Một số vấn đề về giao của các mặt cong áp dụng trong vẽ kỹ thuật

Khoa học Tự nhiên<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Một số vấn đề về giao của các mặt cong<br /> áp dụng trong vẽ kỹ thuật<br /> Nguyễn Thu Hương*<br /> Trường Đại học Bách khoa Hà Nội<br /> Ngày nhận bài 22/4/2019; ngày chuyển phản biện 25/4/2019; ngày nhận phản biện 21/5/2019; ngày chấp nhận đăng 31/5/2019<br /> <br /> <br /> Tóm tắt:<br /> Vẽ giao tuyến của hai mặt cong là một vấn đề quan trọng cần giải quyết trong vẽ kỹ thuật. Có hai dạng bài toán:<br /> trường hợp đặc biệt, khi một trong hai mặt cong là trụ chiếu và trường hợp tổng quát khi hai mặt cong là bất kỳ. Về<br /> nguyên tắc, cần tìm các hình chiếu của một số điểm cần thiết, sau đó nối giao tuyến theo dạng đã xác định. Việc nối<br /> giao tuyến theo thứ tự nào là bài toán khó. Trong nghiên cứu này, tác giả đề xuất quy tắc cách nối giao tuyến của lớp<br /> bài toán giao của trụ chiếu với một số mặt cong. Ngoài ra, bài báo còn chỉ ra cách vận dụng bài toán lý thuyết giao<br /> hai mặt cong và quy tắc xét thấy - khuất vào thực tế vẽ hình xuyên đơn.<br /> Từ khóa: hình xuyên đơn, nối giao tuyến, xét thấy - khuất.<br /> Chỉ số phân loại: 1.1<br /> <br /> <br /> Giới thiệu<br /> Some issues on the intersection Giao tuyến của các mặt cong là vấn đề hết sức quan<br /> of curved surfaces applied trọng, nó là cơ sở để vẽ hình biểu diễn của các vật thể. Trong<br /> các sách hình học họa hình [1-6] chỉ đưa ra cách xác định<br /> in technical drawing các điểm của giao tuyến và một vài điều cần lưu ý khi vẽ các<br /> Thu Huong Nguyen* hình chiếu của giao tuyến mà không trình bày nguyên tắc<br /> Hanoi University of Science and Technology nối giao tuyến. Do đó, khi nối giao tuyến, thường dùng trực<br /> quan và kinh nghiệm, khiến việc nối giao tuyến gặp khó<br /> Received 22 April 2019; accepted 31 May 2019 khăn và dễ mắc sai lầm. Bài báo này dựa trên cơ sở suy luận<br /> logic và các định lý về giao tuyến để phát biểu thành quy tắc<br /> nối giao tuyến. Giới hạn nghiên cứu của quy tắc này là: chỉ<br /> Abstract: áp dụng cho các trường hợp giao của một mặt trụ chiếu với<br /> Drawing the intersection of two curved faces is an mặt nón, mặt cầu và mặt trụ chiếu khác.<br /> important issue in technical drawing. There are two Một vấn đề nữa mà chúng tôi muốn đề cập là áp dụng<br /> types of problem: a special case when one of the two bài toán giao hai mặt cong vào thực tế vẽ hình xuyên đơn.<br /> curved surfaces is a cylinder and a general case with any Hiện tại, chưa có tài liệu nào đề cập đến đề vấn đề này. Bài<br /> two curved surfaces. In principle, it is necessary to find<br /> báo dựa vào suy luận logic và các phép toán Boolen để đưa<br /> the projections of some necessary points, then connect<br /> ra các quy tắc liên hệ giữa lý thuyết giao hai mặt cong và bài<br /> the intersection line according to the defined form. The<br /> toán vẽ hình xuyên đơn.<br /> connection of the line in any order is a difficult problem.