Ôn tập Hình học 10 chương 1: Tổng hợp kiến thức và bài tập

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773

Chủ đề: VECTƠ Vấn đề 1. Các định nghĩa của vectơ

A. Các kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. - Vectơ có điểm đầu (gốc) là , điểm cuối (ngọn) là được ký

hiệu là ⃗ (đọc là vectơ ).

- Một vectơ xác định còn được ký hiệu là ⃗, ⃗, ⃗, ⃗,…

 Chú ý: ⃗ ≠ ⃗. - Vectơ – không: là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

II/ Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng - Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ. Mọi đường thẳng đi qua điểm

đều là giá của vectơ – không ⃗.

- Hướng của vectơ là hướng từ điểm đầu đến điểm cuối của vectơ. - Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.

 Chú ý:

 Hai vectơ cùng hướng thì sẽ cùng phương. Điều ngược lại không đúng.  Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.  Vectơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.  Ba điểm phân biệt , , thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ ⃗ và ⃗ cùng phương.

III/ Hai vectơ bằng nhau - Độ dài của vectơ: là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ ⃗ ký

hiệu là |⃗|, độ dài của vectơ ⃗ là ⃗ và ⃗ = = . - Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài. - Nếu ⃗ bằng ⃗ thì ta viết ⃗ = ⃗. - ⃗ = ⃗ = 0⃗, 0⃗ = 0.

B. Bài tập trắc nghiệm Dạng 1.

 ta cần biết điểm đầu và điểm cuối của vectơ a

  0a 

Xác định vectơ  Phương pháp: Để xác định vectơ Bài 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không đúng?

, A B ta có được bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và

A. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng B. Vectơ là một đoạn thẳng không phân biệt thứ tự của hai điểm mút C. Vectơ là một đoạn thẳng xác định điểm đầu, điểm cuối D. Vectơ là một đoạn thẳng phân biệt thứ tự hai điểm mút Đáp án: B

B. 1 C. 2 D. 4 Bài 2. Với hai điểm phân biệt điểm cuối là A hoặc B . A. 0 Đáp án: C

có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác là:

 Bài 3. Cho tứ giác ABCD . Số các vectơ khác 0

B. 6 C. 8 D. 12 A. 12 Đáp án: D

Page 1 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

có điểm đầu và điểm cuối là

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773  Bài 4. Cho tam giác ABC , có thể xác định bao nhiêu vectơ khác vectơ 0

A B C ,

B. 6 C. 4 D. 9 các đỉnh A. 3 Đáp án: B

Bài 5. Số các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 6 điểm phân biệt cho trước là: D. 30 C. 27 B. 21

 A B C D và E . Có bao nhiêu vectơ khác 0

có điểm đầu và điểm cuối A. 12 Đáp án: D Bài 6. Cho 5 điểm phân biệt

, d d . Trên 1 2

1d lấy 6 điểm phân biệt, trên

2d lấy 5 điểm phân

2d là:

1d và điểm cuối trên C. 24

B. 20 C. 24 D. 30 là các điểm đã cho? A. 12 Đáp án: B Bài 7. Cho hai đường thẳng song song

D. 15 biệt. Số vectơ có điểm đầu trên A. 30 B. 25 Đáp án: A

Dạng 2. Phương và hướng của vectơ Bài 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không đúng?

thì cùng phương

thì cùng hướng A. Hai vectơ cùng phương với vectơ thứ ba thì cùng phương  B. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác 0 C. Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng  D. Hai vectơ cùng hướng với vectơ thứ ba khác vectơ 0 Đáp án: A Bài 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với vectơ thứ ba thì cùng phương B. Có ít nhất hai vectơ cùng phương với mọi vectơ C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ  Đáp án: A – vectơ 0 Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai vectơ có giá vuông góc thì cùng phương B. Hai vectơ cùng phương thì giá của chúng song song C. Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng D. Hai vectơ cùng ngược hướng với vectơ thứ ba thì cùng hướng Đáp án: D Bài 4. Cho ba điểm phân biệt

A. cùng phương

 A B C thẳng hàng khi và chỉ khi AB  A B C thẳng hàng khi và chỉ khi AB  A B C thẳng hàng khi và chỉ khi AC

A B C . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng nhất?  và AC  và BC  và BC

B. cùng phương

cùng phương

A B C thẳng hàng. Tìm một mệnh đề đúng?

C. D. Cả A, B, C đều đúng Đáp án: D Bài 5. Cho ba điểm

, B C

ngược hướng khi A không nằm giữa

, B C

cùng hướng khi A không nằm giữa

,  và AC  và AC  và BC  và CA

 A. AB  B. AB  C. AB  D. AB

, B C

ngược hướng khi A không nằm giữa

Page 2 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773

Đáp án: B

A B C lần lượt là trung điểm cạnh

BC CA AB . Vectơ

 ' 'A B

Bài 6. Cho tam giác ABC . Gọi

 'C B

 'AB

M N P thẳng hàng, trong đó N nằm giữa hai điểm M và P . Khi đó các cặp

 và PN

 D. NM

 và NP

 và MP

 C. MP

D. cùng phương với vectơ nào trong các vectơ sau đây?   A. AB C. BA B. Đáp án: C Bài 7. Cho ba điểm

vectơ nào sau đây cùng hướng?    A. MN B. MN và PN Đáp án: B

 cùng phương với OC

có điểm đầu

 Bài 8. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O . Số các vectơ khác 0

B. 6 C. 7 D. 8 và điểm cuối là đỉnh của lục giác bằng: A. 4 Đáp án: D Dạng 3. Quan hệ giữa các vectơ  Phương pháp

cùng phương với mọi vectơ, cùng hướng với mọi vectơ.  Sử dụng định nghĩa về hai vectơ cùng phương, hai vectơ bằng nhau   Vectơ 0

được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành

Bài 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?  và b  và b

 A. Hai vectơ a  B. Hai vectơ a  C. Hai vectơ AB  D. Hai vectơ a Đáp án: A

được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng phương và cùng độ dài  và CD  và b được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài

B. Cùng phương D. Cùng hướng

Bài 2. Nếu hai vectơ bằng nhau thì chúng: A. Có độ dài bằng nhau C. Cùng điểm gốc Hãy tìm khẳng định sai Đáp án: C Bài 3. Chọn câu sai trong các câu sau. Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau được gọi là:

B. Vectơ có phương tùy ý D. Vectơ có độ dài không xác định A. Vectơ có hướng tùy ý C. Vectơ – không Đáp án: D

A B C phân biệt. Khi đó:

Bài 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Vectơ là một đoạn thẳng định hướng B. Vectơ – không là vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau C. Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài D. Hai vectơ cùng phương khi chúng có giá song song nhau Đáp án: D Bài 5. Cho ba điểm

 cùng phương với AC

 A B C thẳng hàng là AB

B. Điều kiện cần và đủ để

C. Điều kiện cần và đủ để

 A B C thẳng hàng là với mọi điểm M thì MA  A B C thẳng hàng là với mọi điểm M thì MA

 cùng phương với MB  cùng phương với AB

  A B C thẳng hàng là AB AC

A. Điều kiện cần và đủ để

D. Điều kiện cần và đủ để Đáp án: D Bài 6. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Mỗi vectơ đều có một độ dài đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó

Page 3 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773

 B. Độ dài của a

 được ký hiệu là a

 C. 0   , PQ PQ 0  D. AB   AB BA

Đáp án: C

  A B C phân biệt. Nếu AB BC

A B C ? ,

Bài 7. Cho ba điểm

, A. B là trung điểm của AC C. B nằm giữa AC

thì có nhận xét gì về ba điểm B. B nằm ngoài AC D. Không tồn tại

có điểm đầu điểm cuối là Đáp án: A  Bài 8. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O . Số các vectơ bằng vectơ OC

C. 4 D. 6

  B. BC DA

  C. BA CD

  D. AC BD

Bài 9.

  và một điểm C , có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB DC D. Vô số

đỉnh của lục giác bằng: A. 2 B. 3  Đáp án: B - FO AB ED , ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:   A. AB CD Đáp án: C   AB  0 C. 2 B. 1

Bài 11. Cho Bài 10. Cho A. 0 Đáp án: B   AB  0 và một điểm C , có bao nhiêu điểm D thỏa mãn   D AB C

B. 1 C. 2 D. Vô số A. 0 Đáp án: D

  Bài 12. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB CD

AB C

  A. AD CB

  C. AB DC

B. ABDC là hình bình hành D. AB CD và A. ABCD là hình bình hành C. AD và BC có cùng trung điểm Đáp án: B

Bài 13. Cho hình bình hành ABCD . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?   B. AD CB   D. AB CD

Đáp án: A

  C. AB FO

  A. AB EF Đáp án: D

Bài 14. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Khẳng định nào sau đây đúng nhất?   B. AB OC D. Cả A,B,C đều đúng

Bài 15. Cho hình vuông ABCD . Khi đó:

  B. AB CD

  A. AC BD

  , AB AC

D. tùy ý   BC C. AB

,D O bằng

  , AB OB

Đáp án: C Bài 16. Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ năm điểm



B. A.



    AB AC OB AO ,     AB DC OB AO ,



    , AB OC OB DO     , AB DC OB DO

,D O có

C. Đáp án: D Bài 17. Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ năm điểm điểm

 độ dài bằng OB

   BO DC OD

   BO DO OD

   BO DO AD

B. C. D. A.    BC DO OD

Page 4 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773

Đáp án: A Bài 18. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?

