Ả Ệ ƯƠ
Ễ
NG PHÁP GI I H PH
NG TRÌNH – GIÁO
VIÊN : NGUY N MINH NHIÊN – ĐT :
ƯƠ PH 0976566882
ằ
Ộ Ố ề
NG TRÌNH ặ ấ ệ
ế ề ệ ươ ng trình . Nh m ả i chúng i thi u m t s d ng bài và kĩ năng gi
ề ộ ố ạ ƯƠ
NG Đ ế NG. ổ ồ ấ ặ ệ ặ
ệ ề ạ ể ả ặ ộ ồ ệ t là kĩ năng phân ế i ) r i th vào PT
ấ ớ ẩ ươ ệ ậ ặ ộ ng trình b c nh t v i n x ho c y khi đó ta tìm cách rút y theo x
Ả Ệ ƯƠ M T S KĨ NĂNG GI I H PH ạ ọ ầ ữ Trong các đ thi đ i h c nh ng năm g n đây , ta g p r t nhi u bài toán v h ph ớ ố ạ giúp các b n ôn thi t t này tôi xin gi t , bài vi Ế Ổ ƯƠ ƯƠ I.H S D NG PH NG PHÁP BI N Đ I T ử ụ ủ ạ Đ c đi m chung c a d ng h này là s d ng các kĩ năng bi n đ i đ ng nh t đ c bi ượ ạ ơ c l tích nh m đ a m t PT trong h v d ng đ n gi n ( có th rút theo y ho c ng ạ còn l ạ *Lo i th nh t , trong h có m t ph ặ ho c ng
2
2
Ệ Ử Ụ ể ư ằ ệ i trong h . ứ ấ ượ ạ c l i
(
) (
2
) y 1 x y 1 + + =
) ( 4x 1 1 ) (
(cid:0) + + + = + - (cid:0) x 3x (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Ví d 1 .ụ Gi (cid:0) xy x 1 x 2 (cid:0)
Gi i.ả
2x x
2
2
- 1 + = ễ ấ ỏ ừ D th y x = 0 không th a mãn PT(2) nên t (2) ta có : thay vào (1) ta đ cượ y 1
x
1
x
1
2
2
2
+
- = 2
(
- - - - - -
(
�
x
3x
+ 4x 1
x
) ( 1 2x
) 1
) ( ) x 1 3x 1
x
x
� x � �
� = � �
2
3
2
(
(
(
(cid:0) (cid:0) + 3 + = - - - - - -
)
) ( x 1 2x
� � 2x
) - = x 1
) ) ( x 1 3x 1
) ( x 1 2x
= 2x 4x 0 (lo i)ạ � (cid:0) (cid:0) (cid:0) = x 1 0 x = - x 2
5 2 ể ư ề ạ
- ừ ượ ệ T đó , ta đ ủ ệ c các nghi m c a h là : (1;1) , (2; )
ươ ủ ệ ươ ấ ạ ứ ộ ng trình trong h có th đ a v d ng tích c a các ph ậ ng trình b c nh t hai
2
2
*Lo i th hai , M t ph nẩ
) ( 2y 1 ) (
(cid:0) + + = - xy x y x (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Ví d 2 .ụ Gi - - (cid:0) - = x 2y y x 1 2x 2y 2 (cid:0)
Gi i .ả
( +
(
)
�
( + �
x
0
) ( ) + x y x 2y
= x y
0
ề ệ Đi u ki n : x≥1 ; y≥0 2 2 - - - - - ừ ề ệ PT (1) ( t đi u ki n ta có x+y>0)
�
�
xy 2y - = x 2y 1 0
- ượ c :
) = x y + = 2y 1 x (
) ��
( 0 do y 0
+ = - � � y 2x 2y + 2y 2 thay vào PT (2) ta đ ) ) ( = + y 1 2y 2 = y 2 = x 5
ươ ệ ề ạ ươ ộ ẩ ậ ẩ ạ ạ ư ộ ng trình trong h v d ng ph ủ ng trình b c hai c a m t n , n còn l i
2
ứ *lo i th ba , đ a m t ph là tham số
+
(
)
2
2
) ( +
) ( y = 5x 4 4 x 1 ) +
(
= 4xy 16x 8y 16 0 2
5x
y
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Ví d 3.ụ Gi - - - (cid:0) (cid:0)
1
Ả Ệ ƯƠ
Ễ
NG PHÁP GI I H PH
NG TRÌNH – GIÁO
VIÊN : NGUY N MINH NHIÊN – ĐT :