<br /> The article presents the rule of how to connect the line of Quy tắc nối giao tuyến<br /> the problem of a cylinder intersecting with a number of<br /> curved surfaces. In addition, the article also shows how Phát biểu quy tắc<br /> to apply the theoretical problem of assigning two curved Bài toán đặt ra là vẽ giao tuyến của hai mặt cong, trong<br /> surfaces and the observed - hidden rule in the practice đó ít nhất một mặt cong là mặt trụ chiếu đứng hoặc chiếu<br /> of drawing a single-cross shape. bằng. Ta gọi mặt trụ chiếu là mặt cong thứ nhất, mặt cong<br /> Keywords: line connection, observed - hidden, single- kia là mặt cong thứ hai.<br /> cross shape. Một đường sinh của mặt cong thứ nhất có thể không cắt<br /> Classification number: 1.1 mặt cong thứ hai, hoặc tiếp xúc với mặt cong thứ hai, hoặc<br /> cắt mặt cong thứ hai tại 2 điểm. Nếu 1 đường sinh của mặt<br /> cong thứ nhất cắt mặt cong thứ hai tại 2 điểm, ta thêm vào<br /> ∗<br /> Email: huong.nguyenthu@hust.edu.vn<br /> <br /> <br /> <br /> 61(6) 6.2019 7<br />  Khoa học Tự nhiên<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> tên giao điểm thứ hai dấu nháy “’”. Ví dụ, giao điểm thứ Trên hình 2, hình chiếu đứng của giao tuyến giữa mặt trụ<br /> nhất là A thì giao điểm thứ hai là A’ và phải đặt theo cùng và mặt nón là đoạn cung tròn có bán kính bằng bán kính trụ,<br /> một quy luật về thứ tự (trên - dưới, trái - phải). đi từ 11 đến 51 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ. Theo<br /> nguyên tắc trên, đường giao tuyến được nối lần lượt sẽ là<br /> Quy tắc nối hình chiếu của giao tuyến được phát biểu<br /> 1→2→3→4. Đến đây, gặp điểm 4 nằm trên đường bao hình<br /> như sau: dựa vào hình chiếu đã biết của giao tuyến, nối một<br /> chiếu đứng của mặt nón, theo hướng ngược chiều kim đồng<br /> cách lần lượt, không bỏ qua điểm nào, theo 1 chiều tùy ý.<br /> hồ vẫn còn điểm để nối, vì vậy ta đi tiếp nhưng sẽ đổi dấu<br /> Khi giao tuyến gặp 1 đường bao của mặt cong thứ hai, nếu<br /> (nối với điểm có dấu nháy): 4→5’→6. Đến đây, theo hướng<br /> theo chiều đã chọn mà vẫn có thể đi tiếp thì vẫn tiếp tục nối,<br /> ngược chiều kim đồng hồ không còn điểm để nối, vì vậy ta<br /> nếu theo chiều đã chọn không thể đi tiếp vì đã hết điểm thì<br /> quay về nhưng sẽ đổi dấu: 6→5’→4. Theo nguyên tắc trên,<br /> quay lại. Trong cả hai trường hợp đi tiếp hay quay lại đều<br /> tại đây ta sẽ đi tiếp, nhưng đổi dấu: 4→3→2→1. Giao tuyến<br /> phải đổi dấu điểm. Khi quay lại, nếu gặp điểm nằm trên<br /> đã khép kín và không còn điểm nào chưa được nối nên quá<br /> đường bao của mặt cong thứ hai thì giao tuyến vẫn phải nối<br /> trình nối giao tuyến hoàn tất.<br /> với điểm đó. Khi giao tuyến đã khép kín mà vẫn còn điểm<br /> chưa được nối thì phải khởi tạo một chu trình nối thứ hai,<br /> bắt đầu từ 1 điểm bất kỳ chưa được nối và vẫn theo quy tắc<br /> trên.