  A. AB CD   B. BC DA   BD C. AC   D. AD BC

  A. AD CB

  C. AB DC

Đáp án: C

Bài 19. Cho hình bình hành ABCD . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?   B. AD CB   D. AB CD

Đáp án: A Bài 20. Cho lục giác ABCDEF , tâm O . Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

  B. AB OC

  C. AB FO

  A. AB ED Đáp án: D

D. Cả A, B, C đều đúng

Bài 21. Cho hình vuông ABCD . Khi đó:

  B. AB CD

  , AB CD

  A. AC BD

D. cùng hướng   BC C. AB

A B C không thẳng hàng, M là điểm bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đáp án: C Bài 22. Cho ba điểm

, ,    , M MA MB





A. B.

   , M MA MB MC 







   , M MA MB MC      , M MA MB

M N P Q lần lượt là trung điểm của

AB BC CD và DA . Trong

D. C. Đáp án: C Bài 23. Cho tứ giác ABCD . Gọi

  PQ C. MN   AC D. MN

  B. MQ NP  AC



các khẳng định sau, khẳng định nào sai?   A. MN QP  MN Đáp án: D vì

1 2 Bài 24. Cho tam giác đều ABC , mệnh đề nào sau đây sai?

  B. AC BC   , AC BC

  A. AB BC   BC

D. không cùng phương C. AB

Đáp án: A Bài 25. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Mệnh đề nào sau đây đúng?

  B. AC BD

 A. AC a

  , AB BC

D. cùng phương  C. AB a

Đáp án: C

Bài 26. Gọi C là trung điểm của đường thẳng AB . Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

cùng phương

  A. CA CB   và AC C. AB

  và AC B. AB   D. AB CB

ngược hướng

Đáp án: B Dạng 4. Các bài toán chứng minh vectơ bằng nhau

 Phương pháp Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta có thể dùng một trong ba cách sau:

  a   b

  a  b   b a vµ

cïng ph¬ng

   



  AB DC

 

  và BC AD



    a b b c ,

 Tứ giác ABCD là hình bình hành

  thì a c

 Nếu

Page 5 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Bài 1. Cho tam giác ABC có trực tâm H . D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn



    HA CD AD CH ,     HA CD AC CH ,



D. ngoại tiếp tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?     A. HA CD AD HC  ,        HA CD AD HC OB OD

( A thuộc đường tròn tâm O bán kính BD )

( C thuộc đường tròn tâm O bán kính BD )

 



   AB HC HA CD ,

C. Đáp án: B Ta có: CH AB DA AB   CH AD (1) Lại có: AH BC DC BC   AH CD (2)  (1)(2) ABC D là hình bình hành



Bài 2. Cho hình bình hành ABCD . Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Điểm I là giao điểm AM và BN , K là giao điểm DM và CN . Khẳng định nào sau đây sai? A. B.

    AM NC DK NI ,     BI KD NI DK ,



    AM NC DK IN ,     AI NK NK KC ,



D. C. Đáp án: B

N P Q lần lượt là các điểm đối xứng với M qua

A B C lần lượt là trung điểm của 'C . Khẳng định A B ', ',

Bài 3. Cho tam giác ABC và điểm M ở tam giác. Gọi ,



BC CA AB và , nào sau đây sai?     A. AM PC QB MN  ,     AB CN AP QN ,



    , AC QN AM PC     BN MN BC AB ,



  BM NC 



C. Đáp án: B Ta có: AMBQ là hình bình hành (giao 2 đường chéo là trung điểm của mỗi đường)   Suy ra: AQ BM

O tại D sao cho

  D. HC BD

  B. CD AB

  C. HK AB

BMCN là hình bình hành   Do đó AQ NC Tương tự AMPC là hình bình hành   Suy ra AM PC O ngoại tiếp tam giác ABC , gọi H là trực tâm tam giác ABC và K là trung Bài 4. Cho đường tròn  , H D nằm khác phía so với BC . Khẳng

DCHB

CB K ,

,HD CB

điểm BC . Đường thẳng HK cắt  định nào sau đây là đúng?   A. BD AC Đáp án: D   K H là trung điểm của là hình bình hành

D Bài 5. Cho tứ giác ABCD . Gọi

, AD BC , O là giao điểm của AC

, M N lần lượt là trung điểm cạnh và BD . Điều kiện nào sau đây để ABCD là hình bình hành? A.



B. O là trung điểm AC và BD

    MN AB MN DC ,     MN BN DN AB ,



  MN AB ,     MB DC DN AB ,



D. C. Đáp án: A

Page 6 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773

Vấn đề 2. Tổng – hiệu của hai vectơ A. Các kiến thức cần nhớ

I/ Tổng các vectơ - Định nghĩa: Cho hai vectơ ⃗ và ⃗. Lấy một điểm A tùy ý,

dựng ⃗ = ⃗, ⃗ = ⃗. Khi đó: ⃗ + ⃗ = ⃗. - Quy tắc ba điểm: Cho A, B, C tùy ý, ta có:

⃗ + ⃗ = ⃗ - Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì:

⃗ + ⃗ = ⃗

II/ Vectơ đối - Cho vectơ ⃗. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng ⃗ gọi là vectơ đối của vectơ ⃗, kí hiệu là −⃗. Ta

có ⃗ + (−⃗) = 0⃗.

- Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ ⃗ có vectơ đối là ⃗, nghĩa là: ⃗ = −⃗. - Vectơ đối của 0⃗ là 0⃗.

⃗ + ⃗ ≤ |⃗| + ⃗, dấu “=” xảy ra khi ⃗, ⃗ cùng hướng.

III/ Hiệu các vectơ (phép trừ) Quy tắc về hiệu vectơ: với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước, ta có: ⃗ − ⃗ = ⃗. IV/ Tính chất Với ⃗, ⃗, ⃗ bất kì, ta có: - Giao hoán: ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗. - Kết hợp: ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ - ⃗ + 0⃗ = 0⃗ + ⃗ = ⃗ - ⃗ + (−⃗) = −⃗ + ⃗ = 0⃗ - - ⃗ = ⃗ ⇔ ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗  Chú ý:

là trung điểm của đoạn thẳng ⇔ ⃗ + ⃗ = 0⃗   là trọng tâm tam giác ⇔ ⃗ + ⃗ + ⃗ = 0⃗

B. Bài tập trắc nghiệm Dạng 1. Tổng của hai vetơ và tổng của nhiều vectơ

 Phương pháp: Dùng định nghĩa tổng của hai vectơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và các tính chất tổng của vectơ. Bài 1. Cộng các vectơ có độ dài bằng 5 và cùng giá ta được kết quả sau:

  , a b

 A. Cộng 5 vectơ ta được kết quả là 0  B. Cộng 4 vectơ đôi một ngược hướng ta được 0  C. Cộng 121 vectơ ta được vectơ 0  D. Cộng 25 vectơ ta được vectơ 0   và a b   cùng phương thì a b

 là các vectơ khác 0  (1) Nếu a

 và b

 cùng phương với a

. Xét các phát biểu sau: Bài 2. Cho

Page 7 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773

  cùng hướng thì a b   ngược hướng thì a b   ngược hướng thì a b

 cùng hướng với a  cùng hướng với a  ngược hướng với a

 và b  và b  và b

 (2) Nếu a  (3) Nếu a  (4) Nếu a Số phát biểu đúng là? A. 1

A B C . Đẳng thức nào sau đây đúng?



   A. AB AC BC     C. CA BA CB 



   B. AB CA CB     D. AA BB AB 

 

C. 3 D. 4 Bài 3. Cho 3 điểm phân biệt B. 2 , ,

     MN PQ RN NP Q R



  B. MN

 C. PR

 A. MR

 D. MP

Bài 4. Vectơ tổng của bằng:

  và AM CD

  MC NC A.

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD . Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD .

  , MN AC

  , AC BM

  , CD MD

C. D. lần lượt bằng:   B. , AC NC

   B. AB AD AC      D. AB AD CA

 

   A. AB AD BD     C. AB AD DB 

 

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD với tâm O . Đẳng thức nào sau đây đúng?

   B. OA OC AC       AB CD 0 D. M N P Q . Đẳng thức nào sau đây sai?







Bài 7. Cho hình bình hành ABCD với tâm O . Đẳng thức nào sau đây sai?

