Nhóm 8
NH TH C NIUT NỊ Ứ Ơ
I- Lý thuy tế
a) Công th c nh th c Niut n:ứ ị ứ ơ
( )
n
n
n
n
n
n
kkn
k
n
n
n
n
n
nbabbabaaba CCCCC ++++++=+ −
−
−− 1
1
1
10 ............
Trong đó:
( )
!!
!
knk
n
Ck
n−
=
Ck
n
là t h p ch p k c a 1 t p có n ph n t .ổ ợ ậ ủ ậ ầ ử
Ví d :ụ
( )
5
5
5
4
4
5
32
3
5
23
2
5
4
1
5
5
0
5
5.... bbabababaaba CCCCCC +++++=+
b) M t s tính ch t c a công th c nh th c Niut n (a + b)ộ ố ấ ủ ứ ị ứ ơ n :
- S h ng t là n +1.ố ạ ử
- T ng s mũ c a a và b trong m i h ng t luôn = n. Trong đó s mũ cũa aổ ố ủ ỗ ạ ử ố
gi m d n t n ả ầ ừ 0, b tăng t 0 ừ n .V i (aớ0 = b0 = 1).
- Các c p h s cách đ u biên thì b ng nhauặ ệ ố ề ằ :
CC kn
n
k
n
−
=
- S h ng t ng quát th k + 1 làố ạ ổ ứ :
kkn
k
n
kba
C
T..
1
−
+=
 Chú ý :
+
( )
CCCCC n
n
n
n
k
nnn
n
n
baba ++++++==+⇒== −110 ............21
+
( ) ( ) ( )
CCCC n
n
n
k
n
k
nn
n
baba 1......1......01;1 10 −++−+++==−⇒−==
c) Các d ng bài t p th ng g pạ ậ ườ ặ :
- D ng 1ạ : Khai tri n nh th c Niut n.ể ị ứ ơ
- D ng 2ạ : Rút g n, tính giá tr bi u th c.ọ ị ể ứ
- D ng 3ạ : Gi i ph ng trình.ả ươ
Nhóm 8
II- Bài t pậ
Bài 1 : Vi t 3 s h ng đ u tiên theo lũy th a tăng d n c a x c a các đa th cế ố ạ ầ ừ ầ ủ ủ ứ
sau:
a)
Ta có:
k
k
k
kxx C
−
=
−−
=
∑2
1.
2
110
10
0
10
10
Nên có 3 s h ng đ u theo dãy lũy th a tăng c a x là:ố ạ ầ ừ ủ
.
4
45
51
22
2
2
2
10
1
10
0
10 xx
xx CCC +−=
+
−
b)
( )
8
23 x−
Ta có:
( ) ( )
k
k
k
kxx C23.23 8
8
0
8
8−=− −
=
∑
Nên có 3 s h ng đ u theo dãy lũy th a tăng c a x là:ố ạ ầ ừ ủ
.816483499214.3.282.3.8143233 226726
2
8
7
1
8
8
0
8xxxxxx CCC +−=+−=+−
Bài 2: Tính.
a)
( )
2433212.....22 5
5
5
5
5
2
5
2
1
5
0
5==+=++++= CCCCS
b)
( )
5
6
6
6
2
6
1
6
0
6211..... =+=++++= CCCCS
c) Tính:
CCCCC n
nnnn n
1
.....
3
1
2
1210 ++++=
( )
CCCC n
n
n
nnn
nxxxx ++++=+ ....1 2
2
10
L y tích phân 2 v ta đ c:ấ ế ượ
( )
( )
∫ ∫ ++++=+ CCCC n
n
n
nnn
nxxxx .....1 2
2
10
CCCC n
n
n
nnn n
xxx
x1
....
32
1
2
3
1
2
0
+
++++= +
Ch n : x = 1 (là c n trên)ọ ậ
x = 0 (là c n d i)ậ ướ
CCC n
nnn n1
1
....
2
110
+
+++⇒
Nhóm 8
V yậ :
( ) ( )
1
12
1
1
1
1
1
0
1
1
0+
−
=
+
+
=+= +
+
∫nn
x
x
n
n
n
d) Tính:
( )
CCCCC
Dn
n
n
nnnn n
1
4321 1.....432 −
−+−+−=
Ta có:
( )
CCCC n
n
n
nnn
nxxxx ++++=+ ....1 2
2
10
L y đ o hàm 2 v ta có:ấ ạ ế
( )
CCC n
n
n
nn
nnxxnn 1
21
1....21 −
−+++=+
Ch n x = -1 ta đ c:ọ ượ
( )
CCC n
n
n
nn n
1
21 1.....2
0−
−++−=
V y S = 0ậ
Bài 3: Rút g n bi u th c:ọ ể ứ
a)
CCCCA n
nnnn
12
2
5
2
3
2
1
2..... −
++++
=
b)
CCCCB n
nnnn
2
2
4
2
2
2
0
2..... ++++
=
Khi a = b = 1:
Ta có :
CCCC n
n
n
nnn
n2
2
12
2
1
2
0
2
2.....