ƯƠ PH 0976566882 Gi
2
+
+
i .ả
(
y
) + 2 4x 8 y 5x
= 16x 16 0
2
D =
- - ề ạ ế ổ Bi n đ i PT (2) v d ng
' 9x
ươ ẩ ố ừ ượ ng trình n y tham s x ta có t đó ta đ ệ c nghi m
( (
= (cid:0) + y 5x 4 3 (cid:0) = - Coi PT (2) là ph ) ) (cid:0) 4 x 4 y (cid:0)
2
(
)
(
)
) ( 5x 4 4 x
(cid:0) = - =� y 0 x (cid:0) = + - (cid:0) + 5x 4 ượ Thay (3) vào (1) ta đ c : (cid:0) = (cid:0) y 4
2 =
+
(
)
(
)
4 x
) ( 5x 4 4 x
x x
4 0
(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) ượ Thay (4) vào (1) ta đ c : x = = (cid:0) 4 5 =� 0 =� y 0 =� 4 y
- ủ ệ ệ ậ V y nghi m c a h là : (0;4) , (4;0) , ( ;0) 4 5
Ệ Ử Ụ ƯƠ Ặ Ẩ Ụ II.H S D NG PH NG PHÁP Đ T N PH
)
(
)
( f x, y ; b g x, y
= = a ệ ẩ ể ấ ọ ụ ệ ạ Đi m quan tr ng nh t trong h d ng này là phát hi n n ph có ngay trong
ứ ơ ả ổ ằ ệ ế ấ ẳ ặ ộ
2
ng trình ho c xu t hi n sau m t phép bi n đ i h ng đ ng th c c b n ho c phép chia cho ứ ừ ặ ươ t ng ph ể ộ m t bi u th c khác 0.
)
( 1 y y x
2
) ( 4y 1 ) ( y 2
(cid:0) + (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Ví d 4ụ . Gi + = ) = x ( (cid:0) x + + ) ( + - 1 y x 2 (cid:0)
2
Gi i .ả
2
) =
2
(cid:0) + x 1 (cid:0) + + = y x 4 (cid:0) y (cid:0) (cid:0) ễ ấ ỏ D th y y=0 không th a mãn PT(1) nên HPT (cid:0) 1 x + - y x 2 1 (cid:0) (cid:0) � �+ ( � � y � �
2x 1 y + = x y 3
(cid:0) + = (cid:0) + 2 x 1 = = + - (cid:0) (cid:0) (cid:0) a , b y x 2 ả ệ ượ ừ Đ t ặ gi i h ta đ c a=b=1 t ệ đó ta có h (cid:0) + = a b = ab 1 (cid:0) y
ể ả ễ ệ ạ ọ H này b n đ c có th gi i d dàng.
2
2
(cid:0) + + =
)
( + 4xy 4 x
2
(
)
y 7 (cid:0) (cid:0) 3 + x y (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Ví d 5.ụ Gi (cid:0) + = 2x 3 (cid:0) (cid:0) 1 + x y
ả ề ệ Gi i . Đi u ki n : x +y ≠0
2
Ả Ệ ƯƠ
Ễ
NG PHÁP GI I H PH
NG TRÌNH – GIÁO
VIÊN : NGUY N MINH NHIÊN – ĐT :
ƯƠ PH 0976566882
2
2 +
)
(
)
( + 3 x y
)
(
2
2
(cid:0) + - x y 7 (cid:0) = 2 (cid:0) 3 + x y (cid:0) (cid:0) HPT (cid:0) + + + - = x y x y 3 (cid:0) (cid:0) 1 + x y
( a
) 2 ; b
) ( 13 1 (
)
(cid:0) = + (cid:0) 3a = - (cid:0) (cid:0) a = + + x y x y Đ t ặ ta đ ượ ệ c h b + = 1 + x y (cid:0) a b 3 2 (cid:0)
(cid:0) + + = (cid:0) x y 2 � � 1 + x y ả ệ ượ ừ ệ Gi i h ta đ c a=2 , b=1 ( do |a|≥2 ) t đó ta có h � + = x y 1 - = x y 1 (cid:0) � � � = x 1 � � = y 0 � (cid:0) - = x y 1
Ố
ặ ạ ậ NG PHÁP HÀM S ớ hai d ng f(x)=0 (1)và f(x)=f(y) (2) v i f là hàm đ n đi u trên t p D và x,y
ệ ạ ộ ơ ơ ộ ậ
ớ ạ ể ạ ươ ệ ấ ạ ộ ng trình còn l i giúp ta gi i h n
3
3
ả ng trình trong h có d ng f(x)=f(y) , ph ệ ứ ộ ậ ể ƯƠ Ệ Ử Ụ III.H S D NG PH ề ở ệ H lo i này ta g p nhi u ệ ẩ ầ ề thu c D .Nhi u khi ta c n ph i đánh giá n x,y đ x,y thu c t p mà hàm f đ n đi u ươ ạ * Lo i th nh t , m t ph ể x,y thu c t p D đ trên đ trên đó hàm f đ n đi u
4
8
) ( 5y 1 ) (
(cid:0) - - (cid:0) ơ = 5x y x (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Ví d 6 .ụ Gi + = (cid:0) y 1 2 x (cid:0)
8
4
Gi i . ả
3
2
(cid:0) 1; y x ừ
)
[ -�
] 1;1
4
8
(cid:0)��� 1; y = = - T PT (2) ta có ( x ) f t t 5t; t 1 ( f ' t 3t - < " 5 0; t ế Xét hàm s ố có
ị do đó f(t) ngh ch bi n trên + - = 1 [ ] -� 1;1 y=� x ả ượ kho ng (1;1) hay PT (1) thay vào PT (2) ta đ c PT : 1 0 x x
4 ≥0 và gi
- + 1 5 5 = ặ ả ươ ượ Đ t a=x i ph ng trình ta đ c � - + 1 � 4 y = = x a
2
2
2 ườ ế ả ẫ ệ ố ứ ứ ạ ạ ạ ả ợ 2 ườ ng d n đ n c hai tr *lo i th hai , là d ng h đ i x ng lo i hai mà khi gi i th ng h p (1) và (2) - (cid:0) + + y 1 - (cid:0) x x + = 2x 2 3 1 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Ví d 7.ụ Gi - + - (cid:0) y y + = 2y 2 + x 1 3 1 (cid:0)
2
Gi i .ả
2
) ( b 1 3 1 )
(
a 1 3 2
2
2
(cid:0) + + = (cid:0) a a = - = - (cid:0) x 1; b y 1 ượ ệ Đ t ặ a ta đ c h + + = (cid:0) b b (cid:0)
a 1 3
b 1 3
2
+ + + + + ừ ế ớ ế ượ Tr v v i v 2 PT ta đ c : (3) a a = + b b
2
t
)
)
( t 1 3 ;f ' t
2
2
2
t + + = + Xét hàm s ố ( f t = + t t 3 ln 3 + + 1 t + 1 t
( f ' t
) > " 0,
2
- ế ố ồ Vì do đó hàm s f(t) đ ng bi n trên R � t + > 1 t � � t + + > 2 1 t t 0 t
b=� a
a 1 3
+ + = ượ Nên PT (3) thay vào PT (1) ta đ c (4) a a
3
Ả Ệ ƯƠ
Ễ
NG PHÁP GI I H PH
NG TRÌNH – GIÁO
VIÊN : NGUY N MINH NHIÊN – ĐT :
ƯƠ PH 0976566882
2
2
+ + - � +
)
(
2
ln a a 1 = a ln 3 0 ậ ế ấ Theo nh n xét trên thì + > nên PT (4) ( l y ln hai v ) a a 1 0
)
) =
= + + < " - - (cid:0)
)
(
( g a
( a ln 3; g' a
ln a a 1 < - ln 3 1 ln 3 0, a R Xét hàm s ố 1 2 + 1
a ệ ị ế ệ ấ
ượ ủ ệ ầ
ệ ƯƠ
c nghi m c a h ban đ u là : x=y=1 NG PHÁP ĐÁNH GIÁ ể ậ ụ ầ ư ươ ữ ệ ắ ứ ng pháp này, c n l u ý phát hi n các bi u th c không âm và n m v ng cách v n d ng các
ứ ơ ả hay hàm g(a) ngh ch bi n trên R và do PT (4) có nghi m a=0 nên PT (4) có nghi m duy nh t a=0 ừ T đó ta đ Ệ Ử Ụ IV.H S D NG PH ớ V i ph ấ ẳ b t đ ng th c c b n
2
3
2
2
2
3
(cid:0) + = + x x y (cid:0) - (cid:0) 2xy + 2x 9 x (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Ví d 8ụ . Gi (cid:0) + = + y y x (cid:0) - 2xy + 2y 9 y (cid:0)
2
2
Gi i.ả
