Ôn t p toán hình h c l p 9 h c kì 1: đ ng tròn – cung – dâyậ ọ ớ ọ ườ
BÀI 1 :
Cho tam giác ABC. Đ ng tròn có đ ng kính BC c t c nh AB, AC l n l t t i E,ườ ườ ắ ạ ầ ượ ạ
D. BD và CE c t nhau t i H. ch ng minh :ắ ạ ứ
1.AH vuông góc BC (t i F thu c BC).ạ ộ
2.FA.FH = FB.FC.
3.b n đi m A, E, H, D cùng n m trên m t đ ng tròn , xác đ nh tâm I c aố ể ằ ộ ườ ị ủ
đ ng tròn này.ườ
4.IE là ti p tuy n c a đ ng tròn (I).ế ế ủ ườ
Gi i.ả
1. AH vuông góc BC :
� DBC nt (O) đ ng kính BC (gt)ườ
=> � DBC vuông t i Dạ
=> BD CD hay BD AC.
Cmtt : CE AB
Xét tam giác ABC có :
CE AB (cmt) => CE đ ng cao th nh t.ườ ứ ấ
BD AC (cmt) => BD đ ng cao th hai.ườ ứ
hai đ ng cao BD và CE c t nhau t i H (gt)ườ ắ ạ
= > H là tr c tâm c a tam giác ABCự ủ
= > AH là đ ng cao th ba.ườ ứ
= > AH BC t i F.ạ
2. FA.FH = FB.FC :
Xét � FAB và � FCH, ta có :
(cmt)
(� FAB vuông t i F)ạ
(� FAC vuông t i F)ạ
=> (1)
=> � FAB đ ng d ng ồ ạ � FCH
=>
=> FA.FH = FB.FC
3.A, E, H, D n m trên đ ng trònằ ườ
Xét ΔAEH vuông t i E (gt)ạ
= > ΔAEH n i ti p đ ng tròn đ ng kính AH (1).ộ ế ườ ườ
Hay A, E, H n m trên đ ng tròn đ ng kính AH(1).ằ ườ ườ
Xét ΔADH vuông t i D (gt)ạ
= > ΔADH n i ti p đ ng tròn đ ng kính AHộ ế ườ ườ
Hay A, D, H n m trên đ ng tròn đ ng kính AH(2).ằ ườ ườ
T (1) và (2) : A, E, H, D n m trên đ ng tròn đ ng kính AH .ừ ằ ườ ườ
Suy ra : tâm I là trung đi m AH.ể
4. IE là ti p tuy n c a đ ng tròn (O).ế ế ủ ườ
Xét Δ AEI, ta có : IA = IE (bán kính)
=> Δ AEI cân t i Iạ
=> (2)
Cmtt, ta đ c :ượ (3)
T (1), (2) và (3), ta đ c :ừ ượ
Mà : :
=>
Hay :
=> IE EO t i Eạ
Mà : E thu c (O)ộ
V y : ậ IE là ti p tuy n c a đ ng tròn (O).ế ế ủ ườ
—————————————————————————————-
BÀI 2 :
Trên ti p tuy n t i đi m A c a đ ng tròn (O; R) l y đi m M. g i đi m B c aế ế ạ ể ủ ườ ấ ể ọ ể ủ
đ ng tròn (O; R) sao cho MB = MAườ
1.Ch ng minh : MB là ti p tuy n c a đ ng tròn (O; R).ứ ế ế ủ ườ
2.Cho OM = 2R. ch ng minh : tam giác ABC đ u. tính đ dài và các c nh vàứ ề ộ ạ
di n tích c a tam giác AMB theo R.ệ ủ
3.V đ ng kính BE c a (O). ch ng minh : AE // OM.ẽ ườ ủ ứ
Gi i.ả
1. MB là ti p tuy n c a đ ng tròn (O; R).ế ế ủ ườ
Xét �AOM và �BOM, ta có :
MA = MB (gt)
OA = OB (bán kính)
OM c nh chung.ạ
=> �AOM = �BOM
=>
Mà : (MA ti p tuy n c a (O))ế ế ủ
=>
Hay MB OB t i Bạ
Mà : đi m B c a đ ng tròn (O; R)ể ủ ườ
V y : MB là ti p tuy n c a đ ng tròn (O; R)ậ ế ế ủ ườ
2. OM = 2R :
Xét �AOM vuông t i A, ta có :ạ
sin OMA = OA : OM = ½
=>
M t khác :ặ (tính ch t hai tt c t nhau)ấ ắ
Xét �ABM, ta có : MA = MB (gt)
=> �ABM cân t i Mạ
Mà : (cmt)
=> �ABM đ u.ề
Xét � vuông t i A, theo đ nh lí ta có :ạ ị
OM2 = MA2 + 0B2
(2R)2 = MA2 + R2
=> MA =
Di n tích SệAOM = MA2. = (dvdt)
3. ch ng minh : AE // OM :ứ
ta có :
MA = MB (gt)
OA = OB (bán kính)
=> MO là đ ng trung tr c ABườ ự
=> OM AB (1)
Xét �ABE n i ti p (O), có : BE là đ ng kínhộ ế ườ
=> �ABE vuông t i Aạ
=> AE AB (2)
T (1) và (2) => AE // OM.ừ
———————————————————————————-
Bài 3 :
Cho n a đ ng tròn (O; R) có đ ng kính AB. ti p tuy n t i đi m M trên n aữ ườ ườ ế ế ạ ể ữ
đ ng tròn l n l t c t hai ti p tuy n t i A và B C và D.ườ ầ ượ ắ ế ế ạ ở
1.Ch ng minh : AC + DB = CD.ứ
2.Ch ng minh : tam giác COD vuông và AC.BD = Rứ2.
