1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU
Thực hiện Vũ Văn Bắc
Website : http://parksungbuyl.wordpress.com/
TÀI LIỆU CÓ THAM KHẢO TẠP CHÍ TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ
Trong các số báo trên THTT có nghiên cứu khá sâu sắc về các phương trình vô tỉ. Trong bài viết này chúng
ta sẽ đề cập đến một lớp phương trình cũng rất quan trọng, thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp
THCS cũng như các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đó là các phương trình dạng phân thức có chứa ẩn ở mẫu.
Chúng ta sẽ cùng giải quyết những khó khăn của các bạn học sinh khi gặp loại phương trình này thông qua
các phương pháp giải sau.
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI
1. Phân tích hoặc nhóm các phân thức
Thí dụ 1. Giải phương trình
)1(
2
4
3
70
17
1
28
11
1
4
5
1
222
x
x
x
x
x
x
x
Lời giải
Điều kiện: (*)
2
1
;1;4;7;10
x
4;30127
24
3
10
1
1
1
3
1
24
3
10
1
7
1
3
1
7
1
4
1
3
1
4
1
1
1
3
1
24
3
)10)(7(
1
)7)(4(
1
)4)(1(
1
)1(
2
xxxx
xxx
xxxxxxx
xxxxxxx
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm duy nhất 3
x.
Thí dụ 2. Giải phương trình
)2(4
4
4
3
3
2
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
Lời giải
Điều kiện:
(*)4;1;2;3 x
5
69
1
2
1
0
5
16
0)4)(1)(125()3)(2)(85(
0
)3)(2(
125
)4)(1(
85
0
3
3
2
2
4
4
1
1
4
4
8
1
3
6
1
2
4
1
1
2
1)2(
2xxxxxxxxx
xx
x
xx
x
xxxx
xxxx
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là
5
69
1
2
1
x.
Thí dụ 3. Giải phương trình
)3(
5
1
4
1
2
1
1
1
x
x
x
x
2
Lời giải
Điều kiện: (*)
2011
5
;
2010
4
;
2009
2
;
2008
1
x
2
3
;1
4019
6
0352
64019
0)42010)(22009()52011)(12008(
064019
0
)42010)(22009(
1
)52011)(12008(
1
64019
)42010)(22009(
64019
)52011)(12008(
64019
42010
1
22009
1
52011
1
12008
1
)3(
2
xx
x
xx
x
xxxx
x
xxxx
x
xx
x
xx
x
xxxx
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là
2
3
;1;
6 xxx
2. Đưa về phương trình bậc cao giải được
Thí dụ 4. Giải phương trình
)4(6
2
3
13
2
5
3
2
22
x
x
x
x
x
x
Lời giải
Điều kiện:
3
2
;1x
3
4
;
2
1
0)639)(43)(12(
0247810511754
)23)(253(6)253(13)23(2)4(
2
234
2222
xxxxxx
xxxx
xxxxxxxxxx
So sánh với điều kiện (*) thì nghiệm của phương trình là
3
4
;
2
1 xx .
Thí dụ 5. Giải phương trình
)5(
2
1
1
1
1
1
x
xx
Lời giải
Điều kiện: (*)1;0
xx
x
x2
1
1
2
)5( 2
+) Nếu 10
x thì vế trái âm còn vế phải luôn dương nên phương trình vô nghiệm
+) Nếu 1
x thì hai vế không âm nên bình phương hai vế ta được phương trình
)1(1222
02232222322018301162 22
2
2
224
xx
xxxxxxxxx
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 1222 x.
3
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1. Đặt một ẩn phụ
Thí dụ 6. Giải phương trình
)6(3
13
23
24
x
x
x
xx
Lời giải
Điều kiện: (*)
2
51
;0
x
3
1
1
3
1
3
13
)6(
2
2
2
23
2
24
x
x
x
x
x
xxx
x
xx
đặt
x
xt 1
ta được
2
1
0233
1
52
2
t
t
tt
t
t
+)
2
51
011
1
12
xxx
x
xt
+) 210122
1
22 xxx
x
xt
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là 21;
2
51
xx .
