Phân tích đáp ứng động lực của vỏ hình loa kèn bằng cách số hóa đường cong kinh tuyến

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo "Phân tích đáp ứng động lực của vỏ hình loa kèn bằng cách số hóa đường cong kinh tuyến", lần đầu tiên giới thiệu cách số hóa đường cong kinh tuyến nói trên, thành các cặp tọa độ điểm trong tọa độ cực, các cặp tọa độ điểm này lập nên một dãy số kép, sau đó xấp xỉ đều dãy số kép thành một hàm nội suy. Bằng cách số hóa như vậy ta thiết lập được các đại lượng đặc trưng đầu vào của bài toán vỏ tròn xoay hai độ cong hình loa kèn, dưới dạng các hàm nội suy. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích đáp ứng động lực của vỏ hình loa kèn bằng cách số hóa đường cong kinh tuyến

13 11 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG ĐỘNG LỰC CỦA VỎ HÌNH LOA KÈN BẰNG CÁCH SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG KINH TUYẾN Nguyễn Đăng Bích1, Nguyễn Hoàng Tùng2*, Lê Xuân Tùng3 1 Viện Khoa học Công nghệ Xây dựng (IBST) 2 Trường Cao đẳng Xây dựng số 1 (CTC1) 3 Công ty cổ phần Tập đoàn Xây dựng Hòa Bình (HBCG) *Email: nguyenhoangtung2104@gmail.com Tóm tắt. Bài toán vỏ tròn xoay hai độ cong hình loa kèn, được tạo nên bởi một đường cong phẳng gọi là đường cong kinh tuyến, nếu đường cong kinh tuyến không có công thức biểu diễn giải tích, thì việc đặt và giải bài toán như vậy cho đến nay chưa có cách tiếp cận giải tích. Trong bài báo này lần đầu tiên giới thiệu cách số hóa đường cong kinh tuyến nói trên, thành các cặp tọa độ điểm trong tọa độ cực, các cặp tọa độ điểm này lập nên một dẫy số kép, sau đó xấp xỉ đều dẫy số kép thành một hàm nội suy. Bằng cách số hóa như vậy ta thiết lập được các đại lượng đặc trưng đầu vào của bài toán vỏ tròn xoay hai độ cong hình loa kèn, dưới dạng các hàm nội suy. Bài toán là giải được với bể chứa chất lỏng chịu áp lực thủy tĩnh biểu diễn qua hàm nội suy, chịu tải trọng nhiệt và tải trọng động đất. Phân tích đáp ứng động lực của vỏ, nhận xét về tính chất của đáp ứng động lực, đặc biệt là đáp ứng động lực có dấu hiệu của chuyển động hỗn độn. Từ khóa: vỏ hình loa kèn, số hóa đầu vào, hàm nội suy, đáp ứng động lực. 1. Giới thiệu Bể chứa chất lỏng hình loa kèn có nhiều ưu điểm về kinh tế kỹ thuật so với bể trụ, chất lỏng với dung tích lớn được chứa ở vị trí cao hơn, thành bể chịu áp lực thủy động đều hơn...Vì vậy kết cấu bể hình loa kèn, hoặc tựa như hình loa kèn được quan tâm nghiên cứu áp dụng. Năm 1997, A.A.EI Damatty và các cộng sự [1] đã nghiên cứu ổn định của bể hình nón cụt trên cao chứa chất lỏng chịu tải trọng động đất. Năm 2016, V.Q.Hien và các cộng sự [2] đã phân tích dao động tự do của vỏ ghép nón - nón - nón làm bằng vật liệu composite chứa chất lỏng. Phương pháp phần tử liên tục đã được áp dụng trong bài báo này để phân tích dao động của bài toán đặt ra. Năm 1972 ở thành phố Hồ Chí Minh [3] đã xây dựng tám thủy đài chứa nước hình loa kèn có nắp đậy, hình loa kèn được tạo thành từ hai hình nón cụt đặt ngược, với hai góc bán đỉnh khác nhau, nối ghép với nhau, nắp đậy hình chỏm cầu, vật liệu xây dựng là bê tông cốt thép dự ứng lực. Tải trọng là áp lực thủy tĩnh và áp lực thủy động.Tính kết cấu bể theo phương pháp gần đúng thực hành. Nội dung nghiên cứu của các tác giả đi trước tập trung vào các vấn đề dao động tự do, dao động cưỡng bức, ứng xử động lực của các loại vỏ ghép tạo nên từ các vỏ thành phần như trụ, nón cụt, vành tròn, chỏm cầu chịu tải trọng khác nhau. Đặc điểm rõ nhất là các vỏ thành phần như trụ, nón cụt, vành tròn, chỏm cầu, không tồn tại các điểm kỳ dị, dẫn đến không phải xử lý các tích phân kỳ dị, tránh được khó khăn trong quá trình tính toán. Mục đích nghiên cứu của bài báo này là phân tích đáp ứng động lực của bể chứa chất lỏng hình loa kèn có nắp đậy chịu động đất. Bể chứa hình loa kèn có nắp đậy là kết cấu vỏ ghép gồm thân bể hình loa kèn và nắp bể hình chỏm cầu, chưa thấy có trong các loại vỏ ghép đã được nghiên cứu. Phương trình chuyển động của vỏ ghép được thiết lập trong tọa độ cong không thoải, đó là phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến hệ số hàm số. Nắp bể hình chỏm cầu tồn tại điểm kỳ dị đó là đỉnh chỏm cầu, do đó xuất hiện các tích phân kỳ dị trong quá trình tính toán.