   A. AB OA OB            OA OB OC OD 0 C. Bài 8. Cho 4 điểm bất kỳ , , ,     A. PQ NP MN MQ      C. MN PQ MQ PN 



    B. NP MN QP MQ      D. PQ NP MN MQ 

 Bài 9. Cho tam giác ABC , I là trung điểm của BC . Xét các mệnh đề sau:

   (2) AI AB AC 



   (3) AC BI AI 



   (1) AB AI  IB Mệnh đề đúng là: A. Chỉ (1)

A B C D trong đó không có ba điểm thẳng hàng. Chọn câu đúng:

  A. ABCD là hình bình hành khi AB DC

   B. ABCD là hình bình hành khi AB AD AC

    C. ABCD là hình bình hành khi AD BC D. Cả ba câu trên đều đúng.

   JK IK 

B. (1) và (2) C. (3) D. (2) và (3) Bài 10. Với bốn điểm

Bài 11. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?  I J K ta có: IJ ,

 thì O là trung điểm của AB

thì ABCD là hình bình hành

A. Với ba điểm bất kỳ    AB AC A  D B. Nếu   C. Nếu OA OB

    GA GB GC  0





 

  A. BA AC BC     BC   AB C. AB BC

thì D. Nếu G là trọng tâm ABC Bài 12. Cho tam giác ABC . Tìm khẳng định đúng:

    AB BC CA   0 B.    D. AB AC BC 



Bài 13. Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O . Khẳng định nào sau đây đúng?

Page 8 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773

  và OC OE   và OC OE

đều cùng phương đều cùng hướng

  A. OA OB   B. OA OB  C. AB  D. OA

không cùng phương cùng phương

 và EC  và OC Dạng 2. Vectơ đối và hiệu của hai vectơ

 Phương pháp:

   Theo định nghĩa, để tìm hiệu a b

, ta làm hai bước sau:

 a

O A B bất kì.



với ba điểm

 là vectơ khác 0

 là vectơ đối của b

thì chúng:

  Tìm vectơ đối của b     Tính tổng b      Vận dụng quy tắc OA OB BA    và a Bài 1. Nếu a B. Cùng độ dài

 và b A. Cùng phương Hãy chọn khẳng định sai?

C. Ngược hướng D. Có chung điểm đầu

 là vectơ a  là vectơ 0   là a b       là a b

 (1) Vectơ đối của vectơ a  (2) Vectơ đối của vectơ 0   (3) Vectơ đối của vectơ a b   (4) Vectơ đối của vectơ a b Số mệnh đề đúng là: A. 1

Bài 2. Cho các mệnh đề sau:

 là vectơ đối của b

B. 2 C. 3 D. 4 Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

 là vectơ đối của a



 



   D. MN OM ON 



 

thì a   b

 A. a    ngược hướng là điều kiện cần để b và b B. a     a b    là vectơ đối của a C. b     a b  và b D. a là hai vectơ đối nhau  là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kỳ ta luôn có: Bài 4. Nếu MN       A. MN OM ON  B. MN ON OM      C. MN MO NO Bài 5. Hãy chọn đẳng thức đúng?    A. AB AC BC     C. PM PN NM 

   B. AM BM AB     D. AA BB AB 



  B. IA IB

  IB 



   (3) AB AD AC 

 

      (1) OA OB AB   (2) CO OB BA            (5) CD CO BD BO (4) AB AD BD  Có bao nhiêu khẳng định đúng, bao nhiêu khẳng định sai? A. 2 đúng 3 sai

A. IA IB Bài 6. Cho hai điểm phân biệt A và B . Điều kiện để I là trung điểm của đoạn thẳng AB là:   D. AI BI C. IA Bài 7. Cho hình bình hành ABCD với tâm O . Cho các khẳng định sau:

A B C . Đẳng thức nào dưới đây đúng?

 

   B. BC AB AC      D. CA CB AB

A B C . Đẳng thức nào dưới đây sai?

C. 1 đúng, 4 sai D. 4 đúng, 1 sai B. 3 đúng, 2 sai ,

Bài 8. Cho ba điểm bất kỳ    A. AB CB CA      C. AC CB BA Bài 9. Cho ba điểm bất kỳ

Page 9 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773

 B. AB CB CA  D. AB BC

   A. CA BA BC     C. BC AC BA 

 

I J K lần lượt là trung điểm của ,

   AB BC CA . Mệnh đề nào sau đây ,

Bài 10. Cho tam giác ABC ,    CA ,

   JK BI IA ,

sai? A.

 và JB ,

có ít nhất hai vectơ đối nhau là ba vectơ bằng nhau  là CJ    I J AK KC ,

 B. Vectơ đối của IK C. Trong ba vectơ    IA KJ 0



I J K . Đẳng thức nào sau đây sai? ,



   B. JK IK IJ    là vectơ đối của IK

    JK IK A. IJ  C. Nếu I là trung điểm của JK thì I J

D. Bài 11. Cho ba điểm bất kỳ

khi K ở trên tia đối của I J    I J KI   D. KJ

Bài 12. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?









B. A.

     AC BD CB DA  0      OA BC DO 0







    AB BC BD  0    0  AD DA C.     Dạng 3. Tính độ dài  a b a b ,  Phương pháp:

  Độ dài của vectơ AB

    Tính a b AB

 

   , a b CD  

là độ dài đoạn thẳng AB : AB     BA AB

  . Độ dài vectơ AC



là: . Sau đó tính độ dài đoạn thẳng AB và CD bằng cách gắn nó vào các đa giác mà ta có thể tính được độ dài các cạnh của nó hoặc bằng các phương pháp tính trực tiếp khác. BC Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD có B. 6 A. 5 C. 7

D. 9  và AC

 Bài 2. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Độ dài tổng hai vectơ AB



 và AC

bằng bao nhiêu? a C. D. B. a A. 2a

bằng Bài 3. Cho tam giác vuông cân ABC có AB AC a 2   . Độ dài của tổng hai vectơ AB bao nhiêu?



   . Vectơ CB AB

B. C. 2a A. D. a

có độ dài bằng bao Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A và

B. 2 13 C. 4 D. 13 nhiêu? A. 2

có

  Bài 5. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a , H là trung điểm của cạnh BC . Vectơ CA HC

độ dài bằng bao nhiêu?

a 3

a 3 2

a 2

BC 

  . Tổng hai vectơ GA GC

B. C. D. A.

Bài 6. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền

có độ dài bằng bao nhiêu? A. B. 2 3 C. 8 D. 4

Page 10 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

AB 

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Bài 7. Cho tam giác vuông cân ABC tại đỉnh C ,

  . Tính độ dài AB AC D. 2 3

2 C. 3

a 3

a 6

A. B. 2 5

Bài 8. Cho hình thang ABCD có AB CD . Cho ,   . Khi đó, AB CD bằng bao

 đó, tổng hai vectơ OB

 và OC

B. 3a nhiêu? A. 9a . Cho C. 3a a 2 Bài 9. Cho hình thang ABCD có AB CD D. 0 , CD a . O là trung điểm của AD . Khi

có độ dài bằng bao nhiêu?

a 3 2

A. B. a C. 2a D. 3a

 đều khác 0

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 và b     b

 

  B. a b   b cùng phương

 và b  và b  và b

C. a b   b   cùng hướng

BAD 

D. a b   b   ngược hướng

và cạnh bằng a . Gọi O là giao điểm hai đường chéo.

 Bài 10. Cho hai vectơ a A. a b  a      a a      a a      a a Bài 11. Cho hình thoi ABCD có  060 Khẳng định nào sau đây sai?

  AB AD a   A. 3   BA BC a   B. 3

  OB DC



C. D.   OB AD a   3

Bài 12. Cho các khẳng định sau:

 (1) Nếu a  (2) Nếu a

 và b  và b

cùng hướng thì a b a 

    b     b     a  a ngược hướng và b

cùng phương thì a b  , dấu bằng xảy ra khi a    và b     b    a (3) a b

Khẳng định đúng là: A. (1) và (2) B. (2) và (3) C. (1) và (3) D. Cả (1), (2), (3)

. Khẳng định nào sau đây là đúng? 0

  Bài 13. Cho a b    và b A. a có cùng độ dài và cùng phương   và b B. a có cùng độ dài và cùng hướng   và b C. a có cùng độ dài và ngược hướng   và b D. a có cùng độ dài Dạng 4. Đẳng thức vectơ

 Phương pháp: Để chứng minh một đẳng thức ta có thể làm theo các cách sau:

 Biến đổi vế này thành vế kia  Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết đã đúng   Đưa về cùng một vế và biến đổi đẳng thức bằng 0  Phối hợp các quy tắc tổng, hiệu vectơ cùng các tính chất, các kỹ thuật tách, gộp, chọn















gốc:                 AB BC AC MN MX XN M X XY YN OA OB BC MN AN AM 

Page 11 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Bài 1. Cho bốn điểm ABCD . Đẳng thức nào dưới đây đúng?



    B. AB CD AD BC      D. AB CD DA BC 



A B C D E F . Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức nào sai?

    A. AB CD AC BD      C. AB CD AD CB  Bài 2. Cho sáu điểm ,



 Bài 3. Cho tam giác

ABC D E F là trung điểm cạnh



      B. AD BE CF AE BF CE        D. AD BE CF AF BE CD  BC CA AB . Tìm hệ thức đúng:       B. AD BE CF AF CE BD        D. AD BE CF BA BC AC 



 ,       A. AD BE CF AE BD CF        C. AD BE CF AF BD CE  ,       A. AD BE CF AB AC BC        C. AD BE CF AE BF CD  ,

 ,

 A B C D E F là sáu điểm tùy ý. Chọn hệ thức đúng:



,       A. CF DB EA DA CB EF        C. CF DB EA DB EC AF 



Bài 4. Cho

      B. CF DB EA EF DF AB        D. CF DB EA FC BE DA  Bài 5. Cho hình bình hành ABCD , M là một điểm tùy ý. Khẳng định nào sau đây đúng?