<br /> Các ví dụ minh họa<br /> Trên hình 1, hình chiếu đứng của giao tuyến giữa mặt<br /> trụ và mặt cầu là đoạn cung tròn có bán kính bằng bán<br /> kính trụ, đi từ 11 đến 61 theo hướng ngược chiều kim đồng<br /> hồ. Theo nguyên tắc trên, đường giao tuyến được nối lần<br /> lượt sẽ là 1→2 →3→4→5→6. Đến đây, gặp điểm 6 nằm<br /> trên đường bao hình chiếu đứng của mặt cầu, theo hướng<br /> ngược chiều kim đồng hồ không còn điểm để nối, vì vậy<br /> ta quay về nhưng sẽ đổi dấu (nối với điểm có dấu nháy):<br /> 6→5’ →4’→3’→2’→1. Giao tuyến đã khép kín và không a) Hình a) Hình chiếu đứng và bằng b) Hình chiếu trục đo<br /> chiếu đứng và bằng b) Hình chiếu trục đo<br /> còn điểm nào chưa được nối nên quá trình nối giao tuyến Hình 2. Minh họa 2 về nguyên tắc nối giao tuyến.<br /> Hình 2. Minh a) họaHình2 về nguyên<br /> chiếu đứng vàtắcbằng<br /> nối giao tuyến.<br /> b) Hình chiếu trục đo<br /> hoàn tất.<br /> Hình Hình 3 mô tả việc áp dụng nguyên tắc nối giaotrình<br /> tuyến trình<br /> g sẽ đổi dấu (nối với điểm<br /> Lưu có<br /> khidấu nóinháy): 65’ 4’3’2’1. Giao tuyến Hìnhđã3 2.mô tả việc<br /> Minh họa 2ápvềdụng nguyên<br /> nguyên tắc nốitắc nốituyến.<br /> giao giao tuyến bày ở trên. Thứ tự nối<br /> nhưng sẽ đổi dấu (nối vớiý,điểm có rằng:<br /> dấu nối65’<br /> nháy): lần lượt 1→2→3→4→5→6<br /> 4’3’2’1. Giao tuyến bày<br /> đã ở trên. Thứ tự nối như sau: 1→2→3→4→5→6’→1.<br /> kín và không còn điểm nào chưa được nối nên quá trình nối giao tuyến hoàn tất. Hình 3 mô tả việc áp dụng nguyên tắc nối giao tuyến trình bày ở trên.mà<br /> như sau: 12 3456’1. Đến đây giao tuyến đã khép kín vẫn còn có<br /> khép kín và không→5’→4’→3’→2’→1<br /> còn điểm nào chưa được là nối trong<br /> nối nên quákhông gian,<br /> trình nối cần<br /> giao hiểuhoàn<br /> tuyến là tất.Đến đây giao tuyến đã khép kín mà vẫn còn có điểm chưa Thứ tự nối<br /> điểm chưa<br /> như được 12 3456’1. Đến đây giao tuyến đã khép kín mà vẫn nguyên<br /> nối nên phải khởi vào một chu trình nối mới và vẫn theo còn có tắc<br /> Lưu ý, khi nói rằng: nối lần lượt đứng<br /> 1234565’4’3’2’1<br /> sẽ nối lần lượt 11→21→31→41→5là nốisau:đượcđượcnốinối<br /> nênnên<br /> phải khởi tạo một chu trìnhnối<br /> nốimới<br /> mới và vẫn<br /> Lưu ý, khi trên hình<br /> nói rằng: chiếu<br /> nối lần lượt 1234565’4’3’2’1 1<br /> →<br /> trên:12’2 là nối<br /> 3’4’5612’. Việc nối giao tuyến hoàn tất.<br /> điểm chưa phải khởi vào một chu trình và vẫn theo nguyên tắc<br /> không gian, 6cần hiểu<br /> →5’ →4’là →3’trên →2’hình chiếu đứng sẽchiếunối lần lượt 1lần 1 theo nguyên tắc trên: 2’→3’→4’→5→6→1→2’. Việc nối<br /> trong không gian, 1 cần<br /> 1 hiểu<br /> 1 là 1 trên 1→1<br /> hình1, trên<br /> chiếuhình<br /> đứng sẽ bằngnối sẽlầnnối<br /> lượttrên:112’<br /> 2 3’4’5612’.<br /> 1 Việc nối giao tuyến hoàn tất.<br /> 4151615’ 1 4’<br /> lượt 1 →213’→3 12’ →4 11→51, trên<br /> →6 hình<br /> →5’2chiếu bằng →2’<br /> →4’chiếu<br /> →3’ sẽ nối →1lần. lượt giao tuyến hoàn tất.<br /> 3141516 15’21 4’ 2 13’ 2 12’2 11 2 1, 2trên hình 2 2bằng 2sẽ nối2 lần lượt<br /> 22 324252625’2 4’23’22’212.<br /> 1222 324252625’2 4’23’22’212.