Ôn tập Toán lớp 11: Chương 1 - Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:107

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Ôn tập Toán lớp 11: Chương 1 - Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác" được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, tóm tắt lý thuyết, phân loại và phương pháp giải bài tập hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 1 (Toán 11). Mời thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập Toán lớp 11: Chương 1 - Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT I – ĐỊNH NGHĨA 1) Hàm số sin Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sin x sin x :    x  y = sin x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sin x . Tập xác định của hàm số sin là . 2) Hàm số côsin Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực cos x cos x :    x  y = cos x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = cos x . Tập xác định của hàm số cô sin là . 3) Hàm số tang sin x Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức y = (cos x ¹ 0), kí hiệu là cos x y = tan x . ìp ü Tập xác định của hàm số y = tan x là D =  \ ïí + k p, k Î ïý. ï ï2 î ï ï þ 4) Hàm số côtang cos x Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức y = (sin x ¹ 0 ), kí hiệu là sin x y = cot x . Tập xác định của hàm số y = cot x là D =  \ {k p, k Î }. II – TÍNH TUẦN HOÀN VÀ CHU KÌ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T ¹ 0 sao cho với mọi x Î D ta có: ● x -T Î D và x +T Î D. ● f ( x +T ) = f ( x ) . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 1 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được rằng hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2p ; hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì T = 2 p ; hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T = p ; hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì T = p. 2) Chú ý 2p ● Hàm số y = sin (ax + b) tuần hoàn với chu kì T 0 = . a 2p ● Hàm số y = cos (ax + b) tuần hoàn với chu kì T 0 = . a p ● Hàm số y = tan (ax + b) tuần hoàn với chu kì T 0 = . a p ● Hàm số y = cot (ax + b) tuần hoàn với chu kì T 0 = . a ● Hàm số y = f1 ( x ) tuần hoàn với chu kì T 1 và hàm số y = f 2 ( x ) tuần hoàn với chu kì T 2 thì hàm số y = f1 ( x )  f 2 ( x ) tuần hoàn với chu kì T 0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T 2 . Lưu ý 2 số thực không xác đinh được bội chung nn, nên là T0  mT1  nT2 với m,n là 2 số tự nhiên nguyên tố cùng nhau ) III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Hàm số y = sin x ● Tập xác định D =  , có nghĩa và xác định với mọi x Î ; ● Tập giá trị T = [-1;1] , có nghĩa -1 £ sin x £ 1; ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 p, có nghĩa sin ( x + k 2p ) = sin x với k Î ; æ p p ö ● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ççç- + k 2p; + k 2p÷÷÷ và nghịch biến trên mỗi khoảng è 2 2 ø æp ö çç + k 2 p; 3p + k 2 p ÷÷ , k Î ; çè 2 2 ÷ø ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. 2) Hàm số y = cos x ● Tập xác định D =  , có nghĩa và xác định với mọi x Î . Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 2 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
