Phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng: Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

L Ê T H A N H H Ả

TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI

L U Ậ N Á N T I Ế N S Ĩ

Lê Thanh Hải

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỨNG XỬ TĨNH VÀ

ỔN ĐỊNH CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG

C H U Y Ê N N G À N H

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 9520101

C Ơ K Ỹ T H U Ậ T * M Ã S Ố 9 5 2 0 1 0 1

N Ă M 2 0 2 1

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

Hà Nội - Năm 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI

Lê Thanh Hải

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỨNG XỬ TĨNH VÀ

ỔN ĐỊNH CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 9520101

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1. GS. TS. Trần Minh Tú

2. GS. TS. Lê Xuân Huỳnh

Hà Nội - Năm 2021

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Lê Thanh Hải

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và

kết quả được trình bày trong luận án là trung thực, đáng tin cậy và không trùng lặp

với bất kỳ một nghiên cứu nào khác đã được tiến hành.

Hà Nội, ngày……tháng……năm 2022

Người cam đoan

Lê Thanh Hải

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai thầy giáo hướng dẫn

là GS. TS. Trần Minh Tú và GS. TS. Lê Xuân Huỳnh đã tận tình hướng dẫn, giúp

đỡ, động viên trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Tác giả chân thành cảm ơn tập thể các thầy cô - Bộ môn Sức bền Vật liệu -

Trường Đại học Xây dựng Hà Nội đã luôn quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, giúp

đỡ trong suốt thời gian nghiên cứu tại Bộ môn.

Tác giả xin cảm ơn tập thể các thầy cô giáo, cán bộ Khoa Đào tạo Sau đại

học, Trường Đại học Xây dựng Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ trong

suốt quá trình thực hiện luận án.

Tác giả trân trọng cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo và các bạn

đồng nghiệp trong Seminar Cơ học vật rắn biến dạng đã đóng góp nhiều ý kiến quý

báu và có giá trị cho nội dung đề tài luận án.

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp Khoa Xây

dựng, Trường Đại học Vinh đã luôn quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác

giả có thể hoàn thành tốt nhiệm vụ giảng dạy trong nhà trường, học tập và nghiên

cứu hoàn thành luận án.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các bạn bè, đồng nghiệp đã tận tình giúp

đỡ và động viên trong suốt quá trình tác giả học tập, nghiên cứu làm luận án.

Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên trong gia

đình đã luôn tạo điều kiện, chia sẻ những khó khăn trong suốt quá trình học tập,

nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Tác giả: Lê Thanh Hải

iii

MỤC LỤC

Nội dung Trang

LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i

LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ ii

MỤC LỤC ........................................................................................................... iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................ vi

DANH MỤC CÁC BẢNG ...................................................................................... viii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ..................................................................... x

MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ........................................... 6

1.1. Tổng quan về vật liệu FGM rỗng ......................................................................... 6

1.2. Các loại vật liệu FGM rỗng .................................................................................. 7

1.3. Phương pháp chế tạo bọt kim loại rỗng ............................................................... 8

1.3.1. Luyện bột kim loại (Powder Metallurgy) .......................................................... 9

1.3.2. Nung kết sợi (Fiber Sintering) .......................................................................... 9

1.3.3. Nung chảy kim loại ............................................................................................ 9

1.3.4. Phun khí vào kim loại ...................................................................................... 10

1.3.5. Đúc thẩm thấu ................................................................................................. 10

1.4. Tính chất biến đổi trơn của vật liệu FGM rỗng ................................................. 10

1.5. Ứng dụng của vật liệu GFM rỗng ...................................................................... 13

1.6. Tổng quan các nghiên cứu về kết cấu tấm bằng vật liệu FGM và FGM rỗng .......... 15

1.6.1. Các nghiên cứu về phân tích phi tuyến ứng xử uốn của kết cấu tấm FGM .... 15

1.6.2. Các nghiên cứu về ổn định và sau ổn định của kết cấu tấm FGM ................. 17

1.6.3. Các nghiên cứu về vật liệu FGM rỗng ............................................................ 19

1.7. Tóm tắt chương 1 ............................................................................................... 21

CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN TẤM VẬT LIỆU FGM RỖNG

CÓ KỂ ĐẾN YẾU TỐ PHI TUYẾN HÌNH HỌC.................................................... 22

2.1. Mở đầu ............................................................................................................... 22

2.2. Mô hình tấm bằng vật liệu FGM rỗng ............................................................... 22

2.3. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất ....................................................................... 24

2.3.1. Trường chuyển vị ............................................................................................ 25

2.3.2. Trường biến dạng ............................................................................................ 26

2.3.3. Trường ứng suất .............................................................................................. 27

2.3.4. Trường nội lực................................................................................................. 28

2.3.5. Mối liên hệ giữa nội lực và chuyển vị ............................................................. 29

2.3.6. Hệ phương trình cân bằng .............................................................................. 30

2.3.7. Hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị ...................................................... 32

2.4. Lý thuyết tấm cổ điển ......................................................................................... 34

2.5. Tóm tắt chương 2 ............................................................................................... 36

CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỨNG XỬ UỐN CỦA TẤM BẰNG VẬT

LIỆU FGM RỖNG .................................................................................................... 37

3.1. Mở đầu ............................................................................................................... 37

3.2. Lời giải theo tiếp cận chuyển vị ......................................................................... 37

3.2.1. Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất ............................................................ 37

3.2.2. Theo lý thuyết tấm cổ điển .............................................................................. 43

3.3. Lời giải theo tiếp cận ứng suất ........................................................................... 46

3.3.1. Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất ............................................................ 46

3.3.2. Theo lý thuyết tấm cổ điển .............................................................................. 55

3.4. Kết quả số và thảo luận ...................................................................................... 59

3.4.1. Ví dụ kiểm chứng ............................................................................................. 60

3.4.2. Khảo sát ảnh hưởng của các tham số: vật liệu, tải trọng phân bố, điều kiện

biên, nền đàn hồi và tham số hình học ...................................................................... 64

3.5. Tóm tắt chương 3 ............................................................................................... 79

CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ SAU ỔN ĐỊNH CỦA TẤM BẰNG

VẬT LIỆU FGM RỖNG .......................................................................................... 81

4.1. Mở đầu ............................................................................................................... 81

4.2. Khái niệm ổn định và tiêu chuẩn ổn định tĩnh ................................................... 81

4.2.1. Khái niệm ổn định và mất ổn định, phân loại ................................................. 81

4.2.2. Các tiêu chuẩn ổn định tĩnh ............................................................................ 84

4.3. Phân tích ổn định theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất .................................... 85

4.4. Phân tích ổn định theo lý thuyết tấm cổ điển ..................................................... 96

4.5. Kết quả số và thảo luận .................................................................................... 101

4.5.1. Ví dụ kiểm chứng ........................................................................................... 101

4.5.2. Khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, điều kiện biên, nền đàn hồi,

dạng tải trọng, tham số hình học và độ không hoàn hảo ban đầu .......................... 105

4.6. Tóm tắt chương 4 ............................................................................................. 115

KẾT LUẬN ......................................................................................................... 117

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ........................ 119

TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 121

PHỤ LỤC ........................................................................................................ PL1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Danh mục các ký hiệu

Ký hiệu Nội dung ký hiệu

Kích thước các cạnh của tấm chữ nhật

Chiều dày của tấm chữ nhật

Mô đun đàn hồi khi kéo/nén của vật liệu

Mô đun đàn hồi trượt của vật liệu

Hệ số mật độ lỗ rỗng

Hệ số Poisson của vật liệu

Hệ số độ cứng uốn của nền đàn hồi

Các hệ số độ cứng cắt của nền đàn hồi

Toạ độ của điểm khảo sát theo phương chiều dày tấm tính từ mặt

trung bình và mặt trung hoà

Khoảng cách giữa mặt trung hoà và mặt trung bình

Chuyển vị theo các phương x, y, zth

Chuyển vị của điểm trên mặt trung hòa theo các phương x, y, zth

Góc xoay của pháp tuyến mặt trung hòa quanh hai trục y, x

Tải trọng phân bố tác dụng lên mặt trên của tấm theo phương zth

Biến dạng dài tỷ đối theo các phương x, y, zth

Biến dạng góc trong các mặt phẳng xy, xzth, yzth

Các thành phần biến dạng màng

Các thành phần độ cong uốn, xoắn

Ứng suất pháp của mặt có phương pháp tuyến x, y, zth

vii

Ứng suất tiếp theo phương z trên mặt có pháp tuyến là trục x, y

Các thành phần lực dọc

Các thành phần mô men

Các thành phần lực cắt

Tải trọng nén trên các cạnh của tấm

Ma trận các hệ số đàn hồi của vật liệu

Hệ số hiệu chỉnh cắt

Biểu diễn mặt trung hoà của tấm

Phản lực nền đàn hồi

Phương pháp tuyến và tiếp tuyến của mặt biên tấm

Danh mục các chữ viết tắt

Chữ viết tắt Nội dung viết tắt

FGM Functionally Graded Material (vật liệu có cơ tính biến thiên hay vật liệu

biến đổi chức năng)

CPT Classical plate theory (lý thuyết tấm cổ điển)

FSDT First-oder shear deformation theory (lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất)

TSDT Third-order shear deformation theory (lý thuyết biến dạng cắt bậc ba)

HSDT Higher-oder shear deformation theory (lý thuyết biến dạng cắt bậc cao)

PTHH Phần tử hữu hạn

IM Immovable (liên kết không thể tự dịch chuyển trong mặt phẳng)

FM Movable (liên kết có thể tự dịch chuyển trong mặt phẳng)

SSSS Liên kết bốn biên tựa khớp

CCCC Liên kết bốn biên ngàm

SCSC Liên kết hai cạnh đối diện tựa khớp, hai cạnh còn lại liên kết ngàm

viii

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1. Các hàm dạng và sử dụng trong khai triển (3.10) [71, 101]: 41

Bảng 3.2. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông đẳng hướng điều kiện SSSS

dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều (M = N = 3) ............................................... 61

Bảng 3.3. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông đẳng hướng điều kiện biên

SCSC dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều ................................. 62

Bảng 3.4. Độ võng không thứ nguyên không thứ nguyên của tấm vuông đẳng

hướng dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều ........................................................ 62

Bảng 3.5. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông FGM rỗng (Dạng 2) với số

số hạng khác nhau trong khai triển chuỗi lượng giác kép ......................................... 64

Bảng 3.6. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông FGM rỗng với các tỷ số

kích thước tấm a/h khác nhau ................................................................................... 66

Bảng 3.7. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông dày, vật liệu FGM rỗng

điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (FSDT, a/h = 10) ........ 68

Bảng 3.8. Mô men uốn Mx, My [MNm/m] của tấm vuông dày, vật liệu FGM rỗng

điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (FSDT, a/h = 10) ........ 68

Bảng 3.9. Mô men uốn Mxy [MNm/m] của tấm vuông dày, vật liệu FGM rỗng điều

kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (FSDT, a/h = 10) ................ 69

Bảng 3.10. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông mỏng, vật liệu FGM rỗng

điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (CPT, a/h = 50) .......... 69

Bảng 3.11. Mô men uốn Mx, My [MNm/m] của tấm vuông mỏng, vật liệu FGM rỗng

điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (CPT, a/h = 50) .......... 70

Bảng 3.12. Mô men uốn Mxy [MNm/m] của tấm vuông mỏng, vật liệu FGM rỗng

điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (CPT, a/h = 50) .......... 70

Bảng 3.13. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông dày, vật liệu FGM rỗng (Dạng

2) điều kiện biên SSSS với các tham số nền đàn hồi khác nhau FSDT (a/h = 10) .......... 73

Bảng 3.14. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông mỏng, vật liệu FGM rỗng

(Dạng 2) điều kiện biên SSSS với các tham số nền đàn hồi khác nhau (CPT, a/h = 50) . 73

Bảng 3.15. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông FGM rỗng điều kiện biên

SSSS với các hệ số rỗng khác nhau (FSDT, a/h = 10) ............................................. 74

Bảng 3.16. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông mỏng FGM rỗng điều kiện

biên SSSS với các hệ số rỗng khác nhau (CPT, a/h = 50) ........................................ 75

Bảng 3.17. Độ võng không thứ nguyên của tấm chữ nhật dày, vật liệu FGM rỗng

với các tỷ số kích thước cạnh b/a khác nhau (FSDT, a/h = 10) ............................... 77

Bảng 3.18. Độ võng không thứ nguyên của tấm chữ nhật mỏng, vật liệu FGM

rỗng với các tỷ số kích thước cạnh b/a khác nhau (CPT, a/h = 50) .......................... 78

Bảng 4.1. Tải trọng tới hạn của tấm chữ nhật đẳng hướng, điều kiện biên SSSS

chịu nén đều theo phương x ( ) .............................................................. 102

Bảng 4.2. Tải trọng tới hạn của tấm vuông đẳng hướng, chịu nén theo hai

phương ................................................................................................. 103

Bảng 4.3. Tải trọng tới hạn của tấm FGM rỗng chịu nén một

phương .................................................................. 104

Bảng 4.4. Tải trọng tới hạn của tấm FGM rỗng (e0 = 0.4, a/h = 10,

b/a = 1.5) với các dạng tải trọng nén khác nhau ..................................................... 104

Bảng 4.5. Tải trọng tới hạn của tấm rỗng vuông theo tỷ số kích thước

tấm a/h với các điều kiện biên khác nhau ............................................................... 105

Bảng 4.6. Tải trọng tới hạn của tấm vuông dày vật liệu FGM rỗng theo hệ số rỗng

với các quy luật phân bố lỗ rỗng và điều kiện biên khác nhau (a/h = 10, FSDT)107

Bảng 4.7. Tải trọng tới hạn của tấm vuông mỏng vật liệu FGM rỗng theo hệ số

rỗng với các quy luật phân bố lỗ rỗng và điều kiện biên khác nhau (a/h = 50, CPT)

................................................................................................................................. 108

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1. Mặt cắt ngang của gốm rỗng, có mật độ lỗ rỗng nhỏ ................................. 7

Hình 1.2. Vật liệu rỗng tổ ong hai chiều, có mật độ lỗ rỗng lớn ................................ 7

Hình 1.3. Vật liệu rỗng ba chiều: (a): bọt niken, (b) bọt thép ..................................... 8

Hình 1.4. Quy trình kỹ thuật tạo rỗng khi sản xuất bọt kim loại .............................. 10

Hình 1.5. Các dạng phân bố lỗ rỗng theo tọa độ chiều dày tấm và biến thiên của các đặc

trưng cơ học (E, G, ) tương ứng ................................................................................. 12

Hình 1.6. Thanh thép vuông, tròn, tấm sandwich bằng bọt thép ............................... 14

Hình 1.7. Tường/sàn bằng panel rỗng ........................................................................ 14

Hình 1.8. Giảm chấn của xe đua ................................................................................ 14

Hình 1.9. Cần trục nâng ............................................................................................. 14

Hình 1.10. Nguyên mẫu tên lửa Ariane 5 .................................................................. 14

Hình 2.1. Mô hình tấm chữ nhật rỗng trên nền đàn hồi ............................................ 22

Hình 2.2. Vị trí mặt trung bình và mặt trung hòa của tấm vật liệu FGM rỗng ......... 23

Hình 2.3. Biến dạng của tấm trong mặt phẳng xzth theo lý thuyết tấm FSDT .......... 25

Hình 2.4. Hình dạng hình học của tấm có biên cong ................................................ 30

Hình 2.5. Biến dạng của tấm trong mặt phẳng theo lý thuyết tấm cổ điển ............... 34

Hình 3.1. Mô hình tấm vật liệu FGM rỗng chịu uốn ................................................ 38

Hình 3.2. Các điều kiện biên theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất ......................... 39

Hình 3.3. Minh hoạ ràng buộc không thể dịch chuyển tại cạnh tấm ........................ 40

Hình 3.4. Các điều kiện biên theo lý thuyết cổ điển. ................................................ 44

Hình 3.5. Biến thiên độ võng của tấm FGM rỗng theo tỷ số kích thước tấm a/h với

các điều kiện biên khác nhau: (a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính .... 67

Hình 3.6. Biến thiên độ võng của tấm FGM rỗng theo tải trọng phân bố đều P

với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau (theo FSDT và CPT) ........................... 72

Hình 3.7. Biến thiên mô men uốn của tấm FGM rỗng theo tải trọng phân bố

đều P với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau (theo FSDT và CPT) ................. 72

Hình 3.8. Biến thiên mô men uốn của tấm FGM rỗng theo tải trọng phân bố

đều P với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau (theo FSDT và CPT) ................. 72

Hình 3.9. Biến thiên độ võng của tấm FGM rỗng theo tải trọng phân bố đều P

với các hệ số nền khác nhau (theo FSDT và CPT) ................................................... 74

Hình 3.10. Biến thiên độ võng của tấm dày (a/h = 10) theo hệ số rỗng e0 với các quy

luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính ...... 76

Hình 3.11. Biến thiên độ võng của tấm mỏng (a/h = 50) theo hệ số rỗng e0 với các

quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính

................................................................................................................................... 77

Hình 3.12. Biến thiên độ võng của tấm dày (a/h = 10), vật liệu FGM rỗng theo tỷ

số kích thước cạnh b/a với các điều kiện biên khác nhau: ........................................ 79

Hình 3.13. Biến thiên độ võng của tấm mỏng (a/h = 50), vật liệu FGM rỗng theo

tỷ số kích thước cạnh b/a với các điều kiện biên khác nhau:.................................... 79

Hình 4.1. Mất ổn định rẽ nhánh kiểu đối xứng ......................................................... 82

Hình 4.2. Mât ổn định rẽ nhánh kiểu bất đối xứng ................................................... 82

Hình 4.3. Mất ổn định của vòm................................................................................. 83

Hình 4.4. Mất ổn định của vỏ trụ chịu tải dọc trục và của vỏ cầu chịu áp lực ngoài ....... 83

Hình 4.5. Mô hình tấm vật liệu FGM rỗng chịu nén theo hai phương ..................... 85

Hình 4.6. Minh hoạ ràng buộc có thể dịch chuyển trong mặt phẳng tấm ................. 86

Hình 4.7. Đường cong sau ổn định của tấm vuông đẳng hướng ............................. 103

Hình 4.8. Biến thiên tải trọng tới hạn của tấm vuông, vật liệu FGM rỗng theo tỷ

số kích thước tấm a/h với các điều kiện biên khác nhau ........................................ 106

