TOÁN 11-CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
I. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Nếu phương trình
1 1
( ) ( )f x g x
tương đương với phương trình
2 2
( ) ( )f x g x
thì ta viết
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x
.
Ví dụ 1. Hai phương trình
3 0x
và
2
6 9 0x x
có tương đương không? Vì sao?
Giải
Tập nghiệm của phương trình
3 0x
là
1
{3}S
. Tập nghiệm của phương trình
2
6 9 0x x
là
2
{3}S
.
Vì
1 2
S S
nên hai phương trình
3 0x
và
2
6 9 0x x
tương đương.
Định lí sau đây nêu lên một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng:
Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện
của nó thì ta được một phương trình mối tương đương.
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác
0.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2
6 8 2x x x
.
Giải
Ta có:
2 2
6 8 2 6 8 (2 ) 0x x x x x x
2
5 6 0 2 3. x x x x
II. PHƯƠNG TRÌNH
sin x m
Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình
sin x m
như sau:
- Với
| | 1m
, phương trình
sin x m
vô nghiệm.
- Với
| | 1m
, gọi
là số thực thuộc đoạn
;
2 2
sao cho
sin m
. Khi đó, ta có:
2
sin sin sin ( ).
2
x k
x m x k
x k
Chú ý
a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình
sin x m
:
-
sin 1 2 ( )
2
x x k k
-
sin 1 2 ( )
2
x x k k
;
- 2
sin 0 ( )
2
x k
x x k k
x k
.
b) Ta có ( ) ( ) 2
sin ( ) sin ( ) ( )
( ) ( ) 2
f x g x k
f x g x k
f x g x k
.
c) Nếu
x
là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác
x
sao cho
sin sinx a
như sau:
360
sin sin ( ).
180 360
x a k
x a k
x a k
Ví dụ 3. Giải phương trình:
BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
•CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
•|FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
a)
1
sin
2
x
b)
2
sin
2
x
Giải
a) Do
1
sin
6 2
nên
22
66
sin sin ( )
7
622
66
x k x k
x k
x k x k
b) Do
2
sin
4 2
nên
2 2
4 4
3
42 2
4 4
x k x k
x k
x k x k
.
Ví dụ 4. Giải phương trình:
a)
sin 3 sin 2x x
;
b)
sin cos3x x
.
Giải
a)
2
3 2 2
sin3 sin 2 ( )
2
3 2 2 5 5
x k
x x k
x x k
x x k x k
.
b)
3 2
2
sin cos3 sin sin 3
2
3 2
2
x x k
x x x x
x x k
4 2 8 2
2
( )
2 2
24
x k
x k
k
x k x k
Vì
4 4
k k k k
∣ ∣
nên ta có thể viết như sau:
8 2
sin cos3 ( ).
4
x k
x x k
x k
III. PHƯƠNG TRÌNH
cos x m
Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình
cos x m
như sau:
- Với
| | 1
m
, phương trình
cos x m
vô nghiệm.
- Với
| | 1
m
, gọi
là số thực thuộc đoạn
[0; ]
sao cho
cos m
. Khi đó, ta có:
2
cos cos cos ( ).
2
x k
x m x k
x k
Chú ý
a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình
cos x m
:
-
cos 1 2 ( )
x x k k
;
-
cos 1 2 ( )
x x k k
;
-
cos 0 ( )
2
x x k k
.
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
b) Ta có ( ) ( ) 2
cos ( ) cos ( ) ( )
( ) ( ) 2
f x g x k
f x g x k
f x g x k
.
c) Nếu
x
là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác
x
sao cho
cos cosx a
như sau:
360
cos cos ( )
360
x a k
x a k
x a k
.
Ví dụ 5. Giải phương trình:
a)
3
cos
2
x
;
b)
2
cos
2
x
.
Giải
a) Do
3
cos
6 2
nên
2
6
cos cos 6
2
6
x k
x
x k
b) Do
3 2
cos
4 2
nên
32
34
cos cos ( )
3
42
4
x k
x k
x k
.
Ví dụ 6. Giải phương trình:
cos3 cos
3
x x
.
Giải
Ta có:
3 2
36
cos3 cos ( )
33 2
312 2
x x k x k
x x k
x x k x k
.
IV. PHƯƠNG TRİNH
tan x m
Trong trường hợp tổng quát, ta có cách giải phương trình
tan x m
như sau:
Gọi
là số thực thuộc khoảng
;
2 2
sao cho
tan m
. Khi đó với mọi m
, ta có:
tan tan tan ( )
x m x x k k
.
Chú ý: Nếu
x
là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác
x
sao cho
tan tanx a
như sau:
tan tan 180 ( )
x a x a k k
.
Ví dụ 7. Giải phương trình:
a)
1
tan
3
x
b)
tan 1
x
.