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a) Hình chiếu đứng và bằng b) Hình chiếu trục đo<br /> a) Hình chiếu đứng và bằng b) Hình chiếu trục đo<br /> a) Hình chiếu đứng và bằng b) Hình chiếu trục đo a) Hìnha)chiếu<br /> Hìnhđứng và đứng<br /> chiếu bằng và bằngb) Hình chiếu trục chiếu<br /> b) Hình đo trục đo<br /> 1. Minh họa 1 về nối giao tuyến.<br /> Hình 1. Minh họa 1 về nối giao tuyến.<br /> Trên hình 2, hìnhHìnhchiếu1.đứng<br /> Minhcủa<br /> họagiao<br /> 1 vềtuyến<br /> nối giao<br /> giữatuyến.<br /> mặt trụ và mặt nón là đoạn Hình Hình<br /> cung 3. a)<br /> Minh 3.<br /> Hình Minh<br /> họachiếuhọa 3 về<br /> 3 về nguyên nguyên<br /> đứng vàtắcbằngtắc nối giao<br /> nối giao tuyến. tuyến.<br /> b) Hình chiếu trục đo<br /> Trên hình 2, hình chiếu đứng của giao tuyến giữa mặt trụ và mặt nón là đoạn cung<br /> có bán kính bằng bán kính trụ, đi từ 11 đến 51 theo hướng ngược chiều kim đồng Áp dụng vẽ giao tuyến hai mặt cong vào thực tế bài toán xuyên đơn<br /> tròn có bán kính bằng bán kính trụ, đi từ 11 đến 51 theo hướng ngược Hình chiều 3.<br /> kim đồng<br /> Minh họa 3 về nguyên tắc nối giao tuyến.<br /> heo nguyên tắc trên, đường giao tuyến được nối lần lượt sẽ là 12 34. Đến<br /> hồ. Theo nguyên tắc trên, đường giao tuyến được nối lần lượt sẽ là 12 34.Nguyên Đến tắc chung<br /> gặp điểm 4 nằm trên đường bao hình chiếu đứng của mặt nón, theo hướng<br /> đây, gặp điểm 4 nằm trên đường bao hình chiếu đứng của mặt nón, theo Áphướng<br /> dụng<br /> ngượcvẽ giao tuyến hai mặt cong vào thực tế bài toán xuyên đơn<br /> ngược<br /> kim đồng hồ vẫn còn điểm để nối, vì vậy ta đi tiếp nhưng sẽ đổi dấu (nối với<br /> chiều kim đồng hồ vẫn còn điểm để nối, vì vậy 6.2019<br /> ta đi tiếp nhưng sẽ đổi dấu (nối với<br /> Nguyên tắc chung<br /> có dấu nháy): 45’6. Đến đây, theo hướng 61(6)ngược chiều kim đồng hồ không 8<br /> điểm có dấu nháy): 45’6. Đến đây, theo hướng ngược chiều kim đồng hồ không<br /> iểm để nối, vì vậy ta quay về nhưng sẽ đổi dấu: 65’4. Theo nguyên tắc trên,<br /> còn điểm để nối, vì vậy ta quay về nhưng sẽ đổi dấu: 65’4. Theo nguyên tắc trên,<br /> y ta sẽ đi tiếp, nhưng đổi dấu: 4321. Giao tuyến đã khép kín và không còn<br /> tại đây ta sẽ đi tiếp, nhưng đổi dấu: 4321. Giao tuyến đã khép kín và không còn<br />  Khoa học Tự nhiên<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Áp dụng vẽ giao tuyến hai mặt cong vào thực tế bài toán<br /> xuyên đơn<br /> Nguyên tắc chung<br /> Các nội dung chính khi vẽ hình xuyên đơn là: giao của<br /> các mặt; vẽ các đường bao, các cạnh; xét thấy - khuất của<br /> các đường bao và các cạnh. Bài báo đề cập các vấn đề: quy<br /> trình vẽ; xét thấy - khuất của giao tuyến; vẽ đường bao hình<br /> chiếu của các mặt cong. Giới hạn nghiên cứu là khối trụ,<br /> nón, hoặc cầu cắt bởi một mặt trụ chiếu.<br /> Quy trình đưa ra để giải bài toán xuyên đơn như sau: giải<br /> bài toán giao của hai mặt cong, xét thấy - khuất giao của hai<br /> mặt cong → Xác định bài toán xuyên đơn: xuyên trừ (tạo<br /> lỗ), xuyên cộng hay lấy phần giao → Xét lại thấy - khuất<br /> giao tuyến nếu bài toán xuyên đơn là xuyên trừ → Xét thêm,<br /> bớt đường bao hình chiếu của mặt cong.