Hình 4.9. Biến thiên tải trọng tới hạn của tấm vuông dày (a/h = 10), vật liệu

FGM rỗng theo hệ số rỗng với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) SSSS,

xii

(b) CCCC, (c) SCSC, (d) SCSC,

................................................................................................................................. 109

Hình 4.10. Biến thiên tải trọng tới hạn của tấm vuông mỏng (a/h = 50), vật liệu

FGM rỗng theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) SSSS,

(b) CCCC, (c) SCSC, (d) SCSC,

................................................................................................................................. 110

Hình 4.11. Ảnh hưởng của dạng tải nén đến đường cong sau ổn định của tấm chữ

nhật dày (a/h = 10), vật liệu FGM rỗng với các điều kiện biên khác nhau: (a) SSSS,

(b) SCSC, (c) CCCC ................................................................................................ 110

Hình 4.12. Ảnh hưởng của dạng tải nén đến đường cong sau ổn định của tấm chữ

nhật mỏng (a/h = 50), vật liệu FGM rỗng với các điều kiện biên khác nhau: (a)

SSSS, (b) SCSC, (c) CCCC .................................................................................... 111

Hình 4.13. Ảnh hưởng của quy luật phân bố lỗ rỗng đến đường cong sau ổn định

................................................................................................................................. 112

Hình 4.14. Ảnh hưởng của hệ số rỗng e0 đến đường cong sau ổn định của tấm vật

liệu FGM rỗng ......................................................................................................... 113

Hình 4.15. Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo ξ đến đường cong sau ổn định của

tấm vật liệu FGM rỗng ............................................................................................ 114

Hình 4.16. Ảnh hưởng của tham số nền đàn hồi đến đường cong sau ổn định của

tấm vật liệu FGM rỗng ............................................................................................ 114

Hình 4.17. Ảnh hưởng của tỷ lệ kích thước tấm a/h đến đường cong sau ổn định của

tấm vật liệu FGM rỗng ............................................................................................ 115

Hình 4.18. Ảnh hưởng của tỷ lệ kích thước cạnh b/a đến đường cong sau ổn định

của tấm vật liệu FGM rỗng ..................................................................................... 115

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Vật liệu FGM rỗng (functionally graded porous material) được biết đến như là

một loại vật liệu nhẹ, có khả năng hấp thụ năng lượng tốt, thường được sử dụng để

chế tạo kết cấu sandwich, tấm tường, sàn cách âm, cách nhiệt, ... Ở vật liệu FGM

rỗng, các lỗ rỗng (porosity) phân bố liên tục theo một phương nhất định trong cấu

trúc kết cấu. Các đặc trưng cơ học của vật liệu vì thế cũng biến đổi trơn và liên tục,

nên tránh được sự bong tách, sự tập trung ứng suất tại các bề mặt tiếp xúc như thường

xảy ra đối với vật liệu composite truyền thống. Vì thế loại vật liệu này có thể coi là

một biến thể của vật liệu FGM (functionally graded material). Kết cấu sử dụng vật

liệu FGM rỗng đã và đang được được sử dụng ngày càng rộng rãi trong nhiều ngành

công nghiệp như: hàng không vũ trụ, ô tô, đóng tàu, xây dựng dân dụng, … Vì thế

việc tìm hiểu ứng xử cơ học của các kết cấu bằng loại vật liệu này luôn là một đề tài

hấp dẫn, thu hút sự quan tâm của giới khoa học trong và ngoài nước.

Hiện nay, các nghiên cứu về kết cấu bằng vật liệu FGM nói chung và bằng

vật liệu FGM rỗng nói riêng thường thực hiện bằng ba cách tiếp cận: Lời giải bán

giải tích, giải tích và phương pháp số. Trong luận án này, nghiên cứu sinh tiến hành

nghiên cứu bài toán phi tuyến uốn và ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng bằng lời

giải giải tích và bán giải tích. Các nghiên cứu gần đây cho thấy, với lời giải giải tích

các kết quả nghiên cứu về ứng xử uốn và ổn định chủ yếu tập trung vào phân tích

tuyến tính và các tính toán thực hiện trên mặt trung bình, với một số điều kiện biên

nhất định. Với bài toán phi tuyến hình học, để nhận được lời giải giải tích, thường

sử dụng hai phương pháp: tiếp cận cận theo ứng suất và tiếp cận theo chuyển vị. Lời

giải giải tích thường cồng kềnh, thời gian tính toán lớn khi ta tính toán với hệ trục

tọa độ truyền thống đi qua mặt trung bình hình học của tấm. Việc chọn hệ trục tọa

độ quy chiếu đi qua mặt trung hòa sẽ loại bỏ được tương tác màng-uốn-xoắn trong

các biểu thức quan hệ, làm cho các hệ thức, phương trình chủ đạo trở nên đơn giản

hơn, vì thế mà tiết kiệm được một cách đáng kể thời gian tính toán. Bài toán phân

tích phi tuyến kết cấu tấm bằng vật liệu FGM rỗng mới được quan tâm gần đây và

kết quả chưa nhiều, nhất là những tính toán có kể đến vị trí thực của mặt trung hòa.