Giải
a) Do
1
tan 6
3
nên
1
tan tan tan ( )
6 6
3
x x x k k
.
b) Do
tan 1
4
nên
tan 1 tan tan ( )
4 4
x x x k k
.
V. PHƯƠNG TRÌNH
cot x m
Trong trường hợp tổng quát, ta có cách giải phương trình
cot x m
như sau:
Gọi
là số thực thuộc khoảng
(0; )
sao cho
cot m
. Khi đó với mọi m
, ta có:
cot cot cot ( ).
x m x x k k
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Chú ý: Nếu
x
là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác
x
sao cho
cot cotx a
như sau:
cot cot 180 ( ).x a x a k k
Ví dụ 8. Giải phương trình:
cot 2 3x
.
Giải
Do cot
53
6
nên
cot 2 3 cot 2 cot 5x x
.
5 5
2 ( ).
6 12 2
x k x k k
VI. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG CIÁC CƠ BẢN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
Có thể sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để giải các phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ 9. Sử dụng MTCT để giải mỗi phương trình sau với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến
hàng phần nghìn).
a)
sin 0,6x
;
b)
1
cos 3
x
c)
tan 3x
.
Giải
Sau khi chuyển máy tính sang chế độ "radian".
a) Bấm liên tiếp
Ta được kết quả gần đúng là
0,644.
Vậy phương trình
sin 0,6x
có các nghiệm là:
0,644 2 , kx k
và
0,644 2 ,x k k
.
b) Bấm liên tiếp
Ta được kết quả gần đúng là 1,911.
Vậy phương trình
1
cos 3
x
có các nghiệm là:
1,911 2 ,x k k
.
c) Bấm liên tiếp
Ta được kết quả gần đúng là 1,047.
Vậy phương trình
tan 3x
có nghiệm là:
1,047 ,x k k
.
Chú ý
Để giải phương trình
cot ( 0)x a a
bằng MTCT, ta đưa về giải phương trình
1
tan xa
.
Ví dụ 10. Một cây cầu có dạng cung
AB
của đồ thị hàm số
4,2 cos 8
x
y
và được mô tả trong hệ
trục toạ độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 38.
Một sà lan chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao
3 m
so với mực nước
sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hoá
đó phải nhỏ hơn 12,5 m.
Giải
Với mỗi điểm
M
nằm trên mặt cầu, khoảng cách từ điểm
M
đến mặt nước tương ứng với giá trị
tung độ
y
của điểm
M
.
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Xét phương trình:
5
4,2 cos 3 cos
8 8 7
x x
. Do
[ 4 ;4 ]
x
nên
;
8 2 2
x
.
Khi đó, ta có:
5
cos 0,775
8 7 8
x x
, suy ra
0,78 | | 6,24
8
xx
.
Do sà lan có thể đi qua được gầm cầu nên chiều rộng của khối hàng hoá là:
2 12,48 12,5 .x m
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
Câu 1. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Hai phương trình
1 0
x
và
2
1
0
1
x
x
có tương đương không? Vì
sao?
Câu 2. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Khẳng định
3 6 0 3 6
x x
đúng hay sai?
Câu 3. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Giải phương trình:
2
1 5 11
x x
Câu 4. Phương trình
2
3x x
tương đương với phương trình nào trong bốn phương trình sau ?
2
1 : 2 3 2
x x x x
.
2
1 1
2 : 3
3 3
x x
x x
.
2
3 : 3 3 3
x x x x
.
2 2 2
4 : 1 3 1
x x x x
.
Câu 5. Tìm
m
để cặp phương trình sau tương đương
2
2 1 2 0
mx m x m
(1) và
2 2
2 3 15 0
m x x m
(2)
Câu 6. Tìm
m
để cặp phương trình sau tương đương
2
2 2 0
x mx
1
và
3 2
2 4 2 1 4 0
x m x m x
2
DẠNG 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Câu 7. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1)
a) Giải phương trình:
3
sin
2
x
b) Tìm góc lượng giác
x
sao cho
sin sin55
x
.
Câu 8. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Giải phương trình
sin 2 sin
4
x x
Câu 9. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1)
a) Giải phương trình
1
cos
2
x
b) Tìm góc lượng giác
x
sao cho
cos cos 87
x
Câu 10. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1)
a) Giải phương trình:
tan 1x
.
b) Tìm góc lượng giác
x
sao cho
tan tan 67
x
.
Câu 11. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1)
a) Giải phương trình:
cot 1x
.
b) Tìm góc lượng giác
x
sao cho
cot cot 83
x
Câu 12. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Sử dụng MTCT để giải mỗi phương trình sau với kết quả là radian
(làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn):
a)
sin 0,2
x
;
b)
1
cos
5
x
;
c)
tan 2
x
.
Câu 13. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Giải phương trình: