Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
I. ĐỊNH NGHĨA
Kiến thức trọng tâm
Giả sử hàm số
()y f x=
có đạo hàm
()y f x

=
tại mọi điểm
( ; )x a b
. Nếu hàm số
()y f x

=
tiếp
tục có đạo hàm tại
x
thì ta gọi đạo hàm của
y
tại
x
là đạo hàm cấp hai của hàm số
()y f x=
tại
x
,
kí hiệu là
y
hoặc
()fx

.
Ví dụ 1. Cho hàm số
.
a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm
x
bất kì.
b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm
01x=−
.
Giải
a) Ta có:
3
( ) 4 8f x x x
=−
và
2
( ) 12 8f x x
 =−
.
b) Vì
2
( ) 12 8f x x
 =−
nên
2
( 1) 12 ( 1) 8 4f − = − − =
.
Ví dụ 2. Cho hàm số
1
() 2
fx x
=+
.
a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm
2x−
.
b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm
02x=
.
Giải
a) Với
2x−
, ta có:
22
2
2 4 4 3
1 ( 2) 1
() 2 ( 2) ( 2)
( 2)
1 2( 2) 2
( ) .
( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
x
fx x x x
xx
fx x x x x

+−

= = − =

+ + +


+

−+

= = = =

+ + + +

b) Vì
3
2
() ( 2)
fx x
 =+
nên
3
21
(2) (2 2) 32
f ==
+
.
II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI
Kiến thức trọng tâm
Đạo hàm cấp hai
()st

là gia tốc tức thời của chuyển động
()s s t=
tại thời điểm
t
.
Ví dụ 3. Xét dao động điều hoà có phương trình chuyển động
( ) cos( )s t A t

=+
, trong đó
,,A

là
các hằng số. Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm
t
của chuyển động đó.
Giải
Gọi
()vt
là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
t
, ta
có:
( ) ( ) [ cos( )] sin( ).v t s t A t A t

= = + = − +
Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
t
là:
2
( ) ( ) [ sin( )] cos( ).s t v t A t A t

= = − + = − +
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
Dạng 1. Tính đạo hàm cấp hai
Câu 1. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số
sin3yx=
.
Câu 2. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:
BÀI 3. ĐẠO HÀM CẤP HAI
•CHƯƠNG 7. ĐẠO HÀM
Trang 2
a)
1
23
yx
=+
b)
3
logyx=
;
c)
2x
y=
.
Câu 3. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:
a)
2
3 4 5y x x= − +
tại điểm
02x=−
;
b)
3
log (2 1)yx=+
tại điểm
03x=
;
c)
43x
ye
+
=
tại điểm
01x=
;
d)
sin 2 3
yx

=+


tại điểm
06
x
=
;
e)
cos 3 6
yx

=−


tại điểm
00x=
.
Câu 4. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
2 cos 4 3
yt

=+


b)
2x
y x e−
=
Câu 5. Cho hàm số
()
2
( ) ln 1f x x x= + +
. Tính
(0)f
.
Câu 6. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
4
2
21
4
x
yx= − +
b)
21
1
x
yx
+
=−
Câu 7. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
ln | 2 1|yx=−
;
b)
tan 3
yx

=+


Câu 8. Cho hàm số
2
( ) ln( 1)
x
f x xe x= + +
.
Tính
(0)f
và
(0)f
.
Câu 9. Cho
( )
(
2
2
( ) ,f x x a b a b= + +
là tham số). Biết
(0) 2f=
và
(1) 8f =
, tìm
a
và
b
.
Câu 10. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
32
3 3 1y x x x= − + −
;
b)
2
cosyx=
.
Câu 11. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
sin 2y x x=
;
b)
2
cosyx=
;
c)
4 3 2
31y x x x= − + −
.
Câu 12. Cho hàm số
2
( ) 2 1f x x x= + −
.
a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.
b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm
00
0, 1xx==
.
Trang 3
Câu 13. Cho hàm số
( ) cosg x x=
.
a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.
b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại
0
6
x
=
.
Câu 14. Cho hàm số
( ) ln , 0h x x x=
.
a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.
b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại
02x=
.
Câu 15. Cho hàm số
( ) sin cosk x x x=
.
a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.
b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại
03
x
=
.
Câu 16. Cho hàm số
2
( ) 4f x x x=−
. Giải phương trình
( ) ( )f x f x