<br /> Xét thấy - khuất của giao 2 mặt cong được thực hiện theo<br /> nguyên tắc: một điểm trên giao tuyến là điểm thấy chỉ khi<br /> nó là điểm thấy xét theo cả hai mặt cong. Xét lại thấy - khuất Hình 4. Vẽ giao tuyến của hai mặt cong.<br /> khi áp dụng vào vẽ hình xuyên trong trườngHìnhhợp4. Vẽ giao<br /> xuyênHình<br /> trừtuyến<br /> 4. Vẽcủa<br /> giaohai<br /> tuyến<br /> mặt của<br /> cong.<br /> hai mặt cong.<br /> theo nguyên tắc: trước hết, trên hình chiếu cần xét,Hìnhbỏ4.điVẽ giao tuyến của hai mặt cong.<br /> các đoạn đường bao hình chiếu của mặt cong đã bị cắt mất.<br /> Nếu sau khi đã bỏ đi các đoạn đường bao hình chiếu của<br /> mặt cong mà có 1 đoạn giao tuyến khuất của 2 mặt cong trở<br /> thành đường ngoài cùng của hình chiếu thì đổi thành thấy.<br /> Việc thêm, bớt 1 đoạn đường bao hình chiếu của mặt cong<br /> phụ thuộc bài toán hình xuyên đó là cộng, trừ hay lấy phần<br /> chung.<br /> Trường hợp xuyên trừ: thêm vào các đường bao hình<br /> chiếu của mặt cong là lỗ, bỏ đi phần đường bao hình chiếu<br /> của mặt cong tương ứng là lỗ nằm ngoài mặt cong kia.<br /> Trường hợp xuyên cộng: thêm vào các đường bao hình<br /> chiếu của các mặt cong phần nằm ngoài mặt cong kia; bỏ<br /> đi phần đường bao hình chiếu của mặt cong này nằm trong<br /> mặt cong kia.<br /> Trường hợp lấy phần giao của hai khối: thêm vào các<br /> phần đường bao hình chiếu của mặt cong này nằm trong mặt<br /> Hình 5. Bài Hình<br /> toán hình<br /> 5. Bàixuyên<br /> toán cộng.<br /> hình xuyên cộng.<br /> cong kia; bỏ đi phần đường bao hình chiếu của mặt cong<br /> này nằm ngoài mặt cong kia. Hình 6 minhHình<br /> họa kết<br /> 6 minh<br /> quả của<br /> họa bài<br /> kết toán<br /> quả của<br /> xuyên<br /> bàiđơn<br /> toántrừ.<br /> xuyên<br /> Trênđơn<br /> hình<br /> trừ.chiếu<br /> Trêntahình<br /> đã bỏ<br /> chiếu<br /> đi ta đã<br /> một phầnHình<br /> đường5. Bài<br /> một phầntoán<br /> bao Hình<br /> hình hình<br /> 5. Bài<br /> đường<br /> chiếu<br /> baoxuyên<br /> toán<br /> của<br /> hình cộng.<br /> hình<br /> mặt xuyên<br /> chiếu<br /> cầu củacộng.<br /> phần mặt<br /> đường<br /> cầu bao<br /> phầnhình<br /> đường<br /> chiếu<br /> baocủa<br /> hình<br /> mặtchiếu<br /> trụ và<br /> của mặt<br /> Các ví dụ minh họa<br /> kết quả là đoạn<br /> kết<br /> Hìnhgiao<br /> quả làtuyến<br /> 6 minh đoạn22giao<br /> họa 4kết tuyến<br /> 252quả<br /> 4’ 23’<br /> của222bài<br /> 22’ 4trở<br /> 25toán<br /> 24’<br /> thành<br /> 23’ 22’<br /> đường<br /> xuyên 2 trở<br /> đơnthành<br /> ngoài đường<br /> cùnghình<br /> trừ. Trên của<br /> ngoài<br /> hình<br /> cùng<br /> chiếu chiếu<br /> củabỏhình<br /> ta đã đi<br /> Hình 4 mô tả một bài toán vẽ giao tuyến giữa mặt<br /> một trụ đường Hình<br /> phần<br /> 6 minh họa kết quả của bài toán xuyên đơn trừ.