để kiểm tra các sai sót (nếu có) và tập trung suy nghĩ để giải các câu khó còn lại (nếu gặp phải). Khi làm bài thi bằng nhiều cách khác nhau mà đắn đo không biết cách nào đúng sai thì không nên gạch bỏ phần nào hết để giám khảo tự tìm chỗ đúng để cho điểm. C. MỘT SỐ CHỦ ĐỀ ÔN TẬP PHẦN I: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ: uuur r r Cho a = (a1;a2;a3),b = (b1;b2;b3) 10. AB = (xB − xA ,yB − yA ,zB − zA ) r r uuur 1. a b = ( a1 b1,a2 b2,a3 b3 ) 11. AB = AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 r r r r 2. k.a = ( ka1,ka2,ka3 ) ( ) rrr 12. a,b,c đồng phẳng � a �b .c = 0 r r r ( ) a1 = b1 rrr r r 13. a,b,c không đồng phẳng ‫�ٹ‬a b .c 0 3. a = b � a2 = b2 x A xB y A yB z A z B a3 = b3 14.M là trung điểmcủa AB thì M , , rr 2 2 2 4. a.b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 15. G là trọng tâm tam giác ABC r 5. a = a12 + a22 + a32 x x B xC y A y B y C z A z B z C G A , , , rr 3 3 3 r r a.b ur uur ur 6. cos(a;b) = ur uur 16. Véctơ đơn vị: e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1) a.b 17. M ( x,0,0) Ox; N (0, y,0) Oy; K (0,0, z ) Oz r r r r r r r a a a 18. M ( x, y,0) Oxy; N (0, y, z ) Oyz; K ( x,0, z ) Oxz ng ph��ng b � a = k.b � a�b = 0 � 1 = 7. a cu� 2= 3 1 uuur uuur 1 2 2 2 b b b 19. S∆ABC = AB �AC = a + a2 + a3 1 2 3 r r rr 2 2 1 8. a ⊥ b � a.b = 0 � a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0 1 uuur uuur uuur 20. VABCD = (AB AC).AD r r r r �a a a a a a � 6 9. a�b = �a;b�= � 2 3 , 3 1 , 1 2 � � � �b b b b b b � AD). AA / � 2 3 3 1 1 2� 21. V ABCD. A/ B / C / D / ( AB 2/ Mặt cầu : 2.1.Phương trình maët caàu taâm I(a ; b ; c), baùn kính r ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = r 2 2 2 2 (1) Phương trình x + y + z +2Ax+2By+2Cz + D = 0 (2) ( v�� 2 2 2 i A 2 + B2 + C2 − D > 0 ) laø phöông trình maët caàu Taâm I(-A ; -B ; -C) vaø r = A 2 + B2 + C2 − D 2..2 Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu Cho (S): ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = r 2 vaø 2 2 2 mp( ): Ax + By + Cz + D = 0 2
Gọi d = d(I,( )) là khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp( ):  d > r : (S) ( ) =  d = r : ( ) tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, : tieáp dieän)  d
3.Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñöôøng thaúng : Cho 2 đường thẳng d1 : có véctơ chỉ phương a và đi qua M1, d2 : có véctơ chỉ phương b và đi qua M2 r r r r r r a^b = 0 a^b = 0 * d1// d2 r uuuuur r *d1 d2 r uuuuur r a^M 1M 2 0 a^M 1M 2 = 0 r r r a^b 0 r r uuuuur * d1 cắt d2 r r uuuuur ( ) a^b .M1M 2 = 0 *d1 chéo d2 ( ) a^b .M 1M 2 0 rr * Đặc biệt d1 d2 a.b = 0 rr a.b 4.Góc giữa 2 đường thẳng : cos(d1;d2 ) = r r ab 4
uuuuur r � M 1M ; a � � � 5. Khoảng cách giữa từ M đến đường d1: d ( M ; d1 ) = r a 6. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: d(d1 ;d2)=d(M1 ;d2). r r uuuuuur � a; b �.M 1M 2 7. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: d d1 ; d 2 = � � ( � r r a; b � ) � � MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP: I/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU: Dạng toán 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình: x2 + y2 + z2 +2Ax+2By+2Cz + D = 0 Phương pháp giải: Tìm tâm: hoành độ lấy hệ số của x chia (2), tung độ lấy hệ số của y chia (2), cao độ lấy hệ số của z chia (2) Tâm mặt cầu là I(A ;B ;C). Tím bán kính r = A 2 +B2 +C2 D Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a) x 2 + y 2 + z2 − 8x − 2y + 1= 0 Giải: a/Tâm mặt cầu là I(4;1;0), bán kính của mặt cầu là:r = A +B +C D = (−4) +(1) +0 1 = 4 2 2 2 2 2 2 8 b / 3x 2 + 3y 2 + 3z2 − 6x + 8y + 15z − 3 = 0 � x 2 + y 2 + z2 − 2x + y + 5z − 1= 0 3 2 2 �4 � �5 � 2 19 Tâm mặt cầu là I(1; 4/3; 5/2), bán kính của mặt cầu là: r = A 2 +B 2 +C 2 D = ( − 1) + � � � � +1 = + �3 � �2 � 6 Dạng toán 2: Tìm tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu S(I ;R) và mp( ): Phương pháp giải: + Tìm tâm H B1: Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp( ) B2: Tâm H là giao điểm của d và mp( ). + Bán kính r R2 d2 ( I , ) Ví dụ: Cho mặt cầu (S) : ( x − 3) 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 1) 2 = 100 và mặt phẳng (α ) : 2 x − 2 y − z + 9 = 0 . Chứng minh rằng (S) và ( ) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T). Tìm tâm và bán kính đường tròn (T) Giải: 2.3 − 2(−2) − 1 + 9 Mặt cầu (S) có tâm I(3;2;1) và bán kính R = 10. Ta có : d ( I , (α )) = =6 4 + 4 +1
x = 3+ 2t tham số là: y = −2 − 2t . Gọi H= d (α ) H d H(3+2t;22t;1t). Mặt khác H mp (α ) ta z = 1− t có: 2(3+2t)2(22t)(1t)+9=0 9t=18 t=2 H(7;6;1).Tâm của đường tròn (T) chính là H(7;6;1) Bán kính đường tròn giao tuyến là : r = R 2 − d 2 (I ;(α )) = 102 − 62 = 8 Dạng toán 3: Lập phương trình mặt cầu Chú ý: Khi lập phương trình mặt cầu cần tìm: Cách 1: Tâm I(a;b;c), bán kính r của mặt cầu phương trình là: ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = r 2 2 2 2 Cách 2: Các hệ số A, B, C, D trong phương trình: x2 + y2 + z2 +2Ax+2By+2Cz + D = 0 ptr mặt cầu Bài toán 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I đi qua A Phương pháp giải: Tìm bán kính mặt cầu là : r = IA = ( x A − xI ) 2 + ( y A − yI ) 2 + ( z A − z I ) 2 Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r. Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 1). Giải: B¸n kÝnh mÆt cÇu là: r = IA = 22 + 12 + 02 = 5 2 2 2 Vậy phương trình của mặt cầu là : (x3) + (y+3) + (z1) = 5 Bài toán 2: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB Phương pháp giải: x +x y +y z +z  Tìm trung điểm I của đoạn AB với I ( A B ; A B ; A B ) , tính đoạn 2 2 2 AB = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − z A )2 AB  Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r = 2 Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3). Giải: Trung điểm của đoạn thẳng AB là I(3;1 ;5), AB= (−2) 2 + 42 + (−4) 2 = 6 AB Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;1 ;5), bán kính r = = 3 phương trình của mặt cầu là : 2 ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 5) 2 = 9 Bài toán 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc mp( ) Phương pháp giải: A.xI + B.yI + C.z I + D Tìm bán kính mặt cầu là : r = d(I,(α )) = A 2+ B2+ C2 Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r. Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1 ; 2 ; 4) tiếp xúc với mặt phẳng ( α ): 2x+2y+z1=0 Giải: 2.1+2.2+4−1 ﾠ Bán kính mặt cầu là : r = d(I,(α)) = =1 2 2 +2 +1 2 2 Phương trình mặt cầu là : ( x − 1) + ( y − 2) 2 + ( z − 4) 2 = 1 2 Bài toán 4: Lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D Phương pháp giải:
Ptr mc có dạng x2 + y2 + z2 +2Ax+2By+2Cz + D = 0 (1). A,B,C,D mc(S) thế tọa độ các điểm A,B,C,D vào (1). Giải hệ pt, tìm A, B, C, D. Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) ñi qua boán ñieåm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;- 1 ); D( 4 ; 1 ; 0 ). Giải: Phương mặt cầu (S) có dạng: x + y + z +2Ax+2By+2Cz + D = 0 , ta có : 2 2 2 �A(6; − 2;3) �( S ) �49 + 12 A − 4 B + 6C + D = 0(1) �B(0;1;6) �( S ) �37 + 2 B + 12C + D = 0(2) � � � � .Lấy (1)(2); (2)(3); (3)(4) ta được hệ: �C (2;0; − 1) �( S ) �5 + 4 A − 2C + D = 0(3) � �D(4;1;0) �( S ) � �17 + 8 A + 2 B + D = 0(4) 12 A − 6 B − 6C = −12 � �A = −2 � � �−4 A + 2 B + 14C = −32 � �B = 1 � D = −3 �−4 A − 2 B − 2C = 12 �C = −3 � � Vậy phương trình măt cầu là: x2+y2+z24x+2y6z3=0 Bài toán 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C có tâm nằm trên mp(P) Phương pháp giải: Mc(S) có ptr: x2 + y2 + z2 +2Ax+2By+2Cz + D = 0 (2) A,B,C mc(S): thế tọa độ các điểm A,B,C vào (2). Thế toạ độ tâm m/c I(A, B, C) vào ptr mp(P) Giải hệ phương trình trên tìm A, B, C, D phương trình mặt cầu. Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(6 ;2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;1 ) có tâm I thuộc mp(P) : x+2y+2z3=0 Giải: Phương mặt cầu (S) có dạng: x + y + z +2Ax+2By+2Cz + D = 0 , ta có : 2 2 2 �A(6; −2;3) �( S ) 12 A − 4 B + 6C + D = −49(1) � �B (0;1; 6) �( S ) � 2 B + 12C + D = −37(2) � � � � .Lấy (1)(2); (2)(3); kết hợp(4) ta được hệ: �C (2; 0; −1) �( S ) �4A − 2C + D = −5 (3) � �I ( − A; − B; −C ) �( P) � �− A − 2 B − 2C = 3 (4) 7 A= − 12 A − 6 B − 6C = − 12 5 � � 11 27 �− 4 A + 2 B + 14C = − 32 � �B = � D = − �− A − 2 B − 2C = 3 � 5 5 C = −3 14 22 27 Vậy phương trình mặt cầu là: x2+y2+z2 x + y 6z − =0 5 5 5 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a) x 2 + y 2 + z2 + 6x − 2y − 4z + 5 = 0 b) 2x 2 + 2y 2 + 2z2 + 12x − 8y + 16z − 8 = 0 c) (x2)2+(y+3)2+(z1)2= 9 d) (x+2)2+(y+5)2+ z2 = 8 Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S) a)Đi qua điểm A(3; 2; 4) và có tâm I(2; –1; 1) b)Đi qua điểm A(1; 2; 3) và có tâm I(2; –1; 1). Bài 3: Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB a) Với A(4; 5; 7), B(2; 1; 3). b) Với A(4; 2; 1), B(0; 4; 7).
Bài 4: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x2y + z 4=0 Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) ñi qua boán ñieåm A(5 ;2 ; 3 ), B(0;1;4), C(2;0;-1); D(4; 1; 0). Bài 6: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(3;2 ;0), B(0;1;2), C(2; 0;1 ) có tâm I thuộc mp(P) : x2y+2z5=0 Bài 7: Cho mặt cầu (S): (x1)2+ y2 + (z+2)2 = 9 và mp(P): x +2y +2z3=0. Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S). Tìm tâm bán kính của đường tròn giao tuyến.
II/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG: Chuù yù : Muốn viết phương trình mặt phẳng thường tìm: 1 điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến r Mặt phẳng qua 1 điểm M(x0;y0;z0) và có 1 véctơ pháp tuyến n = (A; B; C) phương trình là: A(xx0) + B(yy0) + C(zz0)= 0. r r Nếu không tìm được ngay véctơ pháp tuyến của mp( ) ta đi tìm 2 véctơ a, b r rr không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mp( ) khi đó n = [a; b] là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng( ). Dạng 1: Viết phương trình mp (α ) điểm đi qua M0(x0;y0;z0) và 1 véctơ pháp tuyến r n = ( A; B; C ) . Phương pháp giải: r B1: Nêu rõ mặt phẳng đi qua M0(x0;y0;z0) và có 1 véctơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) . B2: Viết phương trình mp( α ) theo công thức: A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0 B3: Rút gọn đưa về dạng: Ax+By+Cz+D=0. Ví dụ: r Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua A(2;3;1) và có một VTPT là n = (2;3;1) Giải: r Mặt phẳng ( α ) đi qua A(2;1;1) và có 1 véctơ VTPT n = (2; −3;5) phương trình là: 2(x2)3.(y+1)+5(z1) = 0 2x3y+5z12 =0 Dạng 2: Viết phương trình mp (α ) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C. Phương pháp giải: uuur uuur B1: Tìm toạ độ AB, AC r uuur uuur B2: Tìm n = � AB; AC � � � r B3: Viết phương trình mp(P) đi qua điểm A và nhận n làm VTPT. Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;1) Giải: uuur uuur Ta có: AB = (2; 2; −1), AC = (2;1; −3) r uuur uuur n = � AB; AC � � �= ( −5; 4; −2) r Mặt phẳng (P) đi qua A và có 1 véctơ VTPT n = (−5; 4; −2) phương trình là: 5(x0)+4(y1)2(z2)=0 5x+4y2z =0 5x4y+2z=0. Dạng 3: Viết phương trình mp( ) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và song song với mp( β ): Ax+By+Cz+D=0 . Phương pháp giải: B1:Do mp (α) //mp( β ): Ax+By+Cz+D=0 phương trình mp (α) có dạng:Ax+By+Cz+m=0 (m D) B2: mp (α) đi qua điểm M0 ta có Ax0 + By0 + Cz0 + m=0 m thoả điều kiện m D phương trình mp (α) Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;2) và song song với mặt phẳng (Q):2x y+3z+4=0
Giải: Mặt phẳng (P)//mp(Q): 2xy+3z+4=0 nên phương trình của mp(P) có dạng 2xy+3z+D=0 (D≠4). Mặt khác mp(P) đi qua điểm M(1;3;2) nên ta có: 2.13+3(2)+D=0 D=7 (nhận). Vậy phương trình mp cần tìm là: 2xy+3z+7=0 Dạng 4: Viết phương trình mp (α) song song với mp( β ): Ax+By+Cz+D=0 cho trước cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước (k>0). Phương pháp giải: B1: Do mp (α) //mp( β ): Ax+By+Cz+D=0 phương trình mp (α) có dạng:Ax+By+Cz+m=0 (m D) B2: Giải phương trình d(M; (α) )= k tìm được m thoả m D phương trình mp( α ). Ví dụ: : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp( β ):5x+y7z+3=0. Viết phương trình mp( ) //mp( β ) và cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2. Giải ur Mp( ) có một VTPT là n1 = (5;1; −7) , mp ( ) //mp( β ) phương trình mp( ) có dạng: 5x+y7z+D = 0 (D≠3) Do mp( ) cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2 d(A;( ))=2 5.1 + 2 - 7.3+ D D-14 =2 � = � = ۱� = 2� D-14 10 3 D-14= 10 3 D 14 10 3 (nhận) 52 + 12 + (− 7)2 5 3 phương trình của mp( ) là: 5x + y − 7z+14 10 3 = 0 Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua 2 điểm A, B và song song với đoạn uuur uuur CD cho trước. (với AB không cùng phương với CD ). Phương pháp giải: uuur uuur B1: Tìm toạ độ AB và CD . r uuur uuur B2: Tìm n = � �AB, CD ��. r B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n làm VTPT. Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm A, B và song song với đường thẳng d cho trước. (AB không song song với d). Phương pháp giải: uuur r B1: Tìm toạ độ AB và véctơ chỉ phương a của d. r uuur r B2: Tìm n = � �AB, d � �. r B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n làm VTPT. Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1 ,2 , 3), B (0 , 3, 1), C(2 ,0 ,1), D(4,1, 0). Lập phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng CD và song song với đường thẳng AB. Giải uuur uuur Ta có AB = ( 1, −5, −2 ) ; CD = ( 2,1,1) r uuur uuur n = � AB; CD ��= ( −3, − 5,11) là VTPT của mp (α ) � Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng CD và song song với đường thẳng AB đi qua C có 1 VTPT r n = ( −3, − 5,11) Phương trình mp (α ) là: 3(x – 2) – 5(y – 0) + 11(z + 1) = 0 3x – 5y + 11z + 17 = 0 3x+5y11z 17 = 0 Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d cho trước. ( A d )
Phương pháp giải: r uuuuur B1: Tìm toạ độ điểm M0 d và VTCP u của d. Tìm AM 0 r uuuuur r B2: Tìm n = � �AM 0 , u � � r B3: Viết PT mặt phẳng( α )đi qua điểm A và nhận n làm VTPT. Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A(1 ,2 , 3) và chứa trục 0x. Giải r uuur Trục 0x đi qua O(0;0;0) và có 1VTCP i = (1;0;0) , OA = (−1; 2;3) r uuur r r n = � � OA;i � =(0;3;2). Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và nhận n =(0;3;2) làm một VTPT, � phương trình là: 3(y2)2(z3)=0 3y2z=0. Cách khác : Phương trình mặt phẳng( α ) chứa trục ox có dạng: By+Cz=0. (1) Do mặt phẳng( α ) đi qua A(1 ,2 , 3) nên ta có: 2B+3C=0 chọn B=3 C= 2 phương trình mặt phẳng ( α ) là: 3y2z=0. Dạng 7:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Phương pháp giải: uuur B1: Tìm toạ độ AB và toạ độ trung điểm I của đoạn AB. uuur B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm I và nhận AB làm VTPT. uuur B3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực đi qua điểm I và nhận AB làm VTPT. Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, với A(1;3;0) và B(3,1;2) Giải: uuur Ta có trung điểm của AB là I(2;1;1), AB = (2; −4; 2) . uuur Mp(P) đi qua trung điểm I của AB và có 1VTPT là AB = (2; −4; 2) phương trình mặt phẳng trung trực (P) là: 2(x2)4(y1)+2(z1)=0 2x4y+2z2=0 Dạng 8:Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với đoạn thẳng AB. Phương pháp giải: uuur B1: Tìm toạ độ AB . uuur B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M và nhận AB làm VTPT. uuur B3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận AB làm VTPT. Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;0) vuông góc với đoạn thẳng AB, biết A(1;0;1) và B(3,1;2). Giải: uuur Ta có AB = (2; −1;1) . uuur Mp(P) đi qua M(1;3;0) và có 1VTPT là AB = (2; −1;1) phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x 1)(y3)+1(z0)=0 2xy+z+1=0 Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm M0 cho trước và vuông góc với đường thẳng d cho trước. Phương pháp giải: r B1: Tìm VTCP u của d. r B2: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M0 và nhận u làm VTPT. Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng( β ) cho trước. (AB không vuông góc với ( β ) ). Phương pháp giải: uuur uur B1: Tìm toạ độ AB và VTPT n β của mặt phẳng( β ).
r uuur uur B2: Tìm n = � �AB, n β � �. r B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α )đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n làm VTPT. Ví dụ: Viết phương trình mp ( α ) đi qua hai điểm A(3;1;1), B(2;1;4) và vuông góc với mp(P): 2xy+3z1=0 Giải uuur uur r uuur uur Ta có AB = (−1; −2;5) , mp(P) có 1 VTPT là n P = (2; −1;3) n = � � AB; n P � �= (−1;13;5) r Mp( α ) đi qua A(3;1;1), có 1 VTPT là n = (−1;13;5) phương trình mặt phẳng ( α ) là: 1(x3)+13(y1)+5(z+1)=0 x+13y+5z5=0 x13y5z+5=0 Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (α ) // ( β ) : Ax+By+Cz+D=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S). Phương pháp giải: B1:Xác định tâm I bán kính R của mặt cầu (S). B2:Do mp( α )//mp ( β ) phương trình mặt phẳng( α ) có dạng Ax+By+Cz+m=0(*) (m≠D) B3: Mặt phẳng (α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) d(I,( α ))=R giải phương trình này tìm được m thỏa điều kiện m≠D thay vào (*) ta được phương trình mặt phẳng( α ). Ví dụ : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;1), mặt phẳng (P ) : x + y + 2 z + 10 = 0 và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 8 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) HD: Mặt cầu (S) có tâm I(1,2,3) và R = 6 Phương trình mặt phẳng (R) có dạng: x + y + 2 z + m = 0 ( m 10 ) 1− 2 + 6 + m Do mặt phẳng (R) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên: d ( I , ( R ) ) = R � = 6 1+1+ 4 m = 1(n) Giải phương trình ta được: . Vậy có 2 mặt phẳng (R) thỏa yêu cầu bài toán m = −11(n) phương trình là: x + y + 2 z + 1 = 0 và x + y + 2 z − 11 = 0 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ r Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua A(2;3;1) và có một VTPT là n = (3; −2;1) Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua A(2;1;0),B(3;0;1),C(5;5;5) Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;2) và song song với mặt phẳng (Q):3x+5y2z+4=0 Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp( β ):2x+y2z+3=0. Viết phương trình mp( ) //mp( β ) và cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2. Bài 5: Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A(1, 0, 2) và chứa đường thẳng x y −1 z + 2 d: = = . 1 2 3 Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, với A(5;3;2) và B(3, 1;2) Bài 7: Viết phương trình mp ( α ) đi qua hai điểm A(2;3;1), B(3;1;4) và vuông góc với mp(P): 2xy+3z1=0 Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mp (α ) : x+3y4z+3=0 và mp( β ): 2x+2y 4z+1=0. Viết phương trình mp(P) đi qua A(2;0;1) và vuông góc với 2 mặt phẳng ( ), ( ).
x = 1 − 2t ' x −1 y − 2 z − 3 Bài 9: Cho hai đường thẳng d1 : = = và d 2 : y = 2 −1 −1 −2 z = 3 − 3t ' a) Chứng minh d1 cắt d 2 b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 và d 2 Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng: x = 1+ t x y −2 z −3 d1 : = = và d2 : y = 2 + t 2 2 4 z = 1 + 2t a) Chứng minh d1 // d 2 b)Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 Bài 11: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 , (P): 2x +2y – z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). x − 2 y z −1 Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d : = = và góc mặt −2 3 4 phẳng ( Q ) : x + y + z − 1 = 0 Bài 13: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A ( 0;1; 2 ) và song song với hai đường thẳng x = 1+ t x y −1 z +1 d1 : = = và d 2 : y = −1 − 2t . 2 1 1 z = 2+t III/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG: Chuù yù : Muốn viết phương trình đường thẳng thường đi tìm: 1 điểm di qua và 1 véctơ chỉ phương r Đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có 1 véctơ chỉ phương u = (a; b; c ) phương x = x0 + at trình tham số là: y = y0 + bt . Nếu a.b.c 0 thì phương trình chính tắc là: z = z0 + ct x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c Nếu chưa tìm được ngay 1 véctơ chỉ phương của đường thẳng d, ta đi tìm 2 r r r rr véctơ a, b không cùng phương có giá vuông góc với d khi đó u = [a; b] là một véctơ chỉ phương của d. r Dạng 1: Đường thẳng d đi qua A có một véctơ chỉ phương u Phương pháp giải: r B1: Chỉ rõ (d) đi qua A(x0;y0;z0) có một véctơ chỉ phương u = (a; b; c ) B2 : Viết phương trình đường thẳng (d) theo yêu cầu. Ví dụ : Viết phương trình chính tắc, tham số của đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP r a = (2; −3;1) . Giải:
r Đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP a = (2; −3;1) . Phương trình chính tắc là : x = 5 + 2t x− 5 y − 4 z −1 = = . Phương trình tham số là y = 4 − 3t 2 −3 1 z = 1+ t Dạng 2: Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B. Phương pháp giải: uuur B1 : Tìm véctơ AB uuur B2 : Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP AB Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2; 3), B(4; 4; 4) Giải: uuur Ta có AB = (3; 2; 1) : uuur Đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3), có 1 VTCP là AB = (3; 2; 1) Phương trình tham số là x = 1 + 3t y = 2 + 2t z = 3+t Dạng 3: Đường thẳng d qua A và song song Phương pháp giải: r B1:Tìm véctơ chỉ phương a của r B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP a x = 1+ 2t Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3) và song song với : y = −3+ 3t z = 4t Giải: r Đường thẳng có 1 VTCP là a = (2; 3; 4) r x = 2 + 2t Đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3), có 1 VTCP là a = (2; 3; 4) phương trình là: y = 3t z = −3+ 4t Dạng 4: Đường thẳng d qua A và vuông góc mp( ) Phương pháp giải: r B1:Tìm véctơ pháp tuyến n của mp( ) r B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP n Ví dụ : Viết PTCT của đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3) và vuông góc (P): x + y − z + 5= 0 Giải: r Mp(P) có 1 VTPT là: n = (1; 1; − 1) r Đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3), có 1 VTCP là: n = (1; 1; − 1) phương trình chính x− 2 y+1 z − 3 tắc là: = = 1 1 −1 Dạng 5: Đường thẳng d qua A và vuông góc d1, d2 ( d1 không song song hoặc trùng d2) Phương pháp giải: r r B1:Tìm véctơ chỉ phương a của (d1),véctơ chỉ phương b của (d2) r rr B2: Tính u = [a; b] r B3:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP u
Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng x = 1 − 2t x −1 y − 2 z +1 (d1): y = 3 + t và (d2): = = 2 −1 3 z = −t Giải: r Đường thẳng d1 có 1 VTCP là a = (−2; 1; − 1) . r r r r Đường thẳng d2 có 1 VTCP là b = (2; − 1; 3) u = [a; b] = (2; 4;0) . x = 1 − 2t r Đường thẳng d có 1 VTCP là u = (2; 4;0) và đi qua M(1;1;4) phương trình là: y = 3 + t z = −t Dạng 6: Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng. Phương pháp giải: uur uur B1:Tìm véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng giả sử là: nP ; nQ r uur uur B2: Tính u = [n p ; nQ ] B3: Tìm một điểm đi qua A của giao tuyến bằng cách cho x=0 thế vào phương trình 2 mặt phẳng giải hệ 2 phương trình 2 ẩn y, z tìm được y0; z0 A(0; y0; z0) là một điểm thuộc giao tuyến r B4:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP u Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:(P):x2y+z+5=0,(Q):2x z+3=0. Giải: ur Mặt phẳng (P) có 1 VTPT là n1 = ( 1; − 2; 1) . r r ur uur Mặt phẳng (Q) có 1 VTPT là n 2 = (2; 0; −1) . u = [n1 ; n2 ] = (2;3; 4) . �−2 y + z = −5 �y = 4 Cho x=0 thế vào phương trình mp(P) và mp(Q) ta được hệ : � � d đi qua �z = 3 �z = 3 r x y−4 z−3 A(0 ;4 ;3). Mặt khác d có 1 VTCP u = (2;3; 4) phương trình là: = = 2 3 4 Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P), (Q). Phương pháp giải: uur uur B1:Tìm véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng giả sử là: nP ; nQ r uur uur B2: Tính u = [n p ; nQ ] r B3:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP u Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d biết d đi qua điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z 2 = 0. Giải . r r Ta có n P = (2; 3; 2); n Q=(1; 3; 1) lần lượt là VTPT của hai mp (P) và (Q). Do d //(P) r r r và d//(Q) nên vectơ chỉ phương của d là u = [ n P, n Q] = (3; 4; 9). x 3 3t Phương trình tham số của d là: y 1 4t z 5 9t
