Một số dạng toán cơ bản về dao động điều hòa
1. Kiến thức nền tảng:
- Quãng đường mà vật đi được trong 1 chu kỳ dao động là S = 4A.
- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = 2A.
- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = A.
- Chiều dài quỹ đạo: 2A.
2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của chuyển động tròn đều.
Xét một vật chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính A và tốc độ góc là ω.
Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí điểm M0 và tạo với trục ngang một góc φ. Tại
thời điểm t chất điểm ở vị trí điểm M và góc tạo với trục ngang là (ωt + φ). Khi đó
hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang là OP có độ dài đại số
.
Khi đó ta nói hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều là một dao động
điều hòa.
* Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa là
một công cụ rất mạnh" trong các dạng bài toán liên quan đến quãng đường và thời
gian trong dao động điều hòa. Không chỉ giới hạn trong phạm vi của chương Dao
động cơ học này mà ở các chương về Dao dộng điện từ hay Dòng điện xoay chiều
chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng dụng của nó. Và việc hiểu để áp dụng được là một yêu
cầu cần thiết và giúp chúng ta giải quyết nhanh các bài toán.
3. Các dạng bài toán cơ bản:
Dạng 1: Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2
Cách giải : Chúng ta sử dụng ứng dụng của hình chiếu dao động điều hòa vào chuyển
động tròn đều. Các bước thực hiện như sau :
- Xác định các vị trí x1 và x2 trên trục quỹ đạo.
- Tính các góc φ1, φ2 với thỏa mãn (0 ≤ φ1, φ2 ≤ π)
- Thời gian ngắn nhất cần tìm là:
* Ví dụ điển hình :
Ví dụ 1 : Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 8s, tính thời gian ngắn nhất vật đi
từ vị trí đến vị trí có li độ
Hướng dẫn giải :
Ta có tần số góc:
Vậy thời gian ngắn nhất mà vật đi từ đến là .
Ví dụ 2 :
Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ là A. Tìm thời gian ngắn nhất mà
vật đi từ vị trí:
a. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí x = A.
b. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí .
c. đến vị trí x = A.
Hướng dẫn giải :
Thực hiện các thao tác như ví dụ 1 chúng ta có:
a.
b.
c.
NHẬN XÉT : 3 Trường hợp trên là những trường hợp phổ biến nhất trong các kỳ thi
và hầu như các bài toán lớn hơn thì biến đổi đều đưa về 3 trường hợp trên. Từ đó
chúng ta cần ghi nhớ công thức:
Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = A hoặc x = -A và ngược lại thì
Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí hoặc và ngược lại thì
Khi vật đi từ vị trí đến vị trí x = A hoặc đến x = -A và ngược lại
thì
Dạng 2: Tìm quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2.
Cách giải : Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật dựa vào việc giải các phương
trình lượng giác sau:
(v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)
Phân tích: Δt = t2 – t1 = n.T + T/2 + T/4 + t0 (n ЄN; 0 ≤ t0 < T/4)
- Quãng đường đi được trong thời gian n.T + T/2 + T/4 là S1 = n.4A+ 2A + A
- Ta tính quãng đường vật đi được trong thời gian t0 là bằng cách sau:
• Tính li độ x1 và dấu của vận tốc v1 tại thời điểm
• Tính li độ x2 và dấu của vận tốc v2 tại thời điểm t2
• Nếu trong thời gian t0 mà vật không đổi chiều chuyển động (v1 và v2 cùng dấu) thì
quãng đường đi được trong thời gian cuối t0 là S2 = |x2 - x1|
• Nếu trong thời gian t0 mà vật đổi chiều chuyển động (v1 và v2 trái dấu) thì để tính
quãng đường đi được trong thời gian cuối t0 ta phải biểu diễn chúng trên trục tọa độ rồi
tính S2. Từ đó quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2
CHÚ Ý :
+ Nếu Δt = T/2 thì S2 = 2A
+ Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox
+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa
dao động điều hoà và chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn.
+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2: với S là quãng đường
tính như trên. Ví dụ điển hình :
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Tính
quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên.
Hướng dẫn giải: Quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên tức là tính từ lúc vật bắt
đầu chuyển động. Như vậy chúng ta phải thay t = 0 vào phương trình li độ và phương
trình vận tốc để kiểm tra xem vật bắt đầu đi từ vị trí nào và theo chiều nào.
Ta có :
Tại t = 0 :
Vậy vật bắt đầu đi từ vị trí x = - 1cm theo chiều dương. Ta lại có
Quãng đường vật đi được là S = 5.4A+ 2A = 22A =
44cm.
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Tính quãng
đường vật đi được trong 2,25s đầu tiên.
Hướng dẫn giải:
Cách 1 : (Sử dụng phân tích) Ta có : ; (s) Quãng
đường vật đi được trong 2s đầu tiên là S1 = 4A = 16cm.
- Tại thời điểm t = 2s :
- Tại thời điểm t = 2,25s :
Từ đó ta thấy trong 0,25s cuối vật không đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật
đi được trong 0,25s cuối là S2= .
Vậy quãng đường vật đi được trong 0,25s là S =
Cách 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều).
Tương tự như trên ta phân tích được Δt = 2,25s = T + 0,25(s)
Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S1 = 4A = 16cm
Xét quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối. Trong thời gian 0,25s cuối thì góc mà
vật quét được trên đường tròn bán kính A = 4cm là Độ dài