 

    B. MB MC MD MA       D. MA MC MB MD

    A. MA MB MC MD      C. MC CB MD DA  Bài 6. Cho năm điểm ,

A B C D E . Đẳng thức nào sau đây là đúng?

 

 

 

 

 

  Bài 7. Cho tam giác ABC . Các điểm

  ,       A. AC DE DC CE CB AB         C. AC DE DC CE CB BD ,

  M N P lần lượt là trung điểm các cạnh

      AC DE DC CE CB  0 B.       D. AC DE DC CE CB AE  ,

  AB AC BC . Với ,



 

       B. OA OB OC AM BP CN        D. OA OB OC OM ON OP

 

điểm O bất kì, khẳng định nào sau đây đúng?       A. OA OB OC MA PB NC         OA OB OC 0 C.



       A. OA OC OB OD    C. BD BC FE  

    B. BD ME FN      D. OM ON OM OF  

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD . Gọi O là một điểm bất kì trên đường chéo AC . Qua O kẻ đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt AB và DC lần lượt tại M và N , cắt AD và BC lần lượt tại E và F . Đẳng thức nào dưới đây sai?



          A. OA OB OC OD OE EB CA BD EC AD            B. OA OB OC OD OE EB CA BD CE AD            C. OA OB OC OD OE AC BE EC DB AD            D. OA OB OC OD OE CA BE EC DB AD 



Bài 9. Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O . Đẳng thức nào sau đây đúng?

 Dạng 5. Tìm tập hợp điểm  Phương pháp:

k  : tập hợp các điểm M sao cho M A k là đường tròn tâm A , bán

- Cho điểm A và một số thực

, A B ; tập hợp các điểm M sao cho MA MB

kính R k . - Cho hai điểm là đường trung trực của đoạn thẳng AB .

   , A B phân biệt và điểm M thỏa mãn MA MB BA





. Khẳng định nào sau đây là

Bài 1. Cho hai điểm đúng? A. M là trung điểm của đoạn AB C. Không có M thỏa mãn B. Với mọi M bất kì D. M nằm trên đường tròn đường kính AB

Page 12 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

   , A B phân biệt và điểm M thỏa mãn MA MB AB





. Khẳng định nào sau đây là

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Bài 2. Cho hai điểm đúng? A. M là trung điểm của đoạn AB C. Không có M thỏa mãn



, A B phân biệt và điểm M thỏa mãn

B. Với mọi M bất kì D. M nằm trên đường tròn đường kính AB    MA MB 0 . Khẳng định nào sau đây là

    MA MB MC  0





Bài 3. Cho hai điểm đúng? B. M là trung điểm của đoạn AB C. Không có M thỏa mãn B. Với mọi M bất kì D. M nằm trên đường tròn đường kính AB

Bài 4. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn . Khi đó điểm M là:

A. Đỉnh thứ tư của hình bình hành ACMB B. Đỉnh thứ tư của hình bình hành ABMC C. Đỉnh thứ tư của hình bình hành CAMB D. Đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM

    MA MB MC  0





. Mệnh đề nào sau đây đúng? Bài 5. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn



và một điểm C . Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn A. M là trung điểm BC C. M là trung điểm AC  Bài 6. Cho vectơ AB A. 1 B. 2 B. M là trung điểm AB D. ABMC là hình bình hành    0 AB CD D. Vô số C. 3

. Tập hợp điểm M là:    Bài 7. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA MB MC  

A. Đường tròn tâm A , bán kính R BC B. Đường tròn tâm B , bán kính R AC C. Đường tròn tâm C , bán kính R AB D. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 8. Cho hai điểm cố định   , A B và điểm M thỏa mãn MA MB  . Tập hợp điểm M là:

B. Trung điểm đoạn thẳng AB

A. Đường tròn bán kính AB C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB D. Đường tròn tâm A , bán kính AB

Bài 9. Cho hai điểm cố định   là:     , A B và điểm M thỏa mãn MA MB MA MB 

A. Đường tròn đường kính AB C. Đường tròn tâm A , bán kính AB B. Đường trung trực đoạn thẳng AB C. Nửa đường tròn đường kính AB

060 , biết rằng cường độ của hai lực

 1F

và có điểm đặt O tạo với nhau góc

đều bằng 100N , cường độ tổng hợp của hai lực là: Dạng 6. Bài toán thực thế   Bài 1. Cho hai lực , F F 1 2  2F

C. 100 3N B. 100 2N A. 100N

  , F F 1 2

100 3 D. 2   , F F đều có cường độ 1 2

Bài 2. Cho hai lực có điểm đặt O , cường độ tổng hợp của hai lực biết

0 120 là:

 1F

 2F

bằng và là 100N , góc hợp bởi

100 3 2

D. B. 100 2N C. 100 3N A. 100N

 1F

 2F

Bài 3. Cho hai lực bằng là 40 ,N

  , F F 2 1 30N , góc hợp bởi

060 là:

bằng và có điểm đặt O , cường độ tổng hợp của hai lực biết  1F

 2F B. 100N

D. 50 3N A. 50 2N C. 50N

Page 13 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế



Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Bài 4. Một giá đỡ gắn vào tường như hình bên. Tam giác ABC vuông cân tại đỉnh C . Người ta treo vào điểm A một vật nặng 5N . Cường độ hai lực tác động vào tường tại điểm B và C là:  F F A. 2 1



5 ,



5 2

F 1

N F 2

 

5 , 5 ,

 

5 3 N 10

F 1 F 1

N F 2 N F 2



  , 1F MA

Bài 5. Cho ba lực cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng

AMB 

    , F MB F MC  1F

  2F

và . Cường độ và hướng của đều bằng 100N và  060

yên. Cho biết cường độ của lực là:  A. 100N , hướng ngược với MD  B. 100 3N , hướng ngược với MD  C. 100 2N , cùng hướng với MD  D. 100N , cùng hướng với MD

Page 14 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773

(gọi là phép nhân một số thực với một vectơ). Khi đó:





Vấn đề 3. Tích của vectơ với một số

, ta có c

  k a

0k 

A. Các kiến thức cần nhớ k 0,

0k 

   a k 0,  cùng phương a  khi cùng hướng a  ngược hướng a

khi

I/ Định nghĩa: Cho - - - -

 c  c  c  c



 k a   k a .

Quy ước: 0.

, k h , khi đó:

bất kì và II/ Tính chất: Cho







(



  a    a ; ( 1)



   



   a b a , ;

        a 0; .0 0; 0.0 0   , a b        k a b ka kb ( )      k a hb k h a      kh a k ha ( ) )    a a  1.

 Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB , với mọi M ta có:  Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC , với mọi M ta có: III/ Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

  0,    k



   MA MB MI  2       MA MB MC MG 3    kb a  k :     AB k AC :

cùng phương cùng phương  AB

  b 0  AC IV/ Điều kiện để ba điểm A B C thẳng hàng: V/ Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

 x





và không cùng phương. Khi đó, bao giờ cũng tìm được hai số , m n sao cho:

    a  b 0 0, Cho hai    x ma nb  B. Bài tập trắc nghiệm  Dạng 1. Xác định vectơ k a  Phương pháp:  Dựa vào định nghĩa vectơ ka

 và a  và a

 k a   k a 

cùng hướng ngược hướng 

 Nếu k  ka 0,  k  k a Nếu 0,         k a 0; .0 0; 0.0 0     a a a     a ; ( 1)



 BC

 

 BC ,  BC

 BC

 

 0.  1.

  A. BC AB Bài 2. Cho ba điểm phân biệt   BC  AC 4

Bài 1. Cho B nằm giữa hai điểm A và C , với  AB 2  AB  AC

 AC

A. D.

. Đẳng thức nào dưới đây đúg? a AC  a 6 2 ,    B. D. C.   AB  AB BC 2 4  A B C . Nếu thì đẳng thức nào sau đây đúng? , AC 3   C. B.    AC BC 2 2    Bài 3. Cho hình bình hành ABCD . Tổng các vectơ AB AC AD   là:  AC

 A. 2 AC

 B. AC

 AC

1 3

2 3



D. C.

1 5

. Số k trong Bài 4. Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm trên đoạn thẳng AB sao cho

  đẳng thức MA k AB 

là:

Page 15 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773

k  

k  5

1 k  5

1 5

A. B. C. D.

 Bài 5. Cho vectơ a

 A. ka  C. ka

 là một vectơ cùng hướng với a  là một vectơ cùng phương với a

 B. ka  D. ka  k

và một số k . Kết luận nào sau đây luôn đúng?

 là một vectơ ngược hướng với a  là vectơ đối của vectơ a    nếu MA k MB k 1, 

. Lúc đó, M chia Bài 6. Điểm M gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỉ số đoạn thẳng BA theo tỉ số nào?

