PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH XUYÊN
TRƢỜNG THCS PHÚ XUÂN
*******@*******
CHUYÊN ĐỀ ĐƢỜNG TRÒN
MÔN TOÁN 9
Giáo viên: NGUYỄN THỊ HÒA
Tổ: KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Năm học: 2021-2022
-1-
CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO CHẤT LƢỢNG THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN NĂM HỌC 2021 - 2022
I. THÔNG TIN CƠ BẢN: Họ và tên: Nguyễn Thị Hòa Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Phú Xuân – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc. Nhiệm vụ được phân công năm học 2021 – 2022: giảng dạy bộ môn Toán 9. Chủ nhiệm 9A. Tổ trưởng tổ KHTN. II. TÊN CHUYÊN ĐỀ: - Tên chuyên đề: ĐƢỜNG TRÒN - Dự kiến số tiết dạy: 15 tiết. - Đối tượng học sinh: lớp 9 trường THCS Phú Xuân III. THỰC TRẠNG CHẤT LƢỢNG THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BỘ MÔN TOÁN CỦA TRƢỜNG THCS PHÚ XUÂN NĂM HỌC 2021 – 2022: Nhiều năm qua kết quả thi vào 10 môn Toán của trường THCS Phú Xuân luôn ở mức thấp, chưa đạt được điểm bình quân bằng mặt bằng chung của Huyện cũng như của Tỉnh. Kết quả xếp loại cấp huyện, cấp tỉnh 4 năm gần đây như sau:
Năm học 2018-2019 2019-2020 2020-2021 2021-2022 Cấp Huyện 10 8 9 7 Cấp Tỉnh 113 116 114 122 Điểm BQ tính trên tỉ lệ 100% dự thi 4.03 4.25 5.18 5,22
Trên thực tế một số năm gần đây chất lượng điểm thi các môn nói chung và môn Toán nói riêng đã có sự chuyển biến, cải thiện và được nâng cao hơn so với những năm học trước nhưng chưa thật rõ nét. Cụ thể kết quả điểm bộ môn Toán thi vào 10 năm học 2021-2022 như sau :
TS dự thi TS điểm dƣới Tb (<5) TS điểm từ 6.5 trở lên Môn Điểm lệch Điểm Tbm CN TS điểm liệt SL % SL % Điểm Tb thi vào 10 THPT
92 39 42,39 22 23.91 Toán 5,54 0,32 01 5,22
Thống kê theo làn điểm như sau:
TS dự ≤ 1 % < 3 % <5 % >=5 %
thi
SL % SL % SL % SL %
92 1 1.09 5 5.43 33 35.87 53 57.61
Nhận xét :
- Chất lượng điểm thi ở mức trung bình. Tỷ lệ điểm trên trung bình 57.61%.
-2-
- Điểm liệt ( ≤ 1) còn 01 HS đạt 0,75 điểm. Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9 tại trường THCS Phú Xuân bản thân tôi nhận thấy học sinh rất sợ học toán hình và thường rất lúng túng, hoặc không thể tự mình làm được một bài toán hình... đặc biệt trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thường rất ít học sinh trường tôi làm được bài tự luận hình, có chăng chỉ rất ít em làm được các phần 1,2, Hầu như không có em nào làm được cả bài hình đó. Để phần nào khắc phục được vấn trên cũng là theo sự phân công chỉ đạo của PGD bản thân tôi mạnh dạn đưa ra Chuyên đề “Đường tròn” với mong muốn các em học sinh nắm được: kiến thức cốt lõi, phương pháp giải và có thể làm được các bài tập liên quan đến “ Đường tròn”, đồng thời làm tiền đề cho việc giải nhiều dạng toán hình học khác. Đặc biệt là giải các bài toán hình tổng hợp trong các đề thi vào 10. IV. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
A. HỆ THỐNG KIẾN THỨC CỐT LÕI:
I. Sự xác định đường tròn
1. Định nghĩa đường tròn.
* Đường tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R
* Kí hiệu: ( ; ) hoặc ( ).
2. Điểm thuộc và không thuộc đường tròn.
* Điểm ( ; ) hay nằm trên đường tròn hay ( ) đi qua .
* Điểm nằm ngoài đường tròn
* Điểm nằm trong đường tròn
3. Đường kính của đường tròn.
gọi là đường kính của đường
Đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn và đi qua tâm tròn tâm. Tâm của đường tròn là trung điểm của đường kính.
4. Cách xác định đường tròn.
+ C1: Biết tâm và bán kính của đường tròn.
+ C2: Biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn.
-3-
+ C3: Biết ba điểm phân biệt không thẳng hàng thuộc đường tròn.
5. Chú ý.
* Qua ba điểm không thẳng hàng giao điểm ba đường trung trực của ta vẽ được một đường tròn duy nhất có tâm là .
cho trước ta vẽ được vô số đường tròn có tâm nằm trên đường trung
* Qua hai điểm trực của đoạn .
* Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng.
* Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có đường kính là cạnh huyền của tam giác vuông đó. Tam giác nội tiếp đường tròn có đường kính là cạnh huyền thì tam giác đó là tam giác vuông.
II. Đường kính và dây
1. Đường kính và dây của đường tròn * Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. * Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây:
+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. + Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây * Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. + Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
* Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. + Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
III. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Gọi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng là OH
1. Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt:
đường thẳng có hai điểm chung với đường tròn
2. Đường thẳng d và đường tròn không giao nhau.
Đường thẳng d và đường tròn không có điểm chung
-4-
3. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
đường thẳng d chỉ có một điểm chung với đường tròn
IV. Tiếp tuyến của đường tròn
1. Định nghĩa: Khi đường thẳng và đtường tròn chỉ có một điểm chung
thì đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau hay đường thẳng là
tiếp tuyến của đường tròn . Điểm là tiếp điểm. Ta có
2. Tính chất: : là tiếp tuyến của đường tròn tại (với là tiếp
điểm).
3. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến
+ Dấu hiệu 1: Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung (định
nghĩa tiếp tuyến).
+ Dấu hiệu 2: Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với
bán kính đi qua điểm đó.
V. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau
* Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
VI. Vị trí tương đối của hai đường tròn
-5-
Vị trí tương đối của đường tròn Số điểm chung Hệ thức
(O, R) và (O, r) (R r).
Hai đường tròn cắt nhau 02 R – r < OO < R + r
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài 01 OO = R + r
Hai đường tròn tiếp xúc trong OO = R – r
Hai đường tròn ở ngoài nhau 0 OO > R + r
Đường tròn (O) đựng (O) OO < R – r
Đặc biệt (O) và (O) đồng tâm OO = 0
VII. Đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
1. Đường tròn nội tiếp tam giác
* Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.
* Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác.
2. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
* Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, còn tam giác gọi là tam giác nội tiếp đường tròn.
* Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực các cạnh của tam giác.
* Chú ý: Mỗi tam giác có chỉ một đường tròn nội tiếp, một đường tròn ngoại tiếp.
B. MỘT SỐ LƢU Ý ĐỂ HỌC SINH CÓ THỂ LÀM ĐƢỢC CÁC BÀI TOÁN
HÌNH CỦA CHƢƠNG NÀY.
-6-
GV cung cấp cho học sinh các nội dung sau và hướng dẫn học sinh suy luận một bài toán hình luôn theo trình tự sau.
1. Nắm chắc kiến thức cơ bản của 2 chương hình 9 đó là: Hệ thức lượng trong tam giác vuông; Đường tròn và phương pháp làm các dạng toán cơ bản như chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, hai đường thẳng vuông góc, song song,...
2. Vẽ hình chính xác dựa vào giả thiết
-Việc các em vẽ hình có đúng hay không quyết định một phần kết quả của bài toán. Các em cần đọc kĩ đề bài, sử dụng đúng các kí hiệu để vẽ hình cho chính xác, khi vẽ chính xác rồi thì các em cần chú ý đến việc vẽ đẹp hơn, rõ ràng, dễ quan sát thì việc xác định các mối quan hệ hình học trong bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Thông thường để có một hình vẽ hợp lí cho một bài toán hình tổng hợp ít nhất nên vẽ hình đến lần thứ hai.
- Tránh vẽ hình vào các trường hợp đặc biệt vì khi đó các em dễ bị ngộ nhận tính chất mà đề bài không cho. Sau khi vẽ hình xong nên dùng kí hiệu để đánh dấu những đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau hay các góc vuông để tiện sử dụng khi chứng minh nhưng không nên làm dụng quá nhiều kí hiệu trên một hình vẽ vì dễ gây rối và khó nhìn.
3. Phân tích giả thiết-kết luận để tìm ra những mối quan hệ mới.
- Hãy tóm tắt giả thiết và kết luận một cách triệt để. Thường thì khi các em phân tích kỹ giả thiết thì các em đã có chìa khóa giải quyết được những câu đầu tiên trong bài hình rồi. Giả thiết nói đến hình nào thì các em hãy khai thác hết tính chất của hình đó, những tính chất càng liên quan đến đề bài thì việc giải quyết bài toán sẽ càng dễ dàng hơn.
- Để làm được điều này các em cần trang bị cho mình một lượng kiến thức cơ bản, những định nghĩa và tính chất, dấu hiệu nhận biết,… các em cần có phương pháp để nắm được nó. Thường thì các hình hay có mối liên hệ với nhau nên sẽ có rất nhiều mẹo cho các em học thuộc một cách nhanh chóng.
- Khi đứng trước một bài toán các em hãy tự đặt ra các câu hỏi: đề bài cho cái gì? Bắt
tìm các gì? Và nó có liên quan gì đến giả thiết không?