14 Nguyễn Đăng Bích, Nguyễn Hoàng Tùng, Lê Xuân Tùng 12 2. Vỏ FGM hai độ cong hình loa kèn 2.1. Mô hình vật liệu Xét vỏ hình giọt nước làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionnally Graded Material) thường được gọi tắt là FGM có mô đun đàn hồi E ( z ), hệ số giãn nở nhiệt α ( z ) biến thiên theo quy luật: κ  2z + h  E ( z ) = EmVm + EcVc = Em + ( Ec − Em )   ,  2h  κ  2z + h  α ( z ) =α mVm + α cVc =α m + (α c − α m )   , (1)  2h  v ( z )= v= const , κ ≥ 0. 2.2. Mô hình kết cấu Xét vỏ FGM hai độ cong hình loa kèn độ dầy h, vỏ được tạo nên bỏi một đường cong phẳng trơn BEF quay quanh trục BOA nằm trong mặt phẳng của nó. ∧ BOM = ξ ∧ uOM = µ ∧ uMO1 = π / 2 ( B 0, 4.1554 ) ( M ξ, R ) Hình 1. Đường cong kinh tuyến của vỏ hai độ cong hình loa kèn Theo lý thuyết vỏ cổ điển và tính phi tuyến hình học Von Karman, biến dạng ở mặt giữa và sự thay đổi độ cong và độ xoắn liên hệ với thành phần dịch chuyển như sau:  0 1 ∂U W 1  1 ∂W  2 ε=ξ − +   ,  R ∂ξ R 2  R ∂ξ   2  0 1 ∂V U ∂R0 W 1  1 ∂W  ε θ = + − +   , (2)  R0 ∂θ RR0 ∂ξ R1 2  R0 ∂θ   0 1 ∂U 1 ∂V V ∂R0 1 ∂W ∂W γ ξθ = + − + .  R0 ∂θ R ∂ξ RR0 ∂ξ RR0 ∂ξ ∂θ   1 ∂ 2W  χξ = 2 ,  R ∂ξ 2   1 ∂ 2W 1 ∂R0 ∂W = χθ + 2 , (3)  R0 ∂θ 2 2 R R0 ∂ξ ∂ξ  1 ∂ 2W 1 ∂R0 ∂W = χξθ − .   RR0 ∂ξ∂θ RR0 ∂ξ ∂θ 2
15 Phân tích đáp ứng động lực của vỏ hình loa kèn bằng cách số hóa đường cong kinh tuyến 13 ở đây: ε ξ0 , ε θ0 , γ ξθ - biến dạng ở mặt giữa; χξ , χθ , χξθ - độ cong và độ xoắn ở mặt giữa; U, V, W 0 - dịch chuyển theo hướng kinh tuyến, theo hướng vòng và theo hướng kính ở mặt giữa của vỏ tương ứng. Giả sử đường cong phẳng BEF được biểu diễn trong tọa độ cực (ξ , R ), gốc O như ở Hình 1. Khi R = R (ξ ) là hàm của ξ thì R0 , R1 tính theo công thức: R0 = R sin (ξ ) , R1 =2 + R′2 / ( R sin(ξ ) − R′ cos(ξ ) ) , R0 R (4) trong đó: R′ = dR / d ξ , 0 ≤ ξ ≤ π . Khi R R (ξ ) const = dR / d ξ 0 và R1 = R0 / sin(ξ ) . = = thì R′ = = R (ξ ), R0 R= R1 (ξ ) gọi là các đại lượng đặc trưng đầu vào, biết R sẽ biết R0 , R1 nhờ R = 0 (ξ ), R1 công thức (4). Nếu vỏ tròn xoay là vỏ ghép (vỏ được hình thành do ghép nhiều loại vỏ với nhau) hoặc vỏ mà đường cong phẳng tạo nên nó không biểu diễn được bằng biểu thức giải tích (vỏ hình loa kèn chẳng hạn). Vậy làm thế nào để tính toán giải tích được với các loại vỏ này. Để chỉ ra cách giải quyết, ta hãy xét một trường hợp vỏ tròn xoay là vỏ hình loa kèn, tạo nên bởi đường cong phẳng BEF quay quanh trục BOA, đi qua các điểm B(0, 4.1554), E(1.57209, 14.0168), M (ξ , R ) , F(2.99871, 35.1128). OM = R O1 M = R1 O2 M = R0 E (1.57209, 14.0168) F ( 2.99871, 35.1128) Hình 2. Mô hình kết cấu vỏ hai độ cong hình loa kèn R (ξ ) ≠ 0, R0 (ξ ) = 0, R1 (ξ ) = 0 khi ξ = 0. Vỏ được xác định trong hệ tọa độ cong ( ξ , θ , z ), gốc đặt trên mặt giữa của vỏ, trục ξ , θ hướng theo kinh tuyến và hướng vòng tương ứng, trục z vuông góc với mặt giữa và hướng theo pháp tuyến ngoài ( − h / 2 ≤ z ≤ h / 2 ), xem ở Hình 2. 2.3. Phương pháp thiết lập các đại lượng đặc trưng đầu vào bằng số hóa đường cong kinh tuyến Vấn đề đặt ra là đường cong kinh tuyến BEF ở Hình 1 cho bất kỳ, không biểu diễn được bằng một biểu thức giải tích hiển, các đại lượng R (ξ ), R0 (ξ ), R1 (ξ ) thiết lập thế nào để vừa xác định được các đại lượng đặc trưng đầu vào, vừa có thể đưa vào tính toán. Các đại lượng đầu vào được đề xuất thiết lập như sau: - Số hóa đường cong kinh tuyến BEF thành các cặp số của các tọa độ điểm lập thành một dẫy số kép. - Xấp xỉ đều dẫy số thành hàm nội suy để có thể thực hiện các phép tính trên hàm nội suy như hàm bình thường. a) Đối với đường cong kinh tuyến BEF có thể lập một dẫy các cặp số của các tọa độ (ξ , R ) list={{2.99871,35.1128},{2.99282,34.1321},{2.98657,33.1526},{2.97993,32.1746},{2.97283,31.1983} ,{2.96523,30.2238},{2.95707,29.2516},{2.94827,28.2819},{2.93877,27.3149},{2.92847,26.3512},{2.9
16 Nguyễn Đăng Bích, Nguyễn Hoàng Tùng, Lê Xuân Tùng 14 1728,25.3912},{2.90506,24.4354},{2.89163,23.4849},{2.87676,22.5409},{2.86038,21.6144},{2.84904 ,21.0336},{2.84164,20.6783},{2.82986,20.1483},{2.82071,19.7638},{2.80857,19.2862},{2.79702,18.8 638},{2.78336,18.3997},{2.77008,17.9817},{2.75453,17.5289},{2.73935,17.1216},{2.72204,16.6934}, {2.70421,16.2884},{2.68593,15.9071},{2.66395,15.4885},{2.63987,15.0736},{2.61784,14.7295},{2.58 934,14.3282},{2.5651,14.0211},{2.53684,13.6981},{2.50504,13.3744},{2.46686,13.0348},{2.43711,1 2.8028},{2.39916,12.5439},{2.36107,12.3215},{2.32168,12.1272},{2.27719,11.9475},{2.22775,11.79 34},{2.18636,11.6987},{2.14779,11.6374},{2.1216,11.6102},{2.09028,11.5927},{2.03921,11.5992},{1 .99141,11.6454},{1.95926,11.6996},{1.93939,11.743},{1.91253,11.8145},{1.89245,11.878},{1.8525,1 2.0323},{1.82462,12.1644},{1.79629,12.3218},{1.76533,12.5242},{1.73411,12.7656},{1.71331,12.95 07},{1.70599,13.0211},{1.69761,13.1052},{1.68362,13.2523},{1.67046,13.3934},{1.65822,13.5223},{ 1.64221,13.6802},{1.62979,13.79},{1.61438,13.9015},{1.60013,13.9684},{1.58728,14.0019},{1.5720 9,14.0168},{1.55681,14.0014},{1.55044,13.9834},{1.53463,13.9065},{1.50538,13.66},{1.48891,13.47 4},{1.47721,13.3231},{1.46036,13.0797},{1.44381,12.817},{1.42412,12.4883},{1.4052,12.1664},{1.3 7757,11.6907},{1.35289,11.2664},{1.33475,10.9583},{1.31481,10.6265},{1.29958,10.3794},{1.27806 ,10.0417},{1.25891,9.7544},{1.24186,9.50984},{1.22346,9.25752},{1.19974,8.94927},{1.17651,8.664 83},{1.13779,8.22619},{1.10126,7.84948},{1.0603,7.46557},{1.01336,7.07036},{0.965918,6.71383},{ 0.90919,6.33709},{0.834007,5.90906},{0.784175,5.66379},{0.710882,5.35049},{0.633061,5.07086},{ 0.5423,4.80354},{0.450878,4.58972},{0.350554,4.41048},{0.23649,4.26819},{0,4.15554}} Xấp xỉ đều dẫy số list, thành lập hàm nội suy bằng câu lệnh trong Mathematica 7.0: R (ξ ) = Interpolation [ list , ξ ] InterpolatingFunction[{{0.,2.99871}},][ ξ ] (5) b) Đối với R0 = R (ξ )sin(ξ ) có thể lập một dẫy các cặp số của các tọa độ (ξ , R0 ) data={{2.99871,5},{2.99282,5.0592},{2.98657,5.11873},{2.97993,5.17895},{2.97283,5.24019},{2.96 