2++++= −
=> A + B =
n
n
n
n
nnn CCCC 2
2
2
12
2
1
2
0
22..... =++++ −
(1)
Khi a = 1; b= -1
Ta có :
CCCC n
n
n
n
n
n
nn
2
2
2
12
2
12
1
2
0
2)1()1(.....
0−+−++−= −
−
=> A – B = 0 (2)
T (1) và (2) => A = B = 2ừ2n-1
Bài 4: Gi i ph ng trình :ả ươ
1023.... 109321 =+++++ −−−−− CCCCC x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ta có:
1023.... 109321 =+++++ −−−−− CCCCC x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1023.... 109321 =+++++⇔ CCCCC xxxxx
Nhóm 8
1023
10
1
=⇔ ∑
=k
k
x
C
10
10
0
211023 =+=⇔ ∑
=k
k
x
C
∑∑ ==
=⇔ 10
10
10
0ok
k
k
k
xCC
( )
100
10
0
10 =⇔=−⇔ ∑
=
x
k
kk
xCC
Bài 5: Tìm s h ng th 13 c a khai tri n (ố ạ ứ ủ ể
33
+
2
)
15
S h ng th 13 là : ố ạ ứ
6
12
2
1
3
3
1
12
15 2.3.4552.3 =
C
Bài 6: Tìm s h ng th 5 c a khai tri n ( z - ố ạ ứ ủ ể
3
1
z
)
13
. S h ng nào ch z v i số ạ ứ ớ ố
mũ t nhiên?ự
S h ng th 5 là: ố ạ ứ
323
323
4
13
4
3
9
4
13 755.
1
.. zz
z
zCC ==
−
S h ng t ng quát th i+1: ố ạ ổ ứ
Ci
13
z13-i(-
3
1
z
)i
=( -1)i
Ci
13
z13 – I -
3
i
= (-1) i
Ci
13
z13 -
3
4i
S h ng ch a z v i s mũ t nhiên khi: 13 - 4i/3 = ố ạ ứ ớ ố ự
∈
−
3
439 i
N
⇒
i = 0; 3;6;9.
V y s h ng c n tìm là s h ng th 1,4,7,10.ậ ố ạ ầ ố ạ ứ
Bài 7 : Vi t l i P(x) = (1+ x) + 2(1+ x)ế ạ 2 +.....+ 20(1+ x)20 d i d ngướ ạ
P(x) = a0 + a1x1 +.....+ a20x20. Tìm a9.
Ta có:
P(x) = (1+1) + 2(1+x)2 +....+ 20(1+x)20
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20982 120......1918.....121 xxxxx +++++++++++=
( ) ( ) ( )
∑ ∑
= =
+++++++++= 9
0
20
0
209
82 20.....918.....121
i i
i
i
i
ixxxxx CC
Do đó h s c a aệ ố ủ 9 là:
CCCC
CCCCCCCC
a
9
20
9
19
9
18
9
17
9
16
9
15
9
14
9
13
9
12
9
11
9
10
9
9
9
20191817
161514131211109
++++
+++++++=
Nhóm 8
Bài 8: Trong khai tri n ể
n
xxx
+−
15
28
3
hãy tìm s h ng không ph thu c x, bi t:ố ạ ụ ộ ế
79
21 =++ −− CCC n
n
n
n
n
n
Ta có:
79
21 =++ −− CCC n
n
n
n
n
n
( )
( )
−=
=
=−+⇔
=−++⇔
=
−
++⇔
Ln
n
nn
nnn
nn
n
13
12
0156
15822
79
2
1
1
2
2
Ta có:
∑
=
−
−−
=
+12
0
12
15
28
3
4
12
12
15
28
3.
k
kk
kxxxxx C
15
24048
12
0
12
−
=
∑
=
k
k
kx
C
Đ s h ng không ph thu c xể ố ạ ụ ộ
5
0
15
24048
=⇔
=
−
⇔
k
k
V y s h ng không ph thu c x là ậ ố ạ ụ ộ
729
5
12 =
C
Bài 9: Bi t t ng t t c các h s trong khai tri n (xế ổ ấ ả ệ ố ể 2 +1)n b ng 1024. ằ
Hãy tìm h s a ệ ố
∈
N c a s h ng axủ ố ạ 12 trong khai tri n.ể
Ta có:
( )
( ) ( )
∑ ∑
= =
−
−==+= n
i
n
i
n
i
n
n
i
n
nxxxxf CC
0 0
)1(2
1
22 1
T ng t t c các h s c a khai tri n là:ổ ấ ả ệ ố ủ ể
( )
101024211024
0
=⇔==⇒=
∑
=
nf n
n
i
i
n
C
V y h s c a xậ ệ ố ủ 12 trong khai tri n b ng ể ằ
210
4
10 =
C