4. Tập tưởng tượng và tư duy chứng minh, suy luận từ kết quả chứng minh.
- Có rất nhiều con đường để đi đến cùng một đáp án. Tuy nhiên không phải con đường nào cũng dễ dàng và khả thi. Việc các em phân tích kỹ đề bài để lựa chọn những phương án tốt nhất, đi đến kết quả nhanh nhất là rất cần thiết.
- Để làm được điều đó các em phải ghi ra những câu hỏi như là: Để chứng minh điều này ta phải chứng minh điều gì trước đó?. Giả sử như điều này đúng thì điều kia có đúng không?…Hoặc đôi khi suy ngược từ kết quả để tìm ra đáp án.
-7-
- Một vấn đề rất hay gặp đó là các em hay bỏ sót giữ kiện. Nếu trong đề bài còn một giả thiết các em chưa sử dụng thì hãy tìm cách sử dụng nó. Còn trong bài toán chứng minh có nhiều ý nhỏ các em hãy cố gắng liên hệ các ý đó với nhau để giải quyết những ý tiếp theo, rất nhiều bài toán câu a, câu b lại là giả thiết và là chìa khóa để làm câu c, câu d.
- Sau khi chứng minh xong mỗi phần có thể tìm tòi, suy luận tìm phương pháp chứng minh khác. Hoặc tổng quát hóa, tương tự hóa để có thể thay đổi cách hỏi của bài toán hoặc ra một bài toán khác tương tự hay mở rộng hơn.
5. Làm gì khi bài toán chứng minh đi vào bế tắc
- Phương án tốt nhất trong trường hợp này là các em hãy sử dụng một cách giải quyết khác. Hãy tạm quên đi nhưng cách chứng minh ban đầu và thay vào đó là những giả thiết mới, cách nghĩ mới.
- Lúc này các em nên đọc lại đề một lần nữa và xuất phát lại từ đầu. Hoặc các em có thể giải lao ít phút sau đó lấy giấy nháp và triển khai làm lại một lần nữa. Nếu khó khăn có thể nhờ sự giúp đỡ của bạn bè, thầy cô,…vì không phải bài nào các em cũng tự giải quyết được.
6. Luyện tập nhiều từ những ví dụ cơ bản
- Càng luyện tập nhiều thì càng giúp các em học tốt hơn. Khi các em làm tốt rồi thì các em sẽ có sự đam mê và thôi thúc các em yêu thích môn học hơn. Đây cũng là cách giúp các em có thêm kĩ năng giải toán hình học lớp 9 chính xác. Hãy tham khảo các ví dụ trong sách giáo khoa, làm nhiều bài tập trong sách bài tập để nắm vững được kiến thức và vận dụng chúng linh hoạt trong các dạng bài khác nhau.
- Hãy chăm chỉ, kiên trì và ham học hỏi để đạt được thành công nhé. Nếu học hình học mà các em dễ bỏ cuộc thì chắc chắn các em sẽ không thể nào trau dồi được thêm chút kiến thức hình học nào đâu. Ngoài ra nên học hỏi thêm từ bạn bè để tham khảo thêm một số phương pháp học hình và cách giải sáng tạo mới nhé!
C. CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƢỜNG TRÒN.
1. Phƣơng pháp:
Sử dụng định nghĩa hoặc sử dụng định lý đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có đường kính là cạnh huyền của tam giác vuông đó.
-8-
Cụ thể chứng minh các điểm đó cùng cách đều một điểm cố định nào đó, trường hợp đặc biệt có thể chứng minh các điểm đó tạo thành một hình chữ nhật hay nhiều hình chữ nhật (hình vuông) có các đường chéo đồng quy, hay chứng minh các điểm đó tạo thành các tam giác vuông có chung cạnh huyền, …
2. Ví dụ:
.
Ví dụ 1. Tứ giác ABCD có Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn(cid:13)
Lời giải
là trung điểm của
nằm trên đường tròn
Gọi . Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tam giác vuông ta có:
.
Suy ra 4 điểm đường kính
là điểm đối xứng với qua là
Ví dụ 2: Cho tam giác điểm đối xứng với qua . Gọi cân tại . Chứng minh: cùng thuộc một đường tròn.
Giải:
Ta có: đối xứng với nhau qua (gt) là trung trực của
Chứng minh tương tự
( Lại có cân tại )
Từ
-9-
Ví dụ 3:
Cho tam giác , có là 3 đường cao, là trực tâm.
thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường
a) Chứng minh: Các điểm tròn đó
thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường
b) Chứng minh các điểm: tròn
a) Gọi là trung điểm của
Xét vuông tại và vuông tại , ta có: lần lượt là trung tuyến ứng
cùng nằm trên 1 đường tròn tâm
với cạnh huyền đường kính .
b) Gọi là trung điểm của
Xét vuông tại và vuông tại , ta có: lần lượt là trung tuyến
ứng với cạnh huyền cùng nằm trên 1 đường
tròn tâm đường kính .
Ví dụ 4: Cho hình vuông . Gọi sao cho , trên cạnh là giao điểm của lấy điểm và , trên cạnh . Chứng minh: lấy điểm
cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.
Giải:
-10-
Xét và ta có: ( tứ giác là hình vuông),
mà (gt)
Lại có vuông tại ( do ) mà (cmt)
vuông tại .
Nối , gọi là trung điểm của .
vuông tại ( do tứ giác là hình vuông) nội tiếp đường
Ta có tròn đường kính
là tam giác vuông) nội tiếp
vuông tại Ta có đường tròn đường kính ( do tứ giác
Từ cùng thuộc đường tròn đường kính
Mà là trung điểm của là tâm của đường tròn đi qua điểm
Ví dụ 5: Cho hình thang cân , qua kẻ đường thẳng vuông góc với
, qua kẻ đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng này cắt nhau tại .
Chứng minh: cùng thuộc một đường tròn.
Giải:
lần lượt là trung điểm của , kẻ trung trực của cắt tại , nối
Gọi
Ta có tứ giác là hình thang cân, lần lượt là trung điểm của
là trung trực của
-11-
Mà (do thuộc trung trực của )
cùng thuộc một đường tròn.
Lại có: vuông tại nội tiếp đường tròn đường kính
Chứng minh tương tự nội tiếp đường tròn đường kính
cùng thuộc một đường tròn.
Mặt khác qua ba điểm chỉ có một đường tròn
Từ , , suy ra cùng thuộc một đường tròn.
Ví dụ 6. Cho đường tròn , đường thẳng không đi qua tâm và cắt đường tròn
tại lấy điểm nằm ngoài đường tròn. Từ
. Trên đường thẳng ( là hai tiếp điểm). Gọi là trung điểm của kẻ tiếp tuyến . Chứng minh: năm điểm
cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.
Lời giải
Xét đường tròn có hai tiếp tuyến cắt nhau tại và là hai tiếp điểm.
(Tính chất tiếp tuyến);
Có là trung điểm của dây không qua tâm
Có suy ra thuộc đường tròn đường kính . Vậy
cùng thuộc đường tròn đường kính và tâm của đường tròn
năm điểm này là trung điểm của
3. Bài tập tự luyện
là các đường trung tuyến. .
Bài 1. Cho tam giác đều Chứng minh 4 điểm có cạnh bằng cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó
-12-
Giải
Vì tam giác đều nên các trung tuyến đồng
thời cũng là đường cao.
lần lượt vuông góc với .
các tam giác là tam giác vuông với là cạnh
huyền
cùng thuộc đường tròn đường kính , tâm đường tròn là
Các điểm trung điểm của
Bài 2 : Cho tam giác . Gọi theo thứ tự là chân các đường cao kẻ
từ . Chứng minh rằng:
a) Các điểm cùng nằm trên 1 đường tròn
b) Các điểm cùng nằm trên 1 đường tròn
c) Các điểm cùng nằm trên 1 đường tròn
Giải.
a) Gọi là trung điểm của
(1) ( tính chất đường trung tuyến Xét ,
vuông)
(2) Xét ,
các điểm cùng nằm trên 1 đường tròn
Từ (1) và (2) tâm đường kính .
b) Gọi là trung điểm của
Xét vuông tại và vuông tại , ta có: lần lượt là trung tuyến
cùng nằm trên 1 đường
ứng với cạnh huyền tròn tâm đường kính .
c) Gọi là trung điểm của
-13-
Xét vuông tại và vuông tại , ta có: lần lượt là trung tuyến ứng
cùng nằm trên 1 đường tròn tâm
với cạnh huyền đường kính .
Bài 3. Cho tứ giác có Gọi lần lượt là trung điểm của
. Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm
đường tròn đó
Giải
cắt nhau tại điểm thì
Kéo dài tam giác vuông tại .
là đường trung bình của tam
+ Có giác
+
là đường trung bình của tam giác .
Mặt khác .
Chứng minh tương tự ta cũng có: .
Suy ra là hình chữ nhật.
thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm của hai đường chéo
Hay các điểm
Bài 4. Cho tam giác , các đường cao và cắt nhau tại .
a) Chứng minh rằng cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải
a) Ta có:
vuông
tại có ), ( . Gọi M là trung điểm BC, là đường trung tuyến
Tương tự: Ta có:
cùng thuôc đường tròn tâm
b) Chứng minh tương tự có cùng thuộc đường tròn
-14-
Bài 5: Cho hình vuông . Gọi là trung điểm là điểm thuộc đường chéo
sao cho . Chứng minh 4 điểm nằm trên cùng một đường tròn
Giải
nên để chứng
Ta thấy tứ giác minh 4 điểm có cùng nằm trên một đường tròn
ta sẽ chứng minh
song song với cắt
Cách 1: Kẻ đường thẳng qua . tại
Xét vuông và vuông có
vuông tại .
Suy ra 4 điểm cùng nằm trên đường tròn đường kính
Cách 2: Gọi là trung điểm của với là giao điểm của hai đường chéo.