Thí dụ 7. Giải phương trình
)7(
6
1
2
3
13
1
4
3
2
22
x
x
x
x
x
Lời giải
Điều kiện: (*)
3
1
;1;0
x
6
1
23
13
1
43
2
)7(
x
x
x
x
đặt t
x
x 4
1
3 ta được phương trình
4;
2
1
04726
6
132 2
tttt
t
t
+)
2
1
;
3
4
04116
2
12 xxxxt
+) xxxt 0234 2
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là
2
1
;
3
4 xx .
Thí dụ 8. Giải phương trình
)8(15
)1(
11
22
xx
Lời giải
Điều kiện: (*)0;1
xx
015
)1(
2
)1(
1
015
)1(
22
)1(
1
15
)1(
)1(
)8(
2
22
2
2222
22
xxxxxx
xx
xxxx
xx
4
Đặt t
xx
)1(
1 ta được phương trình 5;30152
2 tttt
+) 6
213
01333
)1(
1
32
xxx
xx
t
+) 10
55
01555
)1(
1
52
xxx
xx
t
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có bốn nghiệm
10
55
;
6
213
xx .
2. Đặt hai ẩn phụ
Thí dụ 9. Giải phương trình
)9(
3
2
12
3
1
2
122
x
x
x
x
x
x
Lời giải
Điều kiện: (*)3;2
xx
Đặt
3
2
;
2
1
x
x
v
x
x
u ta được vuvuvuvuvuvu 4;30)4)(3(12 22
+)
2
468
091621212334
3
2
3
2
1
3222
xxxxxxx
x
x
x
x
vu
+) xxxxxxx
x
x
x
x
vu
0191251616434
3
2
4
2
1
4222
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
2
468
x.
III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Thí dụ 10. Giải phương trình
)10(
2
1
9
3
4
3
3
222
x
x
x
x
x
Lời giải
Điều kiện: (*)0
x
3
3
2
1
9
3
4
)10( 222
x
x
x
x
x
Để ý rằng 0,02;093 22 xxxx . Do đó theo bất đẳng thức AM – GM thì
3
3
1866
9
.2
4
1
93
1
93
1
2
2
1
93
4
2222222
xxxxxxxxxxxx
Vì vậy
2
131
03493)10( 222
xxxxxx
So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm
2
131
x.
Chúng tôi đã cố gắng chia thành ba phương pháp chính phù hợp với các bạn THCS. Hy vọng qua bài viết này
chúng ta có cái nhìn công bằng hơn cho những phương trình có chứa ẩn ở mẫu. Rất mong nhận được sự bổ
sung thêm của các bạn để phương trình dạng này được phong phú hơn.
Cuối cùng, xin mời các bạn vận dụng các phương pháp đã nêu để giải một số phương trình sau
1.
18
1
42
13
1
30
11
1
20
9
1
222
x
x
x
x
x
x
5
2. 0
6
5
5
4
3
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
3.
6
1
15
1
5
1
4
1
x
x
x
x
(T3/348 - THTT)
4. 363
)2(
2
2
2
xx
x
x (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán ĐHSPHN.2007)
5. 11
)5(
25
2
2
2
x
x
x (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán Lê Hồng Phong, T.P.Hồ Chí Minh.2007)
6. 0
5
122106125
5
2
2
x
x
x
x (T2/247 – THTT)
7. 2
)1( 22
3
xx
xx
8.
2
3
3
5
5
3
4
22
x
x
x
x
x
x
9. 02
1
3
)1(
2
3
3
3
x
x
x
x
x (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán ĐHSPHN. 2000)
10. 0
1
4
11
1
2
1
2
10 2
2
22
x
x
x
x
x
x
11.
1
2
18
2
2
18
3
2
1
222
x
x
x
x
x
x
12.
5
7
3
5
1
3
6
164
2222
2
x
x
x
x
x (Thi HSG toán lớp 9 tỉnh Quảng Ngãi. 2007)
13. x
x
xxx
3
1
122
3
24
(Bài 3(69) – TTT2)
14.
16
4
1
36
9
1
5
1
222
x
x
x
x
x
(Bài 2(72) – TTT2)
15. 523
)2(
1
)3(
)3(
)1( 2
2
42
22
4
xx
x
x
x
x
16. 0...
2
3
2
3
)()()( 3
33
3
33
3
33
px
px
nx
nx
mx
mx
px
px
nx
nx
mx
mx (HSGQG.THPT. 1975)