Nghiên cứu về ứng xử cơ học của các kết cấu bằng vật liệu FGM rỗng là bài toán

không chỉ có ý nghĩa khoa học mà còn có ý nghĩa thực tiễn góp phần gia tăng ứng

dụng của loại vật liệu này trong các lĩnh vực kỹ thuật và đời sống.

Để góp phần làm phong phú thêm các hiểu biết cơ học của kết cấu tấm làm

bằng vật liệu FGM rỗng trên khía cạnh mô hình và phương pháp tính, luận án lựa

chọn đề tài:

“Phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng”

2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án

Trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển xây

dựng các hệ thức quan hệ và các phương trình chủ đạo của tấm bằng vật liệu FGM

rỗng với hệ toạ độ quy chiếu đặt trên mặt trung hoà. Tấm đặt trên nền đàn hồi

Pasternak với các điều kiện biên khác nhau, có kể đến độ không hoàn hảo hình học

ban đầu và thành phần biến dạng phi tuyến von Kárman.

Thiết lập lời giải giải tích cho bài toán phân tích phi tuyến ứng xử uốn của

tấm vật liệu FGM rỗng theo hai cách tiếp cận: theo ứng suất và theo chuyển vị.

Thiết lập lời giải giải tích cho bài toán phân tích phi tuyến ổn định và sau ổn

định của tấm vật liệu FGM rỗng theo tiếp cận ứng suất.

Viết chương trình tính trên nền Matlab để khảo sát ảnh hưởng của tham số

vật liệu, kích thước hình học, hệ số nền đàn hồi, điều kiện biên và tải trọng đến độ

võng, đường cong tải-mô men uốn, lực tới hạn và đường cong sau ổn định của tấm

bằng vật liệu FGM rỗng.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án

Đối tượng nghiên cứu của luận án là tấm chữ nhật có chiều dày không đổi

trên nền đàn hồi với các điều kiện biên khác nhau. Vật liệu FGM rỗng, cụ thể là bọt

kim loại (open-cell metal foam) với các lỗ rỗng biến đổi trơn theo chiều dày tấm

theo ba quy luật: phân bố đều, không đều đối xứng và không đều bất đối xứng được

khảo sát. Các hằng số vật liệu như vậy cũng biến đổi trơn theo ba quy luật trên, tuy

nhiên để đơn giản, hệ số Poisson được xem là không thay đổi theo chiều dày tấm.

Phạm vi nghiên cứu của luận án là: phân tích phi tuyến ứng xử uốn và ổn

định của tấm FGM rỗng: xác định độ võng, thành phần nội lực; tải trọng tới hạn và

đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng.

4. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu trong luận án là nghiên cứu lý thuyết và thực

nghiệm số. Trên cơ sở của lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển,

các hệ thức quan hệ phi tuyến và các phương trình chủ đạo của tấm vật liệu FGM

rỗng trên nền đàn hồi đã được thiết lập có xét đến vị trí thực của mặt trung hoà.

Chương trình tính trên nền Matlab đã được xây dựng nhằm khảo sát ảnh

hưởng của các tham số thiết kế đến ứng xử phi tuyến uốn, ổn định và sau ổn định

của tấm bằng vật liệu FGM rỗng với các điều kiện biên SSSS, CCCC, SCSC.

5. Những đóng góp mới của luận án

Luận án đã xây dựng hệ thức cơ sở và các phương trình chủ đạo, để phân

tích phi tuyến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng không hoàn

hảo trên nền đàn hồi, có kể đến vị trí thực của mặt trung hoà, và thành phần phi

tuyến hình học von Kárman, dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết

tấm cổ điển.

Thiết lập lời giải giải tích theo phương pháp ứng suất và phương pháp chuyển

vị để khảo sát ứng xử phi tuyến uốn tấm FGM rỗng. Sử dụng phương pháp Bubnov-

Galerkin để thu được hệ phương trình đại số phi tuyến xác định độ võng và thành

phần nội lực của tấm hoàn hảo với các mức tải trọng và điều kiện biên khác nhau.

Sử dụng hàm ứng suất Airy, kết hợp với phương pháp Bubnov-Galerkin, đã

thiết lập được biểu thức hiển của tải tới hạn và quan hệ tải - độ võng của tấm bằng

vật liệu FGM rỗng hoàn hảo và không hoàn hảo chịu nén trong mặt trung hòa.

