TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------
THAM LU N Ậ
M T S B T Đ NG TH C Đ I S và BÀI TOÁN GTLN & GTNN Ộ Ố Ấ Ẳ Ứ Ạ Ố
C A BI U TH C Đ I S TRONG CÁC Đ THI CĐ - ĐHỦ Ể Ứ Ạ Ố Ề
B t đ ng th c là m t m ng ki n th c khó c a toán h c ph thông, nó th ngấ ẳ ứ ộ ả ế ứ ủ ọ ổ ườ
xuyên xu t hi n trong các đ thi HSG cũng nh thi tuy n sinh CĐ - ĐH. Đã có r t nhi uấ ệ ề ư ể ấ ề
tác gi , nhi u tài li u đ c p v b t đ ng th c; hôm nay, trong khuôn kh c a m t bu iả ề ệ ề ậ ề ấ ẳ ứ ổ ủ ộ ổ
sinh ho t chuyên môn c m 6, chúng tôi xin đ c phép gi i thi u l i m t s b t đ ng th cạ ụ ượ ớ ệ ạ ộ ố ấ ẳ ứ
và bài toán GTLN & GTNN c a m t s bi u th c đ i s đã đ c ra thi ho c t ng t v iủ ộ ố ể ứ ạ ố ượ ặ ươ ự ớ
các d ng trong đ thi CĐ - ĐH trong nh ng năm v a qua .ạ ề ữ ừ
I. D ng s d ng b t đ ng th c Cauchy (AM - GM) cho 2 s :ạ ử ụ ấ ẳ ứ ố
∀ a, b ≥ 0 :
a + b ab
2≥
; đ ng th c x y ra khi và ch khi : a = bẳ ứ ả ỉ
Ví d 1 :ụ Cho a, b, c là các s d ng th a : ố ươ ỏ
1 1 1
+ + = 4
a b c
.
Ch ng minh r ng : ứ ằ
111
+ + 1
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c ≤
(TSĐH - Kh i A - Năm 2005)ố
Nh n xét : V i x, y > 0, ta có 4xy ≤ (x + y)ậ ớ 2 ⇔
1 x + y 1 1 1 1
+
x + y 4xy x + y 4 x y
≤ ⇔ ≤ ÷
D u (=) x y ra ấ ả ⇔ a = b
Áp d ng k t qu trên, ta có : ụ ế ả
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + = + +
2a + b + c 4 2a b + c 4 2a 4 b c 8 a 2b 2c
≤ ≤
÷ ÷ ÷
(1)
T ng t : ươ ự
1 1 1 1 1
+ +
a + 2b + c 8 2a b 2c
≤ ÷
(2)
1 1 1 1 1
+ +
a + b + 2c 8 2a 2b c
≤ ÷
(3)
T (1), (2) và (3) suy ra : ừ
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + = 1
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4 a b c
≤ ÷
D u (=) x y ra ấ ả
Ví d 2 :ụ Cho x, y, z là các s d ng th a : ố ươ ỏ
1 4 9
+ + = 1
x y z
. Tìm GTNN c a bi u th c : ủ ể ứ
P = x + y + z .
Ta có :P = x + y + z = (x + y + z).
1 4 9
+ +
x y z
÷
=
4x y 9x z 9y 4z
14 + + + + + +
y x z x z y
÷ ÷
÷
4x y 9x z 9y 4z
14 + 2 . + 2 . + 2 .
y x z x z y
≥
= 14 + 4 + 6 + 12 = 36
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 96
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------
D u (=) x y ra ấ ả ⇔
1 4 9
+ + = 1
x y z
4x y 9x z 9y 4z
= , = , =
y x z x z y
⇔
x = 6
y = 12
z = 18
V y : Pậmin = 36 khi x = 6, y = 12, z = 18 .
Bài t p t ng t : ậ ươ ự
1. Cho a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng : ộ ạ ủ ộ ứ ằ
4a 9b 16c
+ + 26
b + c - a c + a - b a + b - c ≥
2. Cho x, y, z > 0 và th a : xyz = 1. Tìm GTNN c a bi u th c : ỏ ủ ể ứ
2 2 2 2 2 2
yz zx xy
P = + +
x y + x z y z + y x z x + z y
H ng d n : ướ ẫ
1. Đ t : x = b + c - a, y = c + a - b, z = a + b - c (x, y, z > 0) ặ
y + z z + x x + y
a = , b = , c =
2 2 2
⇒
Khi đó :
2(VT) =
4(y + z) 9(z + x) 16(x + y) 4y 9x 4z 16x 9z 16y
+ + = + + + + +
x y x y x z y zz
÷ ÷
÷
Áp d ng bđt Cosi , . . . ụ⇒ (đpcm)
2. Đ t : a = yz , b = zx , c = xy (a, b, c > 0 và abc = 1) ặ
2 2 2
a b c
P = + +
b + c c + a a + b
⇒
Áp d ng bđt Cosi , ta có : ụ
2 2
a b + c a b + c
+ 2 = a
b + c 4 b + c 4
≥
,
t ng t : ươ ự
2 2
b c + a c a + b
+ b , + c
c + a 4 a + b 4
≥ ≥
C ng 3 bđt trên v theo v , suy ra : ộ ế ế
3
P . . .
2
≥ ≥
. K t lu n : MinP = ế ậ
3
2
⇔ x = y = z =
1
II. D ng s d ng b t đ ng th c Cauchy (AM - GM) cho 3 s :ạ ử ụ ấ ẳ ứ ố
∀ a, b, c ≥ 0 :
3
a + b + c abc
3≥
; đ ng th c x y ra khi và ch khi : a = b = cẳ ứ ả ỉ
Ví d 3 :ụ Cho a, b, c là các s d ng th a : abc = 1. ố ươ ỏ
Ch ng minh r ng : ứ ằ
3 3 3 3 3 3
1 + a + b 1 + b + c 1 + c + a
+ + 3 3
ab bc ca ≥
(TSĐH - Kh i D - Năm 2005)ố
Tacó :
3 3
33 3 3 3 3 3
1 + a + b 3
1 + a + b 3 1.a .b = 3ab 1 + a + b 3. ab
ab ab
≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
T ng t : ươ ự
3 3
1 + b + c 3
bc bc
≥
,
3 3
1 + c + a 3
ca ca
≥
C ng 3 b t đ ng th c trên v theo v , ta có : ộ ấ ẳ ứ ế ế
3 3 3 3 3 3
1 + a + b 1 + b + c 1 + c + a 1 1 1
+ + 3 + +
ab bc ca ab bc ca
≥ ÷
(1)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 97
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------
L i có : ạ
33
2
1 1 1 1 3
+ + 3 = = 3
ab bc ca abc
(abc)
≥
, vì abc = 1 (2)
T (1) và (2) suy ra : (đpcm) .ừ D u (=) x y ra ấ ả ⇔
a = b = c = 1
Ví d 4 :ụ Cho x, y, z là các s d ng thay đ i. Tìm GTNN c a bi u th c : ố ươ ổ ủ ể ứ
x 1 y 1 z 1
P = x + + y + + z +
2 yz 2 zx 2 xy
÷ ÷
÷
Ta có :
2 2 2 2 2 2
x y z x + y + z
P = + + +
2 2 2 xyz
≥
2 2 2
x y z xy + yz + zx
+ + +
2 2 2 xyz
=
2 2 2
x 1 y 1 z 1
+ + + + +
2 x 2 y 2 z
÷ ÷ ÷
Ngoài ra :
2 2 2
3
x 1 x 1 1 x 1 1 3
+ = + + 3 . . =
2 x 2 2x 2x 2 2x 2x 2
≥
T ng t : ươ ự
2 2
y 1 3 z 1 3
+ ; +
2 y 2 2 z 2
≥ ≥
Suy ra : P ≥
9
2
. D u (=) x y ra ấ ả ⇔ x = y = z = 1
V y : Pậmin =
9
2
khi x = y = z = 1
Bài t p t ng t : ậ ươ ự
1. Cho a, b, c > 0 và th a a + b + c = 1. Ch ng minh r ng : ỏ ứ ằ
2 2 2
1 1 1 1
+ + + 30
a + b + c ab bc ca ≥
2. Cho x, y, z > 0 và th a : x + y + z ≥ 6. Tìm GTNN c a bi u th c : ỏ ủ ể ứ
3 3 3
x y z
P = + +
y + z z + x x + y
H ng d n : ướ ẫ
1. Ta có : (VT) =
2 2 2 2 2 2 3
1 1 1 1 1 3
+ + + +
a + b + c ab bc ca a + b + c ab.bc.ca
≥
2 2 2
1 9
+
a + b + c ab + bc + ca
≥
=
2 2 2
1 1 1 7
= + + +
a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca
÷
. . . .