2
3
2
3
+ = + x y ế ớ ế ộ ượ C ng v v i v hai PT ta đ c (1) - - 2xy + 2x 9 2xy + 2y 9 y x
3
2
( (cid:0) +- = +- 3
) 2 x 1
3
2
3
2
2
2
2 xy (cid:0) x = � � 2x 9 8 2 xy Ta có : - - 2 2xy + 2x 9 x 2 xy + 2x 9 x
3
2
(cid:0) + (cid:0) xy x y 2 xy ươ ự ấ ẳ ứ T ng t mà theo b t đ ng th c Côsi nên VT(1)≤VP(1) - x = = (cid:0) 2xy + 2x 9 x y 1 (cid:0) ấ ằ ả ử ạ ượ ủ ệ ệ D u b ng x y ra khi th l i ta đ c nghi m c a h là : (0;0) , (1;1) = = (cid:0) y 0 x
(cid:0) = - + 3 (cid:0) + 3x 4 y (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Ví d 9ụ . Gi x 3 = - - (cid:0) (cid:0) x 2y 6y 2
2
3
Gi i.ả
2
3
(cid:0) (cid:0) - - - - = - y 2 x - = - y 2 � � HPT - = - - - = + -
) 3x 2 )
( (
( ( x 2 2 y
( ) + x 1 ) ( x 2 2 y 1
) ( ) x 2 1 ) ) ( y 2 2
3y 2 � � � � � �(cid:0) (cid:0)
ấ ớ ề (1) suy ra y2<0 di u này mâu thu n v i PT(2) có (x2) và (y2) cùng d u
ẫ ậ ế ươ ừ ự ớ v i x<2 ta cũng suy ra đi u vô lí .
ề ầ ủ ệ V y nghi m c a h là x=y=2 ả ệ ể ế ế ạ ờ ạ ệ i h .Đ k t thúc bài vi t m i các b n
ụ ệ ươ ả ẽ ọ Hy v ng m t s ví d trên s giúp b n ph n nào kĩ năng gi ng trình sau cùng gi N u x>2 t ng t T ộ ố i các h ph
4
Ả Ệ ƯƠ
Ễ
NG PHÁP GI I H PH
NG TRÌNH – GIÁO
VIÊN : NGUY N MINH NHIÊN – ĐT :
ƯƠ PH 0976566882
3
)
(
2
2
3
3
2
(cid:0) = = - - (cid:0) 8 (cid:0) 1) 2) � + - - - (cid:0) xy 3x 2y 16 = 2x 4y 33 y � x (cid:0) 6 2 (cid:0)
2
4
2
2
3
)
( ) + y 1 )
(cid:0) + - (cid:0) + + x 2 3y ) ( = x y ( 2 x x (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) 3) 4) + + = - - - = + + (cid:0) y = 3y 9 ( 4 2x 3 y 48y 48x 155 0 (cid:0) (cid:0)
) - = 2x y 1 ( + + 4x 1 ln y
2
3
0 2x y (cid:0)
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) = + + + + = - y 2 x 4 - + y 1 - + y 3 y 5 5) 6) � � - = x 2 + = (cid:0) (cid:0) (cid:0) + x � � + x + xy y y 0 (cid:0) x + + x y x y 44
x
2
2 x y 3
y
(cid:0) = - e 2007 (cid:0) y 2 (cid:0) = 2 - - (cid:0) (cid:0) 0 y 1 (cid:0) (cid:0) 7) 8) + 2x y + 2 + = - (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2x 3x + 6y 12x 13 0 = - e 2007 (cid:0) x 2 - (cid:0) x 1
5
![Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8 [mới nhất/hay nhất/chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250806/anhvan.knndl.htc@gmail.com/135x160/54311754535084.jpg)
![Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 tuần 2 đề 2: [Hướng dẫn chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250728/thanhha01/135x160/42951755577464.jpg)