1 k

1  k



k 1,

A. D. B. k C. k

 thì B chia đoạn thẳng MB theo tỉ số:

Bài 7. Nếu M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số

k k 

k k

1 1 k

1 1k 



k 1,

A. B. C. D.

 thì B chia đoạn thẳng MA theo tỉ số:

Bài 8. Nếu M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số

k k 

k k

1 1 k

1 1k 

  B. 5BC AC   D. BC AC

  và 10 BC   AC 2   và BC AC

  A. 2BC AC   C.  AC BC 2

A. B. C. D.

Bài 9. Cho tam giác ABC , cặp vectơ nào sau đây cùng phương?   và  AC BC 2   và 2BC AC Dạng 2. Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích vectơ với một số

  . Tổng hai vectơ GB GC

 Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng.

BC 

Bài 1. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền

  CB MA :

có độ dài bằng bao nhiêu? A. 2 C. 8 D. 4 B. 2 3

1 2

Bài 2. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Điểm M là trung điểm của BC . Tính độ dài của



A. a B. 2a C. 3a D. 4a

  1 BA BC : 2

Bài 3. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Điểm M là trung điểm của BC . Tính độ dài của

B. C. D. A.

 MA 

2,5

 MB :

3 4

Bài 4. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Điểm M là trung điểm của BC . Tính độ dài của

127 8

127 3

127 4

127 2  OB

 u



 OA 

2,5

B. C. D. A.

 . Độ dài của



21 4

là: Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC với OA OB a

321 4

541 4

140 4



 u



A. B. C. D.

 . Độ dài của



321 2   3 OA OB 4

11 4

là: Bài 6. Cho tam giác vuông cân ABC với OA OB a

Page 16 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773

6073 28

3 2

5785 28

B. C. D. A. 2a

C. D. B.   A. AB AC a     GA GB GC   GB GC a     AB AC a       3 0

Bài 7. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Đẳng thức nào sau đây sai? 3    AC AB 2 :

1 2

Bài 8. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Điểm M là trung điểm của BC . Tính độ dài của

21 3

21 2

21 4

21 7

A. B. C. D.

   

   MA MB  0    OA OB  OM 2

Dạng 3. Phân tích (biểu diễn) vectơ theo hai vectơ không cùng phương  Phương pháp: Phối hợp linh hoạt các quy tắc:  Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, hiệu của các vectơ cùng các tính chất, các kỹ thuật tách, gộp, chọn gốc.  Tính chất trung điểm: M là trung điểm đoạn thẳng AB

   

 

    GA GB GC  0      OG OA OB OC 3

với O là điểm tùy ý  Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm của tam giác ABC



với O là điểm tùy ý

1 4





. Hãy chọn đẳng thức đúng: Bài 1. Cho tam giác ABC , E là điểm trên cạnh BC , sao cho

   AE AC AB









   AE AC AB





B. A.

1 3

1 5

 theo hai vectơ CA

 và CB

3 1 4 4    1 1 AE AC AB 4 4  . Biểu thị vectơ CI

D.   IB I A 2 Bài 2. Cho tam giác ABC và điểm I sao cho

 



B. A. như sau:  CI



 CI



   CB CA 2 3    CB CA 2 3



 CI    IB I A 2 0

 theo hai vectơ CA

D. C.

   CI  CB CA   CA  CB 2  3  . Biểu thị vectơ CI

 CB

và Bài 3. Cho tam giác ABC và điểm I sao cho

 



B. A.

 CI



 CI



   CI  CB CA   CA  CB 2  3



    CA a CB b ,

 . Biểu thị vectơ AG

 theo hai vectơ a

D. C. như sau:     CB CA 2 CI 3    CB CA 2 3

 và b



Bài 4. Cho tam giác ABC với trọng tâm G . Đặt

 AG



  a b  3

   b a 2 3

B. C. D. A. như sau:    a b  2 AG 2

  Bài 5. Cho G là trọng tâm tam giác ABC . Đặt CA a

 AG    , CB b

 AG  , biểu thị vectơ CG

  a b  3  theo hai vectơ a

 và b

như sau:

Page 17 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773

   a b 



   a b 



 CG



 CG



 CG



 CG



  a b  3

  a b  3

A. B. C. D.

Bài 6. Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho

 2  AK





 AK





A. B.

 AK





 AK





  1 AB AC 6   1 AB AC 4

C. D. . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó: NA   1 1 AB AC 4 6   1 1 AB AC 6 4

1 4 1 6  BC

 CN



1 2

Bài 7. Cho tam giác ABC , N là điểm xác định bởi , G là trọng tâm tam giác ABC . Hệ

là:

 AC



 thức AC  AC



B. A.

 AC



 AC



  1 AG  AN 2   1 AG  AN 2

  và AN theo AG   1 2 AG  AN 2 3   1 3 AG  AN 2 4

D. C.

4 3 3 4 , M N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Hãy tìm



, m n để Bài 8. Cho tứ giác ABCD . Gọi



 



 

n ,

   MN m AB nDC  1 2

1  2

1 2

1  2

1 2





1   2  ,AI . Hệ thức giữa

A. B. C. D.

1 n   , 2    k BC k BI

 1

Bài 9. Cho hình bình hành ABCD . Gọi I là điểm xác định bởi

và k là:





 

(

(1 k)

A. B.

  , AB AC  AI  AI



 AI  AI





(

M 9,

  AB k AC     AB k AC là trung điểm của BC , N là điểm trên đoạn AC sao cho

  x

C. D.

  AB k AC     AB k AC  Bài 10. Cho tam giác ABC , biết AC  0

AN x   MN





 MN





A. B.

 MN





 MN





1 2 1 2

x 9 x 9

 . Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau:   1  AB AC 2   1  AB AC 2

     

     

     

  x 1 1   AB AC  2 9 2    x 1 1   AB AC  9 2 2    k  nếu MA k MB 

C. D.

. Lúc đó, với điểm O bất Bài 11. Điểm M gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỉ số kì thì:

 OM



 OM



  kOA OB   k

  kOA OB   1

  OA kOB   1

A. B. C. D.

  OA kOB   k A B C . Nếu có một điểm I và một số t nào đó sao cho

Bài 12. Cho ba điểm phân biệt

thì với mọi điểm

 'C





 I A '  I A '





A. B.

'I bất kì, hệ thức nào sau đây đúng?       'C 1     'C 1

 t I B t I '  t I B t I '

C. D.

      t IC IA t IB   1        I A t I B t I ' 1    I A t I B t I ' 'C ' Dạng 4. Đẳng thức vectơ  Phương pháp

Để chứng minh một đẳng thức ta có thể làm theo các cách sau:

 Biến đổi vế này thành vế kia  Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết đã đúng

Page 18 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773

  Đưa về cùng một vế và biến đổi đẳng thức bằng 0  Phối hợp các quy tắc:

   MA MB  0     OM OA OB 2

 Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, hiệu của các vectơ cùng các tính chất, các kỹ thuật tách, gộp, chọn gốc.

 

 Tính chất trung điểm: M là trung điểm đoạn thẳng AB   với O là điểm tùy ý    Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm của tam giác ABC     với O là điểm tùy ý A B C lần lượt có trọng tâm là G và

    GA GB GC  0     OG OA OB OC  3 Bài 1. Cho hai tam giác ABC và ' ' '

'G . Đẳng thức nào sau đây

 

 

   BC CA  GG AB   ' ' ' '       GG A A BB CC ' ' ' '

   GG AA BB CC  ' '     GG AC BA CB ' '

' '

B. 3 D. 3 sai? A. 3 C. 3 Bài 2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm đoạn BC . Đẳng thức nào sau đây đúng?

 IG

 

 IA

   GB GC  GI



   D. GB GC GA





  GA  GI 2

1 3

A. B. C.

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây đúng?



   AC BD  CD 2

   D. AC AD CD

   AC BD  BC







A. C.

   B. AC BC AB  Bài 4. Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và I là trung điểm của AM . Đẳng thức nào sau

















    IA IB IC  0

    IA IB IC  0

đây đúng? A. B. C. D. 2

    IA IB IC  0 Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD , I và K lần lượt là trung điểm của BC và CD . Hệ thức nào sau





đây đúng? A.

    B. AI AK AB AD       AI AK AC



   AI AK  AC    C. AI AK IK 



3 2

  A. B.   2 2

 

 

 

 

3 3

2 2

C. D.     DB 3  DB 3 2 2

Bài 6. Cho tứ giác ABCD . , BC CD . Hãy chọn hệ thức đúng? , I J lần lượt là trung điểm của              AB AI AJ AD  BA IA JA DA    DB 3                JA AD   AB AI  AB IA AJ AD DB 3 Bài 7. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy chọn hệ thức đúng?           AC BC MA MB MC BC MA MB MC AC    2 3            CB CA MA MB MC   CA CB MA MB MC 3 A. 2 C. 2 B. 2 D. 2 Bài 8. Cho tam giác đều ABC , tâm O . M là điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba

D E F . Hệ thức giữa các vectơ

cạnh của tam giác là là:

    M D ME MF  MO





    M D ME MF MO ,      MO M D ME MF





A. B.

   M D ME MF





 MO

    M D ME MF  MO





, 1 2 3 4

, 2 3 3 2

C. D.

Bài 9. Cho tam giác ABC có trực tâm H , O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chọn khẳng định đúng:

    HA HB HC HO





    HA HB HC HO





A. B.

Page 19 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773





    HA HB HC HO





2 3

C. D.

Bài 10. Cho tam giác ABC có trực tâm H , O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chọn khẳng định đúng:







1 2









A. B.



    1 OA OB OC OH 3     OA OB OC OH 2 ,

D.  AB c BC a CA b

    OA OB OC  OH     C. OA OB OC OH  Bài 11. Cho tam giác ABC với các cạnh

 . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp

ABC . Đẳng thức nào sau đây là đúng?





A. B.







    aI A bIB cIC  0      bI A cIB aIC 0

    1 1 1 I A   IB 0 a c b      aI A bIB cIC 0

  OM a ,

 trong đó O và a

D.  Dạng 5. Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức cho trước

 Phương pháp Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó. Thông thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về:





 Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k  Hình bình hành  Trung điểm đoạn thẳng  Trọng tâm tam giác…

Bài 1. Cho tam giác ABC . I là điểm nào nếu

    IA IB IC  0 B. Trọng tâm tam giác ABC D. Đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCI



A. Trung điểm AB C. Đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI

    Bài 2. Cho hình bình hành ABCD , điểm M thỏa mãn 4 AM AB AC AD 

 C. Trung điểm AB

A. Trung điểm AC B. Điểm C . Khi đó, điểm M là: D. Trung điểm AD

 AB

   AC 2

A B C thỏa , A B C thẳng hàng ,

, ,

. Chọn câu trả lời sai:





Bài 3. Cho ba điểm A. Ba điểm C. Điểm C là trung điểm đoạn thẳng AB B. Điểm B nằm trên AC và ngoài đoạn AC D. Điểm B là trung điểm đoạn thẳng AC

    NA NB NC  0 B. Trung điểm đoạn BC



Bài 4. Cho tam giác ABC . Điểm N thỏa mãn 2 là:



Bài 5. Cho tam giác ABC . Hãy xác định điểm I thỏa mãn 2 A. Trọng tâm ABC C. Trung điểm đoạn AK với K là trung điểm đoạn BC D. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và AC làm hai cạnh    IC IB 3 0 B. I không thuộc BC A. I là trung điểm BC

3 2





C. I nằm trên BC ngoài đoạn BC

, M N sao cho

D. I thuộc đoạn BC và     MA MB MC  0 Bài 6. Cho tam giác ABC . Hãy xác định điểm M thỏa mãn B. Đỉnh của hình bình hành ABCM D. Trung điểm BC A. Trọng tâm ABC C. Trùng điểm B Bài 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Trên cạnh BC lấy hai điểm . Điểm G là điểm gì của tam giác AMN ?

B. Tâm đường tròn ngoại tiếp D. Trọng tâm

BM MN NC   A. Trực tâm C. Tâm đường tròn nội tiếp Bài 8. Cho tứ giác ABCD . Gọi

, E F lần lượt là trung điểm AB và CD . Điểm G thỏa mãn





     GA GB GC GD  0

. Xét các mệnh đề:

Page 20 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773

II. G là trung điểm của EF



D. I, II đều sai I. G là trung điểm của AC Mệnh đề nào đúng: A. Chỉ I B. I, II đều đúng

    PA PB PC  0

C. Chỉ II 

Bài 9. Cho tứ giác ABCD . Điểm P thỏa mãn hệ thức 3 A. P là trung điểm AG , G là trọng tâm ACD B. P là trung điểm AG , G là trọng tâm BAD C. P là trung điểm AG , G là trọng tâm BCD D. P là trung điểm AG , G là trọng tâm ABC Dạng 6. Xác định tính chất hình khi biết một đẳng thức vectơ  Phương pháp

Phân tích định tính xuất phát từ các đẳng thức vectơ của giả thiết, lưu ý tới những hệ thức đã biết về trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, các dấu hiệu nhận biết hình…

  k  \ 0

với A. AD BC

k  0

k  0

với Bài 1. Tứ giác ABCD là hình thoi có đáy AB và CD khi và chỉ khi:   B. AB kCD   D. AB kCD   C. AB kCD

  B. BC AD

với Bài 2. Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi:

và AC là phân giác BAD

  A. AB DC   C. BA CD

và AC BD   BC và BA D. Các kết quả A, B, C đều đúng

     AB AC   Bài 3. Cho tam giác ABC có AB AC thì tam giác ABC :

A. Cân B. Đều D. Vuông tại B

   Bài 4. Tứ giác ABCD là hình gì nếu thỏa hệ thức AD BD DC



A. Hình thang C. Vuông tại A  C. Hình bình hành D. Hình vuông

thì tứ giác đó là hình gì?

   Bài 5. Tứ giác ABCD thỏa hệ thức AC k AD AB

, M N lần lượt là trung điểm của cạnh AD và DC của tứ giác ABCD . Các đoạn thẳng



    PM AN BM AP ;

B. Hình chữ nhật   B. Hình chữ nhật A. Hình bình hành C. Hình thang D. Hình thoi Bài 6. Gọi

AN và BM cắt nhau tại P . Biết

1 5

2 5

. Tứ giác ABCD là hình gì?

 

B. Hình thang A. Hình bình hành D. Hình vuông Bài 7. Cho trọng thỏa mãn tâm G

   0 B. Cân tại A

tam giác ABC có các cạnh bằng  2  a GA b GB c GC A. Đều C. Hình chữ nhật a b c và , , . Tam giác ABC là tam giác gì? C. Thường D. Vuông tại B Dạng 7. Quỹ tích điểm thỏa mãn một đẳng thức cho trước

 Phương pháp Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện vectơ ta quy về một trong các dạng sau:

: tập hợp điểm M là đường trung trực đoạn thẳng AB

: tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và song song BC : tập hợp điểm M là đường thẳng AB : tập hợp điểm M là đường tròn tâm A , bán kính k    MA MB     MA k BC     AM k AB    AM k  0

Biến đổi các hệ thức vectơ về các dạng cơ bản.

 . Lúc đó, quỹ tích các    MA MB MC   Bài 1. Cho tam giác ABC cố định, M là điểm di động thỏa 3

điểm M là: A. Đoạn thẳng B. Đường thẳng C. Đường tròn D. Các kết a, b, c đều sai

Page 21 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Bài 2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G , I là trung điểm BC . Quỹ tích các điểm M di động thỏa

là:    NA NB NC      NB NC  mãn 2 3

B. Đường thẳng qua G và vuông góc IG

O A B . Tập hợp các điểm M thỏa

   1

    m OB OM mOA  B. Trung trực đoạn thẳng AB D. Đường thẳng vuông góc AB tại A

A. Đường trung trực của IG C. Đường thẳng qua G và song song với IG D. Đường tròn tâm G , bán kính IG là: Bài 3. Cho ba điểm cố định

A. Đường thẳng qua A và B C. Đường thẳng vuông góc AB tại A

EF E F lần lượt là trung điểm của

, AB AC

      Bài 4. Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm thỏa mãn điều kiện sau: MA MB MA MC 

A. Tập hợp điểm M là đường trung trực của B. Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và song song với BC

AB 9

C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I , bán kính

D. Tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với AC

Bài 5. Cho hai điểm cố định :     , A B . Tập hợp điểm M thỏa mãn MA MB MA MB   

A. Đường tròn đường kính AB C. Đường tròn tâm I , bán kính AB B. Trung trực của đoạn thẳng AB D. Nửa đường tròn đường kính AB

là: Bài 6. Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm thỏa mãn điều kiện MA MB MC         AB AC 

BC 3

A. Đường tròn tâm G đường kính BC B. Đường tròn tâm G đường kính

BC 3

D. Đường tròn tâm G đường kính 3MG

 và b

 . Khi đó, vectơ a

C. Đường tròn tâm G bán kính  Bài 7. Cho hai vectơ a không cùng phương sao cho   a  b    a b   và 1, 2

 b A. Trùng nhau C. Vuông góc với nhau

có giá:

B. Song song với nhau D. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau

Page 22 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773

Vấn đề 4. Hệ trục tọa độ A. Các kiến thức cần nhớ

I/ Trục tọa độ:  Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ

'x Ox

 . Kí hiệu trục  đơn vị e

  . Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM ke

hoặc  ;O i

. Số k gọi là  Tọa độ vectơ và điểm trên trục:  Cho điểm M nằm trên trục 

  ke

).  ,O e  tọa độ của điểm M đối với trục đã cho (nó cũng là tọa độ của OM

 nằm trên trục   Cho điểm u  độ của vectơ u

. Khi đó có duy nhất một số k sao cho u . Số k gọi là tọa  ,O e

đối với trục đã cho.  Độ dài đại số của vectơ trên trục

. Số a gọi là  ,O e

  . Khi đó có duy nhất số a sao cho AB ae    AB AB e .

 

. Như vậy đối với trục đã cho và kí hiệu a AB  Cho hai điểm A và B trên trục   độ dài đại số của vectơ AB  Nhận xét:

   Nếu AB thì AB AB cùng hướng i    Nếu AB ngược hướng i thì AB   AB  ,O e  Nếu hai điểm A và B trên trục 

có tọa độ lần lượt là a và b thì: AB a b

, Ox Oy

  ; ,O i j

 , trục Oy được gọi là trục tung có vectơ đơn vị j

II/ Hệ trục tọa độ:  Định nghĩa

  



 Hệ trục tọa độ Oxy hay  là hệ trục tọa độ vuông góc   Trục Ox được gọi là trục hoành có vectơ đơn vị i  Mặt phẳng tọa độ Oxy là mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ Oxy





a a 2; 1

, nếu

 Đối với hệ trục tọa độ  1a gọi là hoành độ, 

 b



;

  a b









b b ; 2 2

a a ; 1 2

 a 1  a 2

b 1 b 2

   

;x y gọi là tọa độ điểm M , kí hiệu

. Ta có:  Tọa độ hai vectơ bằng nhau: Cho  Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ       a a a i a j ; ,O i j 1  2a gọi là tung độ của a  a



 ;M x y nếu



. Cặp số 





. Vậy:  Điểm M trong mặt phẳng tọa độ  

   y j OM xi   Chú ý:   Cho hai điểm

 AB





;





 A x

;B ,

 v

 u



;

. Ta có: và

, 



u u ; 1 2

 



u 1

v u ; 1

v 2

  u v   u v

 



 

 

u 1

v u ; 1

v 2

. Khi đó: Cho   ; ,O i j     OM xi ;M x y  y j  ;x y cùng là tọa độ vectơ OM    B x A B      u v u v ku    Tọa độ của các vectơ    v v ; 1 2

Page 23 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773







ku 1



 u

 v



;

 ku    v  0









u u ; 1 2

v v ; 1 2

 u cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho 1

kv 1

 Hai vectơ với

kv 2

và .

 B x



 I x y ;I

AB là:



;

 Cho đoạn thẳng AB có và . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng  Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác  A x

 2 y

;

 2 

 A x



 B x



 G x



 C x C

y C

y G

. Khi đó, tọa độ trọng tâm



x C

y C



x G

x B 3

y B 3

 Cho tam giác ABC có của tam giác ABC là:

B. Bài tập trắc nghiệm

  OM ae 

 có độ dài đại số là m AB

, a b lần lượt là tọa độ của

     AB me , A B thì AB b a

 

 ,O e Dạng 1. Tìm tọa độ một điểm và độ dài đại số của một vectơ trên trục   Phương pháp: Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:

 (hệ thức Sa-lơ)    ,



 Điểm M có tọa độ a   Vectơ AB  Nếu  Các tính chất:  AB   BA    AB CD AB CD       A B C O e AB BC AC : . Cho hai điểm A và B có tọa độ lần lượt là a và b . Tìm tọa độ điểm

 1

 ; ;  Bài 1. Trên trục tọa độ  ,O e    MA k MB k  M sao cho



x M

kb k

 kb a  k 2 1

 kb a  k 2

 kb a  k 1

a 2 1

  . Cho hai điểm A và B có tọa độ lần lượt là a và b . Tìm tọa độ điểm

A. B. D. C.

x M Bài 2. Trên trục tọa độ 



 a b 2

 a b 3

 a b 2

A. B. C. D.  ,O e trung điểm I của AB  a b 2

. Cho hai điểm A và B có tọa độ lần lượt là a và b . Tìm tọa độ điểm

b 2

a 5

b 4

a 5

b 3

 ,O e   NB 5



A. B. C. D.

x Bài 3. Trên trục tọa độ  N sao cho 2 NA  b a 2 7

 7

 7 cho ba điểm

A B C có tọa độ lần lượt là

a b c . Tìm điểm I sao cho , ,



A. B. C. D.

x  ,O e Bài 4. Trên trục tọa độ      IA IB IC    0    a b c 3

  a b c 2

  a b c 3

  a b c 3

Page 24 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773



A B C trên trục tọa độ  ,

Bài 5. Cho ba điểm . Hệ thức nào sau có tọa độ lần lượt là 2; 6; 4  ,O e

CA  

đây sai? A. D. C.

  B. OA e 2 Bài 6. Trên một trục, cho ba điểm

6 ,

 BC  A B I có tọa độ lần lượt là 4; 6 và m . Nếu

 

  AB BC 6    thì m IA IB 0

bằng: A. 1 C. 2 D. 2



 . Nếu điểm M

Bài 7. Cho ba điểm có tọa độ lần lượt là 5; 2; 5

MA MB MC



B. 1 A B C trên trục tọa độ  ,   ,O e  thì tọa độ điểm M là: thỏa mãn 2

9 4

9 2

A. 2 C. D.

a b c . Xét các mệnh đề sau: , ,

OM a b

 

Bài 8. Cho ba điểm có tọa độ lần lượt là

  0

B. 1  ,O e A B C trên trục tọa độ  , II.    MA MB 0    OM a b c

B. Chỉ I và III C. Chỉ II và III D. Cả I, II và III

cho điểm M có tọa độ 2 . Mệnh đề nào sau đây sai?

  I. AB b a III.   MA MB MC Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I và II  ,O e Bài 9. Trên trục    A. OM   e 2

OM 

 C. OM

 và e

B. ngược hướng  OM  D. 2

Dạng 2. Xác định tọa độ vectơ và một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy  Phương pháp

2M lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox và Oy . Khi đó,

ta làm như sau:



    a OM a OM , 1 1

  Để tìm tọa độ của điểm A ta tìm tọa độ của vectơ OA

trong đó Sử dụng định nghĩa tọa độ và tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy   Để tìm tọa độ vectơ a   Vẽ vectơ OM a 1M và Gọi    a a a 2; 1

. Như vậy A có tọa độ là 



;

x OA y OA A 1

 ;x y 2A tương ứng là chân đường vuông góc hạ từ A

, trong đó xuống Ox và Oy .

và

 , A B ta tính được tọa độ của vectơ AB

 AB



;

x B

theo công thức  Nếu biết tọa độ của hai điểm

 y A  OA



x y ;





x  A   ; ,O i j

, cho . Mệnh đề nào sau đây sai?



  y

A y Oy '

  D. 0

A x Ox '

  Bài 1. Trong hệ trục  A. 

 OA



 ;A x y



'M đối xứng với điểm M qua

;M x y . Tọa độ điểm



Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho điểm C. 

y

;

  ;M x y



 M x y 'M đối xứng với điểm M qua

 ;M x ' ;M x y . Tọa độ điểm

B. D. trục hoành là:    y M x A. ; '

 Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho điểm



C. 

y

;



  ;M x y

 ;M x '



 M x y



B. C. D. trục tung là:    M x A. ; '

Page 25 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

;M x y . Tọa độ điểm

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho điểm

'M đối xứng với điểm M qua





;



  ;M x y



 ;M x ' và

 3; 5

B. D. gốc tọa độ là:    y M x ; ' A.

 M x y   . Khi đó, tọa độ của vectơ BA

y 



 A 

 4; 9

4;9

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm C. 1;4

 2; 1

D.  là cặp số nào? A. 

4;9 9;7 C ;

 11; 1 ;

 M

Bài 6. Cho tam giác ABC có C.  và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . B.   B

là

 1; 4

 10;6

 Tọa độ MN  A.  2; 8

B. 

 và BC

1;3A 

5;3  ;O i

cùng Bài 7. Cho hình vuông ABCD tâm I và có D.  C.  . Biết điểm B thuộc trục 





 I  AC



 . Khẳng định nào sau đây là đúng: phương với i    A.  AB 0; 3 ; 2;1    BC  3; 3 3;0 ;

 



C. D.

 và AD

 trong đó i

   AB  0;3 ;     AC  3; 3 ; a  . Chọn hệ trục 

  BC 3;0   2;1   ; ,A i j

cùng

 hướng, j

cùng hướng. Tọa độ các đỉnh và tâm hình vuông là: Bài 8. Cho hình vuông ABCD tâm I và có cạnh  và AB





 0;0 ,



  0; 5 ,



 5;5 ,



 I 5;0 ,

5 5 ; 2 2

  



 0;0 ,



 0;5 ,



 5;5 ,



 5;0 ,



 0;0 ,



 5;0 ,



 5;5 ,



 0;5 ,

     

     



;



 0;0 ,



 5;0 ,



 5;5 ,



  0; 5 ,

5 2

  

   5 5 ; 2 2 5 5 ; 2 2 5   2  4

 và AD

cùng phương. Lúc đó:

 4;0 ,

 A.

 4;0 ,



B.    3; 4



 4;3  

C.    4 3;3 

 4;0 ,  4;0 ,

 

 060 . BAD    AB   AB     AB   AB

   AC  

 AC  3 ,  AC  AC   CD  CD  CD D.    3;3 3;3 

 . Tìm tọa độ các đỉnh hình thoi ABCD

x b

y 0, b



;

Bài 9. Cho hình bình hành ABCD có AD  và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3 , góc   Chọn hệ trục tọa độ   sao cho i ; ,A i j       CD BC  3;3 , 3; 3 ,    BC    3;3 ,     BC    3;3 , 3; 3 ,     BC    3;3 , 3; 3 , Bài 10. Cho hình thoi ABCD cạnh a và  060 BAD  . Biết A trùng với gốc tọa độ O , C thuộc Ox và



 0;0 ,

 C a

 a D ,

a 2

   



;



 0;0 ,

 C a

 a D ,

a 2

       

   

       

   

Page 26 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773



;



 0;0 ,

  C a

 a D ,

a 2

   

   



;



 0;0 ,

 C a

 a D ,

a 2

       

       

   

   

Dạng 3. Tìm tọa độ của các vectơ

. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

     u v u v ku 



     u v u v ku 



 Phương pháp:

v 2

,  



 ku 1

v u ; 1  ,  a



 b



  u v     ku qua hai vectơ

 Dùng công thức tính tọa độ của các u 1

 







a a 2; 1



và  Để phân tích không cùng phương,

 c c c 2; 1     xa yb



 b b 2; 1  a x b y 1  a x b y 2

c 1 c 2

  

 b

5;3



  

. Khi đó ta quy về giải hệ phương trình ta giả sử c

 a Bài 1. Cho  u 

 B.

  u  

1;5

  9; 11



   a b  u 2   u 

. Tọa độ của vectơ  u  D. A. C. là: 9;5

  2; 4 ,   M  . Kẻ 5; 3

    7; 7 

1MM vuông góc với Ox ,

2MM vuông góc với Oy . Khẳng định nào sau

Bài 2. Cho



 5; 3

5;3





 OM   5 1

  OM OM 1

B. C. D.

  OM OM 1 2   j

OM  2  là hai vectơ đơn vị của hệ trục tọa độ  và j B.   1; 2

3;4

Bài 3. đây đúng? A.  i

A.  C. 



2   ; ,O i j 2;1   a

   . Tọa độ độ của vectơ 2i D.   c 1;5 ,

 b 3;2 ,

  



 13; 9

 17; 15

. Tọa độ Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba vectơ là:  0; 3     2; 5

  u  



 



D. C.

 u 

  u    . Tìm tọa độ u biết 2   u  

     u a b 3 0 3;1

A. C.

    là: a    u  c b 5 2    u    15; 17 A.       b a   1;2 , Bài 5. Cho  2;1  u  Bài 6. Cho ba điểm





 3;2 D.     MA MB MC   0



 4;0 ,

. Tìm điểm M sao cho B.  3;4 , B. 



;

1 3 ; 2 2

1 3 ; 3 2

1 3 ; 3 4

  

  

  

  

  

  

A. B. C. D.

 2;1 3   2  3;3

 2;5 ,



  u    9; 13    c   1;3   3;1 u    C 0;3 , 1   3      C 1;1 , . Tọa độ điểm E là:

Bài 7. Cho ba điểm , một điểm E trong mặt phẳng tọa độ thỏa

   2; 3



 b

D.  C. 



 

    c



   3; 3   theo b . Hãy biểu diễn a   b

 a

 

 b 

 c

13 14

A. C. D.

   AB AE   AC 3  A.  3; 3     a 3; 7 , Bài 8. Cho   13  b a 14  a



7;2

 và c   c a     k a hb



13 23 24 14 ; h k để c



 

B.  b Bài 9. Cho ba vectơ . Giá trị của là:

k 2, 5;

k 4, 4;

0,6

k 3, 4;

0,2

    a



; h k để 5c

3;3 B.      c 1;2 5;4 ,   13 b  a 14   c 3;4 , k  4,6;    c 2; 4 ,

23 24     2;1 , B. k 1,3      b 3;5 ,

23 24    C.   5,1    1;1

D.      k a hb Bài 10. Cho ba vectơ là: . Giá trị của

Page 27 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773



n ;

;

21 11

15 11

8 11

11 5

5 11

A. D. B. C.

15 5 11 11 Dạng 4. Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ, ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng

 u

 v



;

 . Vectơ u



u u ; 1

v v ; 1 2

cùng phương với vectơ khi và chỉ khi song song bằng tọa độ  Phương pháp    Cho      v v  0

kv 1 kv 2

  u 1  u  

  A B C thẳng hàng khi và chỉ khi AB k AC 

  kv

tồn tại k sao cho

 a



;







c c 2; 1

a a ; 1 2

b b ; 1 2



qua hai vectơ không cùng phương, ta  Ba điểm ,  Hai vectơ song song nhau khi u   Để phân tích c và hai vectơ không có điểm chung  b 

     xa yb



  a x b y 1  a x b y 2

c 1 c 2

  

. Khi đó ta quy về giải hệ phương trình giả sử c

Bài 1. Cho

 B. u

cùng hướng

 và u

  u    A. u v và   C. u v

. Khẳng định nào sau đây đúng?  và v   D. 2u v cùng hướng

 c



6; 10



Bài 2. Cho cùng hướng    

cùng hướng

  và a b  và c

ngược hướng . Hãy chọn đẳng thức đúng?   B. a b   D. a b

      v 1;6 3; 2 ,   4;4 a   ngược hướng    b   6; 24 và       a  b 2;3 , 1;2 ,    A. a b và c    và c C. a b Bài 3. Cho ba điểm

  . Chọn khẳng định đúng?

 

3; 3





cùng hướng cùng hướng   A 0;3 ,

cùng phương

 

 0;1 ,



A B C thẳng hàng B. , ,   D. AB và AC    . Khẳng định nào sau đây là đúng? 1; 1

  1;5 ,



Bài 4. Cho bốn điểm

A. Ba điểm C. Ba điểm

  . Khẳng định nào sau đây là đúng?



 0;1 ,



Bài 5. Cho bốn điểm B. Hai đường thẳng AB và CD song song D. Hai đường thẳng AD và BC song song 8; 5

 1; 2 , A. A B C không thẳng hàng C. Điểm B ở giữa điểm A và C   1; 2 , A B C thẳng hàng , , A B D thẳng hàng , ,    A  3; 2 , 7;1 ,  và CD đối nhau

 A. AB

cùng phương nhưng ngược hướng

 và CD  và CD

  B. AB  D. AB

 b



cùng phương và cùng hướng C.

 . Hai vectơ a

 và b

A B C D thẳng hàng ,   a 5;0 ,

,   



Bài 6. Cho cùng phương nếu số x là:

 B. 4

A. 5 C. 0 D. 1 Bài 7. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:

  b  

 c 

A. Hai vectơ và

B. Vectơ

4;0 cùng phuơng  7;3  d   cùng phương

C. Hai vectơ và

D. Hai vectơ ngược hướng

3;6

A B C ,

 5;0  a   7;3  là vectơ đối của    4;2 8;3  v  u    2;1  6;3  b  a     6;3 , . Xác định điểm C trên trục hoành sao cho ba điểm

Bài 8. Cho ba điểm và  B 

1;0C 

6;0C 

5;0C 

B. C. D. thẳng hàng   C A. 15;0

Page 28 Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ

Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Dạng 5. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác

 B x



 A x



 I x y ;I

 Phương pháp: Sử dụng công thức tính trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác của và . Tọa độ trung điểm  Cho đoạn thẳng AB có



;

x I

đoạn thẳng AB là:

;

 A x



 2  B x B

 2  C x C

y C

. Khi đó, tọa độ trọng tâm

 G x

y G



x C

y C



x G

 . Tọa độ trung điểm của đoạn

của tam giác ABC là:  Cho tam giác ABC có 

x B 3 Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm



 0;5 ,



y B 3  2; 7



2;12



 2; 2

 1; 1 . Nếu P là điểm đối xứng với

3;2

thẳng AB là cặp số nào? A.  B.  D. 





Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm C.   M

2;5

 13; 3

 11; 1

11 1 ; 2 2

1;6   N 8; 1 , điểm M qua điểm N thì tọa độ điểm P là cặp số nào?   

  

  . Khi đó, trọng tâm tam

B. A.  C.  D. 



  5; 2 ,



 0;3 ,



 5; 1

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm

 1; 1

0;0

 0;11

giác ABC là cặp số nào? A. 

2;5 , G 0;7

Bài 4. Trong mặt phẳng B.  tọa độ Oxy , cho C.  tam giác ABC trọng D.   10;0 tâm G . Biết rằng









1;12

  A A. 

 1;4 ,  2;12

 B. 



. Hỏi tọa độ điểm C là cặp số nào?

D  . Hỏi điểm

3;1   3;1 ,

 1;12   1; 6



 2;2 ,



 2; 1

C.  A Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho bốn điểm D.    1;6 ,

B. Tam giác ABD C. Tam giác ACD D. Tam giác BCD



 1;7



Bài 6. Cho hai điểm



2;12

 2; 12 

. Chọn khẳng định đúng? 4;2

G  là trọng tâm của tam giác nào? A. Tam giác ABC   3; 5 , A. Trung điểm đoạn thẳng AB là điểm   B. Tọa độ của vectơ AB  C. Tọa độ của vectơ AB D. Trung điểm đoạn thẳng AB là điểm 

 2; 1

là  là 



0;4



 3;5 ,





. Tọa độ Bài 7. Cho tam giác ABC , trọng tâm là gốc tọa độ, biết tọa độ hai đỉnh là

3;7

 3; 9

đỉnh C là: 5;1 A.  B.  C.  D. 