● Tập giá trị T = [-1;1] , có nghĩa -1 £ cos x £ 1; ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 p, có nghĩa cos ( x + k 2p ) = cos x với k Î ; ● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-p + k 2p; k 2p ) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k 2p; p + k 2p ) , k Î ; ● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. 3) Hàm số y = tan x ìp ü ● Tập xác định D =  \ ïí + k p, k Î ïý ; ï2 ï î ï ï þ ● Tập giá trị T = ; ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì p, có nghĩa tan ( x + k p ) = tan x với k Î ; æ p p ö ● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ççç- + k p; + k p÷÷÷, k Î ; è 2 2 ø ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. y x 3p -p p O p p 3p - - 2 2 2 2 4) Hàm số y = cot x ● Tập xác định D =  \ {k p, k Î }; ● Tập giá trị T = ; ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì p, có nghĩa tan ( x + k p ) = tan x với k Î ; ● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (k p; p + k p ), k Î ; ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 3 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
y -2p 3p -p - p O p p 3p 2p x - 2 2 2 2 B. PHÂN LOAIJVAF PHƯƠNG PHÁP GIẢI BAIF TÂP Dạng 1: Tìm tập xác đinh của hàm số 1. Phương pháp Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau  y  u  x  có nghĩa khi và chỉ khi u  x  xác định và u(x)  0 . u(x)  y có nghĩa khi và chỉ u  x  , v  x  xác định và v(x)  0 . v(x) u(x)  y có nghĩa khi và chỉ u  x  , v  x  xác định và v(x)  0 . v(x)  Hàm số y  s inx, y  cosx xác định trên  và tập giá trị của nó là: 1  sin x  1 ;  1  cos x  1 . Như vậy, y  s in  u  x   , y  cos  u  x   xác định khi và chỉ khi u  x  xác định.   y  tan u  x  có nghĩa khi và chỉ khi u  x  xác định và u  x    k,k   2  y  cot u  x  có nghĩa khi và chỉ khi u  x  xác định và x  k,k   . 2. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:  5x  a) y  sin  ; b) y  cos 4  x2 ; c) y  sin x; d) y  2  sin x .  x2  1  Giải  5x  2 a) Hàm số y  sin  2  xác định  x  1  0  x  1.  x 1 Vậy D   \ 1. b) Hàm số y  cos x 2  4 xác định  4  x 2  0  x2  4  2  x  2. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 4 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Vậy D  x   | 2  x  2. c) Hàm số y  sin x xác định  sinx  0  k2  x    k2,k   . Vậy D  x   | k2  x    k2,k   . d) Ta có: 1  s inx  1  2  s inx  0 . Do đó, hàm só luôn luôn xác định hay D   . Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:     sin x 1 a) y  tan  x   ; b) y  cot  x   ; c) y  ; d) y  .  6  3 cos(x  ) tan x  1 Giải     2 a) Hàm số y  tan  x   xác định  x    k  x   k, k   .  6 6 2 3  2  Vậy D   \   k,k    . 3      b) Hàm số y  cot  x   xác định  x   k  x    k,k   .  3 3 3    Vậy D   \   k,k    .  3  sin x  3 c) Hàm số y  xác định  cos  x     0  x     k  x   k,k   . cos(x  ) 2 2  3  Vậy D   \   k,k    . 2  1  d) Hàm số y  xác định tan x  1  x   k, k   . tan x  1 4   Vậy D   \   k,k    . 4  Ví dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1 3cos2x a) y  cos2x  ; b) y  . cos x sin3x cos3x Giải 1  a) Hàm số y  cos2x  xác định  cosx  0  x   k, k   . cosx 2   Vậy D   \   k,k    . 2  Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 5 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
3cos2x b) Hàm số y  xác định  sin 3x cos3x 1 k sin 3x cos3x  0  sin 6x  0  6x  k  x  ,k  . 2 6  k  Vậy D   \  ,k    .  6  Ví dụ 4. Tìm m để hàm số sau đây xác định trên  : y  2m  3cos x. Giải 2m Hàm số đã cho xác định trên R khi và chỉ khi 2m  3cos x  0  cosx  3 2m 3 Bất đẳng thức trên đúng với mọi x khi 1  m . 3 2 3. Bài tập trắc nghiệm 2021 Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = . sin x A. D = . B. D =  \ {0}. ìp ü C. D =  \ {k p, k Î }. D. D =  \ ïí + k p, k Î ïý. ï ï2 î ï ï þ Lời giải Chọn C Hàm số xác định khi và chỉ khi sin x ¹ 0  x ¹ k p, k Î . Vật tập xác định D =  \ {k p, k Î }. 1 + sin x Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = . cos x -1 ìp ü A. D = . B. D =  \ ïí + k p, k Î ïý. ï ï2 î ï ï þ C. D =  \ {k p, k Î }. D. D =  \ {k 2p, k Î }. Lời giải Chọn D Hàm số xác định khi và chỉ khi cos x -1 ¹ 0  cos x ¹ 1  x ¹ k 2p, k Î . Vậy tập xác định D =  \ {k 2p, k Î }. cos x Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y = . æ pö sin çç x - ÷÷÷ çè 2ø Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 6 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
ì p ü A. D =  \ ïík , k Î ïý. B. D =  \ {k p, k Î }. ïîï 2 ïþï ì p ü C. D =  \ ïí(1 + 2 k ) , k Î ïý. D. D =  \ {(1 + 2 k ) p, k Î }. ïîï 2 ïþï Lời giải Chọn C æ pö p p Hàm số xác định  sin ççç x - ÷÷÷ ¹ 0  x - ¹ k p  x ¹ + k p, k Î . è 2ø 2 2 ìp ü Vậy tập xác định D =  \ ïí + k p, k Î ïý. ïîï 2 ïþï 2021 Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y = . sin x - cos x ì p ü A. D = . B. D =  \ ïí- + k p, k Î ïý. ïîï 4 ïþï ìp ü ìp ü C. D =  \ ïí + k 2p, k Î ïý. D. D =  \ ïí + k p, k Î ïý. îïï 4 ïþï îïï 4 ïþï Lời giải Chọn D p Hàm số xác định  sin x - cos x ¹ 0  tan x ¹ 1  x ¹ + k p, k Î . 4 ìp ü Vậy tập xác định D =  \ ïí + k p, k Î ïý. îïï 4 ïþï æ pö Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y = cot ççç2 x - ÷÷÷ + sin 2 x . è 4ø ìp ü A. D =  \ ïí + k p, k Î ïý. B. D = Æ. ïîï 4 ïþï ìp p ü C. D =  \ ïí + k , k Î ïý. D. D = . ïîï 8 2 ïþï Lời giải Chọn C æ pö p p kp Hàm số xác định sin ççç2 x - ÷÷÷ ¹ 0  2 x - ¹ k p  x ¹ + , k Î . è 4ø 4 8 2 ìp p ü Vậy tập xác định D =  \ ïí + k , k Î ïý. îïï 8 2 ïþï æx pö Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = 3 tan 2 ççç - ÷÷÷. è2 4ø ì 3p ü ìp ü A. D =  \ ïí + k 2 p, k Î ïý. B. D =  \ ïí + k 2p, k Î ïý. ïîï 2 ïþï ïîï 2 ïþï Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 7 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
ì 3p ïü ìp ü C. D =  \ ïí + k p, k Î ý. D. D =  \ ïí + k p, k Î ïý. ïîï 2 ïþï ïîï 2 ïþï Lời giải Chọn A æx pö x p p 3p Hàm số xác định  cos 2 ççç - ÷÷÷ ¹ 0  - ¹ + k p  x ¹ + k 2p, k Î . è2 4ø 2 4 2 2 ì 3p ü Vậy tập xác định D =  \ ïí + k 2 p, k Î ïý. ïîï 2 ïþï 3 tan x - 5 Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y = . 1 - sin 2 x ìp ü ìp ü A. D =  \ ïí + k 2p, k Î ïý. B. D =  \ ïí + k p, k Î ïý. ïîï 2 ïþï ïîï 2 ïþï C. D =  \ {p + k p, k Î }. D. D = . Lời giải Chọn B Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 - sin 2 x ¹ 0 và tan x xác định ìïsin 2 x ¹ 1 p  ïí  cos x ¹ 0  x ¹ + k p, k Î . ïïîcos x ¹ 0 2 ìp ü Vậy tập xác định D =  \ ïí + k p, k Î ïý. ïîï 2 ïþï Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin x + 2. A. D = . B. D = [-2; +¥). C. D = [0;2 p ]. D. D = Æ. Lời giải Chọn A Ta có -1 £ sin x £ 1 ¾¾  1 £ sin x + 2 £ 3, "x Î . Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của sin x + 2 với mọi x Î . Vậy tập xác định D = . Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin x - 2. A. D = . B.  \ {k p, k Î }. C. D = [-1;1]. D. D = Æ. Lời giải Chọn D Ta có -1 £ sin x £ 1 ¾¾ -3 £ sin x - 2 £ -1, "x Î . Do đó không tồn tại căn bậc hai của sin x - 2. Vậy tập xác định D = Æ. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 8 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
1 Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số y = . 1 - sin x ìp ü A. D =  \ {k p, k Î }. B. D =  \ ïí + k p, k Î ïý. ïîï 2 ïþï ìp ü C. D =  \ ïí + k 2p, k Î ïý. D. D = Æ. ïîï 2 ïþï Lời giải Chọn C Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 - sin x > 0  sin x < 1. (*) p Mà -1 £ sin x £ 1 nên (*)  sin x ¹ 1  x ¹ + k 2p, k Î . 2 ìp ü Vậy tập xác định D =  \ ïí + k 2p, k Î ïý. ïîï 2 ïþï Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số y = 1 - sin 2 x - 1 + sin 2 x . A. D = Æ. B. D = . ép 5p ù é 5p 13p ù C. D = ê + k 2p; + k 2p ú , k Î . D. D = ê + k 2 p; + k 2 p ú , k Î . êë 6 6 úû êë 6 6 úû Lời giải Chọn B ì1 + sin 2 x ³ 0 ï Ta có -1 £ sin 2 x £ 1  ïí , "x Î . ï î1 - sin 2 x ³ 0 ï Vậy tập xác định D = . æp ö Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan ççç cos x ÷÷÷. è2 ø ìp ü ìp ü A. D =  \ ïí + k p, k Î ïý . B. D =  \ ïí + k 2p, k Î ïý . ïîï 2 ïþï ïîï 2 ïþï C. D =  . D. D =  \ {k p, k Î } . Lời giải Chọn D p p Hàm số xác định khi và chỉ khi . cos x ¹ + k p  cos x ¹ 1 + 2 k . (*) 2 2 Do k Î  nên (*)  cos x ¹ 1  sin x ¹ 0  x ¹ k p, k Î . Vậy tập xác định D =  \ {k p, k Î }. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 9 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số 1. Phương pháp: Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ của hàm số y  f(x)  Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số; kiểm chứng D là tập đối xứng qua số 0 tức là x,x  D  x  D (1)  Bước 2: Tính f(x) và so sánh f(x) với f(x) - Nếu f(x)  f(x) thì f(x) là hàm số chẵn trên D (2) - Nếu f(x)  f(x) thì f(x) là hàm số lẻ trên D (3) Chú ý: - Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f(x) là hàm không chẵn và không lẻ trên D; - Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng, thì f(x) là hàm không chẵn và cũng không lẻ trên D . Lúc đó, để kết luận f(x) là hàm không chẵn và không lẻ ta chỉ cần chỉ ra điểm x0  D sao cho f( x 0 )  f(x 0 )  f( x 0 )   f(x 0 ) 2. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) y = sin2x; b) y = tan x ; c) y  sin 4 x . Giải a) TXĐ: D   . Suy ra x  D  x  D . Ta có: f  x   sin  2x    sin 2x  f  x  . Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.    b) TXĐ: D   \   k,k    . Suy ra x  D  x  D .  2  Ta có: f  x   tan x  tan x  f  x  . Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn. c) TXĐ: D   . Suy ra x  D  x  D . Ta có: f  x   sin 4  x   sin 4 x  f  x  . Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn. Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) y = tanx + cotx; b) y = sinx.cosx. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 10 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Giải  k  a) TXĐ: D   \  ,k    . Suy ra x  D   x  D 2  Ta có: f  x   tan  x   cot  x    tan x - cot x    tan x  cot x   f  x  Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ. b) TXĐ: D   . Suy ra x  D  x  D Ta có: f  x   sin  x  .cos  x    sin x cosx  f  x  Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ. Ví dụ 3. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) y = 2sinx + 3; b) y  sinx  cosx . Giải a) TXĐ: D   . Suy ra x  D   x  D Ta có:        f     2sin    3  1 ; f    2sin    3  5  2  2  2 2     f     f    2 2 Nhận thấy      f      f      2    2  Do đó hàm số không chẵn không lẻ. b) TXĐ: D   . Suy ra x  D   x  D   Ta có: y  sinx  cosx  2 sin  x   4           f     2 sin      0; f    2 sin     2  4  4 4 4 4 4     f     f    4 4 Nhận thấy      f      f      4    4  Do đó hàm số không chẵn không lẻ. Ví dụ 4. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: sinx tan x cos3 x  1 a) y  ; b) y  . sin x  cot x sin3 x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 11 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Giải a) Hàm số xác định khi cosx  0  cosx  0   cosx  0 k sinx  0  sinx  0  x ,k   . s inx  cot x  0  2 sinx  0 2  s in x  cosx  0  k  TXĐ: D   \  ,k    Suy ra x  D   x  D 2  sin   x   tan   x   sin x  tan x sin x - tan x Ta có: f   x      f x sin   x   cot  x   sin x  cot x sin x  cot x Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn. b) TXĐ: D   \ k,k    Suy ra x  D  x  D cos3  x   1 cos3 x  1 cos3 x  1 Ta có: f   x      f  x  sin3  x   sin3 x sin3 x Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ. Ví dụ 5. Xác định tham số m để hàm số sau: y  f  x   3msin 4x  cos2x là hàm số chẵn. Giải TXĐ: D   . Suy ra x  D   x  D Ta có: f  x   3msin  4x   cos  2x   3msin 4x  cos2x Để hàm số đã cho là hàm số chẵn thì: f  x   f  x  , x  D  3m sin 4x  cos2x  -3m sin 4x  cos2x, x  D  6m sin 4x  0  m  0 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y = sin x. B. y = cos x . C. y = tan x. D. y = cot x . Lời giải Chọn B Nhắc lại kiến thức cơ bản:  Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.  Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.  Hàm số y = tan x là hàm số lẻ. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 12 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
 Hàm số y = cot x là hàm số lẻ. Vậy B là đáp án đúng. Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y = - sin x . B. y = cos x - sin x . C. y = cos x + sin 2 x. D. y = cos x sin x. Lời giải Chọn C Tất các các hàm số đều có TXĐ: D =  . Do đó "x Î D  -x Î D. Bây giờ ta kiểm tra f (-x ) = f ( x ) hoặc f (-x ) = - f ( x ).  Với y = f ( x ) = - sin x . Ta có f (-x ) = - sin (-x ) = sin x = -(- sin x )  f (-x ) = - f ( x ) . Suy ra hàm số y = - sin x là hàm số lẻ. ¾¾  Với y = f ( x ) = cos x - sin x . Ta có f (-x ) = cos (-x ) - sin (-x ) = cos x + sin x  f (-x ) ¹ {- f ( x ), f ( x )} . Suy ra hàm số y = cos x - sin x không chẵn không lẻ. ¾¾  Với y = f ( x ) = cos x + sin 2 x . Ta có f (- x ) = cos (- x ) + sin 2 (- x ) 2 = cos (- x ) + éë sin (- x )ùû = cos x + [- sin x ] = cos x + sin 2 x 2  f (-x ) = f ( x ) . Suy ra hàm số y = cos x + sin 2 x là hàm số chẵn. ¾¾  Với y = f ( x ) = cos x sin x . Ta có f (- x ) = cos (- x ). sin (- x ) = - cos x sin x  f (-x ) = - f ( x ) . Suy ra hàm số y = cos x sin x là hàm số lẻ. ¾¾ Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? tan x A. y = sin 2 x . B. y = x cos x . C. y = cos x . cot x . D. y = . sin x Lời giải Chọn D  Xét hàm số y = f ( x ) = sin 2 x . TXĐ: D =  . Do đó "x Î D  -x Î D. Ta có f (-x ) = sin (-2 x ) = - sin 2 x = - f ( x ) ¾¾  f ( x ) là hàm số lẻ.  