523,5.30279},{2.95707,5.36709},{2.94827,5.43342},{2.93877,5.50213},{2.92847,5.57355},{2.91728, 5.64801},{2.90506,5.7261},{2.89163,5.80944},{2.87676,5.89991},{2.86038,5.99836},{2.84904,6.066 01},{2.84164,6.10999},{2.82986,6.17965},{2.82071,6.23352},{2.80857,6.30473},{2.79702,6.37207},{ 2.78336,6.45127},{2.77008,6.52775},{2.75453,6.6167},{2.73935,6.70274},{2.72204,6.80003},{2.704 21,6.8993},{2.68593,7},{2.66395,7.11979},{2.63987,7.24948},{2.61784,7.36672},{2.58934,7.51663}, {2.5651,7.64269},{2.53684,7.78814},{2.50504,7.95018},{2.46686,8.14272},{2.43711,8.29165},{2.399 16,8.48068},{2.36107,8.66999},{2.32168,8.86602},{2.27719,9.08858},{2.22775,9.33867},{2.18636,9. 55142},{2.14779,9.75339},{2.1216,9.89311},{2.09028,10.0633},{2.03921,10.3498},{1.99141,10.6304 },{1.95926,10.8279},{1.93939,10.9543},{1.91253,11.1313},{1.89245,11.2688},{1.8525,11.5581},{1.8 2462,11.7747},{1.79629,12.0099},{1.76533,12.288},{1.73411,12.5957},{1.71331,12.8194},{1.70599, 12.9023},{1.69761,13},{1.68362,13.1681},{1.67046,13.3269},{1.65822,13.4706},{1.64221,13.6453},{ 1.62979,13.766},{1.61438,13.8883},{1.60013,13.9624},{1.58728,14},{1.57209,14.0168},{1.55681,14} ,{1.55044,13.9805},{1.53463,13.8975},{1.50538,13.6308},{1.48891,13.4289},{1.47721,13.2648},{1.4 6036,13},{1.44381,12.7137},{1.42412,12.3542},{1.4052,12},{1.37757,11.4731},{1.35289,11},{1.3347 5,10.6544},{1.31481,10.2802},{1.29958,10},{1.27806,9.61449},{1.25891,9.28381},{1.24186,9},{1.22 346,8.7047},{1.19974,8.34024},{1.17651,8},{1.13779,7.46699},{1.10126,7},{1.0603,6.51372},{1.013 36,6},{0.965918,5.5226},{0.90919,5},{0.834007,4.37642},{0.784175,4},{0.710882,3.4912},{0.633061 ,3},{0.5423,2.47914},{0.450878,2},{0.350554,1.51464},{0.23649,1},{0,0}} Xấp xỉ đều dẫy số data, thành lập hàm nội suy bằng câu lệnh trong Mathematica 7.0: R0 (ξ ) = Interpolation [ data , ξ ] InterpolatingFunction[{{0.,2.99871}},][ ξ ] (6) c) Đối với R1 =2 + R′2 / ( R sin(ξ ) − R′ cos(ξ ) ) có thể lập một dẫy các cặp số của các tọa độ R0 R (ξ , R1 )
17 Phân tích đáp ứng động lực của vỏ hình loa kèn bằng cách số hóa đường cong kinh tuyến 15 table={{2.99871,5.00874},{2.99282,5.06809},{2.98657,5.12788},{2.97993,5.18847},{2.97283,5.2502 1},{2.96523,5.31343},{2.95707,5.3785},{2.94827,5.44576},{2.93877,5.51558},{2.92847,5.5883},{2.9 1728,5.6643},{2.90506,5.74458},{2.89163,5.83116},{2.87676,5.92627},{2.86038,6.03106},{2.84904, 6.10382},{2.84164,6.15144},{2.82986,6.22736},{2.82071,6.28651},{2.80857,6.36525},{2.79702,6.44 029},{2.78336,6.52927},{2.77008,6.61592},{2.75453,6.7176},{2.73935,6.81687},{2.72204,6.93021},{ 2.70421,7.04703},{2.68593,7.16675},{2.66395,7.31079},{2.63987,7.46874},{2.61784,7.61332},{2.58 934,7.80067},{2.5651,7.9602},{2.53684,8.14641},{2.50504,8.35675},{2.46686,8.61088},{2.43711,8.8 1054},{2.39916,9.06795},{2.36107,9.33056},{2.32168,9.60759},{2.27719,9.92881},{2.22775,10.2988 },{2.18636,10.6214},{2.14779,10.9344},{2.1216,11.1549},{2.09028,11.4273},{2.03921,11.8985},{1.9 9141,12.3903},{1.95926,12.7555},{1.93939,13.0004},{1.91253,13.358},{1.89245,13.6478},{1.8525,1 4.2966},{1.82462,14.8202},{1.79629,15.4273},{1.76533,16.2167},{1.73411,17.139},{1.71331,17.882 4},{1.70599,18.1798},{1.69761,18.4892},{1.68362,18.7426},{1.67046,18.6182},{1.65822,18.2156},{1 .64221,17.4458},{1.62979,16.6567},{1.61438,15.3756},{1.60013,14.5107},{1.58728,14.1609},{1.572 09,14.0173},{1.55681,14.215},{1.55044,14.4577},{1.53463,15.4934},{1.50538,17.9955},{1.48891,19. 681},{1.47721,21.0384},{1.46036,23.0967},{1.44381,24.7948},{1.42412,26.24},{1.4052,27.4757},{1. 37757,29.2944},{1.35289,30.8483},{1.33475,31.8796},{1.31481,32.8409},{1.29958,33.419},{1.27806 ,33.9645},{1.25891,34.1497},{1.24186,34.1734},{1.22346,34.1815},{1.19974,34.2179},{1.17651,34.2 834},{1.13779,34.4567},{1.10126,34.6953},{1.0603,35.0577},{1.01336,35.6041},{0.965918,36.3232}, {0.90919,37.4402},{0.834007,39.4377},{0.784175,41.2426},{0.710882,45.0614},{0.633061,50.9686}, {0.5423,59.9335},{0.450878,71.0234},{0.350554,81.7446},{0.23649,88.3729},{0,-2.65009×10-14}} Xấp xỉ đều dẫy số table, thành lập hàm nội suy bằng câu lệnh trong Mathematica 7.0: R1 (ξ ) = Interpolation [ table, ξ ] InterpolatingFunction[{{0.,2.99871}},][ ξ ] (7) d) Đối với V1 =ξ ] + π R0 2 R Sin[ξ ] có thể lập một dẫy các cặp số của các tọa độ (ξ , V1 ) −π R0 2 Rc Cos[ day3={{2.99871,2121.12},{2.99282,2095.82},{2.98657,2069.92},{2.97993,2043.41},{2.97283,2016.2 8},{2.96523,1988.49},{2.95707,1960.03},{2.94827,1930.87},{2.93877,1900.97},{2.92847,1870.31},{2 .91728,1838.83},{2.90506,1806.49},{2.89163,1773.23},{2.87676,1738.96},{2.86038,1703.94},{2.849 04,1681.19},{2.84164,1666.92},{2.82986,1645.11},{2.82071,1628.84},{2.80857,1608.07},{2.79702,1 589.13},{2.78336,1567.62},{2.77008,1547.55},{2.75453,1524.96},{2.73935,1503.81},{2.72204,1480. 59},{2.70421,1457.57},{2.68593,1434.83},{2.66395,1408.47},{2.63987,1380.64},{2.61784,1356.03},{ 2.58934,1325.2},{2.5651,1299.74},{2.53684,1270.8},{2.50504,1238.99},{2.46686,1201.67},{2.43711, 1173.08},{2.39916,1137.06},{2.36107,1101.2},{2.32168,1064.24},{2.27719,1022.4},{2.22775,975.48 8},{2.18636,935.597},{2.14779,897.708},{2.1216,871.472},{2.09028,839.475},{2.03921,785.49},{1.9 9141,732.495},{1.95926,695.246},{1.93939,671.488},{1.91253,638.336},{1.89245,612.721},{1.8525, 559.305},{1.82462,519.794},{1.79629,477.44},{1.76533,428.149},{1.73411,374.68},{1.71331,336.56 1},{1.70599,322.602},{1.69761,306.241},{1.68362,277.902},{1.67046,249.951},{1.65822,222.653},{1 .64221,185.045},{1.62979,154.405},{1.61438,114.736},{1.60013,76.7165},{1.58728,41.7245},{1.572 09,0}} Xấp xỉ đều dẫy số table, thành lập hàm nội suy bằng câu lệnh trong Mathematica 7.0: V (ξ ) = Interpolation [ day 3, ξ ] InterpolatingFunction[{{1.57209,2.99871}},][ ξ ] (8) Các đại lượng đặc trưng đầu= R (ξ ), R0 R0 (ξ ), R1 R1 (ξ ), V V (ξ ) khi tham gia vào R = = = tính toán được cho như sau: Với R (ξ ) , cho dẫy list và công thức (5).
18 Nguyễn Đăng Bích, Nguyễn Hoàng Tùng, Lê Xuân Tùng 16 Với R0 (ξ ) , cho dẫy data và công thức (6). Với R1 (ξ ) , cho dẫy table và công thức (7). Với V (ξ ) , cho dẫy day3 và công thức (8). 2.4. Chú ý a) Trong tọa độ cực (ξ , R ) độ dài vi phân cung ds, góc µ giữa tiếp tuyến với đường cong R = R (ξ ) và véc tơ bán kính cực xác định theo công thức [4]. dR ds 2 = 2 d ξ 2 , tg µ = dR 2 + R R/ . dξ Công thức tính R1 (ξ ) , V1 (ξ ) được tác giả bài báo thiết lập và có thể chứng minh dựa trên các công thức này. b) Để tự động hóa nhận được dẫy “list” được thực hiện theo hai bước: - Dùng một lệnh chuyên dụng trong AutoCAD để tự động hiển thị tọa độ trong hệ tọa độ Đề các các điểm trên đường cong kinh tuyến. - Dùng một lệnh chuyên dụng trong Mathematica 7.0 tác động vào dẫy kép các cặp tọa độ trong tọa độ đề các để chuyển thành dẫy kép các cặp tọa độ trong tọa độ cực mang tên dẫy “list”. c) Để tự động hóa nhận được dẫy “data”, dẫy “table”, dẫy “day3”, dựa vào dẫy “list” và các công thức xác định R0 , R1 , Rc đã biết. 3. Phương trình chuyển động Quan hệ ứng suất - biến dạng, lực dọc - biến dạng và mô men - biến dạng cho vỏ hai độ cong hình loa kèn bao gồm cả hiệu ứng nhiệt được xác định theo [5]. Phương trình chuyển động phi tuyến của vỏ hai độ cong hình loa kèn theo lý thuyết vỏ cổ điển được cho bởi phương trình: ∂Nξ ∂Nξθ ∂R0 ∂ 2U R0 ∂ξ +R ∂θ + ∂ξ ( ) Nξ − Nθ − ρ1 RR0 2 = ∂t 0, (9) ∂Nθ ∂Nξθ ∂R ∂ 2V R + R0 + 2 0 Nξθ − ρ1 RR0 2 = 0, (10) ∂θ ∂ξ ∂ξ ∂t  1 ∂2Mξ 2 ∂ M ξθ 2 1 ∂2 Mθ 2 ∂R0 ∂M ξ  2 + + 2 + 2 −  R ∂ξ 2 RR0 ∂ξ∂θ R0 ∂θ 2 R R0 ∂ξ ∂ξ  1 ∂R ∂M  1 ∂R0 ∂M ξθ 1 ∂ 2 R0  2 0 θ + + 2 ( M ξ − Mθ ) + (11)  R R0 ∂ξ ∂ξ RR0 ∂ξ ∂θ R R0 ∂ξ 2 2 N N ∂ 2W ∂W  θ + ξ + N ξ χξ + 2 N ξθ χξθ + Nθ χθ + q − ρ1 2 − 2 ρ1 ε =0.  R1  R ∂t ∂t trong đó: q - có thể là tải trọng động đất tính theo giản đồ gia tốc hoặc áp lực thủy tĩnh, tải trọng nhiệt độ hay áp lực phân bố đều tùy theo cách cho trong từng bài toán cụ thể. h /2 ρc − ρm ρ1 = ∫ ρ ( z ) dz, ρ ( z ) tính theo công thức (1), = − h /2 ρ 1 (ρm + κ +1 )h, ε tỷ số cản. Vỏ FGM hình giọt nước được giả thiết chịu liên kết ngàm, điều kiện biên là:
19 Phân tích đáp ứng động lực của vỏ hình loa kèn bằng cách số hóa đường cong kinh tuyến 17 ∂W U V= W 0, = = = 0 khi ξ 0, ξ π . = = (12) ∂ξ 4. Áp lực thủy tĩnh Áp lực của chất lỏng chứa trong bể khi chịu tác động động đất là áp lực động lực gồm áp lực thủy tĩnh và áp lực thủy động. Đối với bể chứa chất lỏng hình loa kèn, đường cong kinh tuyến không có công thức biểu diễn giải tích vì vậy áp lực thủy động hiện chưa tính được trong bài báo này. Dưới đây trình bầy cách tính áp lực thủy tĩnh. OO2 = h (ξ ) h (ξ ) = − R (ξ ) Cos [ξ ] ξ V (ξ ) = ∫ π R (ξ )d h (ξ ) 2 0   π/2 p (ξ ) = ρ gV (ξ ) h (ξ ) = p (ξ ) Sin [ µ − ξ ] pw (ξ ) pu (ξ ) =[ µ − ξ ] − p (ξ ) Cos Hình 3. Mô hình tính áp lực thủy tĩnh Áp lực thủy tĩnh tại điểm M (ξ , R ) tính theo công thức: p (ξ ) = ρ gV (ξ ) h (ξ ) trong đó: ρ là mật độ chất lỏng, g là gia tốc trọng trường, V (ξ ) là thể tích cột chất lỏng giữa hai tiết diện tròn tâm O và O 2 . 5. Lập phương trình giải theo chuyển vị 5.1. Nghiệm chọn trước Do vỏ hai độ cong hình loa kèn tồn tại điểm kỳ dị, đó là điểm có R0 (ξ ) = 0 tại ξ ξ= 0 nên = 0 xuất hiện các tích phân kỳ dị trong quá trình tính toán hệ số của phương trình giải. Vì vậy nghiệm chọn trước phải thỏa mãn điều kiện biên, sao cho các tích phân kỳ dị hội tụ và tính được, ngoài ra phải chứa các hàm ẩn phụ thuộc t, được xác định trong quá trình giải: mπ (ξ − ξ0 ) nθ  U = u sin 2  sin α0  mπ (ξ − ξ0 ) nθ  V = v sin cos  (13) α0 2  mπ (ξ − ξ0 ) nθ  W = w sin 2 sin  α0 2  trong đó: α= ξ1 − ξ0 , u, v, w - hàm ẩn phụ thuộc t. 0 Dùng nghiệm chọn trước (13) thỏa mãn được điều kiện biên ngàm và các tích phân tính hệ số của phương trình giải là các tích phân kỳ dị hội tụ và tính được. U=V=W = 0 khi ξ ξ= 0, ξ ξ= π . = 0 = 1 ∂W = 0 khi ξ ξ= 0, ξ ξ= π . = 0 = 1 ∂ξ
