Ôn tập Toán lớp 11: Phần đại số

ÔN TẬP TOÁN 11 HKI<br /> Chú ý:<br /> <br /> PHẦN ĐẠI SỐ<br /> <br /> π<br /> + k2π<br /> 2<br /> (k  Z)<br /> π<br /> sin x =  1  x =  + k2π<br /> 2<br /> sin x = 0  x = kπ<br /> <br /> CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC.<br /> <br /> sin x = 1  x =<br /> <br /> 1. Công thức cơ bản<br /> <br /> 2. Cung liên quan đặc biệt<br /> Cung<br /> <br /> sin 2 α + cos 2 α = 1<br /> 1<br /> π<br /> 1 + tan 2 α =<br /> (α   kπ, k  Z)<br /> cos 2 α<br /> 2<br /> 1<br /> 1 + cot 2 α =<br /> (α  kπ, k  Z)<br /> sin 2 α<br /> π<br /> tan α.cot α  1 (α  k , k  Z)<br /> 2<br /> <br /> Đối:<br /> <br /> x & (-x)<br /> <br /> cosx=cos(-x)<br /> <br /> Bù:<br /> <br /> x & (π-x)<br /> <br /> sinx=sin(π-x)<br /> <br /> Khác π: x & (π+x)<br /> Phụ:<br /> <br /> 4. CT nhân đôi, ba<br /> <br /> cos(α  β) = cosαcosβ  sinαsinβ<br /> cos(α  β) = cosαcosβ  sinαsinβ<br /> <br /> sin2α = 2sinαcosα<br /> <br /> tanx=tan(π+x) cot x = cot (π+x)<br /> <br /> 5. CT hạ bậc<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1  cos2α<br /> 2<br /> 1  cos2α<br /> 2<br /> sin α =<br /> 2<br /> 1  cos2α<br /> 2<br /> tan α =<br /> 1  cos2α<br /> 3sinα  sin3α<br /> 3<br /> sin α =<br /> 4<br /> 3cosα  cos3α<br /> 3<br /> cos α =<br /> 4<br /> cos 2 α =<br /> <br /> 2<br /> <br /> = 2cos α  1  1  2sin α<br /> 2tanα<br /> 1  tan 2 α<br /> sin3α = 3sinα  4sin 3α<br /> tan2α =<br /> <br /> cos3α = 4cos3α  3cosα<br /> 3<br /> <br /> 3tanα  tan α<br /> 1  3tan 2 α<br /> <br /> 6. CT biến tổng thành tích<br /> <br /> 7. CT biến tích thành tổng<br /> <br /> 8. CT khác<br /> <br /> αβ<br /> α β<br /> cos<br /> 2<br /> 2<br /> αβ<br /> α β<br /> cos α  cosβ  2sin<br /> sin<br /> 2<br /> 2<br /> α β<br /> α β<br /> sin α  sin β  2sin<br /> cos<br /> 2<br /> 2<br /> αβ<br /> α β<br /> sin α  sin β  2 cos<br /> sin<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> cos α cosβ  [cos(α  β)  cos(α  β)]<br /> 2<br /> 1<br /> sin α sin β   [cos(α  β)  cos(α  β)]<br /> 2<br /> 1<br /> sin α cosβ  [sin(α  β)  sin(α  β)]<br /> 2<br /> 1<br /> cos αsinβ  [sin(α  β)  sin(α  β)]<br /> 2<br /> <br /> π<br /> sin α  cos α  2 sin(α  )<br /> 4<br /> π<br />  2 cos(α  )<br /> 4<br /> π<br /> sin α  cos α  2 sin(α  )<br /> 4<br /> π<br />   2 cos(α  )<br /> 4<br /> <br /> cos α  cosβ  2 cos<br /> <br /> b. Phương trình cos x = m<br />  m  [-1;1] : ptvn<br />  m  [-1;1] : m = cos α<br />  x = α + k2π<br /> Vậy ta có phương trình: cos x = cos α  <br /> <br />  x =  α + k2π<br /> <br /> HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.