Xét hàm số y = f ( x ) = x cos x . TXĐ: D =  . Do đó "x Î D  -x Î D. Ta có f (-x ) = (- x ). cos (- x ) = - x cos x = - f ( x ) ¾¾  f ( x ) là hàm số lẻ.  Xét hàm số y = f ( x ) = cos x cot x . TXĐ: D =  \ {k p (k Î )}. Do đó "x Î D  -x Î D. Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 13 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ta có f (-x ) = cos (- x ). cot (- x ) = - cos x cot x = - f ( x ) ¾¾  f ( x ) là hàm số lẻ. tan x  Xét hàm số y = f ( x ) = . sin x ì p ü TXĐ: D =  \ ïík (k Î )ïý. Do đó "x Î D  -x Î D. ï ï î 2 ïþï tan (- x ) - tan x tan x Ta có f (-x ) = = =  f (x ) = f ( x ) ¾¾ là hàm số chẵn. sin (- x ) - sin x sin x Câu 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? x A. y = sin x . B. y = x 2 sin x . C. y = . D. y = x + sin x . cos x Lời giải Chọn A Ta kiểm tra được A là hàm số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ. Câu 5: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung? æ pö tan x A. y = sin x cos 2 x . B. y = sin 3 x . cos ççç x - ÷÷÷. C. y = . D. y = cos x sin 3 x . è 2ø tan 2 x + 1 Lời giải Chọn B Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O. æ pö Xét đáp án B, ta có y = f ( x ) = sin 3 x . cos ççç x - ÷÷÷ = sin 3 x . sin x = sin 4 x . Kiểm tra được đây là è 2ø hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung. Câu 6: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. y = cos x + sin 2 x. B. y = sin x + cos x . C. y = - cos x . D. y = sin x . cos 3 x . Lời giải Chọn D Ta kiểm tra được đáp án A và C là các hàm số chẵn. Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án D là hàm số lẻ. Câu 7: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? sin x + 1 A. y = cot 4 x . B. y = . C. y = tan 2 x . D. y = cot x . cos x Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 14 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ta kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án C và D là các hàm số chẵn. Câu 8: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? æp ö cot x tan x A. y = sin ççç - x ÷÷÷. B. y = sin 2 x . C. y = . D. y = . è2 ø cos x sin x Lời giải Chọn C æp ö Viết lại đáp án A là y = sin ççç - x ÷÷÷ = cos x . è2 ø Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ. Câu 9: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. y = 1 - sin 2 x . B. y = cot x . sin 2 x . C. y = x 2 tan 2 x - cot x . D. y = 1 + cot x + tan x . Lời giải Chọn C Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ. Câu 10: Cho hàm số f ( x ) = sin 2 x và g ( x ) = tan 2 x. Chọn mệnh đề đúng A. f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số lẻ. B. f ( x ) là hàm số lẻ, g ( x ) là hàm số chẵn. C. f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số chẵn. D. f ( x ) và g ( x ) đều là hàm số lẻ. Lời giải Chọn B  Xét hàm số f ( x ) = sin 2 x . TXĐ: D =  . Do đó "x Î D  -x Î D. Ta có f (-x ) = sin (-2 x ) = - sin 2 x = - f ( x ) ¾¾  f ( x ) là hàm số lẻ.  