Dễ thấy là hình bình hành nên suy ra .
Mặt khác do là trực tâm của tam giác
.
. Lấy điểm thuộc tia sao cho
Bài 6: Cho tam giác và có trực tâm . Gọi lên
nằm giữa . Chứng minh các điểm lần lượt là hình chiếu vuông góc của cùng thuộc một đường tròn
Giải: Giả sử . Ta có cắt tại do
suy ra ( góc
cùng vuông góc với đồng vị) .
kết hợp với giả
Tương tự ta cũng có thiết
.
nên hay
Mặt khác ta có thuộc đường tròn đường tròn đường kính .
Dễ thấy nên các điểm cùng thuộc một đường tròn.
DẠNG 2: CHỨNG MINH MỘT ĐƢỜNG THẲNG LÀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG TRÒN
1. Phƣơng pháp:
Để chứng minh một đường thẳng d là tiếp tuyến ( hay tiếp xúc) với đường tròn (O, R):
-15-
+ Cách 1: Chứng minh khoảng cách từ O đến d bằng R. Hay nói cách khác ta vẽ chứng minh
+ Cách 2: theo dấu hiệu nhận biết Nếu biết d và (O) có chung một giao điểm là A, ta chỉ cần chứng minh
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho đường tròn . Từ điểm nằm ngoài đường tròn , kẻ tiếp tuyến
với đường tròn ( là tiếp điểm). Kẻ dây vuông góc với . Chứng minh
rằng là tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải
GT Đường tròn : Tiếp tuyến là tiếp
điểm; Dây ;
KL là tiếp tuyến của đường tròn
Xét đường tròn có là tiếp tuyến tại
(Tính chất tiếp tuyến)
Tam giác cân tại có là đường cao tại nên cũng là đường
phân giác (Tính chất của tam giác cân)
Xét và , là cạnh chung , có:
(c.g.c)
. Mà
Có tại thuộc đường tròn nên là tiếp tuyến của đường tròn .
Ví dụ 2. Cho nửa đường tròn đường kính . Kẻ hai tiếp tuyến với nửa
đường tròn ( là tiếp điểm). Lấy điểm trên tia . Kẻ đường thẳng qua vuông
góc với cắt tia tại điểm . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải
GT Đường tròn đường kính ; Tiếp tuyến
là tiếp điểm; ;
KL là tiếp tuyến của đường tròn
Cách 1:
-16-
Kẻ tiếp tuyến của đường tròn , là tiếp điểm
(Tính chất tiếp tuyến)
Xét đường tròn có là hai tiếp tuyến cắt nhau ở nên (Tính
chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Có
Mà
Mà
và có: là cạnh chung Xét
tại thuộc đường tròn . Mà thẳng hàng.
là tiếp tuyến của đường tròn .
Cách 2:
. Lấy là trung điểm của Kẻ
, có là trung tuyến ứng với Xét
cạnh huyền
cân tại
Hình thang có là trung bình nên
(so le trong)
Xét và có: chung
(Cạnh huyền, góc nhọn) đường kính
Mà tại nên là tiếp tuyến của đường tròn
, kẻ các đường cao cắt nhau tại . Gọi
Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn là trung điểm của và là trung điểm của . Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm
b) là hai tiếp tuyến của đường tròn đường kính . Từ đó suy ra năm điểm
cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải
-17-
GT nhọn; Các đường cao
; là trung điểm của ; cắt là
nhau tại trung điểm của
KL a) cùng thuộc đường tròn tâm
b) là hai tiếp tuyến của đường tròn ;
cùng thuộc một đường
Năm điểm tròn.
a) Có
thuộc đường tròn đường kính
Mà là trung điểm của nên bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm .
b) Xét có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
cân tại
cân tại Có
vuông tại Xét
. Mà
là tiếp tuyến của đường tròn . Có
là tiếp tuyến của đường tròn . CMTT
thuộc đường tròn đường kính . Có
Suy ra năm điểm cùng thuộc đường tròn đường kính .
cân tại A , các đường cao và cắt nhau tại . Vẽ (O) có
Ví dụ 4: Cho đường kính AI. CMR
thuộc đường tròn đường kính .
1) 2)
là tiếp tuyến của đường tròn đường kính .
Lời giải
-18-
1) Gọi
là tâm đường tròn đường kính vuông góc (vì vuông tại )
nội tiếp đường tròn đường kính
2) thuộc đường tròn đường kính có . là đường cao
cân tại là đường trung tuyến
vuông tại K có KH là đường trung tuyến
cân tại
(1)
cân tại
(2)
Lại có (3)
Từ (1), (2),(3)
hay
là tiếp tuyến của đường tròn đường kính .
, các đường cao và cắt nhau tại . Vẽ đường tròn tâm
Ví dụ 5: Cho đường kính Gọi là trung điểm của . CMR: là tiếp tuyến của
Giải
a) + Xét vuông tại ( do
là trung điểm của ) có )
là trung tuyến ( do
( Hai góc ở đáy) (1)
* Xét cân tại
( Hai góc ở đáy) (2)
+ Xét vuông tại E( do CE AB)
( Định lí tổng ba góc trong tam giác vuông) (3)
+ Từ (1),(2) và (3) => =>
+ Xét (O): Có OD là bán kính và
MD là tiếp tuyến của (O) (đpcm)
-19-
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho dây khác đường kính . Qua kẻ đường thẳng vuông góc với
cắt tiếp tuyến tại của đường tròn ở là tiếp tuyến của .Chứng minh
Giải:
Gọi là giao điểm của và
cân ở (vì ) có là đ.cao nên đồng
thời là phân giác
.
Xét và có:
; (c/m trên); OC chung
=> = (c.g.c)
=>
Nên = 900 do đó là tiếp tuyến của (O)
cân tại đường cao bờ
bán kính tại . Trên nửa mặt phẳng chứa . Chứng
Bài 2: Cho tam giác vẽ minh cắt đường tròn tâm là tiếp tuyến của
Giải
Vì tam giác cân tại nên ta có: .
Vì .
Mặt khác ta cũng có .
và có chung, ,
Hai tam giác
suy ra suy ra .
Nói cách khác là tiếp tuyến của đường tròn
đường cao . Gọi là điểm đối
vuông tại . Đường tròn tâm đường kính cắt tại . Chứng minh
Bài 3: Cho tam giác xứng với qua là tiếp tuyến của đường tròn
Giải
có một cạnh là đường kính của
Vì tam giác . nên
Kẻ suy ra từ đó ta
có tam giác cân tại .
Do đó (cùng phụ với góc hai góc bằng nhau là
)
-20-
Mặt khác ta cũng có: (do tam giác cân tại ).
Mà suy ra hay là tiếp tuyến của .
Bài 4: Cho đường kính . Lấy I là trung điểm của . Vẽ dây
là hình gì? Vì sao
là trung điểm của . CMR:
1) Tứ giác 2) Gọi 3) CMR: là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng.
Hướng dẫn
1) Xét có đường kính
Tứ giác là hình bình hành( vì có
), lại có
là hình thoi
2) đường kính , dây
Có là trung điểm của
vuông tại ( nội tiếp đường
kính )
Từ (1) và (2) => thẳng hàng
3) cân tại ( )
vuông tại , là trung tuyến ( do )
=>
cân tại =>
Có vuông tại
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
-21-
nhọn. Vẽ đường tròn tâm đường kính cắt ,
Bài 5: Cho tam giác . lần lượt tại và cắt nhau tại . Gọi là trung điểm . Chứng minh:
là tiếp tuyến của và .
Hướng dẫn
Có nội tiếp đường kính
nội tiếp đường kính
cắt tại
là trực tâm
vuông tại có là đường trung tuyến
cân tại
(1)
vuông tại có là đường trung tuyến
cân tại M
(2)
Lại có: (3)
Từ (1), (2),(3)
hay
là tiếp tuyến của đường tròn .
nhọn, đường cao và cắt nhai tại . Gọi là
. Chứng minh rằng , là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
Bài 6: Cho tam giác trung điểm của
Hướng dẫn
vuông tại (vì vuông góc )
nội tiếp đường tròn đường kính AH
Gọi O là tâm đường tròn đường kính AH
vuông tại có là đường trung tuyến (O)A = AH) =>
=> cân tại
(1)
-22-
vuông tại có à đường trung tuyến
cân tại
(1)
Lại có (vì , nên là trực tâm do đó
) (3)
Từ (1), (2),(3)
hay
là tiếp tuyến của đường tròn .
Tương tự chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn .
Bài 7: Cho hình thang ABCD ( ), AB = 4cm, BC= 13cm, CD = 9cm.
a) Tính độ dài AD.
b) Chứng minh rằng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC.
a) Hạ
là hình chữ
Dễ dàng chứng minh được tứ giác nhật
Trong tam giác vuông tại có:
Vậy
b) Gọi là trung điểm
Đường tròn tâm đường kính có bán kính
Gọi H là trung điểm của AD, khi đó IH là đường trung bình của hình thang ABCD
Có và IH // AB // CD
Mặt khác ABCD là hình thang vuông nên ( , IH// AB ) (1)
Do nên H thuộc đường tròn (2).
Từ (1) và (2) AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC.
Bài 8. Cho đường tròn . Từ điểm nằm ngoài đường tròn , kẻ hai tiếp tuyến
với đường tròn ( là tiếp điểm) và cát tuyến không đi qua tâm
-23-
(Tia nằm giữa hai tia MO và MB). Kẻ tại . Gọi là giao điểm của
với . Chứng minh KC, KD là hai tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải
Có là hai tiếp tuyến cắt nhau của
đường tròn , là tiếp điểm nên
suy ra là đường trung trực Mà
của
và có: , Xét
chung
vuông tại
Xét và có
. Mà
Có là tiếp tuyến của đường tròn .