2 2 2
9 21
+
(a + b + c ) + (ab + bc + ca) + (ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca)
≥
2 2 2
9 21 30
+ 30
(a + b + c) (a + b + c) (a + b + c)
≥ = ≥
2. Áp d ng bđt Cosi , ta có :ụ
3
x y + z
+ + 2 3x
y + z 2 ≥
,
3 3
y z + x z x + y
+ + 2 3y , + + 2 3z
z + x 2 x + y 2
≥ ≥
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 98
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------
C ng 3 bđt trên v theo v , suy ra : ộ ế ế
P 2(x + y + z) - 6 2.6 - 6 = 6 ≥ ≥
.
K t lu n : MinP = 6 ế ậ ⇔ x = y = z = 2
III. D ng s d ng b t đ ng th c Bunhiacopski (BCS) :ạ ử ụ ấ ẳ ứ
∀ a, b, c, d ∈ R :
2 2 2 2 2
(ac + bd) (a + b ).(c + d )≤
hay
2 2 2 2
ac + bd (a + b ).(c + d )≤
;
đ ng th c x y ra khi và ch khi : ẳ ứ ả ỉ
a b
=
c d
Ví d 5 :ụ Cho a, b, c là các s d ng th a : abc = 1.ố ươ ỏ
Ch ng minh r ng : ứ ằ
2 2 2
1 1 1 3
P = + +
a (b + c) b (c + a) c (a + b) 2
≥
Cách 1: Đ t x = ặ
1
a
, y =
1
b
, z =
1
c
thì x, y, z > 0 và xyz = 1
BĐT c n ch ng minh t ng đ ng: ầ ứ ươ ươ
3
2
x y z
y z z x x y
+ + ≥
+ + +
( BĐT Nesbit)
⇔
1 1 1 9
( ) 2
x y z y z z x x y
+ + + + ≥
÷
+ + +
⇔
( )
1 1 1
( ) ( ) ( ) 9y z z x x y y z z x x z
+ + + + + + + ≥
÷
+ + +
BĐT BCS ta có :9 = (1 + 1 + 1)2 =
2
1 1 1
y z z x x y
y z z x x y
+ + + + +
÷
÷
+ + +
( )
1 1 1
( ) ( ) ( )y z z x x y y z z x x y
≤ + + + + + + +
÷
+ + +
D u (=) x y ra ấ ả
⇔
x = y = z = 1
⇔
a = b = c = 1
Cách 2: Ta có
2
2
1 1 1 1 1 1
+ + = b + c + c + a + a + b
a b c a b + c b c + a c a + b
÷ ÷
( )
2 2 2
1 1 1
+ + b + c + c + a + a + b
a (b + c) b (c + a) c (a + b)
≤ ÷
= 2(a + b + c).P
Suy ra P ≥
1
2
1
a + b + c
.
2
1 1 1
+ +
a b c
÷
3 1 1 1 1 3 1 a + b + c 3
+ + = =
2 a + b + c ab bc ca 2 a + b + c abc 2
≥ ÷
D u (=) x y ra ấ ả ⇔
a = b = c = 1
Ví d 6 :ụ Cho x, y, z là các s d ng thay đ i th a đi u ki n xyz = 1. Tìm GTNN c a bi uố ươ ổ ỏ ề ệ ủ ể
th c : ứ
2 2 2
x (y + z) y (z + x) z (x + y)
P = + +
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y
(TSĐH - Kh i A - Năm 2007)ố
Nh n xét ậ∀ y, z > 0 :
2
y + z 2 yz = x
≥
(vì xyz = 1)
2
x (y + z) 2x x ⇒ ≥ ⇒
2
x (y + z) 2x x
y y + 2z z y y + 2z z
≥
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 99
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------
Xét hai b t đ ng th c t ng t n a, ta thu đ cấ ẳ ứ ươ ự ữ ượ
y y
x x z z
P 2 + +
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y
≥ ÷
÷
Đ t ặ
a = x x , b = y y , c = z z
⇒ a, b, c > 0 và abc = 1.
Khi đó :
a b c
P 2 + + = 2S
b + 2c c + 2a a + 2b
≥ ÷
Ta có :
( )
2
2
a b c
a + b + c = a(b + 2c). + b(c + 2a). + c(a + 2b).
b + 2c c + 2a a + 2b
[ ]
a b c
a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) + +
b + 2c c + 2a a + 2b
≤ ÷
⇔ (a + b + c)2 ≤ 3(ab + bc + ca).S . Suy ra
( )
2
a + b + c
S 1
3(ab + bc + ca)
≥ ≥
. Do đó : P ≥ 2
D u (=) x y ra ấ ả ⇔ a = b = c = 1 ⇔ x = y = z = 1
V y : Pậmin = 2 khi x = y = z = 1
Bài t p t ng t : ậ ươ ự
1. Cho a, b, c > 0 và th a : a + b + c + ỏ
2abc
≥ 10 . Ch ng minh r ng : ứ ằ
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
8 9b c a 8 9c a b 8 9a b c
+ + + + + + + + 6 6
a 2 4 b 2 4 c 2 4 ≥
2. Cho x, y, z > 0 . Tìm GTNN c a bi u th c : ủ ể ứ
3x 4y 5z
P = + +
y + z z + x x + y
H ng d n : ướ ẫ
1. Áp d ng bđt BCS, ta có :ụ
2 2 2
2
8 9b c a 2 2 3b ca 4
2 + 18 + 4. + + 2. + 3 2. + 2. = + 9b + ca
a 2 4 a 2 a
2
≥
2 2 2 2 2 2
2 2
8 9c a b 4 8 9a c b 4
24. + + + 9c + ab , 24. + + + 9a + bc
b 2 4 b c 2 4 c
≥ ≥
C ng 3 bđt trên v theo v , suy ra :ộ ế ế
1 1 1
24.(VT) 4 + + + 9(a + b + c) + ab + bc + ca
a b c
≥ ÷
444
+ a + + b + + c + (2a + bc) + (2b + ca) + (2c + ab) + 6(a + b + c)
a b c
≥ ÷ ÷ ÷
4 4 4
2 .a + 2 .b + 2 .c + 2 2abc + 2 2abc + 2 2abc + 6(a + b + c)
a b c
≥
72
= 12 + 6(a + b + c + 2abc) 12 + 6.10 = 72 (VT) = 6 6
24
≥ ⇒ ≥
2. Ta có :
3x 4y 5z
P = + 3 + + 4 + + 5 - 12
y + z z + x x + y
÷ ÷
÷
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 100