zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số

Chia sẻ: Trần Văn Đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Báo xấu

194
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số" hệ thống các nội dung sau: phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp đánh giá, phương pháp cộng đại số, bài tập tự luyện.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số

WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ MỤC LỤC Trang • I- Phương pháp thế 03 • II- Phương pháp đặt ẩn phụ 11 • III- Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 21 • IV- Phương pháp đánh giá 25 • V- Phương pháp cộng đại số 27 • VI- Bài tập tự luyện 29 ____________________________________________________________________________ 2 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ I- PHƯƠNG PHÁP THẾ • Mục đích: Đưa việc giải hệ phương trình hai ẩn về giải phương trình một ẩn. • Dưới đây là một số hệ phương trình mà có khả năng giải được bằng phương pháp thế. 1. Hệ phương trình có một phương trình là phương trình bậc nhất với ẩn x (hoặc y) • Phương pháp: Tính x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại. • Một số ví dụ: Ví dụ 1: x + 2y = 5 (1) Giải hệ phương trình:  2 2  x + 2 y − 2 xy = 5 (2) Giải: y = 1 (1) ⇔ x = 5 − 2 y , thay vào (2), ta được: (2) ⇔ 10 y2 − 30 y + 20 = 0 ⇔  y = 2 • Với y = 1 ta được x = 3 • Với y = 2 ta được x = 1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: x = 3, y = 1 và x = 1, y = 2 Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối A năm 2008)  x + 2 x y + x y = 2 x + 9 (1) 4 3 2 2 Giải hệ phương trình:  2 (I)  x + 2 xy = 6 x + 6 (2) Giải: Cách 1: Nhận xét x = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. −x2 + 6x + 6 Xét x ≠ 0 , ta có ( 2 ) ⇔ y = thế vào phương trình (1), ta được: 2x 2 4 3 −x2 + 6x + 6  2  −x2 + 6x + 6  () 1 ⇔ x + 2 x  + x   = 2x + 9  2 x   2 x  3  x = 0 (lo¹i) ⇔ x 4 + 12 x 3 + 48 x 2 + 64 x = 0 ⇔ x ( x + 4 ) = 0 ⇔   x = −4 17 • x = −4 ⇒ y = − . 4  17  Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm là ( x; y ) =  −4; −  .  4 ____________________________________________________________________________ 3 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________  x 2 + xy 2 = 2 x + 9 (1)  ( ) Cách 2: (I) ⇔  2 .  xy = 3 x + 3 − x (2)  2 x2 Thay xy = 3x + 3 − vào (1), ta được phương trình: 2 2  2 x2  4 3 2 3 x = 0  x + 3 x + 3 −  = 2 x + 9 ⇔ x + 12 x + 48 x + 64 x = 0 ⇔ x ( x + 4 ) = 0 ⇔   2   x = −4 • x = 0 không thỏa mãn (2). 17 • x = −4 ⇒ y = − . 4  17  Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm là ( x; y ) =  −4; −  .  4 2. Hệ phương trình có một phương trình đưa về được phương trình tích • Phương pháp: Phân tích một phương trình của hệ về phương trình tích, sau đó tính được x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại. • Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối A năm 2003)  1 1  x− = y− (1) Giải hệ phương trình:  x y 2 y = x3 + 1  (2) Giải: Cách 1: (Rút thế) Điều kiện xác định: x ≠ 0; y ≠ 0 . x3 + 1 (2) ⇔ y = , thế vào (1) ta được: 2 (1) ⇔ x 7 − 2 x 5 + 2 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 − 3 x + 2 = 0 ( ) ⇔ ( x − 1) x 6 + x 5 − x 4 + x 3 + 3 x 2 + x − 2 = 0 x = 1 ⇔ 6 5 4 3 2  x + x − x + x + 3x + x − 2 = 0 (*) • Với x = 1 ta được y = 1 . ____________________________________________________________________________ 