Các kết quả khảo sát cho thấy ảnh hưởng rõ rệt của các tham số vật liệu (quy

luật phân bố, hệ số lỗ rỗng), nền đàn hồi, điều kiện biên, kích thước hình học đến

ứng xử tĩnh và ổn định của tấm FGM rỗng. Bộ số liệu thu được cùng các nhận xét

mang tính kỹ thuật là nguồn tham khảo hữu ích cho công tác thiết kế, thi công và

bảo trì các kết cấu sử dụng vật liệu FGM rỗng trong thực tế.

6. Bố cục của luận án

Luận án gồm: Mở đầu, bốn chương chính, kết luận, danh mục các công trình

khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo và phụ lục.

Mở đầu: Trong phần này trình bày cơ sở khoa học của đề tài, mục tiêu

nghiên cứu của luận án, đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án, phương pháp

nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài, bố cục của luận án.

Chương 1: Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Chương này trình bày khái niệm, tính chất và các quy luật phân bố của vật

liệu FGM rỗng, các phương pháp chế tạo kim loại rỗng, tính chất biến đổi trơn của

vật liệu FGM rỗng và ứng dụng. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về phân

tích tĩnh và ổn định của kết cấu tấm FGM nói chung và tấm FGM rỗng nói riêng.

Trên cơ sở tổng hợp các tài liệu khoa học, tiến hành phân tích các vấn đề đã được

nghiên cứu, những vấn đề cần tiếp tục được nghiên cứu đã được chỉ rõ. Từ đó

nghiên cứu sinh đề xuất hướng nghiên cứu, mục tiêu, nội dung và phương pháp

nghiên cứu của luận án.

Chương 2: Cơ sở lý thuyết tính toán tấm vật liệu FGM rỗng có kể đến yếu tố

phi tuyến hình học

Trong chương này, các hệ thức cơ bản, và hệ phương trình chủ đạo được

thiết lập dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất với 5 ẩn chuyển vị và lý thuyết

tấm cổ điển với 3 ẩn chuyển vị, có kể đến thành phần biến dạng phi tuyến von

Kárman và độ không hoàn hảo hình học ban đầu của tấm. Các tính toán cho tấm vật

liệu FGM rỗng đặt trên nền đàn hồi được thực hiện với hệ tọa độ quy chiếu đi qua

mặt trung hoà.

Chương 3: Phân tích phi tuyến ứng xử uốn của tấm bằng vật liệu FGM rỗng

Trên cơ sở các hệ thức cơ bản và các phương trình chủ đạo theo lý thuyết

biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển đã trình bày ở chương 2, trong

chương này, lời giải giải tích theo tiếp cận ứng suất và tiếp cận chuyển vị của tấm

hoàn hảo bằng vật liệu FGM rỗng, với các điều kiện biên khác nhau đã được thiết

lập. Với chương trình máy tính trên nền Matlab tự viết, các khảo sát số đã được tiến

hành nhằm đánh giá ảnh hưởng của tham số vật liệu, kích thước hình học, hệ số nền

đàn hồi, điều kiện biên và tải trọng uốn đến độ võng, đường cong tải-độ võng và tải-

mô men uốn.

Chương 4: Phân tích ổn định và sau ổn định tấm bằng vật liệu FGM rỗng

Bằng tiếp cận giải tích với hàm ứng suất trên cơ sở các hệ thức cơ bản và các

phương trình chủ đạo ở chương 2, phương pháp Bubnov-Galerkin được áp dụng để

giải hệ các phương trình vi phân đạo hàm riêng có hệ số là hàm, từ đó tìm được hệ

thức hiển để xác định tải tới hạn và đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM

rỗng hoàn hảo và không hoàn hảo. Các kết quả kiểm chứng đã khẳng định độ tin

cậy của phương pháp nghiên cứu trong luận án. Các khảo sát số được tiến hành để

đánh giá các yếu tố ảnh hưởng đến lực tới hạn và đường cong sau ổn định của tấm

FGM rỗng.

Kết luận: Trình bày những kết quả mới của luận án và các kiến nghị của tác

giả rút ra từ nội dung nghiên cứu.

Danh mục công trình khoa học của tác giả

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.1. Tổng quan về vật liệu FGM rỗng

Trong nhiều thập kỷ trở lại đây vật liệu composite lớp được sử dụng ngày càng

phổ biến trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật như hàng không dân dụng, giao thông vận tải,

công nghiệp quốc phòng, điện tử, y sinh, ... do có trọng lượng nhẹ, độ bền và độ cứng

riêng cao, chi phí bảo trì thấp, tính linh hoạt trong thiết kế, chế tạo để có được các tính

chất cơ học mong muốn. Tuy nhiên loại vật liệu này có thể bị bong tách lớp khi ứng

suất tiếp xúc giữa các bề mặt vượt quá giá trị cho phép. Thêm vào đó, chúng không

hoàn toàn thích hợp cho những ứng dụng trong môi trường nhiệt độ cao.