<br /> 1. Phương trình lượng giác cơ bản<br /> a. Phương trình sin x = m<br />  m  [-1;1] : ptvn<br />  m  [-1;1] : m = sinα<br />  x = α + k2π<br /> (k  Z)<br /> Vậy ta có phương trình: sin x = sin α  <br />  x = π  α + k2π<br /> TRỊNH ĐĂNG DƯƠNG – LỚP 11A1 – TRƯỜNG THPT TRẦN QUỐC TUẤN<br /> <br /> (k  Z)<br /> <br /> Chú ý:<br /> cos x = 1  x = k2π<br /> (k  Z)<br /> cos x =  1  x = π + k2π<br /> cos x = 0  x =<br /> <br /> cos2α = cos 2 α  sin 2 α<br /> <br /> tan3α =<br /> <br /> Còn các hàm số<br /> vòng khác thì<br /> đối nhau<br /> <br /> π<br /> π<br /> x & ( -x) sinx=cos( π -x) tanx=cot( -x)<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 3. Công thức cộng<br /> <br /> sin(α  β) = sinαcosβ  cosαsinβ<br /> sin(α  β) = sinαcosβ  cosαsinβ<br /> tanα  tanβ<br /> tan(α  β) =<br /> 1  tanαtanβ<br /> tanα  tanβ<br /> tan(α  β) =<br /> 1  tanαtanβ<br /> <br /> Tính chất<br /> <br /> π<br /> + k2π<br /> 2<br /> <br /> c. Phương trình tan x = m<br /> Điều kiện: x  π  kπ<br /> 2<br /> Ta có phương trình: tan x = m = tan α  x = α + kπ (k  Z)<br /> d. Phương trình cot x = m<br /> Điều kiện: x  kπ<br /> Ta có phương trình: cot x = m = cot α  x = α + kπ (k  Z)<br /> 2. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản<br /> a. Dạng a.sin2x + b.sinx + c = 0<br /> Đặt sinx = t (-1  t  1), phương trình trở thành: a.t2 + b.t + c = 0<br /> Giải phương trình, tìm t  [-1;1]<br /> Giải lại phương trình: sin x = t<br /> b. Dạng a.sinx + b.cos x = c<br /> Điều kiện: c2  a2 + b2<br /> a 2 + b 2 , phương trình trở thành:<br /> b<br /> c<br /> sin x +<br /> cos x =<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> a +b<br /> a +b<br /> a +b 2<br />  cosα.sinx + sinα.cosx = m<br />  sin(x+α) = m<br /> c. Dạng a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d<br /> Trường hợp 1. Xét cos x = 0 có phải là nghiệm của phương trình hay không.<br /> Trường hợp 2. Xét cos x  0, chia hai vế cho cos2x, ta được phương trình:<br /> a.tan2x + b.tanx + c = d(1 + tan2x)<br /> Giải phương trình tìm tanx, sau đó tìm x.<br /> <br /> Chia 2 vế cho<br /> a<br /> <br /> ÔN TẬP TOÁN 11 HKI<br /> <br /> PHẦN HÌNH HỌC<br /> <br /> TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT<br /> 1. Hai quy tắc đếm cơ bản<br /> a. Quy tắc cộng<br /> Để thực hiện một công việc X có thể thực hiện phương án A hoặc phương án B<br /> + Phương án A có m cách thực hiện<br /> + Phương án B có n cách thực hiện<br /> Vậy có (m+n) cách thực hiện công việc X.<br /> b. Quy tắc nhân<br /> Để thực hiện một công việc Y cần trải qua hai công đoạn A và B<br /> + Có m cách thực hiện công đoạn A<br /> + Có n cách tiếp tục thực hiện công đoạn B<br /> Vậy có (m×n) cách thực hiện công việc Y<br /> 2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp<br /> a. Hoán vị: là một cách sắp xếp n phần tử của tập A theo một thứ tự<br /> CT: Pn = n! = 1.2.3. … . n<br /> b. Chỉnh hợp: là một cách xếp k trong n phần tử của tập A, mỗi hoán vị của chỉnh hợp<br /> cho một kết quả khác nhau.<br /> CT: Akn = n.(n-1).(n-2). … .(n-k+1) = n!<br /> (n-k)!