TOÁN 11-CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT Đ
Ư
ỜNG TH
Ẳ
NG
Ta đã biết khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng. Trong không gian, khái niệm
khoảng cách đó được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.
Kiến thức trọng tâm
Cho đường thẳng
và điểm
M
không thuộc
. Gọi
H
là hình chiếu của điểm
M
trên đường thẳng
.
Độ dài đoạn thẳng
MH
gọi là khoảng cách từ điểm
M
đến đường thẳng
, kí hiệu
( , )d M
.
Trong Hình 59, ta có
( , )d M MH
.
Chú ý: Khi điểm
M
thuộc đường thẳng
thì
( , ) 0d M
.
Ví dụ 1. Cho đoạn thẳng MN có độ dài
a
và đường thẳng
đi qua N sao cho góc giữa hai đường thẳng
MN và
là
0 90
. Tính khoảng cách từ
M
đến
theo
,a
.
Giải. (Hình 60)
Gọi
H
là hình chiếu của
M
trên đường thẳng
. Khi đó
( , )d M MH
. Vì góc giữa hai đường thẳng
MN và
là
nên
MNH
.
Suy ra MH MN.
sin sina
. Vậy
( , ) sind M a
.
II. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PH
Ẳ
NG
Ta có định nghĩa sau (Hình 62):
Kiến thức trọng tâm
Cho mặt phẳng
( )P
và điểm
M
không thuộc mặt phẳng
( )P
. Gọi
H
là hình chiếu của
M
trên mặt phẳng
( )P
. Độ dài đoạn thẳng
MH
gọi là khoảng cách từ điểm
M
đến mặt phẳng
( )P
, kí hiệu
( ,( ))d M P
.
Chú ý: Khi điểm
M
thuộc mặt phẳng
( )P
thì
( ,( )) 0d M P
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
,a O
là giao điểm của AC và
, ( )BD SO ABCD
, SO a. Tính:
a) Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng
( )ABCD
;
b) Khoảng cách từ điểm
B
đến mặt phẳng
( )SAC
.
BÀI 5. KHOẢNG CÁCH
•CHƯƠNG 8. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
•|FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Giải. (Hình 63)
a) Ta có:
( ), ( )O ABCD SO ABCD
.
Suy ra khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng
( )ABCD
là SO a.
b) Do
( ), ( )SO ABCD BO ABCD
nên SO BO.
Vì BO vuông góc với hai đường thẳng AC và SO cắt nhau trong
( )SAC
nên
( )BO SAC
. Do
( ), ( )O SAC BO SAC
nên khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
( )SAC
là
2.
2
a
BO
III. KHO
Ả
NG CÁCH GI
Ữ
A HAI Đ
Ư
ỜNG THẲNG SONG SONG
Ta có định nghĩa sau:
Kiến thức trọng tâm
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
,
là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng
này đến đường thẳng kia, kí hiệu
,d
.
Trong Hình 65, ta có
,d AB
với ,A B
, ,AB AB
và
/ /
.
Ví dụ 3. Cho hình hộp
ABCD A B C D
' có
AA a
, góc giữa hai đường thẳng
AB
và DD
bằng
60
.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và A B
.
Giải. (Hình 66)
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của A
trên
AB
. Do
/ /AB A B
nên
,d AB A B A H
.
Vì
/ /AA DD
nên góc giữa đường thẳng
AB
và AA
bằng góc giữa đường thẳng
AB
và DD
. Suy ra
60A AH
.
Trong tam giác vuông HAA
có
3
sin sin 60 .
2
a
A H AA A AH a
Vậy
3
,2
a
d AB A B
.
IV. KHOẢNG CÁCH GI
Ữ
A ĐƯỜNG TH
Ẳ
NG V
À
M
Ặ
T PH
Ẳ
NG SONG SONG
Ta có định nghĩa sau:
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Kiến thức trọng tâm
Cho đường thẳng
song song với mặt phẳng
( )P
. Khoảng cách giữa đường thẳng
và mặt phẳng
( )P
là
khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng
đến mặt phẳng
( )P
, kí hiệu
( ,( ))d P
.
Trong Hình 68, ta có: ( ,( ))d P MM h
, trong đó
M
, ( ), ( )M P MM P
và
/ /( )P
.
Ví dụ 4. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
, ( )a SA ABCD
. Chứng minh
/ /( )CD SAB
và tính khoảng cách giữa CD và mặt phẳng
( )SAB
.
Giải. (Hình 69)
Do
/ / , ( ), ( )CD AB AB SAB CD SAB
nên
/ /( )CD SAB
. Vì D CD nên
( ,( )) ( ,( ))d CD SAB d D SAB
.
Do
( ), ( )SA ABCD DA ABCD
nên SA DA.
Vì
DA
vuông góc với hai đường thẳng
,AB SA
cắt nhau trong
( )SAB
nên
( )DA SAB
.
Do đó
( ,( ))d D SAB DA a
. Vậy
( ,( ))d CD SAB a
.
