Mt s phng pháp gii h phng trình hai n s
_______________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Giáo viên: Nguyn Trung Ngha - Trng THPT chuyên Quc Hc - Hu.
2
MC LC
Trang
• I- Phng pháp th 03
• II- Phng pháp t n ph 11
• III- Phng pháp s dng tính n iu ca hàm s 21
• IV- Phng pháp ánh giá 25
• V- Phng pháp cng i s 27
• VI- Bài tp t luyn 29
WWW.VNMATH.COM
Mt s phng pháp gii h phng trình hai n s
_______________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Giáo viên: Nguyn Trung Ngha - Trng THPT chuyên Quc Hc - Hu.
3
I- PHNG PHÁP TH
• Mc ích: a vic gii h phng trình hai n v gii phng trình mt n.
• Di ây là mt s h phng trình mà có kh nng gii c bng phng pháp th.
1. H phng trình có mt phng trình là phng trình bc nht vi n x (hoc y)
• Phơng pháp: Tính x theo y (hoc y theo x) ri th vào phng trình còn li.
• Mt s ví d:
Ví d 1:
Gii:
⇔ = − , thay vào (2), ta c:
   
=
⇔ − + = ⇔ =
• Vi = ta c =
• Vi = ta c =
Vy h ã cho có hai nghim: = = và = =
Ví d 2: ( thi i hc khi A nm 2008)
Gii:
Cách 1: Nhn xét = không tha mãn h phng trình.
Xét ≠, ta có
( )
− + +
⇔ = th vào phng trình (1), ta c:
( )
( )

   
− + + − + +
⇔ + + = +
=
⇔ + + + = ⇔ + = ⇔ = −
•

= − = − .
Vy h phng trình ã cho có mt nghim là
( )


= − −
.
Gii h phng trình:


+ =
+ − =
Gii h phng trình:




+ + = +
+ = +
WWW.VNMATH.COM
Mt s phng pháp gii h phng trình hai n s
_______________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Giáo viên: Nguyn Trung Ngha - Trng THPT chuyên Quc Hc - Hu.
4
Cách 2:
( )





+ = +
⇔
= + −
.
Thay
 = + − vào (1), ta c phng trình:
( )
  
=
+ + − = + ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔
= −
• = không tha mãn (2).
•

= − = − .
Vy h phng trình ã cho có mt nghim là
( )

= − −
.
2. H phng trình có mt phng trình a v c phng trình tích
• Phơng pháp: Phân tích mt phng trình ca h v phng trình tích, sau ó tính
c x theo y (hoc y theo x) ri th vào phng trình còn li.
• Mt s ví d:
Ví d 1: ( thi i hc khi A nm 2003)
Gii:
Cách 1: (Rút th)
iu kin xác nh: ≠ ≠ .

+
⇔ = , th vào (1) ta c:
( )
( )

 
⇔ − + + − − + =
⇔ − + − + + + − =
=
⇔+ − + + + − =
• Vi = ta c =.
Gii h phng trình:
3
1 1
(1)
2 1 (2)
− = −
= +
x y
x y
y x
WWW.VNMATH.COM
Mt s phng pháp gii h phng trình hai n s
_______________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Giáo viên: Nguyn Trung Ngha - Trng THPT chuyên Quc Hc - Hu.
5
• Gii phng trình (*):
( ) ( ) ( )
( )( )



⇔ + − + + − + + − =
⇔ + − + + =
+ − =
⇔
+ + =
•
− ±
+ − = ⇔ =
•
+ + = ⇔ − + + + =
(phng trình vô nghim)
Vy h phng trình ã chó có 3 nghim là:
(x ; y) = (1;1),
− + − +
=
,
− − − −
=
Cách 2: (Phân tích mt phng trình ca h v phng trình tích)
iu kin xác nh: ≠ ≠

=
⇔ − + = ⇔
= −
• Vi =, th vào (2), ta c:

=
⇔ − + = ⇔ − ±
=
• Vi
= − , th vào (2), ta c:

⇔ + + = ⇔ − + + + =
(phng trình vô nghim)
Vy h phng trình ã chó có 3 nghim là:
(x ; y) = (1;1),
− + − +
=
,
− − − −
=
.
Ví d 2: ( thi i hc khi D nm 2008)
Gii h phng trình:



+ + = −
− − = −
WWW.VNMATH.COM
Mt s phng pháp gii h phng trình hai n s
_______________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Giáo viên: Nguyn Trung Ngha - Trng THPT chuyên Quc Hc - Hu.
6
Gii: iu kin xác nh:
≥
≥
( )
⇔ + − − = ⇔ = + (vì + > do iu kin xác nh)
Thay = + vào (2) ta c   ⇔ + = + ⇔ = (vì + > )
• Vi = ta c =.
Vy h có mt nghim là  =.
Chú ý: Ta có th phân tích (1) thành phng trình tích bng cách sau:
( )
⇔ − + − − =
Xem ây là phng trình bc hai theo n x, ta tính c
( )
∆ = +
Do ó:


+ + +
=
= +
⇔ ⇔
+ − + = −
=
Ví d 3: ( thi i hc khi A nm 2011)
Gii:
Nhn xét = và = không phi là nghim ca h.
( )
( )
( )
( )

  
=
⇔ + + = + + ⇔ − + − = ⇔ + =
•

= ⇔ = thay vào (1), ta c:
( )
⇔ − + = ⇔ = ± .
Trong trng hp này, h có hai nghim
( ) ( )
= hoc
( ) ( )
= − − .
•
+ = thay vào (1), ta c:
( )
( )
( )
  !"#$!%&' &(
 )


⇔ − + − + + =
⇔ − + − =
⇔ − + − =
Gii h phng trình:
( )
( )
( )




− + − + =
+ + = +
WWW.VNMATH.COM