Xét hàm số g ( x ) = tan 2 x . ìp ü TXĐ: D =  \ ïí + k p (k Î )ïý. Do đó "x Î D  -x Î D. ï ï2 î ï ï þ 2 Ta có g (-x ) = éë tan (-x )ùû = (- tan x )2 = tan 2 x = g ( x ) ¾¾  f ( x ) là hàm số chẵn. cos 2 x sin 2 x - cos 3 x Câu 11: Cho hai hàm số f ( x ) = và g ( x ) = . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 + sin 2 3 x 2 + tan 2 x Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 15 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
A. f ( x ) lẻ và g ( x ) chẵn. B. f ( x ) và g ( x ) chẵn. C. f ( x ) chẵn, g ( x ) lẻ. D. f ( x ) và g ( x ) lẻ. Lời giải Chọn B cos 2 x  Xét hàm số f ( x ) = . 1 + sin 2 3 x TXĐ: D =  . Do đó "x Î D  -x Î D. cos (-2 x ) cos 2 x Ta có f (-x ) = = = f ( x ) ¾¾  f (x ) là hàm số chẵn. 1 + sin 2 (-3 x ) 1 + sin 2 3 x sin 2 x - cos 3 x  Xét hàm số g ( x ) = . 2 + tan 2 x ìp ü TXĐ: D =  \ ïí + k p (k Î )ïý . Do đó "x Î D  -x Î D. ï ï2 î ï ï þ sin (-2 x ) - cos (-3 x ) sin 2 x - cos 3 x Ta có g (-x ) = = = g ( x ) ¾¾  g ( x ) là hàm số chẵn. 2 + tan 2 (-x ) 2 + tan 2 x Vậy f ( x ) và g ( x ) chẵn. Câu 12: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? 1 æ pö æ pö A. y = . B. y = sin ççç x + ÷÷÷. C. y = 2 cos ççç x - ÷÷÷. D. y = sin 2 x . sin 3 x è 4ø è 4ø Lời giải Chọn A æ pö 1 Viết lại đáp án B là y = sin ççç x + ÷÷÷ = (sin x + cos x ). è 4ø 2 æ pö Viết lại đáp án C là y = 2 cos ççç x - ÷÷÷ = sin x + cos x . è 4ø Kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ. Xét đáp án D. é p ù  Hàm số xác định  sin 2 x ³ 0  2 x Î [ k 2p; p + k 2p ]  x Î ê k p; + k p ú êë 2 úû é p ù  D = ê k p; + k p ú (k Î ). ¾¾ êë 2 úû p p  Chọn x = Î D nhưng -x = - Ï D. Vậy y = sin 2 x không chẵn, không lẻ. 4 4 Câu 13: Mệnh đề nào sau đây là sai? Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 16 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
A. Đồ thị hàm số y = sin x đối xứng qua gốc tọa độ O. B. Đồ thị hàm số y = cos x đối xứng qua trục Oy. C. Đồ thị hàm số y = tan x đối xứng qua trục Oy. D. Đồ thị hàm số y = tan x đối xứng qua gốc tọa độ O. Lời giải Chọn A Ta kiểm tra được hàm số y = sin x là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục Oy . Do đó đáp án A sai. Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác 1. Phương pháp: Cho hàm số y  f(x) xác định trên tập D  f(x)  M, x  D  M  max f(x)   D x 0  D : f(x 0 )  M  f(x)  m, x  D  m  min f(x)   D x 0  D : f(x 0 )  m Lưu ý:  1  s inx  1;  1  cos x  1.  0  sin2 x  1; 0  cos2 x  1.  0  sin x  1; 0  cosx  1.  Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình cơ bản   0 o Phương trình bậc hai: ax2  bx  c  0 có nghiệm x  khi và chỉ khi  a  0 o Phương trình asin x  bcosx  c có nghiệm x   khi và chỉ khi a2  b2  c2 a1 s inx  b1 cos x  c1 o Nếu hàm số có dạng: y  a2 s inx  b2 cosx  c2 Ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy đồng mẫu số, đưa về phương trình asin x  bcosx  c . 2. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:   a) y  2sin  x    1 ; b) y  2 cosx  1  3 .  4 Giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 17 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