Chứng minh tương tự ta cũng có KC là tiếp tuyến của đường tròn .
DẠNG 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
1. Phƣơng pháp
+ Bài tập chứng minh các đẳng thức hình học là bài toán mà ta phải chứng minh một đẳng thức đúng từ các dữ kiện để bài cho. Các đẳng thức thường có dạng như A=B+C, A.B=C.D, A.B=C2, …. + Để làm được bài toán này ta có thể sử dụng định lí Ta-lét, tính chất đường phân giác, tam giác bằng nhau, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, mối quan hệ đường kính và dây,…
+ Các bước suy luận để chứng minh:
- Giả sử cần chứng minh: AB.AC = AD.AE
- Ta lập sơ đồ:
- Khi đó bước đầu tiên ta sẽ chứng minh tam giác đồng dạng để suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ rồi chứng minh được hệ thức hình học đề bài đã ra
-24-
+ Ngoài ra có những bài toán ta sẽ không trực tiếp suy ra được hệ thức cần chứng minh mà cần phải chứng minh từng vế của hệ thức bằng với một hệ thức thứ ba.
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax. Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F sao cho BF cắt đường tròn tại C. Tia phân giác của góc ABF cắt Ax tại E và cắt đường tròn tại D. Chứng minh rằng BD.BE = BC.BF
Lời giải:
+ Có nhìn đường kính AB nên
+ Có Ax là tiếp tuyến, F thuộc Ax nên
+ Xét tam giác FAB và tam giác ACB có:
chung
Suy ra hai tam giác FAB và ACB đồng dạng theo trường hợp góc – góc
(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (1)
+ Có nhìn đường kính AB nên
+ Có Ax là tiếp tuyến, E thuộc Ax nên
+ Xét tam giác EAB và tam giác ADB có:
chung
Suy ra hai tam giác EAB và ADB đồng dạng theo trường hợp góc – góc
-25-
(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (đpcm)
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh hệ thức:
Lời giải:
+ Có nhìn đường kính AB nên
+ Xét tam giác AMB có (MN vuông góc với AB tại I) có:
(hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
+ Có nhìn đường kính AB nên
+ Xét tam giác AEI và tam giác ABC có:
chung
Suy ra hai tam giác AEI và tam giác ABC đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc
(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (đpcm)
-26-
Ví dụ 3. Cho đường tròn (O; R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC đi qua tâm O.
a) So sánh 2 góc ACB và MAB b) Chứng minh hệ thức: MA2 = MB.MC
Giải
a) Ta có: góc A1 = góc A 2(cùng phụ góc A3) mà góc A1 = góc C (vì AOC cân tại O)
2 góc ACB và MAB bằng nhau
b) Xét ACM và BAM có: là
góc chung;
ACM đồng dạng với BAM
(g.g)
MA2 = MB.MC (đpcm)
theo thứ tự là các hình chiếu và
Ví dụ 4. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, M là một điểm nằm trên nửa đường tròn. Qua và của vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Gọi trên tiếp tuyến ấy
a. Chứng minh rằng là trung điểm của
b. Chứng minh
Lời giải
và theo thứ tự là các hình chiếu của
trên tiếp tuyến qua M. Nên AD DC; BC DC
a. Ta có: và => AD//BC . Vậy tứ giác ABCD là hình thang. Mà OM DC ( Theo tính chất của tiếp tuyến) => OM//AD//BC. Xét hình thang có
là trung điểm của
b. Theo CM phần a ta có OM là đường trung bình của hình thang ABCD nên ta có: OM= (BC+AD)/2. Mà AB=2 OM. Vậy .
-27-
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho đường tròn O cà dây CD. A là điểm chính giữa cung CD. M thuộc CD, dây AN qua M
a, Chứng minh
b, Chứng minh
Bài 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O). D là điểm trên cung nhỏ BC. CD và AB kéo
dài cắt nhau ở M, BD và AC kéo dài cắt nhau ở N. Chứng minh
Bài 3: Cho đường tròn (O) có đường kính AB =. Qua A kẻ tiếp tuyến xy. Một điểm M
thuộc Ax, nối BM cắt (O) tại C. Chứng minh
Bài 4: Tam giác AMB cân tại M nội tiếp trong đường tròn (O; R). Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB), MH cắt đường tròn tại N. Trên tia đối BA lấy điểm C. MC cắt đường tròn tại D. ND cắt AB tại E. Chứng minh 4 điểm M,D,E,H cùng thuộc một đường tròn
và chứng minh các hệ thức sau: và
Bài 5: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây
CD. Kẻ AH vuông góc với MO tại H. Chứng minh
. Trên nửa mặt phẳng bờ đường kính chứa
DẠNG 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP 1. Phƣơng pháp: Đối với dạng bài tổng hợp cần nắm được toàn bộ kiến thức cơ bản như định nghĩa, định lí, tính chất, hệ thức,…cũng như phương pháp thường sử dụng để chứng minh các dạng bài đơn lẻ. Để vận dụng linh hoạt vào giải toán. 2. Ví dụ: Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến
thuộc nửa đường tròn ( . Lấy điểm khác ,
, ). Tiếp tuyến tại của cắt , lần lượt tại , .
a) Chứng minh .
b) Tính số đo góc .
c) Chứng minh .
d) Vẽ đường tròn tâm , đường kính . Chứng minh là tiếp tuyến của .
Lời giải
a) Xét đường tròn ta có: tiếp tuyến và cắt nhau tại ; tiếp tuyến và
cắt nhau tại (1)
-28-
và (tính chất)
.
(điều phải chứng minh)
b) Từ (1) là tia phân giác của và là
tia phân giác của .
Ta có
.
c) vuông tại có đường cao
(do và ).
d) Ta có là đường trung tuyến trong tam giác vuông vuông tại .
Nên đường tròn đường kính ngoại tiếp .
Lại có là đường trung bình của hình thang .
Mà nên là tiếp tuyến tại của đường tròn .
và điểm nằm ngoài đường tròn . Từ kẻ các tiếp
Ví dụ 2. Cho đường tròn
tuyến , với ( , là các tiếp điểm).
a) Chứng minh , , , cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh là đường trung trực của đoạn thẳng .
c) Biết cm, cm. Tính độ dài đoạn .
cắt đoạn tại . Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam
d) Đường tròn giác .
Lời giải
vuông tại nội tiếp trong
a) đường tròn đường kính .
nội tiếp trong
vuông tại đường tròn đường kính .
, , , cùng thuộc đường tròn
Vậy đường kính .
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) b)
(bằng bán kính)
nằm trên đường trung trực của đoạn nằm trên đường trung trực của
đoạn là đường trung trực của đoạn và .
c) Gọi là giao điểm của và .
-29-
vuông tại có đường cao cm.
vuông tại cm.
là trung điểm của cm.
d) Ta có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
là tia phân giác của (1).
là tia phân giác của Mặt khác
.(2)
Từ (1), (2) là tâm đường tròn nội tiếp .
và tiếp xúc ngoài tại
với hai đường tròn. Tiếp tuyến chung tại . Kẻ tiếp tuyến chung của và
Ví dụ 3. Cho hai đường tròn ngoài cắt
tại .
a) Chứng minh và .
b) Tính số đo của .
c) Chứng minh tiếp xúc với đường tròn đường kính .
d) Biết cm, cm. Tính độ dài đoạn thẳng .
Lời giải
a) Ta có tiếp tuyến và cắt nhau tại ; tiếp tuyến và cắt nhau tại
và
có đường trung tuyến
vuông tại
b) Ta có là tia phân giác của và
là tia phân giác của
.
-30-
là tâm đường tròn đường kính và cũng thuộc đường
c) Ta có tròn .
Mà nên tiếp xúc với đường tròn đường kính .
d) vuông tại có đường cao cm
cm => BC = MB+MC=12 cm.
, đường kính . Điểm nằm trên đường tròn (
,
Ví dụ 4. Cho đường tròn tâm ). Gọi khác đường kính
là hình chiếu vuông góc của đường kính và đường tròn tâm lên . . Vẽ đường tròn tâm (khác cắt tại ),
cắt tại (khác ).
a) Tứ giác là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh là tiếp tuyến chung của và .
c) Chứng minh tiếp xúc với đường tròn đường kính .
d) Biết . Tính diện tích tứ giác theo .
Lời giải
a) có đường trung tuyến
vuông tại .
có đường trung tuyến
.
vuông tại
có đường trung tuyến
vuông tại .
Vậy là hình chữ nhật.
b) Gọi là giao điểm của và (tính chất hình chữ nhật).
Từ đó suy ra (cạnh - cạnh - cạnh) và (cạnh - cạnh - cạnh)
và .
và .
Do đó là đường tiếp tuyến của đường tròn và .
Hay là tiếp tuyến chung của và .
c) là hình chữ nhật nên .
Khi đó tâm đường tròn đường kính là .
H thuộc đường tròn đường kính MN.
-31-
mà . Do đó tiếp xúc với đường tròn đường kính .
d) Ta có và .
Ta có là tia phân giác của và là tia phân giác của và
. Khi đó ta có
.
vuông tại có là đường cao
.
.
Ví dụ 5.
Cho đường tròn tâm bán kính 3cm. Từ một điểm cách là 5cm vẽ hai tiếp tuyến
, với đường tròn ( là tiếp điểm).
a) Chứng minh vuông góc với ;
b) Kẻ đường kính . Chứng minh rằng song song với ;
c) Tính chu vi và diện tích tam giác .
kẻ đường thẳng vuông góc với , đường thẳng này cắt tia tại .
d) Qua Đường thẳng và cắt nhau ở ; đường thẳng và cắt nhau ở .
Chứng minh là trung trực của đoạn thẳng .