V. KHO
Ả
NG CÁCH GI
Ữ
A HAI MẶT PH
Ẳ
NG SONG SONG
Ta có định nghĩa sau:
Kiến thức trọng tâm
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
( ),( )P Q
là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia, kí kiệu
(( ),( ))d P Q
.
Trong Hình 71, ta có:
(( ),( ))d P Q IK h
với
( )I P
,
( ), ( ), ( )K Q IK P IK Q
và
( ) / /( )P Q
.
Ví dụ 5. Cho hình hộp
ABCD A B C D
có tất cả các cạnh bằng
a
và đáy là hình vuông. Hình chiếu của A
trên mặt phẳng
( )ABCD
là giao điểm
H
của AC và
BD
. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( )ABCD
và
A B C D
.
Giải. (Hình 72)
Vì
H
là trung điểm của AC nên
2
2 2
AC a
AH
.
Do ( )A H ABCD
và
( )AH ABCD
nên A H AH
.
Xét tam giác AA H
vuông tại
H
có:
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
22
2 2 2 2
2.
2 2
a a
A H A A AH a
Suy ra
2
2
a
A H
.
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( )ABCD
và (
A B C D
bằng
2
2
a
A H
.
V
I. KHOẢNG CÁCH GI
Ữ
A HAI Đ
ƯỜ
NG TH
Ẳ
NG CHÉO NHAU
Từ đó, ta có định nghĩa sau:
Kiến thức trọng tâm
Cho hai đường thẳng
,a b
chéo nhau.
- Đường thẳng
c
vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đường thẳng
a
và b được gọi là đường vuông góc chung
của hai đường thẳng đó.
- Đoạn thẳng có hai đầu mút là giao điểm của đường thẳng
c
với hai đường thẳng
,a b
được gọi là đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
- Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
,a b
gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó, kí
hiệu
( , )d a b
.
Nhận xét: Gọi mặt phẳng chứa b và song song với
a
là
( )P
, hình chiếu của
a
trên
( )P
là a, giao điểm
của a và b là
K
, hình chiếu của
K
trên
a
là
H
. Khi đó,
HK
là đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau
,a b
(Hình 74a). Ngoài ra, ta cũng có
( , ) ( ,( ))d a b d a P
.
Khi a b, ta có thể làm như sau: Gọi mặt phẳng đi qua b và vuông góc với
a
là
( )P
, giao điểm của
a
và
( )P
là
H
, hình chiếu của
H
trên b là
K
. Khi đó
HK
là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau
,a b
(Hình 74b).
Ví dụ 6. Cho lăng trụ
ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình vuông cạnh
2 ,a O
là giao điểm của AC và
,BD AA a
, AA
vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Tính:
a)
,d AC A B
;
b)
,d CC BD
.
Giải. (Hình 75)
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
a) Vì AA
vuông góc với cả hai mặt phẳng
( )ABCD
và
A B C D
nên ,AA AC AA A B
. Suy ra đoạn
thẳng AA
là đoạn vuông góc chung của AC và A B
.
Vậy
,d AC A B AA a
.
b) Vì
CC
vuông góc với
( )ABCD
nên
CC OC
. Do đáy ABCD là hình vuông có O là giao điểm của
AC và
BD
nên BD OC. Suy ra đoạn thẳng OC là đoạn vuông góc chung của
CC
và
BD
.
Vậy
, 2d CC BD OC a
.
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
Dạng 1. Tính khoảng cách
Câu 1. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho hình chóp .S ABC có
( ),SA ABC AI BC
( ), ( )I BC AH SI H SI
. Chứng minh rằng khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )SBC
bằng
AH
.
Câu 2. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho hình chóp .S ABC có SA a, góc giữa SA và
( )mp ABC
là
60
. Gọi
M
, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA và SB . Chứng
minh / /( )MN ABC
và tính
( ,( ))d MN ABC
.
Câu 3. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
' có cạnh bên bằng
a
, góc giữa
đường thẳng AA
và mặt phẳng
( )ABC
bằng
60
. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( )ABC
và
A B C
.
Câu 4. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho hình chóp tam giác .S ABC có đáy ABC là tam giác đều
cạnh
, ( )a SA ABC
. Tính
( , )d SA BC
.
Câu 5. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho hình tứ diện ABCD có
, ,AB a BC b BD c
,
90ABC ABD BCD
. Gọi
, ,M N P
lần lượt là trung điểm của
, ,AB AC AD
(Hình 77).
a) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng
AB
.
b) Tính khoảng cách từ điểm
D
đến mặt phẳng
( )ABC
.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và CD .
Câu 6. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Với giả thiết ở Bài tập 2, hãy:
a) Chứng minh rằng / /MN BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BC .
b) Chứng minh rằng
/ /( )MP BCD
. Tính khoảng cách từ đường thẳng
MP
đến mặt phẳng
( )BCD
.
c) Chứng minh rằng
( ) / /( )MNP BCD
. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( )MNP
và
( )BCD
.
Câu 7. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho hình chóp .S ABCD có
( )SA ABCD
, đáy ABCD là hình
vuông cạnh
,a SA a
(Hình 78).