a) Ta có:       1  sin  x    1  2  2sin  x    2  1  2sin  x    1  3  4  4  4 Hay 1  y  3 . Suy ra:    Maxy  3 khi sin  x    1  x   k2,k   .  4  4   3 Miny  1 khi sin  x    1  x    k2,k   .  4 4 b) Ta có: 1  cos x  1  0  cos x  1  2  0  cos x  1  2  0  2 cos x  1  2 2  3  2 cos x  1  3  2 2  3 Hay 3  y  2 2  3 Suy ra Maxy  2 2  3 khi cosx  1  x  k2,k   .  Miny  3 khi cos x  0  x   k,k   . 2 Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y  sinx  cosx ; b) y  3 sin 2x  cos2x . Giải   a) Ta có: y  sinx  cosx  2 sin  x     2  y  2 .  4  Suy ra:    Maxy  2 khi sin  x    1  x   k2,k   .  4  4   3 Miny   2 khi sin  x    1  x    k2,k   .  4  4  3 1    b) Ta có: y  3 sin 2x  cos2x  2  sin 2x  cos2x   2sin  2x    2 2   6   Suy ra: 2  y  2 . Do đó:      Maxy  2 khi sin  2x    1  2x    k2  x   k2,k   .  6  6 2 3      Miny  2 khi sin  2x    1  2x     k2  x    k2,k   .  6  6 2 6 Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 18 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
a) y  cos2 x  2sin x  2 ; b) y  sin 4 x  2cos2 x  1 . Giải a) Ta có:   2 y  cos2 x  2sin x  2  1  sin2 x  2sin x  2 2   sin 2 x  2sin x  3    sin x  1  4 2 Vì 1  s inx  1  2  sin x  1  0  4   sin x  1  0 2 2  4    sin x  1  0  0    sin x  1  4  4 Hay 0  y  4 Do đó:  Maxy  4 khi sin x  1  x   k2,k   . 2  Miny  0 khi sin x  1  x    k2,k   . 2 Lưu ý: Nếu đặt t  sin x,t   1;1 . Ta có (P): y  f  t   t 2  2t  3 xác định với mọi t  1;1 , (P) có hoành độ đỉnh t  1 và trên đoạn  1;1 hàm số đồng biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t  1 hay sin x  1 và đạt giá trị lớn nhất khi t  1 hay sin x  1 . b) Ta có    2cos x  1 2 y  sin 4 x  2cos2 x  1  1  cos2 x 2 x  4 cos x  2   cos x  2  2 2  cos4 2 2   2 Vì 0  cos2 x  1  2  cos2 x  2  1  4  cos2 x  2  1   2  2  cos2 x  2  2  1  2  y  1 Do đó: Maxy  2 khi Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 19 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
 cos2 x  0  cos x  0  x   k,k   . 2 Miny  1 khi cos2 x  1  sin x  0  x  k,k   . Lưu ý: Nếu đặt t  cos2 x,t   0;1 . Ta có (P): y  f  t   t 2  4t  2 xác định với mọi t   0;1 , (P) có hoành độ đỉnh t  2   0;1 và trên đoạn  0;1 hàm số nghịch biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t  1 và đạt giá trị lớn nhất khi t  0. 2sin x  cos x  1 Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  sin x  cos x  2 Giải Ta có: sin x  cos x  2  2 sin  x    2 π  4   π Vì  2  2 sin  x    2, x   nên 4    π  π 2 sin  x    2  2  2  0, x    sin x  cos x  2  2 sin  x    2  0, x    4  4 Do đó: D   2sin x  cos x  1 Biến đổi y  sin x  cos x  2  ysin x  y cos x  2y  2sin x  cos x  1   y  2  sin x   y  1 cos x  2y  1  * Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm x  là a 2  b2  c2 3  17 3  17   y  2    y  1   2y  1  2y 2  6y  4  0  2 2 2 y 2 2 3  17 3  17 Kết luận: max y  ;min y   2  2 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 3 sin x - 2. A. M = 1, m = -5. B. M = 3, m = 1. C. M = 2, m = -2. D. M = 0, m = -2. Lời giải Chọn A Ta có -1 £ sin x £ 1 ¾¾ -3 £ 3 sin x £ 3 ¾¾ -5 £ 3 sin x - 2 £ 1 Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 20 liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133