Lời giải
a) Ta có (cm)
(Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
là đường trung trực của hay
b) Xét có
tại Tam giác
) Vậy vuông tại (Vì cùng vuông góc với
vuông có (tính chất tiếp tuyến) c) Xét
Gọi là giao điểm của và .
-32-
Vì là trung trực của nên
Tam giác vuông tại có đường cao (Hệ thức lượng)
Tính được . Lại có
Vậy chu vi tam giác là
Diện tích tam giác là:
d) Chứng minh được hai tam giác và tam giác bằng nhau (g.c.g)
Chứng minh được Tứ giác là hình chữ nhật
Chứng minh được tam giác cân ở
là đường cao đồng thời là
.
Sử dụng tính chất 3 đường cao của tam giác chỉ ra được trung trực của đoạn thẳng Ví dụ 6.
Cho đường tròn tâm bán kính , dây khác đường kính. Hai tiếp tuyến của đường
tròn tại và tại cắt nhau tại . Kẻ đường kính , kẻ vuông góc với
tại .
cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán
a) Chứng minh bốn điểm kính của đường tròn đó.
vuông góc với . Cho biết , .
b) Chứng minh . Tính
c) Chứng minh là tia phân giác của
d) Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh
.
Lời giải
a) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.Ta có: (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)
Suy ra:
Tam giác vuông đường tròn đường kính nội tiếp
Tam giác vuông đường tròn đường kính nội tiếp
cùng thuộc
có
Nên đường tròn đường kính . tâm là trung điểm
-33-
vuông góc với . Cho biết bán kính bằng 15 cm, dây = 24
b) Chứng minh cm. Tính
Ta có:
( tính chất của tiếp tuyến đường tròn), ( bán kính đường tròn)
Suy ra: là trung trực của
tại
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đường cao , ta có:
(cm)
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông , ta có:
(cm)
c) Chứng minh là tia phân giác của góc
( cùng phụ )
( AB = AC nên cân tại A )
Suy ra: BC là tia phân giác của
d) Gọi là giao điểm của và . là giao điểm của và . Chứng minh
.
có:
( cùng vuông góc với )
Suy ra: (1)
Ta lại có:
( cùng vuông góc với )
Áp dụng hệ quả của định lý Ta-let, ta có:
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
3. Bài tập tự luyện
Bài 1 Cho nửa đường tròn đường kính Từ và kẻ hai tiếp
tuyến
Qua điểm và lần lượt ở thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến . Các đường thẳng cắt nhau tại và .
1) Chứng minh .
2) Chứng minh
-34-
3) Chứng minh .
4) Chứng minh
5) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn đường kính .
6) Chứng minh .
7) Gọi là giao điểm của với . Chứng minh là trung điểm của .
8) Xác định vị trí của để chu vi tứ giác đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
1) Xét đường tròn :
là hai tiếp tuyến cắt nhau tại và
Có là hai tiếp điểm
là tia phân giác của (Tính
chất hai tiếp tuyến cắt nhau);
là hai tiếp tuyến cắt nhau tại và
Có là hai tiếp điểm.
là tia phân giác của (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Ta có , mà (đpcm).
2) Có là tia phân giác của , là tia phân giác của (cmt)
Mà và là hai góc kề bù nên (đpcm).
3) Xét vuông ở , có (Tính chất tiếp tuyến)
(Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông)
Mà và nên suy ra
(đpcm)
4) Xét cân tại có là tia phân giác của (cmt)
cũng là đường trung trực của (Tính chất tam giác cân)
.
Có thuộc đường tròn đường kính vuông tại
(cùng vuông góc với )
5) Gọi là trung điểm của
-35-
Xét đường tròn đường kính có là hai tiếp tuyến; là hai tiếp
điểm
(Tính chất tiếp tuyến). Hay
(Từ vuông góc đến song song)
Suy ra tứ giác là hình thang, đáy là và .
có là trung điểm của là trung điểm của nên là
Xét hình thang đường trung bình của hình thang
(Tính chất đường trung bình của hình thang)
Mà nên suy ra (Từ vuông góc đến song song).
Tam giác có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
thuộc đường tròn tâm đường kính .
Có tại thuộc đường tròn đường kính nên là tiếp tuyến của
đường tròn đường kính (đpcm).
6) Xét có (cmt)
(Hệ quả định lí Ta-let)
nên suy ra Mà
Xét có , (Định lí Ta-let đảo)
Mà nên suy ra (Từ vuông góc đến song song).
7) Cách 1: Đặt .
Xét có (Hệ quả định lí Ta-let)
Xét có (Hệ quả định lí Ta-let)
là trung điểm của .
Cách 2:
-36-
Gọi là giao điểm của và . Có
Mà
theo hệ quả định lí Ta-let, ta có: Có
Mà
8) Chu vi tứ giác là
không đổi nên chu vi tứ giác nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ
Vì nhất. Từ kẻ tại .
Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật
Ta có (Quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)
đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi
(Vì ) nằm chính giữa cung trùng với của đường tròn .
Bài 2. Cho tam giác cân là tâm đường tròn nội tiếp, là tâm
đường tròn bàng tiếp góc là trung điểm của
1) Chứng minh cùng nằm trên một đường tròn .
2) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .
3) Tính bán kính đường tròn biết .
Lời giải
-37-
có (Vì
là đường phân giác trong góc ), là tâm đường tròn bàng tiếp góc là đường phân giác của
1) Xét là tâm đường tròn nội tiếp ngoài tại (Vì )
(Tia phân giác của hai góc kề bù)
thuộc đường tròn đường kính
CMTT ta có thuộc đường tròn đường kính
cùng thuộc đường tròn đường kính Vậy
(bán kính đường tròn) 2) Có
cân tại
Vì là phân giác của góc
Xét cân tại có là đường phân giác góc
cũng là đường trung trực của nên (Tính chất tam giác
cân)
Mà
Có tại thuộc đường tròn nên là tiếp tuyến của đường tròn .
3) Có
Xét vuông tại , đường cao . Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong
tam giác vuông ta có:
Bài 3. Cho đường tròn từ một điểm trên kẻ tiếp tuyến d với . Trên
lấy điểm bất kì ( ), kẻ cát tuyến và gọi
đường thẳng của , kẻ tiếp tuyến là tiếp điểm). Kẻ là trung điểm là giao . Gọi
điểm của và là giao điểm của và
1) Kẻ đường kính của đường tròn . Chứng minh .
2) Chứng minh năm điểm cùng nằm trên một đường tròn .
3) Chứng minh .
4) Chứng minh là hình thoi.
5) Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
di chuyển trên đường thẳng thì điểm luôn chạy trên một
6) Chứng minh khi đường cố định
7) Tìm vị trí của điểm trên đường thẳng để là tam giác đều.
-38-
Lời giải
1) Xét đường tròn có là hai tiếp
tuyến cắt nhau tại là hai tiếp điểm.
là tia phân giác
(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
cân tại , có
là phân giác nên (Tính
cũng là đường trung trực cạnh tại chất tam giác cân)
Có nội tiếp đường tròn đường kính nên suy ra vuông tại
(cùng vuông góc với )
2) Xét đường tròn có là hai tiếp tuyến; là hai tiếp điểm.
(Tính chất tiếp tuyến)
Có là trung điểm của dây không qua tâm nên (Định lí về quan hệ
vuông góc giữa đường kính và dây)
Suy ra năm điểm cùng thuộc đường tròn đường kính .
3) Xét có , tại (cmt)
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
.
. 4) Có
.
có nên là hình bình hành (Dấu hiệu nhận
Tứ giác biết)
Mà nên là hình thoi (đpcm).
cân tại
5) Có và đường cao. Mà hai đường cao là đường trung trực cạnh suy ra cắt nhau tại (cmt) nên là trực tâm của cũng là
. Hay . Vậy ba điểm thẳng hàng.
6) Có tứ giác là hình thoi nên
di chuyển trên đường thẳng
luôn cách điểm cố định một khoảng thì
Suy ra khi điểm điểm không đổi.
Do đó điểm luôn chạy trên đường tròn cố
định khi điểm di chuyển trên đường thẳng .
-39-
7) ĐK cần: Tam giác cân tại . Để là tam giác đều thì
(Vì là tia phân giác )
Xét vuông tại , có
Suy ra là giao điểm của đường tròn với đường thẳng .
ĐK đủ: Với là giao điểm của với thì .
Xét vuông tại (Vì theo tính chất tiếp tuyến) có
. Mà Suy ra
nên tam giác là tam giác đều. Mặt khác
là tam giác đều thì là giao điểm của đường tròn với đường Vậy để
thẳng .
Bài 4. Cho tam giác , đường cao
vuông ở là đường kính của đường tròn . Vẽ đường tròn tâm bán kính . Tiếp tuyến của đường tròn tại . Gọi
cắt ở .
1) Chứng minh tam giác cân.
2) Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn .
3) Chứng minh
Lời giải
1) Xét đường tròn có là tiếp tuyến, là tiếp
điểm (Tính chất tiếp tuyến)
Xét và có
(Bán kính đường tròn tâm )
(Hai góc đối đỉnh)
( g.c.g)
(Hai cạnh tương ứng)
Xét là đường cao ( ) đồng thời là đường trung tuyến
có nên cân tại (đpcm)
2) Kẻ vuông góc với tại .
-40-
cân tại có là đường cao nên cũng là đường phân giác góc Xét
và có , là cạnh chung, (cmt) Xét
(cạnh huyền, góc nhọn)
(Cạnh tương ứng)
Suy ra thuộc đường tròn
Xét đường tròn có tại và thuộc đường tròn nên là
tiếp tuyến của đường tròn .