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng . Phương pháp giải: x = x0 + at B1:Đưa phương trình đường thẳng về dạng tham số y = y0 + bt . z = z0 + ct r B2 :Tìm véctơ chỉ phương u của đường thẳng . uuur B3: Gọi B= d B(x0+at ; y0+bt ; z0+ct) AB r uuur uuur B4: Do d vuông góc với u . AB = 0 t AB r B5:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP u Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d’ có phương trình x =t y = 1 − t . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;2;2), cắt và vuông góc với d’. z = 2t Giải ur Đường thẳng d’ có 1VTCP là u1 (1; 1; 2) uuur Gọi B= d d’ B d’ B(t ; 1 t ; 2t) AB (t – 1 ; t – 1 ; 2t + 2) uuur ur 2 uuur � 5 1 2 � Do d ⊥ d’ � AB.u1 = 0 6t + 4 = 0 t = − => AB � − ;− ; � 3 �3 3 3� r uuur Đường thẳng d đi qua A có 1VTCP u = −3. AB = (5; 1; −2) x −1 y − 2 z + 2 Vậy phương trình của d là : = = 5 1 −2 Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P), cắt và vuông góc với đường thẳng . Phương pháp giải: B1:Tìm giao điểm A của (P) và . r r B2 :Tìm véctơ chỉ phương a của đường thẳng .VTPT n của mp(P) r rr B3: u = [a; n] r B4: Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP u x −1 y + 3 z− 3 Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = và mp(P): 2x + y – −1 2 1 2z + 9 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) vuông góc với ∆ và cắt ∆ . Giải Gọi A= ∆ (P) toạ độ giao điểm A là nghiệm của hệ x −1 y + 3 = −1 2 �2 x + y = −1 �x = 0 �x − 1 z − 3 � � � = � �x + z = 4 � �y = −1 A(0 ;1 ;4) �−1 1 �2x + y – 2z = −9 � 2x + y – 2z + 9 = 0 � �z = 4 r r đường thẳng ∆ có 1 VTCP a =(1;2;1), mp(P) có một VTPT n = (2;1; − 2)
r rr d nằm trong (P) vuông góc với ∆ d có 1 VPCP u = � n; a � � �= (5;0;5) và d đi qua A(0 ;1 ;4) x = 5t phương trình tham số của d là y = −1 (t R ) z = 4 + 5t BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Viết PTchính tắc, tham số của đường thẳng d đi qua M(2; 1; 3) và có VTCP r a = (1; −2;3) . Bài 2: Viết PTTS của đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3), B(3; 4; 5) x = 1+ t Bài 3: Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(1; 2; 3) và song song với : y = 3+ 3t z = 2− t Bài 4: Viết PTCT của đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 3) và vuông góc (P): 2x + y − 2z + 3 = 0 Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng x = 1 + 3t x y −1 z − 2 (d1): y = 3 + 2t và (d2): = = 1 2 3 z = 1− t Bài 6: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:(P): 2xy+2z+3=0, (Q):2x+3yz+5=0. Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;1;2) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x+y +2z 4=0; (Q): x + 2y 3z + 5= 0 Bài 8: Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm A (1; 2; 3) vµ ®êng th¼ng d: x = 2 + 3t y = 1 − 2t z =t ViÕt phơng tr×nh ®êng th¼ng d’®i qua ®iÓm A, c¾t vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng d. x y + 3 z− 3 Bài 9: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: = = và mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 1 2 3 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) vuông góc với d và cắt d. IV/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÌM ĐIỂM: Daïng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Phương pháp giải: Ptr ( d) Cách 1: Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ Ptr (α) Cách 2: B1: Đưa phương trình đường thẳng d về dạng tham số. B2: Gọi M=d ( ) M d toạ độ M theo tham số t. B3: Mặt khác M ( ), thế toạ độ M vào phương trình mặt phẳng ( ) giải phương trình tìm được t M. x − 2 y −1 z Ví dụ : Cho đường thẳng : = = và mặt phẳng (P) : x+yz+3=0. Tìm toạ độ giao 1 2 1 điểm H của A và mặt phẳng (P) Giải :
Cách 1: Toạ độ giao điểm H là nghiệm của hệ x−2 z = 1 1 x−z = 2 � x = −1 � �y −1 z � � � = y − 2z = 1 �� y = −5 � H(−1; −5; −3) �� 2 1 � x + y − z = −3 � z = −3 x + y − z + 3= 0 � � Cách 2 : x = 2+ t Đường thẳng có phương trình tham số là: y = 1+ 2t . Do H= (P) H H(2+t;1+2t;t). z=t Mặt khác H (P) nên ta có: 2 + t +1+2t – t +3 = 0 t = 3 H(1;5;3) Daïng 2: Tìm hình chieáu H cuûa M treân mp(P) Phương pháp giải: Phương pháp giải: B1: Tìm VTPT của mp(P) B2: Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc mp(P) . B3: Hình chiếu H là giao điểm của d và (P) Ví dụ : Trong không gian Oxyz, Cho mp (P): 6x + 3y + 2z – 6 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu của A(0, 0, 1) trên mặt phẳng (P) Giải: r Ta có Mp(P) có VTPT n = (6, 3, 2) x = 6t r Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P) d có VTCP n phương trình là: y = 3t z = 1 + 2t H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) H=d (P) H d H(6t;3t;1+2t). Mặt khác 4 �24 12 57 � H (P) nên ta có phương trình: 6.6t+3.3t+2(1+.2t)6=0 t = H � , , � 49 �49 49 49 � Daïng3 : Tìm điểm M đối xứng với điểm M qua mp(P) / Phương pháp giải: Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên mp(P) . xM / 2 xH xM M đối xứng với M qua (P) H là trung điểm của MM nên : yM / / / 2 yH yM zM / 2 zH zM Ví dụ : Cho mặt phẳng ( P ) : 6 x + 3 y + 2 z − 6 = 0 . Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A ( 0;0;1) qua mặt phẳng (P). Giải:
�24 12 57 � . Gọi H là điểm chiếu của A lên (P), ta có H � ; ; �(đã giải trong bài tìm hình chiếu �49 49 49 � của M trên mp). Vì A’ đối xứng A qua mặt phẳng (P) nên H là trung điểm của AA’ 48 x A / = 2 xH − x A = 49 24 �48 24 65 � y A / = 2 yH − y A = A'� ; ; � 49 �49 49 49 � 65 z A / = 2 zH − z A = 49 Daïng4 : Tìm điểm H laø hình chieáu cuûa M treân ñöôøng thaúng d Phương pháp giải: Cách 1 : uur  Tìm VTCP ad của d  Vieát phöông trình mp( ) qua M vaø vuoâng goùc vôùi d: ta coù n ad Ptr ( d)  Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : Ptr (α) Cách 2 : x = x0 + at r  Phương trình tham số của d là y = y0 + bt , d có VTCP a = (a, b, c) z = z0 + ct uuur  Do H là hình chiếu của A trên d H d H(x0 +a t; y0+bt ; z0+ct) AH uuur r uuur r  Mặt khác ta có : AH ⊥ a � AH .a = 0 � t H. x−2 y +3 z Ví dụ: Cho đường thẳng d : = = và điểm A ( 1;3;5 ) . Tìm tọa độ hình chiếu của 1 −1 −1 A lên đường thẳng d. Cách 1 : Giải: r . d có VTCP u = ( 1; −1; −1) r r . Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc d (P) có VTPT n = u = ( 1; −1; −1) , phương trình mặt phẳng (P): x − y − z + 7 = 0 . H là hình chiếu của A lên d nên H=d (P) H d H(2+t;3t;t) mặt khác H (P) ta có phương trình 2+t+3+t+t+7=0 t= 4 H ( −2;1; 4 ) Cách 2 : Giải: r . Phương trình tham số của d có VTCP u = ( 1; −1; −1) . uuur . H là hình chiếu của A lên d nên H=d (P) H d H(2+t;3t;t) AH = (1 + t ; − 6 − t ; − 5 − t ) uuur r Mặt khác ta có AH d AH.u = 0 1+t+6+t+5+t=0 t= 4 H ( −2;1; 4 ) Daïng 5 : Tìm điểm M / ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua ñt d Phương pháp giải: Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d. xM / 2 xH xM M/ đối xứng với M qua d H là trung điểm của MM/ nên : yM / 2 yH yM zM / 2 zH zM
x−2 y +3 z Ví dụ: Cho đường thẳng d : = = và điểm A ( 1;3;5 ) . Tìm tọa độ điểm A’ đối 1 −1 −1 xứng của A qua đường thẳng d. Giải: H là hình chiếu của A lên d, ta có H(2;1;4) (Trong ví dụ bài toán hình chiếu của A trên d đã giải). Vì A’ đối xứng A qua đường thẳng d nên nên H là trung điểm của AA’ nên ta có: xA/ = 2 xH − x A = −5 y A/ = 2 yH − y A = 1 . Vậy A ' ( −5; −1;3) z A/ = 2 z H − z A = 4 Daïng 6 : Tìm điểm M thuộc đường thẳng d thỏa điều kiện cho trước Phương pháp giải: B1: Chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tham số (Nếu phương trình đường thẳng x = x0 + at chưa có dạng tham số), giả sử phương trình có dạng: y = y0 + bt . z = z0 + ct B2: Gọi M d M( x0 + at ; y0 + bt ; z0 + ct ) B3: Thiết lập phương trình hoặc hệ phương trình theo điều kiện bài cho để tìm ra điểm M. x y z +1 Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: = = và mp (P):2x+y2z+1=0. 1 −1 2 Tìm toạ độ điểm M trên d cách đều mặt phẳng (P) và điểm A(0;1;1). Giải | 2t − t − 2(2t − 1) + 1| M �d � M(t;t;2t1) nên AM = t 2 + (t + 1) 2 + 4t 2 , d(M,(P)) = =|1 − t | 3 t =0 Theo bài ra: AM=d(M,(P)) �|1 − t |= t + (t + 1) + 4t � 5t + 4t = 0 2 2 2 2 4 t=− 5 4 4 4 13 t = 0 � M ( 0;0 − 1) ; t = − � M (− ; ; − ) 5 5 5 5 Daïng 7 : Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0, thoả một số điều kiện cho trước. Phương pháp giải: B1: Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mp(P) A.a+B.b+C.c+D=0(1). B2: Dựa điều kiện đầu bài lập 2 phương trình khác kết hợp với phương trình (1) ta được hệ phương trình theo 3 ẩn a, b, c giải hệ tìm được toạ độ M. Ví dụ. (TNTHPT năm 2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; − 1;0) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x2y+z1=0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần khoảng cách từ A đến (P). Giải Gọi M(a;b;c), ta có M �( P ) � 2a − 2b + c − 1 = 0 � c = 2b − 2a + 1 (1) uuuur uuur uuuur uuur Ta có: AM = (a − 1; b + 1; c), OA = (1; −1;0) , do AM ⊥ OA � AM .OA = 0 � a − b = 2 (2) ( a − 1) + ( b + 1) + c 2 = ( a − 1) + ( b + 1) + 9 và d ( A,( P) ) = 1 2 2 2 2 Mặt khác AM =