<br /> bao hình chiếu của mặt cầu phần đường bao hình chiếu của mặt trụ và<br /> và mặt cầu. Hình 5 minh họa kết quả của bài toán Trên hình chiếu ta đã bỏ đi một phần đường bao hình chiếu<br /> kết xuyên<br /> quả là đoạn giao tuyến 2242524’23’22’2 trở thành đường ngoài cùng của hình chiếu<br /> đơn trong trường hợp xuyên cộng. So sánh với hình 4, trên của mặt cầu phần đường bao hình chiếu của mặt trụ và kết<br /> hình chiếu đứng ta đã bỏ đi phần đường bao hình chiếu của quả là đoạn giao tuyến 2242524’23’22’2 trở thành đường ngoài<br /> mặt cầu nằm trong mặt trụ; trên hình chiếu bằng, ta đã bỏ cùng của hình chiếu bằng, theo nguyên tắc trên, nó được đổi<br /> đi phần đường bao hình chiếu của mặt trụ nằm trong mặt thành nét thấy. Đoạn đường bao hính chiếu bằng của mặt<br /> cầu và phần đường bao hình chiếu của mặt cầu nằm trong trụ, phần nằm trong mặt cầu 222’2 được giữ lại với vai trò<br /> mặt trụ. đường bao của lỗ trụ.<br /> <br /> <br /> <br /> 61(6) 6.2019 9<br />  Khoa<br /> , theo nguyên tắchọc Tự nó<br /> trên, nhiên<br /> được đổi thành nét thấy. Đoạn đường bao hính chiếu<br /> Hình 6. Bài toán hình xuyên trừ.<br /> của mặt trụ, phần nằm trong mặt cầu 222’2 được giữ lại với vai trò đường bao của<br /> ụ. Hình 7 là kết quả của bài toán hình xuyên lấy phần chung của hai khối cầ<br /> áp dụng các nguyên tắc đã trình bày ở trên.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 7. Bài toán hình<br /> Hình xuyên<br /> 7. Bài lấyxuyên<br /> toán hình phần lấygiao.<br /> phần giao.<br /> h 6. Bài toánHình<br /> hình6. xuyên<br /> Bài toán trừ.<br /> hình xuyên trừ.<br /> <br /> Hình 7 là kết quả của7 bài<br /> Hình toán<br /> là kết quảhình<br /> của xuyên<br /> bài toánlấy phần<br /> hình chung<br /> xuyên của haiTÀIkhối<br /> lấy phần LIỆU cầu<br /> THAMvà trụ<br /> KHẢO<br /> ụng các nguyên tắc đã trình bày ở trên. [1] R. Gary Bertoline, N. Eric Wiebe (2000), Technical Graphics<br /> chung của hai khối cầu và trụ áp dụng các nguyên tắc đã<br /> communication.<br /> trình bày ở trên. [2] Nguyễn Đình Điện (2015), Hình học họa hình, Nhà xuất bản<br /> Giáo dục.<br /> Kết luận<br /> [3] André Chevalier (2003), Guide du dessinateur industriel,<br /> Hatchette.<br /> Bài báo này đã giải quyết các vấn đề: đưa ra quy tắc nối<br /> [4] P. Durot (1993), Dessin technique et construction mécanique<br /> hình chiếu của giao tuyến, đồng thời đề xuất quy trình để normalisés, Dunod.<br /> áp dụng bài toán giao của hai mặt cong vào thực tế vẽ hình [5] Thomas French, Charles Vierck, Robert Foster (1993),<br /> xuyên. Bài báo giới hạn nghiên cứu ở lớp bài toán các mặt Engineering Drawing and Graphic Technology, McGraw-Hill<br /> Science.<br /> cong đơn giản, nhưng thông dụng nên chúng được áp dụng<br /> [6] C.J. Walsh (2014), Engineering Drawing and Descriptive<br /> nhiều trong thực tế. Geometry, Harvard University Press.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> h 7. Bài toán hình xuyên lấy phần giao.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 61(6) 6.2019 10<br />