3) Xét đường tròn có là hai tiếp tuyến tại và cắt nhau ở
(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Có
Bài 5. Cho nửa đường tròn đường kính . Lấy điểm trên nửa đường tròn. Tiếp
tuyến tại của nửa đường tròn cắt nhau tại . Tia cắt tia tại .
a) Chứng minh .
b) Kẻ tại . Tia cắt tại . Chứng minh .
cắt tiếp tuyến tại của nửa đường tròn ở điểm . Chứng minh rằng
c) Đường thẳng ba điểm thẳng hàng.
Lời giải
a) Xét đường tròn có là hai tiếp tuyến
cắt nhau tại với là hai tiếp điểm
(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
cân tại
Có nội tiếp đường tròn đường kính nên
(Định lí)
và
cân tại . Mà
(Tính chất tiếp tuyến), (gt) suy ra b) Có
Xét có (Hệ quả định lí Ta-let)
-41-
có (Hệ quả định lí Ta-let) Xét
Mà (đpcm)
c) Gọi là giao điểm của với .
là trung điểm của . Mà là trung điểm của nên trùng
CMTT câu b, ta có với . Vậy thuộc đường thẳng . Hay ba điểm thẳng hàng (đpcm).
Bài 6. Cho đường tròn đường kính . Đường thẳng vuông góc với bán
kính tại Trên nửa đường tròn lấy điểm thay đổi ( không
cắt đường thẳng cắt đường thẳng tại . Tiếp
nằm trên tuyến tại ). Tia tại của đường tròn cắt đường thẳng . Tia ở .
a) Chứng minh .
b) Đường thẳng cắt đường tròn tại . Chứng minh thẳng hàng.
c) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .
d) Chứng minh luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi trên đường tròn .
Lời giải
a) cân tại
Có là tiếp tuyến của đường tròn , là
tiếp điểm nên
Ta có (Đối đỉnh),
Mà
Suy ra cân tại
Có thuộc đường tròn đường kính nên vuông tại
vuông tại Xét
Mà
(đpcm). cân tại
b) Xét có hai đường cao cắt nhau tại nên là trực tâm
-42-
Suy ra
Có thuộc đường tròn đường kính
Từ (1) và (2) suy ra thẳng hàng.
(Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) c) Xét
Mà nên
Xét và có: chung
tại là tiếp tuyến của .
d) Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và .
là đường trung trực của tại Có
Xét có (Hệ thức về cạnh và đường
cao trong tam giác vuông)
Xét và có: chung
không đổi (Vì cố định)
Suy ra điểm nằm trên tia cố định và cách điểm cố định một khoảng
không đổi nên là điểm cố định.
Vậy luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi trên đường tròn .
, đường kính . Trên nửa mặt phẳng chứa nửa
Bài 7. Cho nửa đường tròn tâm đường tròn, kẻ tiếp tuyến . Điểm nằm trên nửa đường tròn sao cho .
a) Tính số đo các góc của tam giác .
b) Tiếp tuyến tại của cắt tại . Chứng minh song song với .
c) Tia cắt tại . Chứng minh .
với thuộc , cắt tại . Chứng minh là trung điểm của
d) Kẻ .
Lời giải
a) có trung tuyến vuông tại .
Lại có do đó là tam giác đều .
-43-
b) Do tuyến là giao điểm của hai đường tiếp và nên .
nên . Mà
c) (so le trong).
(đồng vị).
(tính chất 2 tiếp tuyến cắt
Mà nhau).
Nên cân tại
.
Mà (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên .
d) Áp dụng định lí Thales vào có .
Áp dụng định lí Thales vào có .
Do đó .
Mà (chứng minh ở câu c).
Nên hay là trung điểm của .
Bài 8. Cho đường tròn đường kính . Qua và vẽ lần lượt hai tiếp tuyến
và với . Đường thẳng thay đổi qua cắt tại và cắt tại . Từ vẽ
một tia vuông góc với cắt tại .
a) Chứng minh và tam giác cân.
là hình chiếu vuông góc của lên . Chứng minh và là tiếp
b) Gọi tuyến của đường tròn .
c) Chứng minh .
d) Chứng minh không đổi khi đường thẳng quay quanh .
Lời giải
-44-
a) Xét các tam giác vuông và có
(đối đỉnh).
(bán kính).
(cạnh góc vuông - góc nhọn
Do đó kề)
(2 cạnh tương ứng)
(cạnh huyền - cạnh góc vuông)
(2 góc tương ứng)
cân tại .
b) Ta có (do ) và
(chứng minh trên).
Do đó .
Xét hai tam giác vuông và có
(chứng minh trên).
là cạnh huyền chung.
Do đó (cạnh huyền - góc nhọn)
.
Mà tại nên là tiếp tuyến của đường tròn .
(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và (tính chất 2 tiếp tuyến
c) Ta có cắt nhau).
Do đó .
d) Ta có (không đổi).
Bài 9. Cho nửa đường tròn , đường kính và điểm là một điểm nằm trên
( khác , ). Tia phân giác của cắt tại và cắt tại ( khác ).
Gọi là giao điểm của và .
a) Chứng minh tam giác cân.
b) Chứng minh vuông góc với .
c) Gọi là điểm đối xứng của qua . Tứ giác là hình gì? Vì sao?
d) Chứng minh là tiếp tuyến của .
Lời giải
-45-
a) có trung tuyến
vuông tại .
Khi đó ta có phân giác trong tam giác vừa là đường cao vừa là đường cân tại
.
b) Chứng minh tương tự ta suy ra .
và nên là trực
Mà tâm của cắt nhau tại .
cân tại có là đường cao đồng
c) thời cũng là đường trung tuyến nên .
có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và hai đường
Tứ giác chéo này vuông góc với nhau nên tứ giác là hình thoi.
là hình thoi . d)
nên là tiếp tuyến của . Mà
Bài 10
Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
với hai đường tròn. Tiếp tuyến chung ngoài tại của và
cắt tại .
a) Chứng minh là tam giác vuông.
b) Gọi là giao điểm của và , gọi là giao điểm của và . Tứ giác
là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh tiếp xúc với đường tròn đường kính .
d) Chứng minh .
Lời giải
là tia phân giác của (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và là tia
a) Ta có phân giác của (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
.
Do đó vuông tại .
b) Ta có
và tại (tính chất 2 tiếp tại
tuyến cắt nhau).
Do đó là hình chữ nhật.
là trung điểm của
c) Gọi có thang , ta là đường trung bình của hình . Mà
-46-
nên tại và nên .
Vậy tiếp xúc với đường tròn đường kính .
vuông tại có đường cao . d)
. Vậy
Bài 11
nhọn, đường tròn tâm cắt và .
Cho Gọi là giao điểm của và có đường kính , là giao điểm của và lần lượt ở .
a) Tính số đo và .
cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm của
b) Chứng minh: Bốn điểm đường tròn.
c) Gọi là trung điểm của . Chứng minh:
d) Chứng minh: tiếp tuyến tại và của đường tròn cắt nhau tại .
Lời giải
a) Tính số đo và
vuông tại
nội tiếp có là đường kính
vuông tại
b) Chứng minh: bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
vuông tại ba điểm thuộc đường tròn có đường kính (1)
vuông tại ba điểm thuộc đường tròn có đường kính (2)
Từ (1), (2) bốn điểm cùng thuộc đường tròn đường kính
-47-
có tâm là trung điểm của .
c) Chứng minh:
là đường trung bình của
(3) Mà
là đường trung bình của ( )
(4)
Từ (3) và (4)
d)Chứng minh: tiếp tuyến tại và của đường tròn cắt nhau tại
Ta có (bán kính ( )) cân tại
(bán kính ( )) cân tại
Mặt khác là trực tâm của ( )
tại
Do đó
Mà
Nên
, mà bán kính ( )
Do đó là tiếp tuyến của ( )
Chứng minh tương tự là tiếp tuyến của ( )
Vậy tiếp tuyến tại và của đường tròn ( ) cắt nhau tại điểm .
Bài 12. Cho tam giác . Vẽ dây cung
của ( ) đường kính . Gọi là trung điểm cạnh
trung điểm cạnh ) vuông góc với đường kính . Từ nội tiếp đường tròn ( tại vẽ đường thẳng vuông góc với và , đường thẳng này cắt
tia tại . Trên tia lấy điểm sao cho là trung điểm cạnh .
1) Chứng minh: Tam giác vuông tại và .
2) Chứng minh: // và là tiếp tuyến của đường tròn ( ).
3) Gọi là trung điểm cạnh , vẽ đường tròn đường kính cắt cạnh tại
. Chứng minh: .
lấy điểm sao cho là trung điểm cạnh . Chứng
4) Trên tia đối của tia minh ba điểm thẳng hàng.
-48-
Lời giải
1) nội tiếp đường tròn ( ) đường kính
vuông tại
Xét ( ), có tại
là trung điểm cạnh (Định lí Đường kính – Dây cung)
2) Chứng minh là đường trung bình của
MN // SC
Mà tại (gt)
Mà thuộc ( )
là tiếp tuyến của đường tròn (O)
3) Ta có nội tiếp đường tròn đường kính
vuông tại
tại
Áp dụng hệ thức lượng chứng minh (1)
Áp dụng hệ thức lượng chứng minh (2)
Từ (1) và (2) suy ra (1đ)
-49-
4) Gọi là trung điểm
Chứng minh là đường trung bình của
//
Mà vuông tại ) (
Chứng minh là trực tâm của
là đường cao của
Chứng minh là đường trung bình của
Mà (cmt)
Mà (cmt)
Vậy Ba điểm thẳng hàng
DẠNG 5: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 1. Phƣơng pháp: Sau mỗi chủ đề hay sau mỗi nội dung cốt lõi hoặc sau mỗi bài học giáo viên có thể soạn 10 đến 30 câu hỏi trắc nghiệm đủ các dạng nhận biết, thông hiểu, vận dụng,vận dụng cao tùy vào nội dung cốt lõi của bài, của chủ đề nhiều hay ít. Sau đó giáo viên giao cho học sinh làm bài tập về nhà trên trang OLM. Hôm sau chữa bài trực tiếp trên lớp ở buổi dạy chuyên đề. Để làm được các bài toán trắc nghiệm toán hình của chương này các em ngoài việc nắm chắc kiến thức cơ bản, cách làm những dạng toán riêng biệt còn có thể sử dụng phương pháp suy luận, phán đoán đáp án dựa vào các dữ kiện bài ra, phương pháp thay đáp án để loại trừ, chọn đáp án có điểm đặc biệt, hoặc phương pháp tính trực tiếp để chọn đáp án mà không nhất thiết phải tính toán theo đúng trình tự của bài toán. Khi làm trắc nghiệm tuyệt đối không bỏ trống khi không biết làm. Với hình thức thi trắc nghiệm Toán, để làm Toán trắc nghiệm nhanh hơn thì việc sử dụng máy tính bỏ túi (máy tính Casio) là cần thiết. Có nhiều bài toán khi áp dụng máy tính vào giải Toán thì sẽ nhanh hơn rất nhiều.
2. Ví dụ: Sau khi dạy xong bài tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có thể ra các câu hỏi trắc nghiệm như sau để giao học sinh làm và chữa:
, hai tiếp tuyến tại và ( ) của đường tròn
Câu 1. [NB] Cho đường tròn tâm cắt nhau tại . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
-50-
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Hai tiếp tuyến tại và ( )của đường tròn cắt nhau tại nên .
Câu 2. [NB] Số đường tròn nội tiếp của một tam giác bất kì là?
A. 0 B. 1. C. 2. D. 3
Lời giải
Chọn B
Mỗi tam giác bất kì có và chỉ có đường tròn nội tiếp
khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh
Câu 3. [NB] cho góc của góc nằm trên đường nào?
A. Nằm trên một đường thẳng bất kì.
B. Nằm trên đường thẳng song song với .
C. Nằm trên đường thẳng song song với .
D. Nằm trên đường phân giác của góc .
Lời giải
Chọn D
nằm trên đường phân giác
Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc của góc .
Câu 4. [NB] Cho đường tròn tâm , nội tiếp tam giác khi đó điểm là
A. Giao điểm của ba đường cao.
B.Giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.
C. Giao điểm của ba đường trung tuyến.
D. Giao điểm của ba đường trung trực.
Lời giải
Chọn B
Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác.
Câu 5. [NB] Trong các phát biểu sau phát biểu nào đúng?
A. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác luôn nằm trong tam giác đó.
B. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác luôn nằm ngoài tam giác đó.
C. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác luôn nằm trên một cạnh của tam giác đó.
D. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác luôn trùng với một đỉnh của tam giác đó.
Lời giải
-51-
Chọn A
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác luôn nằm trong tam giác đó.
Câu 6. [TH] Cho đường tròn tâm , hai tiếp tuyến tại và ( ) của đường tròn
cắt nhau tại . Biết khi đó góc bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
) của là
và Hai tiếp tuyến tại đường tròn cắt nhau tại tia phân giác của góc ( nên vậy
.
Câu 7. [TH] Cho đường tròn tâm , hai tiếp tuyến tại và ( ) của đường tròn
cắt nhau tại . Biết khi đó góc bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
và Hai tiếp tuyến tại đường tròn cắt nhau tại ( nên ) của là
tia phân giác của góc vậy
.
Câu 8. [TH] Hai tiếp tuyến tại và của đường tròn cắt nhau tại .
-52-
khẳng định nào sau đây là sai?
A. . B. là đường trung trực của .
C. . D. tại trung điểm của .
Lời giải
Chọn D
tại trung điểm của .
Câu 9. [TH] Cho đường tròn tâm , hai tiếp tuyến tại và ( ) của đường tròn
cắt nhau tại . Cho biết thì tam giác là ?
A. Tam giác đều. B. Tam giác vuông. C. Tam giác tù. D. Tam giác nhọn.
Lời giải
Chọn A
Tam giác có nên nó là tam giác
cân. Mà nên nó là tam giác đều.
Câu 10. [TH] . Tam giác vuông tại . Đường tròn nội tiếp tam giác ,
tiếp xúc với lần lượt tại và thì tứ giác là:
A. Hình vuông B. Hình chữ nhật. C. Hình thang. D. Hình thoi.
Lời giải
Chọn A
Tứ giác
có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. mà (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên tứ giác là hình vuông.
-53-
và của đường tròn cắt nhau tại . Vẽ đường
Câu 11. [TH] Hai tiếp tuyến tại kính . Khi đó: của
A. . B. . C. . D. cắt .
Lời giải
Chọn A
. mà . vậy
Câu 12. [TH] Hai tiếp tuyến của đường tròn tại và cắt nhau tại . Biết
, Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
-54-
Câu 16. [TH] Cho đường tròn tâm từ điểm nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tiếp
tuyến và của đường tròn tâm ( là tiếp điểm). biết tam giác
là
A.Tam giác đều B.Tam giác vuông. C.tam giác cân. D.Tam giác vuông cân.
Lời giải
Chọn D
Tam giác vuông tại (theo tính chất tiếp
(tính chất nên => tuyến) có hai tiếp tuyến cắt nhau) nên nó là tam giác vuông cân
, hai tiếp tuyến tại và ( ) của đường tròn
Câu 13. [TH] Cho đường tròn tâm cắt nhau tại . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. và đối xứng với nhau qua .
B. và đối xứng với nhau qua .
C. và đối xứng với nhau qua điểm .
D. và đối xứng với nhau qua điểm .
Lời giải
Chọn A
nên và
đối xứng với nhau qua tại trung điểm của .
Câu 14. [VD] cho nửa đường tròn tâm tuyến của nửa đường tròn. Qua điểm . Gọi đường kính thuộc nửa đường tròn ( là các tia tiếp và ), kẻ khác
-55-
lần lượt tại và . Đẳng thức nào sau đây là
tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt sai?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau nên
Vậy
làĐáp án sai là D
đường kính
. Gọi thuộc nửa đường tròn ( lần lượt tại và , là các tia tiếp ), kẻ và , tại khác cắt
Câu 15. [VD] Cho nửa đường tròn tâm tuyến của nửa đường tròn. Qua điểm tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt cắt . Tứ giác tại là hình gì?
A. Hình vuông. B. Hình chữ nhật. C. Hình thoi. D. Hình thang cân.
Lời giải
Chọn B
Tứ giác có góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Câu 16. [VD] Hai tiếp tuyến của đường tròn tại và
. Vẽ đường kính của cắt nhau tại . Độ dài đoạn thẳng . Biết là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
-56-
bán kính nội tiếp tam giác đều . Khi đó độ
Câu 17. [VD] . Đường tròn tâm dài các cạnh của tam giác là
A. B. . C. D.
Lời giải
Chọn D
là tam giác đều nên là trọng tâm của tam
Vì tam giác giác . Suy ra .
Câu 18. [VD] Cho đường tròn tâm bán kính hai tiếp tuyến tại và của đường
tròn cắt nhau tại . Biết , độ dài đoạn là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
vì nên
Câu 19. [VD] Cho đường tròn , điểm nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp
với đường tròn ( là các tiếp điểm). Biết . Độ dài
tuyến đoạn thẳng là
B. C. D. A.
Lời giải
Chọn D
-57-
khác ), kẻ
Câu 20. [VD] cho nửa đường tròn tâm tuyến của nửa đường tròn. Qua điểm tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt đường kính . Gọi thuộc nửa đường tròn ( lần lượt tại và . Góc là các tia tiếp và bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có
có cạnh ngoại tiếp đường tròn tâm bán
Câu 21. [VDC] Cho tam giác đều bằng kính của đường tròn tâm
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Tam giác đều có cạnh là nên
theo ĐL pi ta go
-58-
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. [NB] Cho đường tròn và khoảng cách từ tâm của đường tròn đến
đường thẳng là . Khi đó đường tròn và đường thẳng
A. cắt nhau. B. tiếp xúc nhau. C. không xác định được D. không giao nhau.
Lời giải
Chọn D
Theo đề bài ta có: và nên và
Câu 2. [NB] Cho đường tròn và một đường thẳng một
khoảng . Khi đó đường thẳng và đường tròn không giao nhau. tùy ý cách tâm
A. cắt nhau. B. tiếp xúc nhau. C. không xác định được. D. không giao nhau.
Lời giải
Chọn B
Theo đề bài ta có: và nên và tiếp xúc nhau.
Câu 3. [NB] Cho đường tròn và bán kính , biết khoảng cách từ tâm
của đường tròn đến đường thẳng là . Khi đó đường tròn và đường
thẳng
A. cắt nhau. B. tiếp xúc nhau. C. không xác định được. D. không giao nhau.
Lời giải
Chọn A
Theo đề bài ta có: và nên và cắt nhau.
Câu 4. [NB] Trên mặt phẳng tọa độ , cho điểm và đường tròn . Vị
trí tương đối của với hai trục là
tiếp xúc với trục và cắt trục . B. tiếp xúc với trục và cắt trục . A.
cắt hai trục . D. tiếp xúc với trục và không cắt trục . C.
Lời giải
Chọn A
nên khoảng cách từ điểm đến trục là . Do đó tiếp xúc Vì
với trục
nên khoảng cách từ điểm đến trục là . Do đó cắt Vì
trục
Câu 5. [NB] Cho có đường cao . Đường tròn sẽ có vị trí
như thế nào với các cạnh của ?