3.OC c t AM t i E và OD c t BM t i F. ch ng minh :ắ ạ ắ ạ ứ
1. T giác OEMF là hình ch nh t.ứ ữ ậ
2. OE.OC = OF.OD = R2.
3. EF BD.
4. Ch ng minh : AB là ti p tuy n c a đ ng tròn có đ ng kính CD.ứ ế ế ủ ườ ườ
5. AD c t BC t i N. ch ng minh : MM // AC.ắ ạ ứ
Gi i.ả
1.Ch ng minh : AC + DB = CD.ứ
Ta có :
CA = CM (tính ch t hai tt c t nhau)ấ ắ
DB = DM (tính ch t hai tt c t nhau)ấ ắ
CD = CM + MD
=> AC + DB = CD.
2. tam giác COD vuông và AC.BD = R2.
Ta có :
OD là tia phân giác góc BOM (tính ch t hai tt c t nhau)ấ ắ
OC là tia phân giác góc COM (tính ch t hai tt c t nhau)ấ ắ
Mà : góc BOM và góc COM k bù.ề
=> OC OD t i O.ạ
Hay �COD vuông t i O.ạ
Trong �COD vuông t i O, có đ ng cao OM. h th c l ng :ạ ườ ệ ứ ượ
MC.MD = OM2 = R2
Hay : AC.BD= R2 (CA = CM và DB = DM)
3.a T giác OEMF là hình ch nh t :ứ ữ ậ
Ta có :
CA = CM (cmt)
OA = OM ( bán kính)
=> CO là đ ng trung tr c c a AMườ ự ủ
=> CO $latex $ AM t i E, EA = EMạ
=>
Cmtt , ta đ c :ượ
T giác OEMF, ta có :ứ
(cmt)
=> T giác OEMF là hình ch nh t.ứ ữ ậ
Trong �COM vuông t i M, có đ ng cao ME. h th c l ng :ạ ườ ệ ứ ượ
OC. OE = OM2 = R2
Cmtt : OD. OF = OM2 = R2
=> OE.OC = OF.OD = R2.
EF BD.
Xét �ABM, ta có :
EA = EM (cmt)
FB = FM (cmt)
=> EF là đ ng trung bìnhườ
=> EF // AB
Mà AB BD (tính ch t tt)ấ
=> EF BD.
4. AB là ti p tuy n c a đ ng tròn có đ ng kính CD.ế ế ủ ườ ườ
trong �COD vuông t i O (cmt)ạ
=> �COD n i ti p đ ng tròn (I) đ ng kính CDộ ế ườ ườ
=> IC = ID.
M t khác : CA // BD (cùng vuông góc AB)ặ
=>T giác ABDC là hình thang.ứ
Xét hình thang ABDC, ta có :
IC = ID (cmt)
OA = OB (AB là đ ng kính (O))ườ
=> IO là đ ng trung bìnhườ
=> IO // CA
Mà CA AB
=> IO AB t i Oạ
Mà : đi m O thu c (I)ể ộ
=> AB là ti p tuy n c a (I) đ ng kính CDế ế ủ ườ
5. NM // AC
Ta có :
AC // BD (cmt)
=> (đ nh lí talet thu n)ị ậ
MÀ : CA = CM và DB = DM (cmt)
=>
=> NM // AC (đ nh lí talet đ o)ị ả
==============================================
BÀI T P RÈN LUY N :Ậ Ệ
BÀI 1 ( 3,5 đi m) :ể
Cho tam giác ABC có 3 góc nh n, k hai đ ng cao BD và CE c t nhau t i H.ọ ẻ ườ ắ ạ
1.Ch ng minh b n đi m A, E, H, D cùng thu c m t đ ng tròn . xác đ nh tâmứ ố ể ộ ộ ườ ị
I c a đ ng tròn đó.ủ ườ
2.Ch ng minh AH vuông góc BC.ứ
3.Cho góc A = 600, AB = 6cm. tính BD.
4.G i O là trung đi m c a BC. Ch ng minh OD là ti p tuy n c a đ ng trònọ ể ủ ứ ế ế ủ ườ
(I).
Bài 2 ( 4 đi m) :ể
Cho đ ng tròn (O;R), đ ng kính AB. L y đi m C tùy ý trên cung AB sao cho ABườ ườ ấ ể
< AC.
a) Ch ng minh tam giác ABC vuông.ứ