4 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ • Giải phương trình (*): ( ) ( ) ( (*) ⇔ x 4 x 2 + x − 1 + x x 2 + x − 1 + 2 x 2 + x − 1 = 0 ) ( )( ⇔ x2 + x − 1 x4 + x + 2 = 0 )  x2 + x − 1 = 0 ⇔  x 4 + x + 2 = 0 −1 ± 5 • x2 + x − 1 = 0 ⇔ x = 2 2 2  1  1 3 • x 4 + x + 2 = 0 ⇔  x 2 −  +  x +  + = 0 (phương trình vô nghiệm)  2  2 2 Vậy hệ phương trình đã chó có 3 nghiệm là:  −1 + 5 −1 + 5   −1 − 5 −1 − 5  (x ; y) = (1;1), ( x; y) =  ;  , ( x; y) =  ;   2 2   2 2  Cách 2: (Phân tích một phương trình của hệ về phương trình tích) Điều kiện xác định: x ≠ 0; y ≠ 0 y = x  1  (1) ⇔ ( x − y)  1 +  = 0 ⇔   xy  y = − 1  x x = 1 • Với y = x , thế vào (2), ta được: (2) ⇔ x − 2 x + 1 = 0 ⇔  3  x = −1 ± 5  2 1 • Với y = − , thế vào (2), ta được: x 2 2  1  1 3 (2) ⇔ x + x + 2 = 0 ⇔  x 2 −  +  x +  + = 0 (phương trình vô nghiệm) 4  2  2 2 Vậy hệ phương trình đã chó có 3 nghiệm là:  −1 + 5 −1 + 5   −1 − 5 −1 − 5  (x ; y) = (1;1), ( x; y) =  ;  , ( x; y) =  ;  .  2 2   2 2  Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối D năm 2008)  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 (1) Giải hệ phương trình:   x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y (2) ____________________________________________________________________________ 5 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ y ≥ 0 Giải: Điều kiện xác định:  x ≥ 1 (1) ⇔ ( x + y) ( x − 2 y − 1) = 0 ⇔ x = 2 y + 1 (vì x + y > 0 do điều kiện xác định) Thay x = 2 y + 1 vào (2) ta được (2) ⇔ ( y + 1) 2 y = 2( y + 1) ⇔ y = 2 (vì y + 1 > 0 ) • Với y = 2 ta được x = 5 . Vậy hệ có một nghiệm là ( x; y) = (5;2) . Chú ý: Ta có thể phân tích (1) thành phương trình tích bằng cách sau: (1) ⇔ x 2 − ( y + 1) x − 2 y 2 − y = 0 2 Xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn x, ta tính được ∆ = ( 3 y + 1)  ( y + 1) + (3 y + 1) x = 2 x = 2y + 1 Do đó: (1) ⇔  ⇔  x = ( y + 1) − (3 y + 1) x = −y  2 Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối A năm 2011) 5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 − 2 ( x + y ) = 0 (1)  Giải hệ phương trình:  2 2 ( 2 )  xy x + y + 2 = ( x + y ) (2) Giải: Nhận xét x = 0 và y = 0 không phải là nghiệm của hệ.  xy = 1 ( 2 ) ⇔ xy ( x 2 + y2 ) + 2 = x 2 + y2 + 2 xy ⇔ ( xy − 1) ( x 2 + y2 − 2 ) = 0 ⇔  2 2 x + y = 2 1 • xy = 1 ⇔ x = thay vào (1), ta được: (1) ⇔ y 4 − 2 y 2 + 1 = 0 ⇔ y = ±1 . y Trong trường hợp này, hệ có hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) hoặc ( x; y ) = ( −1; −1) . • x 2 + y 2 = 2 thay vào (1), ta được: (1) ⇔ 5x 2 y − 4 xy2 + 3y3 − ( x 2 + y 2 ) ( x + y ) = 0 ⇔ 2 y3 − 5 xy 2 + 4 x 2 y − x 3 = 0 (ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 3 ®èi víi x vµ y) 3 2 y y y ⇔ 2   − 5   + 4. − 1 = 0 x x x ____________________________________________________________________________ 6 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ y x =1 x = y ⇔ ⇔ y = 1 x = 2y  x 2 • Với x = y , ta cũng giải ra được ( x; y ) = (1;1) hoặc ( x; y ) = ( −1; −1) . 2 2 • Với x = 2 y , thay vào (2), ta được: (2) ⇔ 5 y 2 = 2 ⇔ y = ± , suy ra x = ±2 . 5 5   2 2  2 2   Tóm lại, hệ đã cho có tập nghiệm: S = (1;1) , ( −1; −1) ,  ;2  ,  − ; −2   .   5 5  5 5   Ví dụ 4: (Đề thi đại học khối D năm 2012) 2 x 3 − x 2 y + x 2 + y 2 − 2 xy − y = 0 (1) Giải hệ phương trình:   xy + x − 2 = 0 (2) Giải: Cách 1: (Rút thế) 2−x Nhận xét x = 0 không thỏa mãn (2) nên (2) ⇔ y = , thay vào (1), ta được: x 2 3 22−x 2−x (1) ⇔ 2 x − x ( 2 − x ) + x +   − 2 (2 − x ) − = 0 ⇔ x 5 + x 4 − x 2 − 3x + 2 = 0  x  x x = 1 ( ) ⇔ ( x − 1) x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + x − 2 = 0 ⇔  4 3 2  x + 2 x + 2 x + x − 2 = 0 (*) • Với x = 1 , ta được y = 1 . 1 1 35 5 Giải (*): Đặt x = t − , (*) trở thành: t 4 + t 2 − =0⇔t =± . 2 2 16 2 5 5 −1 • Với t = , ta được x = và y = 5 . 2 2 5 − 5 −1 • Với t = − , ta được x = và y = − 5 . 2 2 Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm:  5 −1   − 5 −1  (x ; y) = (1;1), ( x; y) =  ; 5  , ( x; y) =  ; − 5  .  2   2  ____________________________________________________________________________ 7 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ Chú ý: 1 • Đồ thị hàm số f ( x ) = x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + x − 2 có trục đối xứng là đường thẳng x = − 2 1 (x =− là nghiệm chung của phương trình f ' ( x ) = 0 và f ''' ( x ) = 0 ). Do đó ta đặt 2 1 x = t − thì phương trình (*) sẽ đưa về được phương trình trùng phương. 2 • Có thể phân tích f ( x ) = x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + x − 2 thành tích hai tam thức bậc hai bằng cách sử dụng máy tính Casio 570ES như sau: + Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được một nghiệm là x1 ≈ 0,6180339887 → A (gán cho biến nhớ A). + Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được một nghiệm nữa là x2 ≈ −1,618033989 → B (gán cho biến nhớ B). + Tính được A + B = −1; A.B = −1 , suy ra x1 ; x2 là nghiệm của phương trình x 2 + x − 1 = 0 . + Thực hiện phép chia x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + x − 2 cho x 2 + x − 1 , ta được: ( )( x 4 + 2 x3 + 2 x2 + x − 2 = x2 + x − 1 x2 + x + 2 ) Cách 2: (Phân tích một phương trình của hệ về phương trình tích) y = 2x + 1 ( ) (2) ⇔ ( 2 x − y + 1) x 2 − y = 0 ⇔  2 y = x −1 ± 5 • Với y = 2 x + 1 , thay vào (1) ta được (1) ⇔ x 2 + x − 1 = 0 ⇔ x = . 2  5 −1   − 5 −1  Do đó ta được nghiệm ( x; y) =  ; 5  , ( x; y) =  ; − 5  .  2   2  2 3 • Với y = x , thay vào (1) ta được (1) ⇔ x + x − 2 = 0 ⇔ x = 1 . Do đó ta được nghiệm (x ; y) = (1;1). Vậy hệ đã cho có ba nghiệm:  5 −1   − 5 −1  (x ; y) = (1;1), ( x; y) =  ; 5  , ( x; y ) =  ; 5   2   2 − .     3. Hệ phương trình có một phương trình đưa về được phương trình đẳng cấp đối với x và y sau khi rút thế • Phương trình đẳng cấp bậc n đối với x và y là phương trình có dạng: a0 x n + a1 x n−1 y + a2 x n −2 y 2 + ... + an−1 xy n −1 + an y n = 0 (1) với a0 ≠ 0 . • Phương pháp giải (1): ____________________________________________________________________________ 8 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ Xét y = 0; x = 0 có phải là nghiệm của (1) hay không. Xét y ≠ 0 , chia hai vế của (1) cho y n , ta được: n n −1 x x x x (1) ⇔ a0   + a1   + ... + an −1 + an = 0 (2) . Đặt t = thì (2) trở thành: y y y y a0t n + a1t n−1 + ... + an −1t + an = 0 (3) Giải phương trình (3) ta tìm được t, có t ta tính được x theo y. Sau đó dùng phương pháp thế để giải hệ phương trình đã cho. • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006)  x 3 − 8 x = y3 + 2 y Giải hệ phương trình:  2 (I) 2  x − 3 = 3 y + 1 ( ) Giải:  x 3 − y3 = 2 ( 4 x + y ) 3 x − y = 6 ( 4 x + y ) (1) ( ) 3 3 (I) ⇔  ⇔ 2 2  x − 3 y = 6  x 2 − 3 y 2 = 6 (2) Thế x 2 − 3y 2 = 6 vào (1), ta được: (1) ⇔ 3 ( x 3 − y3 ) = ( x 2 − 3y2 ) ( 4 x + y ) ⇔ x 3 + x 2 y − 12 xy2 = 0 (*) . Ta thấy (*) là một phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với x và y. x = 0 (*) ⇔  x = 3 y  x = −4 y • x = 0 thế vào (2) ta được −3y2 = 6 (vô nghiệm) • x = 3y thế vào (2) ta được y2 = 1 ⇔ y = ±1 6 6 • x = −4 y thế vào (2) ta được y2 = ⇔y=± 13 13 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là:  6 6   6 6  ( x; y ) = ( 3;1) , ( x; y ) = ( −3; −1) , ( x; y ) =  4 ;−  , ( x; y ) =  −4 ; .  13 13   13 13  Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học lần 1 khối A trường THPT chuyên Vĩnh Phúc năm 2013)  x 3 + 4 y = y3 + 16 x (1) Giải hệ phương trình:  2 1 + y = 5 1 + x 2 ( (2) ) ____________________________________________________________________________ 9 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ Giải: (1) ⇔ x 3 + 4 ( y − 4 x ) − y3 = 0 (2) ⇔ y 2 − 5x 2 = 4 thế vào (1) ta được: ( (1) ⇔ x 3 + y 2 − 5x 2 )( y − 4x ) − y 3 = 0 ⇔ 21x 3 − 5 x 2 y − 4 xy 2 = 0 −1 4 ⇔ x = 0 hoÆc x = y hoÆc x = y 3 7 • x = 0 thế vào (2) ta được y 2 = 4 ⇔ y = ±2 . −1 • x= y thế vào (2) ta được y 2 = 9 ⇔ y = ±3 3 4 31 • x= y thế vào (2) ta được − y 2 = 4 (vô nghiệm) 7 49 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( x; y ) = ( 0;2 ) , ( x; y ) = ( 0; −2 ) , ( x; y ) = (1; −3) , ( x; y ) = ( −1;3) . ____________________________________________________________________________ 10 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ II- PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ • Mục đích: đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình đơn giản hơn có thể giải được bằng phương pháp rút thế. • Phương pháp chung: đặt a = f ( x, y) và b = g ( x; y) rồi tìm điều kiện của a và b (nếu có). Sau đó đưa hệ đã cho về hệ phương trình hai ẩn a và b mà có thể giải được bằng phương pháp thế. • Các kỹ thuật hay dùng: + Sử dụng hằng đẳng thức để nhóm các số hạng. + Chia hai vế cho một biểu thức khác 0. • Chú ý: Muốn đặt được ẩn phụ ta phải quan sát, phân tích, tìm mối liên hệ giữa các biểu thức, số hạng trong mỗi phương trình. Do đó, chúng ta phải làm nhiều bài tập, từ đó mới tích lũy được các kinh nghiệm, sự linh hoạt trong các phép đặt ẩn phụ. Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối B năm 2002) 3 x − y = Giải hệ phương trình:  x− y (1)  x + y = x+ y+2 (2) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) x − y ≥ 0 Điều kiện xác định:  . Khi đó x + y + 2 ≥ 0 x − y = 0 x = y (1) ⇔ ( x − y)2 = ( x − y)3 ⇔  ⇔ x − y = 1 x = y +1 • Với x = y , thế vào (2), ta được:  y ≥ 0 y ≥ 0  (2) ⇔ 2 y = 2 y + 2 ⇔  2 ⇔ 1 ⇔ y =1 4 y − 2 y − 2 = 0  y = 1 ∨ y = − 2 • Với x = y + 1 , thế vào (2), ta được:  1  y≥−  2 y + 1 ≥ 0  2 1 (2) ⇔ 2 y + 1 = 2 y + 3 ⇔  2 ⇔ ⇔y=  4 y + 2 y − 2 = 0  y = −1 ∨ y = 1 2  2 3 1 Vậy hệ có hai nghiệm x = 1, y = 1 và x = , y = . 2 2 Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Đặt u = 6 x − y và v = x + y + 2 (điều kiện u ≥ 0 và v ≥ 0 ). Hệ đã cho trở thành: ____________________________________________________________________________ 11 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ u2 = u3 u = 0 hoÆc u = 1  2 ⇔ v − 2 = v v = 2 hoÆc v = −1 (lo¹i) x − y = 0 x = 1 • Với u = 0 và v = 2, ta có hệ:  ⇔ x + y + 2 = 4 y = 1  3  x = x − y = 1 2 • Với u = 1 và v = 2, ta có hệ:  ⇔ x + y + 2 = 4 y = 1  2 3 1 Vậy hệ có hai nghiệm x = 1, y = 1 và x = , y = . 2 2 Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối A năm 2006)  x + y − xy = 3 (1) Giải hệ phương trình:   x + 1 + y + 1 = 4 (2) Giải: Điều kiện: xy ≥ 0; x ≥ −1; y ≥ −1 (2) ⇔ x + y + 2 + 2 x + y + xy + 1 = 16 ⇔ x + y + 2 x + y + xy + 1 = 14 Đặt a = x + y và b = xy (điều kiện: b ≥ 0 ), ta có hệ: a − b = 3 a = 3 + b a = 3 + b  2 ⇔ 2 ⇔ 2 a + 2 a + b + 1 = 14 3 + b + 2 3 + b + b + 1 = 14 2 b + b + 4 = 11 − b (*) 0 ≤ b ≤ 11 0 ≤ b ≤ 11 • (*) ⇔  2 ⇔  ⇔ b = 3 , ta được a = 6. ( 2 ) 4 b + b + 4 = (11 − b ) 2 3b + 26b − 105 = 0 x + y = 6 •  ⇔ x = y=3  xy = 9 Vậy hệ đã cho có một nghiệm là ( x; y ) = ( 3;3) Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối A năm 2008)  2 3 2 5  x + y + x y + xy + xy = − 4 (1) Giải hệ phương trình:  (I)  x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x ) = − 5 (2)  4 ____________________________________________________________________________ 12 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ Giải:  2 5 ( 2 )  x + y + xy x + y + xy = − 4 (I) ⇔  .  x 2 + y 2 + xy = − 5 ( )  4 Đặt a = x 2 + y; b = xy thì hệ trở thành:  5  2 5  5 a + b + ab = − 4 b = − a − 4  a = 0; b = − 4  ⇔ ⇔ a2 + b = − 5 a3 + a 2 + a = 0 a = − 1 ; b = − 3  4  4  2 2 x2 + y = 0 5  5 25 • Với a = 0; b = − ta có hệ  5 ⇔ x = 3 và y = − 3 . 4  xy = − 4 16  4  2 1  x + y = − 2  3x 1 3 y = − 3 • Với a = − ; b = − ta có hệ  ⇔ 2 ⇔ x = 1 và y = − . 2 2  xy = − 3 2 x 3 + x − 3 = 0 2   2  5 25   3 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) =  3 ; − 3  và ( x; y ) =  1; −  .  4 16   2  Ví dụ 4: (Đề thi đại học khối B năm 2009) 1 + xy + x 2 y 2 = 13 y2 (1) Giải hệ phương trình:   x + 1 + xy = 7 y (2) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) x +1 Nhận xét x = 7 không thỏa mãn (2) nên (2) ⇔ y = , thay vào (1), ta được: 7− x 2 2 x +1  x +1   x +1  (1) ⇔ 1 + x. + x2   = 13   7− x 7− x  7− x  ⇔ x 4 + x 3 − 5 x 2 − 33 x + 36 = 0 ( ⇔ ( x − 1)( x − 3) x 2 + 5 x + 12 = 0 ) x = 1 ⇔ x = 3 ____________________________________________________________________________ 13 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ 1 • Với x = 1 ta được y = 3 • Với x = 3 ta được y = 1 1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: x = 3, y = 1 và x = 1, y = . 3 Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Nhận xét y = 0 không phải là nghiệm của hệ. Chia hai vế của (1) cho y2 và của (2) cho y, ta được: 1 x 2  1 2  x  y 2 + y + x = 13  + x  − = 13 1 + xy + x 2 y 2 = 13 y 2   y  y  ⇔ ⇔  x + 1 + xy = 7 y x + 1 + x = 7  1  x  y y   y + x  + =7   y 1 x Đặt a = + x và b = , hệ đã cho trở thành: y y a2 − b = 13  a2 + a − 20 = 0  a = 4; b = 3  ⇔ ⇔ a + b = 7  b = 7 − a  a = −5; b = 12  1 x + y = 4  xy + 1 = 4 y  x = 1; y = 1   • Với a = 4; b = 3 ta có hệ:  ⇔ ⇔ 3 x = 3  x = 3y   x = 3; y = 1  y  1  x + y = −5  • Với a = −5; b = 12 ta có hệ  vô nghiệm.  x = 12  y  1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) =  1;  và ( x; y ) = ( 3;1) .  3 Chú ý: Thao tác chia hai vế của hệ phương trình cho một lượng khác 0 thường sử dụng cho những hệ phương trình mà trong mỗi phương trình của hệ có một số hạng có hệ số khác biệt so với hệ số của các số hạng còn lại. Chẳng hạn ở ví dụ trên, trong phương trình (1) số hạng 13y 2 có hệ số là 13 khác biệt so với hệ số của các số hạng 1; xy; x 2 y 2 . Cũng thế, trong phương trình (2) số hạng 7y có hệ số là 7 cũng khác biệt so với hệ số của các số hạng x ;1; xy . Dưới đây là một ví dụ tương tự: Ví dụ 5: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006) ____________________________________________________________________________ 14 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________  x 2 + 1 + y ( x + y ) = 4 y (1) Giải hệ phương trình:  (I) ( 2 ) ( x + y − 2 ) x + 1 = y (2) Giải: • Với y = 0 hệ vô nghiệm. • Với y ≠ 0 , chia hai vế của (1) và (2) cho y, ta được:  x2 + 1  + ( x + y) = 4  y (I) ⇔  2 .  x + y−2 x + 1 ( ) =1 y x2 + 1 a + b = 2 Đặt a = và b = x + y − 2 , hệ trở thành:  ⇔ a = b = 1. y ab = 1  x2 + 1  y = x + 1 2  =1  x = 1; y = 2 • Với a = b = 1 , ta có hệ:  y ⇔ 2 ⇔ .  x + y − 2 = 1  x + x − 2 = 0  x = −2; y = 5  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = (1;2 ) và ( x; y ) = ( −2;5) . Ví dụ 6: (Đề thi đại học khối D năm 2009)  x ( x + y + 1) − 3 = 0 (1)  Giải hệ phương trình:  2 5 ( x + y ) − x 2 + 1 = 0 (2) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) Điều kiện xác định: x ≠ 0 3 (1) ⇔ y = − x − 1 thế vào (2), ta được: x 1 3  2 5 1 1 x =1 x = 1 (2) ⇔  − 1  − 2 + 1 = 0 ⇔ 2 2 − 3. + 1 = 0 ⇔  ⇔ x  x x x 1 = 1 x = 2  x 2 • Với x = 1 ta được y = 1. 3 • Với x = 2 ta được y = − . 2 ____________________________________________________________________________ 15 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________  3 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = (1;1) và ( x; y ) =  2; −  .  2 Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Điều kiện xác định: x ≠ 0  3  x + y + 1 − x = 0 Chia hai vế của (1) cho x, ta được hệ đã cho tương đương với hệ:  (*) 5 ( x + y ) − + 1 = 0 2  x2 1 Đặt a = x + y và b = , hệ (*) trở thành: x  a = 2; b = 1 a − 3b + 1 = 0  2 ⇔ 2 a − 5b + 1 = 0 a = 1 ; b = 1  2 2 • Với a = 2; b = 1 ta được x = y = 1 . 1 1 3 • Với a = ; b = ta được x = 2; y = − . 2 2 2  3 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = (1;1) và ( x; y ) =  2; −  .  2 Ví dụ 7: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2005) 3 x + 2 y = 4 (1) Giải hệ phương trình:   2 x + y + 1 − x + y = 1 (2) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) 4 − 3x (1) ⇔ y = thế vào (2), ta được: 2  −6 ≤ x ≤ 4 (*) x +6 4−x  (2) ⇔ − =1⇔ x +6 = 2 + 4 − x ⇔  2 2 2  x + 6 = 2 + 4 − x ( ) (**) x ≥ 0 (**) ⇔ x + 6 = 6 − x + 2 2 ( 4 − x ) ⇔ x = 2(4 − x) ⇔  2 ⇔ x = 2 (thỏa (*)). x + 2x − 8 = 0 • x = 2 ⇒ y = −1 Vậy hệ có nghiệm là ( x; y ) = ( 2; −1) . Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) ____________________________________________________________________________ 16 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ Đặt a = 2 x + y + 1 và b = x + y với điều kiện a ≥ 0 và b ≥ 0 thì hệ đã cho trở thành: a2 + b2 = 5 b2 + b − 2 = 0  a = 2; b = 1  ⇔ ⇔ a − b = 1 a = 1 + b  a = −1; b = −2 (lo¹i)  2 x + y + 1 = 2 2 x + y = 3  x = 2 • Với a = 2; b = 1 ta có hệ  ⇔ ⇔  x + y = 1  x + y = 1  y = −1 Vậy hệ có nghiệm là ( x; y ) = ( 2; −1) . Ví dụ 8: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2005)  x 2 + y 2 + x + y = 4 Giải hệ phương trình:   x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2 Giải: Đặt a = x + y và b = xy thì hệ đã cho trở thành: a2 + a − 2b = 4 a2 + a = 0 a = 0 a = −1  ⇔ ⇔ hoÆc  b = −2 b = −2 b = −2 b = −2 x + y = 0  x = 2  x = − 2 •  ⇔ hoÆc   xy = −2  y = − 2  y = 2  x + y = −1  x = 1  x = −2 •  ⇔ hoÆc   xy = −2  y = −2 y = 1 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( x; y ) = (1; −2 ) ; ( x; y ) = ( −2;1) ; ( x; y ) = ( − ) 2; 2 ; ( x; y ) = ( ) 2; − 2 . Ví dụ 9: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2005)  x 2 + y2 ( ) ( x − y ) = 13 (1)  Giải hệ phương trình:  (I) 2  x − y ( 2 ) ( x + y ) = 25 (2) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) 25 x 2 + y 2 ( x − y ) = 13.25 (* ) ( )  (I) ⇔  ( 2 2 )  x − y ( x + y ) = 25 ( ) Thế x 2 − y 2 ( x + y ) = 25 vào (*), ta có: (* ) ⇔ 25 ( x 2 + y2 ) ( x − y ) = 13 ( x 2 − y2 ) ( x + y ) ____________________________________________________________________________ 17 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ x − y = 0 3y 2y ⇔ 2 ⇔ x = y hoặc x = hoặc x = . ( 2 2 ) 25 x + y = 13 ( x + y ) 2 3 • Với x = y thì hệ vô nghiệm. 3y • Với x = thì (1) ⇔ y3 = 8 ⇔ y = 2 , suy ra x = 3 . 2 2y • Với x = thì (1) ⇔ y3 = −27 ⇔ y = −3 , suy ra x = −2 . 3 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = ( 3;2 ) và ( x; y ) = ( −2; −3) . Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ)  ( x − y )2 + 2 xy  ( x − y ) = 13   (I) ⇔  ( x − y ) ( x − y ) + 4 xy  = 25 2     2 ( )  a + 2 b a = 13 a + 2ab = 13 3 a = 1 Đặt a = x − y và b = xy , hệ trở thành:  ⇔ 3 ⇔ a a + 4b = 25 a + 4 ab = 25  b = 6 ( ) 2  x − y = 1  x = 3; y = 2 •  ⇔  xy = 6  x = −2; y = −3 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = ( 3;2 ) và ( x; y ) = ( −2; −3) . Cách 3: (Phương pháp đặt ẩn phụ) • Nhận xét với y = 0 thì hệ (I) vô nghiệm. • Xét y ≠ 0 , đặt x = ty thì (I) trở thành:  3 2 ( )  t 2 + 1 ( t − 1) = 13 (3) ( )  y t + 1 ( t − 1) = 13   3 2 ⇔ (*) ( ) ( 2 )  y t − 1 ( t + 1) = 25  t − 1 ( t + 1) = 25 (4) Nhận xét t = 1 không phải là nghiệm của (*) nên lấy (4) chia (3), vế theo vế ta được: ( t + 1)( t + 1) = 25 ⇔ 6t 2 − 13t + 6 = 0 ⇔ t = 3 ∨ t = 2 t2 + 1 13 2 3 3 3y • Với t = hay x = thì (1) ⇔ y3 = 8 ⇔ y = 2 , suy ra x = 3 . 2 2 2 2y • Với t = hay x = thì (1) ⇔ y3 = −27 ⇔ y = −3 , suy ra x = −2 . 3 3 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = ( 3;2 ) và ( x; y ) = ( −2; −3) . Chú ý: Hệ (I) ở ví dụ trên là một trường hợp đặc biệt của hệ sau đây (hệ đẳng cấp): a0 x n + a1 x n−1 y + ... + an−1 xy n−1 + an y n = b0 x m + b1 x m −1 y + ... + bm −1 xy m −1 + bm y m  p p −1 p −1 p q q −1 q −1 q (*) c0 x + c1 x y + ... + c p −1 xy + c p y = d0 x + d1 x y + ... + dq −1 xy + dq y Trong đó m, n, p, q ∈ và n + q = m + p . ____________________________________________________________________________ 18 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ Để giải hệ (*) ta đặt x = ty , rồi tìm t. Có t thì ta sẽ tính được x; y . Sau đây là một ví dụ minh họa. Ví dụ 10: (Đề thi thử đại học lần 1 trường Hà Nội - Amsterdam năm 2013 - khối A) 5x 2 − 3y = x − 3 xy Giải hệ phương trình:  3 2 2 3 (*)  x − x = y − 3 y Giải: 5 x 2 + 3 xy = x + 3 y (*) ⇔  3 3 2 2 (Hệ này ứng với n = 2; m = 1; p = 3; q = 2 )  x + 3 y = x + y 5x 2 = x • Với y = 0 thì (*) ⇔  3 2 ⇔ x =0  x = x • Với y ≠ 0 , đặt đặt x = ty thì (*) trở thành:  y 2 5t 2 + 3t = y ( t + 3) ( )  y 5t 2 + 3t = t + 3 (1) ( )    3 3 ⇔ ( )  y t + 3 = y t + 1 2 (2 ) ( 3 ) 2  y t + 3 = t + 1 (2) Vì t 3 = −3 không thỏa (2) nên t 3 + 3 ≠ 0 . Lấy (2) chia (1), vế theo vế ta được phương trình: 5t 2 + 3t t + 3 3 = 2 ⇔ 4t 4 + 5t 2 − 9 = 0 ⇔ t = ±1 . t +3 t +1 1 1 • Với t = 1 thì (1) ⇔ y = và x = y nên suy ra x = . 2 2 • Với t = −1 thì (1) ⇔ y = 1 và x = − y nên suy ra x = −1 . 1 1 Vậy hệ phương trình (*) có 3 nghiệm là ( x; y ) = ( 0;0 ) , ( x; y ) =  ;  , ( x; y ) = ( −1;1) . 2 2 Ví dụ 11: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2007)  x 4 − x 3 y + x 2 y 2 = 1 Giải hệ phương trình:  3 2 (I)  x y − x + xy = 1 Giải: Cách 1: Đặt a = x 2 ( a ≥ 0 ) và b = xy thì hệ trở thành: a 2 − ab + b 2 = 1 a 2 − ab + b 2 = ab − a + b ( a − b )2 = b − a a = b = 1  ⇔  ⇔  ⇔ ab − a + b = 1 ab − a + b = 1 ab − a + b = 1  a = 0; b = 1 • Với a = b = 1 , ta có ( x; y ) = (1;1) hoặc ( x; y ) = ( −1; −1) . • Với a = 0; b = 1 thì không có x, y thỏa mãn. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = (1;1) và ( x; y ) = ( −1; −1) . ____________________________________________________________________________ 19 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ Cách 2:  − x 2 + xy 2 + x 3 y = 1  (I) ⇔  ( ) ( )  − x 2 + xy + x 3 y = 1  Đặt a = − x 2 + xy; b = x 3 y thì hệ trở thành: a2 + b = 1  a = 0; b = 1  ⇔ a + b = 1  a = 1; b = 0 − x + xy = 0 2 x = y = 1 • Với a = 0; b = 1 ta có hệ:  3 ⇔  x y = 1  x = y = −1 − x + xy = 1 2 • Với a = 1; b = 0 ta có hệ:  3 (vô nghiệm)  x y = 0 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = (1;1) và ( x; y ) = ( −1; −1) . ____________________________________________________________________________ 20 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ III- PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ • Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa một trong hai phương trình của hệ về dạng f ( u( x ) ) = f ( v( y) ) với y = f ( t ) là một hàm số đơn điệu trên tập D (dựa vào các phương trình của hệ ta tìm D). Từ đó suy ra u( x ) = v( y) , suy ra mối liên hệ giữa hai ẩn x và y . • Chú ý: Phương pháp hàm số thường dùng cho các hệ phương trình mà một trong hai phương trình của hệ có thể đưa về một phương trình mà có đặc điểm là vế trái chỉ chứa ẩn x, vế phải chỉ chứa ẩn y (hoặc ngược lại). • Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối A năm 2010) 4( x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 (1) Giải hệ phương trình:  2 2 4 x + y + 2 3 − 4 x = 7 (2) Giải: 3 5 Điều kiện: x ≤ ; y ≤ . 4 2 ( ) (1) ⇔ 4 x 2 + 1 2 x = ( 5 − 2 y + 1) 5 − 2 y (*) Nhận xét (*) có dạng f ( 2 x ) = f ( ) ( ) 5 − 2 y , với f ( t ) = t 2 + 1 t . Ta có f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0 suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên . x ≥ 0  Do đó: (* ) ⇔ 2 x = 5 − 2 y ⇔  5 − 4 x 2 , thế vào phương trình (2) ta được:  y =  2 2 ( 2 ) ⇔ 4 x +  − 2 x 2  + 2 3 − 4 x − 7 = 0 (3) 2 5 2  3 Nhận xét x = 0 và x = không phải là nghiệm của (3). 4 2 5   3 Xét hàm số g ( x ) = 4 x 2 +  − 2 x 2  + 2 3 − 4 x − 7 trên khoảng  0;  . 2   4 5  4 4 g ' ( x ) = 8x − 8x  − 2 x2  − 2  3 − 4x ( = 4x 4x2 − 3 − ) 3 − 4x < 0 , suy ra hàm số g ( x )  3 nghịch biến trên khoảng  0;  .  4 1 1 Mặt khác g   = 0 nên phương trình (3) có một nghiệm duy nhất là x = , suy ra y = 2 . 2 2 1  Vậy hệ đã cho có nghiệm là: ( x; y ) =  ;2  . 2  ____________________________________________________________________________ 21 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.