20 Nguyễn Đăng Bích, Nguyễn Hoàng Tùng, Lê Xuân Tùng 18 5.2. Phương trình giải Để thiết lập phương trình giải theo chuyển vị, ta thay (13) vào (2), (3) tìm được biến dạng, lấy biến dạng tìm được thay vào các biểu thức tương ứng ta có lực dọc và mô men, biểu thức tìm được về lực dọc và mô men thay tiếp vào phương trình (9), (10), (11) lập được 3 phương trình chứa u, v, w, ξ , θ , t. Thực hiện thủ tục Galerkin để đưa phương trình chuyển động dưới dạng vi phân đạo hàm riêng về dạng vi phân đạo hàm thường ta được: α11u + α12 v + α13 w + α14 w2 − au′′ = 0 β11u + β12 v + β13 w + β14 w2 − bv′′ = 0 (14) λ11u + λ12 v + λ13 w + λ14 w2 + λ21uw + λ22 vw + λ23 w3 + m1∆T φ0 w + m2 ∆T φ0 + m3q − m4 w′ − cw′′ = 0 trong đó: α ij , β ij , λij , mi , a , b, c là các hằng số, φ0 là tham số nhiệt, q có thể là tải trọng động đất tính theo giản đồ gia tốc hoặc áp lực thủy tĩnh, tải trọng nhiệt độ hay áp lực phân bố đều tùy theo cách cho trong từng bài toán cụ thể. Phương trình (14) gọi là phương trình giải. 6. Ví dụ tính toán Khảo sát đáp ứng động lực của vỏ hình loa kèn FGM có độ dầy phần thân 0.045m, độ dầy phần nắp 0.015m như Hình 2, chịu tải trọng nhiệt với giả thiết truyền nhiệt đều, tải trọng phân bố điều hòa và áp lực thủy tĩnh hoặc tải trọng động đất tính theo giản đồ gia tốc, vỏ làm bằng vật liệu FGM với κ = 3 , 0 ≤ ξ ≤ 2,99871, 0 ≤ θ ≤ 2π và các đại lượng đặc trưng của vỏ. R =(ξ )sin(ξ ), R1 =/ ( R sin(ξ ) − R′ cos(ξ ) ) , V1 =ξ ] + π R0 2 R Sin[ξ ] R (ξ ), R0 = R R0 R 2 + R′2 −π R0 2 Rc Cos[ cho theo mục 2.3. Số liệu đầu vào cho trong hệ đơn vị SI như sau: = 70.109 N / m 2 , Ec 380.109 N / m 2 , ρ m 2702kg / m 3 , ρ c 3800kg / m 3 , κ 3, Em = = = = ν = 0.3, h = 0.018m, m = 3, n = 1, ρ1 =  ρ m + ( ρ c − ρ m ) / (κ + 1) h.   a) Trường hợp tải trọng thứ nhất bao gồm tải trọng nhiệt độ, áp lực thủy tĩnh và áp lực phân bố đều: Tải trọng nhiệt độ: α m = −1 , α c = C −1 , 23 ∗10−6 0 C 7.4 ∗10−6 0 1 1 φ0 = mα m + E ( Emα cm + Ecmα m ) + Ecmα cm , κ +1 2κ + 1  1 1   1 1  φ1 =  −  ( Emα cm + Ecmα m ) +  −  Ecmα cm ,  κ + 2 2κ + 2   2κ + 2 4κ + 2  φ0 = 4.81357.106 , ro1 = 53.577, ∆T = Tc − Tm = 100 C , ε = 0.35. Áp lực phân bố đều: q = Q cos [ω= 106 , ω 38.16862130831367. t ], Q = Áp dụng chương trinh Mathematica 7.0 giải hệ phương trình vi phân phi tuyến nói trên ta được:
21 Phân tích đáp ứng động lực của vỏ hình loa kèn bằng cách số hóa đường cong kinh tuyến 19 u,m 2 u,m  100 t,s 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2  u,m s 400 200 200 400 2 100 4 200 Hình 4. Biên độ u(t) trong thời gian t(0, 1.24) Hình 5. Mặt phẳng pha u′ ( t ) − 50u ( t ) w,m 40 30 w,m 20 2000  1500 10 1000 t,s 500 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2  w,m s 10 4000 2000 2000 4000 500 20 1000 Hình 6. Biên độ w(t) trong thời gian t(0, 1.24) Hình 7. Mặt phẳng pha w′ ( t ) − 50w ( t ) Giá trị lớn nhất theo thời gian t(0, 1.24) của dịch chuyển: = 3.4685m, w 