-59-
A. tiếp xúc với và cắt .
B. tiếp xúc với và không cắt .
C. cắt và tiếp xúc với .
D. cắt và tiếp xúc với .
Lời giải
Chọn C
Câu 6. [NB] Trong các phát biểu dưới đây phát biểu nào đúng
A. Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của khi chúng có điểm chung.
B. Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của khi vuông góc với bán kính và
.
C. Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của khi vuông góc với bán kính và
thuộc đường tròn.
D. Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của khi vuông góc với bán kính và
.
Lời giải
Chọn C
Câu 7. [NB] Cho có . Khi đó:
là tiếp tuyến của B. là tiếp tuyến của . A.
là tiếp tuyến của . D. là tiếp tuyến của . C.
Lời giải
-60-
Chọn A
vuông tại vì
tại là tiếp tuyến của
Câu 8. [NB] Trên mặt phẳng tọa độ , đườngtròn tiếp xúc với
tại tiếp điểm H. Độ dài đoạn thẳng , cho điểm là:
A. đvd. B. đvd. C. đvd. D. đvd.
Lời giải
Chọn A
Vì là tiếp tuyến của tại nên vuông tại H.
Áp dụng định lí Pytago với ta có: (đvd).
Câu 9. tiếp xúc vớiđường thẳng d tại , trên đường thẳng
[NB] Cho đường tròn lấy điểm sao cho: , . Độ dài bán kính của là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
-61-
Áp dụng tính chất của tiếp tuyến suy ra vuông tại .
Áp dụng định lí Pytago với ta có: .
Câu 10. [TH] Cho đường tròn tâm
bán kính bằng với đường tròn sao cho là tiếp điểm). Độ dài và lấy điểm ( đoạn . Kẻ tiếp tuyến là
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn C
Ta có: Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông
. Vẽ đường tròn tiếp xúc với đường đường kính Câu 11. Cho đoạn thẳng thẳng . Tâm nằm trên
A. Đường vuông góc với tại
B. Hai đường thẳng song song với . và cách một khoảng
C. Đường vuông góc với tại
D. Hai đường thẳng song song với . và cách một khoảng
Lời giải
Chọn B
Câu 12. [TH] Cho đường tròn và dây cung . Khoảng cách từ tâm
đến dây
bằng . B. . A. C. . D. .
Lời giải
Chọn D
-62-
Gọi là khoảng cách từ tâm đến dây
tại H. là trung điểm của dây AB (quan hệ giữa đường kính và dây).
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AOH ta có:
Câu 13. [TH] Cho đường tròn và một điểm
nằm trên đường tròn. Qua điểm . Khi đó khoảng cách từ kẻ đoạn thẳng sao cho tại điểm
A. đến tâm . bằng B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ta có:
Câu 14. [TH] Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông cân có cạnh góc
vuông bằng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
-63-
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông cân ta có:
vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh
Vì tam giác . huyền
Câu 15. [TH] Cho tam giác và , . Vẽ đường tròn
. Vị trí tương đối của vuông tại với là
A. tiếp xúc, cắt. B. cắt, tiếp xúc.
C. tiếp xúc, tiếp xúc. D. cắt, cắt.
Lời giải
Chọn A
Vì tiếp xúc với .
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC, ta có :
cắt .
Câu 16. [TH] Cho đường tròn và đường thẳng . Một điểm thuộc đường thẳng
, cách chân đường vuông góc kẻ từ xuống đường thẳng
và cách tâm của đường tròn một khoảng bằng một khoảng . Vị trí tương đối
bằng của đường thẳng đối với đường tròn là :
A. Đường thẳng không cắt đường tròn .
B. Đường thẳng tiếp xúc đường tròn .
C. Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm khác nhau.
D. Đường thẳng cắt đường tròn tại bốn điểm khác nhau.
-64-
Lời giải
Chọn B
Lấy , dựng tại
; .
Xét tam giác vuông , ta có :
.
Đường thẳng tiếp xúc đường tròn .
Câu 17. [TH] Cho thuộc đường tròn , biết khoảng cách từ đến dây bằng
cm và dây cm. Bán kính bằng
A. cm. B. cm. C. cm. D. cm.
Lời giải
Chọn A
Gọi là trung điểm của , khi đó , cm, cm.
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông tại , ta có:
cm.
Câu 18. [VD] Cho đường tròn và dây . Kẻ bán kính vuông góc với .
Độ dài bằng bao nhiêu để là hình thoi?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
-65-
Chọn C
Giả sử vuông góc với tại , khi đó là trung điểm của . Để
là hình thoi thì cũng phải là trung điểm của suy ra .
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông , ta có
.
Câu 19. [VD] Cho đường tròn và đường thẳng . Một điểm thuộc đường thẳng
, cách chân đường vuông góc hạ từ xuống đường thẳng
bằng và cách tâm của đường tròn một khoảng bằng một khoảng . Vị .Độ
trí tương đối của đường thẳng đối với đường tròn là
A. Đường thẳng không cắt đường tròn .
B. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn .
C. Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm khác nhau.
D. Đường thẳng cắt đường tròn tại bốn điểm khác nhau.
Lời giải
-66-
Chọn B
Áp dụng định lý Pytago cho vuông tại
=> => =>
Nên khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng bằng .
Vậy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn .
Câu 20. [VD] Cho đường tròn , đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm
. Gọi đến đường thẳng . Biết
và rằng là chân của đường vuông góc kẻ từ , khi đó độ dài dây là
A. . B. . D. . . C.
Lời giải
Chọn D
* vuông tại có: (định lý Pytago)
* có tại là trung điểm của
Câu 21. [VD] Cho đường tròn , đường thẳng tại . là
điểm nằm trên đường thẳng sao cho tiếp xúc với . Độ dài OM là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
vuông tại có: (định lý Pytago) *
-67-
Câu 22. [VD] Cho tam giác
của đường tròn cắt , . Tiếp tuyến . Biết và có song song với tam giác ; , ngoại tiếp đường tròng theo thứ tự ở là: . Độ dài có chu vi
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Vì nên ta có
Gọi , , theo thứ tự là các tiếp điểm của , , với
Ta có: , , .
Vì cũng là tiếp tuyến của nên
Ta có
Theo ta có:
Vậy .
Câu 23. [VD] Cho đường tròn bán kính , dây là đường trung trực của
. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại cắt đường thẳng tại . Biết .
Khi đó, độ dài đoạn thẳng bằng:
A. . B. . C. . D. .
-68-
Lời giải
Chọn B
Gọi là giao điểm của và .
Vì là trung trực của nên là trung điểm
Ta có: là tiếp tuyến của đường tròn nên tại
Xét vuông tại có đường cao nên
Xét vuông tại , theo định lý Pytago tacó
.
Câu 24. [VDC] Cho đường tròn đường kính . Vẽ dây sao cho
. Kẻ tiếp tuyến tại C của với đường tròn O cắt đường thẳng AB tại
M. Khi đó, độ dài
. . . D. . A. là: B. C.
Lời giải
Chọn B
-69-
Ta có: Tam giác nội tiếp đường tròn đường kính nên vuông tại
có nên hay
nên đều. Do Tam giác cân tại (vì ) có
đó: hay
là tiếp tuyến của vuông tại C
Xét vuông tại ta có:
Câu 25. [VDC] Từ điểm nằm ngoài đường tròn , vẽ hai tiếp tuyến ;
với đường tròn . Đường thẳng vuông góc với tại O cắt tại ,
tại . Điểm cách một
Đường thẳng vuông góc với khoảng bằng bao nhiêu thì tại O cắt là tiếp tuyến của ?
. . . D. . A. B. C.
Lời giải
Chọn C
-70-
Ta có: ; là tiếp tuyến của đường tròn nên ;
Xét vuông tại và vuông tại có:
: là cạnh chung
Nên (ch-cgv)
Suy ra: (hai góc tương ứng)
Nên là phân giác của hay là phân giác của .
Gọi là giao điểm của và
Ta có: (cùng vuông góc với ) hay
Ta có: (cùng vuông góc với ) hay
là hình bình hành, lại có là phân giác của
Suy ra tứ giác (cmt)
Do đó: tứ giác là hình thoi (DHNB hình thoi).
Nên tại và là trung điểm của hay
Vì là tiếp tuyến của nên là tiếp điểm
Vậy .
V. VỀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ:
Chuyên đề có khả năng áp dụng để giảng dạy đại trà trong dạy chuyên đề và ôn thi
vào lớp 10.
Hiện tại chuyên đề mới bắt đầu được đưa vào giảng dạy buổi chiều tại trường và chưa có kết quả thống kê sau khi áp dụng. Ngay sau khi kết thúc chuyên đề tôi sẽ bổ sung. Do thời gian có hạn và mục đích chính của chuyên đề là áp dụng cho học sinh thi vào 10 tại trường THCS Phú Xuân, nên lượng bài tập còn đơn giản và chưa thật sự đa dạng, đầy đủ. Trong quá trình viết chuyên đề không tránh khỏi thiếu sót, rất mong các
-71-
đồng chí trong tổ, trong huyện tham gia góp ý xây dựng để chuyên đề của tôi có khả năng áp dụng rộng rãi, có tính thiết thực hơn. Tôi rất mong muốn nhận được sự góp ý, chia sẻ kinh nghiệm, đóng góp thêm các dạng bài, phương pháp làm bài,… của các trường bạn, các cấp quản lí giáo dục để chuyên đề của tôi được hoàn thiện hơn, giúp tôi áp dụng vào việc giảng dạy của mình được tốt hơn cho năm học này cũng như các năm học sau.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Bình Xuyên, ngày tháng năm 2021 Bình Xuyên, ngày 10 tháng 11 năm 2021
Hiệu trưởng Tác giả chuyên đề
(Ký tên, đóng dấu)
Nguyễn Thị Hòa
-72-
