TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1. Công thức cộng
Từ đây, khi không nói gì thêm, chi xét các góc lượng giác mà tại đó các giá trị lượng giác được đề
cập có nghĩa.
Công thức cộng
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
tan tan tan tan
tan( ) tan( )
1 tan tan 1 tan tan
Vi dụ 1. Tính giá trị của
cos12
.
Giải
1 2 3 2 2 6
cos cos cos cos sin sin .
12 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 4
2. Công thức góc nhân đôi
Công thức tính các giá trị lượng giác của góc
2
qua các giá trị lượng giác của góc
được gọi
là công thức góc nhân đôi.
-
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
-
sin2 2sin cos
-
2
2 tan
tan 2 1 tan
Ví dụ 2. Tính
sin 8
.
Giải
Ta có
2
2cos cos 2 1 2sin
2 4 8 8
. Suy ra
2
2 2
sin 8 4
.
Vì
08 2
nên
sin 0
8
. Suy ra
2 2
sin 8 2
.
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
Từ công thức cộng, ta suy ra được công thức biến đổi tích thành tổng sau đây:
-
1
cos cos [cos( ) cos( )]
2
-
1
sin sin [cos( ) cos( )]
2
-
1
sin cos [sin( ) sin( )]
2
Ví dụ 3. Tính giá trị của biểu thức
11 7
cos cos
12 12
.
Giải
11 7 1 11 7 11 7 1 3 1
cos cos cos cos cos cos
12 12 2 12 12 12 12 2 3 2 4
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
Các công thức dưới đây được gọi là công thức biến đổi tổng thành tích.
BÀI 3. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
•CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
•|FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin
2 2 2 2
sin sin 2sin cos sin sin 2cos sin
2 2 2 2
Ví dụ 4. Tính
5
sin sin
12 12
.
Giải
5 5
5 2 3 6
12 12 12 12
sin sin 2sin cos 2sin cos 2. .
12 12 2 2 4 6 2 2 2
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
Dạng 1. Công thức cộng
Câu 1. (SGK-CTST-11-Tập 1) Tinh
sin12
và
tan 12
.
Câu 2. (SGK-CTST-11-Tập 1) Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:
a)
5
12
b)
555
.
Câu 3. (SGK-CTST-11-Tập 1) Tính sin ,cos
6 4
biết
5
sin 13
và
3
2
.
Câu 4. (SGK-CTST-11-Tập 1) Trong Hình 5, ba điểm
, ,M N P
nằm ở đầu các cánh quạt của tua-bin gió.
Biết các cánh quạt dài
31 m
, độ cao của điểm
M
so với mặt đất là
30 m
, góc giữa các cánh quạt
là
2
3
và số đo góc
( , )OA OM
là
.
a) Tính
sin
và
cos
.
b) Tính
sin
của các góc lượng giác
( , )OA ON
và
( , )OA OP
, từ đó tính chiều cao của các điểm
N
và
P
so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Câu 5. Tính các giá trị lượng giác sau:
a)
tan 3
khi
3
sin ,
5 2
.
b)
cos 3
khi
12 3
sin , 2
13 2
.
c)
cos cosa b a b
khi
1 1
cos , cos
3 4
a b
.
d)
sin , cos , tana b a b a b
khi
8 5
sin , tan
17 12
a b
và
,a b
là các góc nhọn.
Câu 6. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a)
cos2
,
sin 2
,
tan 2
khi
5
cos 13
,
3
2
.
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
b)
cos2
,
sin 2
,
tan 2
khi
tan 2
.
c)
sin
,
cos
khi
sin 2
,
3
2 2
.
d)
cos2
,
sin 2
,
tan 2
khi
7
tan
8
.
Câu 7. Tính giá trị của biểu thức
a.
2 0 2 0 2 0
sin 20 sin 100 sin 140
A
b.
2 0 2 0 2 0
cos 10 cos 110 cos 130
B
c.
0 0 0 0 0 0
tan 20 .tan80 tan80 .tan140 tan140 .tan 20
C
d.
0 0 0 0 0 0
tan10 .tan 70 tan 70 .tan130 tan130 .tan190
D
e.
0 0 0
0
cot 225 cot 79 .cot 71
cot 259 cot151
E
f.
2 0 2 0
cos 75 sin 75
F
g.
0
0
1 tan15
1 tan15
G
h.
0 0
tan15 cot15
H .
Câu 8. Chứng minh rằng:
a)
sin cos 2 sin
4
x x x
;
b)
2 2 2 2
sin sin sin sin cos cosa b a b a b b a
;
c)
2
4sin sin 4sin 3
3 3
x x x
;
d)
sin sin 2 cos
4 4
x x x
.
Câu 9. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
2 2
sin .sin sin sinx y x y x y
;
b)
2sin
tan tan cos cos
x y
x y
x y x y
;
c)
2 2
tan .tan tan .tan tan .tan 3
3 3 3 3
x x x x x x
;
d)
3 2
cos .cos cos .cos 1 3
3 4 4 6 4
x x x x
;
e)
0 0 0 0 0 0 0 0
cos 70 cos50 cos 230 cos 290 cos 40 cos160 cos320 c
os380 0
;
f)
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan .tan 2
x x
x x
x x
.
Câu 10. Chứng minh các hệ thức sau với điều kiện cho trước
a.)
2 tan tan
a a b
khi
sin sin .cos
b a a b
b.)
2 tan tan
a a b
khi
3sin sin 2
b a b
c.)
1
tan .tan
3
a b
khi
cos 2 cos
a b a b
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
d.)
1
tan .tan 1
k
a b b k
khi
cos 2 .cosa b k a
Dạng 2. Công thức nhân đôi
Câu 11. (SGK-CTST-11-Tập 1) Tính
cos 8
và
tan 8
Câu 12. (SGK-CTST-11-Tập 1) Tính các giá trị lượng giác của góc
2
, biết:
a) 3
sin 3
và
02
;
b)
3
sin 2 4
và
2
.
Câu 13. (SGK-CTST-11-Tập 1) Rút gọn các biểu thức sau:
a) 2 sin cos
4
b)
2
(cos sin ) sin 2
.
Câu 14. (SGK-CTST-11-Tập 1) Tính các giá trị lượng giác của góc
, biết:
a)
2
cos2 5
và
0
2
;
b)
4
sin 2 9
và
3
2 4
.
Câu 15. (SGK-CTST-11-Tập 1) Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng
120 cm
và khoảng
cách từ
B
đến đường kính
AH
là
27 cm
. Tính
sin
và
cos
, từ đó tính khoảng cách từ điểm
C
đến đường kính
AH
. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Hình 2
Câu 16. (SGK-CTST-11-Tập 1) Trong Hình 4, pít-tông
M
của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại
dọc theo xi-lanh làm quay trục khuỷu
IA
. Ban đầu
, ,I A M
thẳng hàng. Cho
là góc quay của
trục khuỷu,
O
là vị trí của pít-tông khi
2
và
H
là hình chiếu của
A
lên
Ix
. Trục khuỷu
IA
rất ngắn so với độ dài thanh truyền
AM
nên có thể xem như độ dài
MH
không đổi và gần bằng
MA
.
a) Biết
8 IA cm
, viết công thức tính tọa độ
M
x
của điểm
M
trên trục
Ox
theo
.
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
b) Ban đầu
0
. Sau 1 phút chuyển động,
3
M
x cm
. Xác định
M
x
sau 2 phút chuyển động.
Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Câu 17. Tính giá trị biểu thức:
a.
sin cos cos
8 4 8
A

b.
2
1 tan
8
tan
8
B
c.
0 0 0
sin10 sin50 sin70
C
d.
0 0 0 0
sin6 sin 42 sin66 sin78
D
e.
0 0 0 0
16cos20 cos40 cos60 cos80
E
Câu 18. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. Cho
tan 2
2
x
. Tính
3sin 4cos
4cot 3tan
x x
A
x x
b. Cho
4
sin
5
x
và
3
2
2
x
. Tính
cos 2
x
và
sin 2
x
c. Cho
1
tan
15
x
. Tính
sin 2
1 tan 2
x
B
x
d. Cho
1
tan
2 2
x
. Tính
2sin 2 cos 2
tan 2 cos 2
x x
C
x x
Câu 19. Tính giá trị của biểu thức sau:
a)
2 4 8 16 32
os . os . os . os . os
31 31 31 31 31
G c c c c c
b)
sin 5 .sin15 .sin 25 ...sin 75 .sin 85H
c)
os10 . os20 . os30 ... os70 . os80I c c c c c
d)
96 3 sin .cos .cos .cos .cos
48 48 24 12 6
K
e)
2 3 4 5 6 7
os .cos . cos .cos .cos . cos . cos
15 15 15 15 15 15 15
L c
f)
sin .cos .cos
16 16 8
M
Câu 20. Chứng minh các hệ thức sau:
4 4
3 1
a)sin cos cos 4
4 4
x x x
.
6 6
5 3
b)sin cos cos 4
8 8
x x x
3 3
1
c)sin .cos cos .sin sin4
4
x x x x x
.
6 6 2
1
d)sin cos (4 sin )
2 2 4
x x
x
2
e)1 sin 2sin
4 2
x
x
.
2 2
2
1 sin cos
f)
cos 2
2cot .cos
4 4
x x
x
x x
1 cos 2
g) tan . 1
4 2 sin 2
x
x
x
.
1 sin 2
h) tan
4 cos2
x
x
x