45.2912m u = Giá trị của dịch chuyển là lớn, dao động với nhiều chu kỳ. Dịch chuyển có tính hỗn độn không bao giờ lặp lại chính mình. Đường cong pha cắt nhau và hình thành các vòng xoắn phức tạp. Đáp ứng động lực nhạy cảm với tải trọng nhiệt độ, khi ∆T ≥ 250 C dao động ổn định. b) Trường hợp tải trọng thứ hai bao gồm áp lực thủy tĩnh và tải trọng động đất tính theo giản đồ gia tốc: Tải trọng động đất cho theo giản đồ gia tốc El Centro (1940): Áp dụng chương trinh Mathematica 7.0 giải hệ phương trình vi phân phi tuyến nói trên ta được: u,m u,m 0.03 0.0015  0.02 0.0010 0.01 0.0005  u,m s t,s 0.04 0.02 0.02 0.04 0.06 0.5 1.0 1.5 2.0 0.01 0.0005 0.0010 0.02 0.0015 0.03 0.0020 0.04 Hình 8. Biên độ u(t) trong thời gian t(0, 2.24) Hình 9. Mặt phẳng pha u′ ( t ) − 20u ( t )
22 Nguyễn Đăng Bích, Nguyễn Hoàng Tùng, Lê Xuân Tùng 20 w,m w,m 2 0.10  1 0.05  w,m s t,s 3 2 1 1 2 0.5 1.0 1.5 2.0 0.05 1 Hình 10. Biên độ w(t) trong thời gian t(0, 2.24) Hình 11. Mặt phẳng pha w′ ( t ) − 20w ( t ) Giá trị lớn nhất theo t(0, 2.24) của dịch chuyển: = 0.00155005m, w 0.116456m. u = Dao động ổn định với biên độ nhỏ, dao động với nhiều chu kỳ.có đặc trưng hỗn độn không bao giờ lặp lại chính mình. Đường cong pha cắt nhau phức tạp và hình thành các vòng xoắn có đặc trưng của chuyển động chaos. 7. Kết luận Qua nội dung và các kết quả nghiên cứu có thể nêu ra một số kết luận: Giải được bài toán động lực phi tuyến của vỏ FGM hai độ cong hình loa kèn, có đường cong kinh tuyến không biểu diễn được bằng công thức giải tích, có độ dầy phần thân và phần nắp bể khác nhau, chịu tải trọng động đất tính theo giản đồ gia tốc, áp lực thủy tĩnh hoặc tải trọng nhiệt độ và áp lực phân bố đều tùy theo cách cho trong từng bài toán cụ thể. Trường hợp chịu tải trọng nhiệt độ thì có thể gây ra dao động với biên độ lớn. Đề xuất phương pháp số hóa các đại lượng đặc trưng của tham số đầu vào R (ξ ), R0 (ξ ), R1 (ξ ) , V (ξ ) đối với vỏ hình loa kèn có đường cong kinh tuyến bất kỳ và đưa các đại lượng này vào tính toán các hệ số của phương trình giải như các hàm hiển bình thường. Cho nghiệm chọn trước thỏa mãn điều kiện biên ngàm, đảm bảo các tích phân kì dị hội tụ và tính được bằng số. Tính được áp lực thủy tĩnh biểu diễn bằng hàm nội suy. Tìm được đáp ứng động lực, kể cả đáp ứng động lực tại các điểm kỳ dị, chỉ ra các dấu hiệu của chuyển động hỗn độn của đáp ứng động lực. Phương pháp thiết lập các đại lượng đặc trưng đầu vào bằng số hóa đường cong kinh tuyến có thể áp dụng để giải bài toán vỏ ghép. Tài liệu tham khảo [1] A.A.El Damatty, R.M.Korol and F.A.Mirza. Stability of Elevated Liquid-Filled Conical Tanks under Seismic Loading, Part I-Theory. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 26, 1191-1208, (1997). [2] https://news.zing.vn/8-khoi-thap-nuoc-be-tong-khong-lo-giua-sai-gon post592538.html [3] V.Q.Hien, T.I.Thinh, N.M.Cuong, P.N.Thanh. Free Vibration Analysis of Joined Composite Conical- Conical-Conical Shells Containing Fluid. Journal of Science and Technology 54 (5), 650-563, (2016). [4] G.A.Korn, T.M.Korn. Mathematica hanbook, 519, McGrow-Hill Book Company, (1968). [5] Nguyễn Đăng Bích, Nguyễn Hoàng Tùng. Phân tích đáp ứng động lực phi tuyến của vỏ cầu trống độ dầy thay đổi, chịu tải cơ - nhiệt - thủy động. Tuyển tập công trình Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XV, Thành phố Thái Nguyên ngày 24-25/8/2021, 42-51, (2021).