=
.
Câu 17. Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:
a)
1
() 35
fx x
=+
b)
2
3
( ) 2xx
gx +
=
Câu 18. Cho hàm số
( ) sin cos cos2f x x x x=
.
a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.
b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại
06
x
=
.
Câu 19. Cho hàm số
32
( ) 4 5f x x x= + +
. Giải bất phương trình
( ) ( ) 0f x f x

−
.
Dạng 2. Ứng dụng
Câu 20. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình
chuyển động
2
1
2
s gt=
, trong đó
g
là gia tốc rơi tự do,
2
9,8 /g m s
.
a) Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm
02( )ts=
.
b) Tính gia tốc tức thời của vật tại thời điểm
02( )ts=
.
Câu 21. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Một chất điểm chuyển động theo phương trình
32
( ) 3 8 1s t t t t= − + +
, trong đó
0t
,
t
tính bằng giây và
()st
tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời, gia
tốc tức thời của chất điểm:
a) Tại thời điểm
3( )ts=
;
b) Tại thời điểm mà
( ) 7( )s t m=
.
Câu 22. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên
mặt phẳng không ma sát như Hình 7 , có phương trình chuyển động
( ) 4sinx t t=
, trong đó
t
tính
bằng giây và
()xt
tính bằng centimét.
Trang 4
a) Tìm phương trình theo thời gian của vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc.
b) Tính vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm
2( )
3
ts
=
. Tại thời điểm đó,
con lắc di chuyển theo chiều dương hay chiều âm của trục
Ox
?
Câu 23. Chuyển động của một vật gắn trên con lắc lò xo (khi bỏ qua ma sát và sức cản không khí)
được cho bởi phương trình sau:
( ) 4cos 2 ,
3
x t t

=+


ở đó
x
tính bằng centimét và thời gian
t
tính
bằng giây. Tìm gia tốc tức thời của vật tại thời điểm
5t=
giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Câu 24. Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức
( ) 15 2 sin 4 6
s t t

= + +


,
trong đó
s
tính bằng centimét và
t
tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm
3t=
giây (làm
tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Câu 25. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
2
( ) 2 15 3s t t t= − + +
, trong đó
s
tính
bằng mét và
t
là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm
2t=
.
Câu 26. Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình
2
100 2s t t= + −
trong đó thời gian được
tính bằng giây và
s
được tính bằng mét.
a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0 ?
b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm
3 ts=
.
Câu 27. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
3
( ) 2 75 3s t t t= − + +
, trong đó
s
tính
bằng mét và
t
là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm
3t=
.
Câu 28. Một chất điểm chuyển động theo phương trình
32
1
( ) 3 5 4
3
s t t t t= − + +
, trong đó
0,tt
tính
bằng giây,
()st
tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm
3( )ts=
.
Trang 5
Câu 29. Một chất điểm có phương trình chuyển động
( ) 6sin 3 4
s t t

=+


, trong đó
0,tt
tính bằng
giây,
()st
tính bằng centimét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm
( )
6
ts
=
.
Câu 30. Một chất điểm chuyển động theo phương trình
32
1
( ) 3 8 2
3
s t t t t= − + +
, trong đó
0,tt
tính
bằng giây,
()st
tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm:
a) Tại thời điểm
5( )ts=
.
b) Tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng
1 /ms−
.
Câu 31. Một chất điểm có phương trình chuyển động
( ) 3sin 3
s t t

=+


, trong đó
0,tt
tính bằng
giây,
()st
tính bằng centimét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm
( )
2
ts
=
.