<br /> c. Tổ hợp: là một tập con gồm k trong n phần tử của tập A, mỗi hoán vị của tổ hợp đều<br /> cho một kết quả giống nhau.<br /> CT: Ckn =<br /> Tính chất:<br /> <br /> A kn<br /> n!<br /> =<br /> k! k!(n-k)!<br /> Ckn = Cn-kn (Chú ý: Con = 1 = Cnn; C1n = n = Cn-1n)<br /> Ckn + Ck-1n = Ckn+1<br /> <br /> 3. Nhị thức Niu-tơn<br /> CT:<br /> n<br /> <br /> 1 n-1<br /> n n<br /> (a+b) =C0n .a n +C1n .a n-1.b1 +C2n .a n-2 .b2 +...+Ckn .a n-k .bk +...+Cn-1<br /> n .a .b +C n .b<br /> <br /> <br /> x' = x + a<br /> Cho u (a;b), M(x,y). Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua Tu . Ta có: <br /> <br />  y' = y + b<br /> 2. Phép đối xứng trục<br /> x' = x<br /> a) Trục Ox: Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua ĐOx. Ta có: <br /> <br />  y' = - y<br /> x' = - x<br /> b) Trục Oy: Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua ĐOy. Ta có: <br /> <br />  y' = y<br /> 3. Phép quay<br /> OM = OM'<br /> Cho điểm O và góc lượng giác φ không đổi. Ta có: Q(O;φ) (M) = M’  <br /> <br /> (OM;OM') = φ<br /> x' = x.cosα  y.sinα<br /> Trong mp Oxy, gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua Q(O;α) thì: <br /> <br />  y' = x.sinα  y.cosα<br /> 4. Phép đối xứng tâm<br /> Cho điểm O và M. Ta có: ĐO (M) = M’  O là trung điểm MM’<br /> x' = 2a  x<br /> Cho M(x;y), I(a;b). Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua ĐI. Ta có: <br /> <br />  y' = 2a  y<br /> 5. Phép vị tự<br /> <br /> <br /> Phép vị tự tâm O tỉ số k  0 được kí hiệu là V(O;k). V(O;k) (M) = M’  OM' = k. OM<br /> HÌNH HỌC KHÔNG GIAN<br /> 1. Hai đường thẳng song song<br /> a // c<br /> <br /> <br /> b // c<br />   a // b<br /> a,b phan biet <br /> <br /> n<br /> <br /> = Ckn .a n-k .bk<br /> k=0<br /> <br /> 4. Xác suất<br /> Xác suất của biến cố A là: P(A)=<br /> <br /> PHÉP BIẾN HÌNH<br /> 1. Phép tịnh tiến<br /> <br /> (P)  (Q) = a <br />   a//b//c<br /> (Q)  (R) = b   <br /> a,b,c dong quy<br /> (R)  (P) = c  <br /> <br /> ΩA<br /> <br /> 2. Đường thẳng song song mặt phẳng<br /> <br /> Ω<br /> <br /> a  (P) <br /> <br /> a // b   a // (P)<br /> b  (P) <br /> <br /> Trong đó: Ω là không gian mẫu (tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử)<br /> -ΩA là tập các kết quả thuận lợi cho A<br /> Lưu ý: 0  P(A)  1<br /> <br /> a // (P)<br /> <br /> <br /> a  (Q)<br />   b // a<br /> (P)  (Q) = b <br /> <br /> 3. Hai mặt phẳng song song<br /> 5. Các quy tắc tính xác suất<br /> a. Quy tắc cộng: P(A  B) = P(A) + P(B) khi A và B xung khắc nhau<br /> P(A) + P(A) = 1  P(A)  1  P(A)<br /> b. Quy tắc nhân: P(AB) = P(A).P(B) khi A và B độc lập nhau<br /> TRỊNH ĐĂNG DƯƠNG – LỚP 11A1 – TRƯỜNG THPT TRẦN QUỐC TUẤN<br /> <br /> a  b = A trong (P) <br /> <br /> a // (Q)<br />   (P) // (Q)<br /> <br /> b // (Q)<br /> <br /> <br /> (P) // a<br /> <br /> <br /> (Q) // a<br />   a // <br /> (P)  (Q)   <br /> <br />