Gần đây, những hạn chế của vật liệu composite truyền thống đã được khắc

phục bởi sự ra đời của một loại composite thế hệ mới - vật liệu có cơ tính biến thiên

(Functionally Graded Material - FGM), đây là loại vật liệu được các nhà khoa học

vật liệu Nhật Bản phát kiến vào năm 1984 như là một loại vật liệu cách nhiệt [19]

và được sử dụng nhiều trong các ngành công nghiệp vũ trụ, công nghiệp hàng

không, công nghiệp năng lượng,…

Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) là loại vật liệu được tạo nên từ hai hay

nhiều pha với các thành phần biến đổi trơn và liên tục. Loại vật liệu tiên tiến này có

tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần biến đổi trơn và liên tục trong không

gian vật liệu. Các tính chất cơ học như mô đun đàn hồi Young, hệ số Poisson, mô

đun đàn hồi cắt, và khối lượng riêng của vật liệu, thay đổi trơn và liên tục theo các

hướng được ưu tiên trong vật liệu. Vật liệu FGM điển hình bao gồm hai thành phần

kim loại/ceramic, tận dụng được khả năng chịu nhiệt tốt của thành phần ceramic và

độ bền dẻo của thành phần kim loại. Do không tồn tại bề mặt phân chia giữa các lớp

vật liệu, vì thế tránh được sự tập trung ứng suất và không xảy ra sự bong tách.

Một trong những phát triển mới nhất gần đây của vật liệu FGM là vật liệu

rỗng hay vật liệu xốp (porous materials) có các lỗ rỗng (hay bọt xốp) trong cấu trúc

vật liệu. Các lỗ rỗng này phân bố liên tục với một quy luật phân bố các lỗ rỗng xác

định nhằm đạt được những tính chất cơ học mong muốn của người thiết kế. Do có

trọng lượng nhẹ, các kết cấu làm từ vật liệu FGM rỗng, chẳng hạn bọt kim loại

(metal foam) có tiềm năng ứng dụng trong công nghiệp hàng không, công nghiệp ô

tô, xây dựng dân dụng, …[14, 58, 84, 103]. Với khả năng hấp thụ năng lượng tốt,

bọt kim loại là lựa chọn thích hợp cho các kết cấu chịu tải trọng động, tải trọng va

chạm [12, 27, 80, 85]. Kết hợp giữa vật liệu có cơ tính biến thiên và vật liệu rỗng

cho ra đời một kết cấu có các lỗ rỗng biến đổi trơn, quy luật phân bố các lỗ rỗng

cũng như hệ số rỗng có thể điều khiển được theo mong muốn của người sử dụng.

1.2. Các loại vật liệu FGM rỗng

Mật độ và kích thước các lỗ rỗng là khác nhau với từng chủng loại vật liệu

FGM rỗng, về cơ bản có thể chia thành ba loại: rỗng thấp, rỗng trung bình và rỗng

lớn. Vật liệu với độ rỗng thấp và trung bình có các lỗ rỗng kín, ứng xử như là một

pha tạp chất (Hình 1.1).

Hình 1.1. Mặt cắt ngang của gốm rỗng, Hình 1.2. Vật liệu rỗng tổ ong hai chiều,

có mật độ lỗ rỗng nhỏ có mật độ lỗ rỗng lớn

Với vật liệu có độ rỗng lớn, có hai trường hợp, được phân loại theo cấu trúc

của lỗ rỗng và pha rắn liên tục. Trường hợp thứ nhất pha rắn phân bố thành dãy đa

giác hai chiều, các lỗ rỗng kín cũng được tạo thành các dãy đa giác tương tự; hình

dạng mặt cắt ngang của lỗ rỗng thường là tam giác, tứ giác hoặc lục giác. Cấu trúc

này nhìn tương tự như lõi tổ ong, vì vậy vật liệu rỗng hai chiều như thế này còn gọi là

vật liệu tổ ong (honeycomb materials – Hình 1.2). Vật liệu FGM rỗng có các lỗ rỗng

được định hướng [77], được gọi là vật liệu rỗng kiểu hoa sen, có cấu trúc tương tự vật

liệu tổ ong, nhưng hình dạng mặt cắt ngang của lỗ rỗng là hình tròn hoặc hình elip.

Trong trường hợp thứ hai, các pha rắn phân bố liên tục dạng cấu trúc lưới ba chiều,

và được gọi là vật liệu bọt ba chiều (three-dimensional foam materials). Loại vật liệu

này có các lỗ rỗng tạo thành một cấu trúc hở (open-cell structures – Hình 1.3).

(a) (b)

Hình 1.3. Vật liệu rỗng ba chiều: (a): bọt niken, (b) bọt thép

Chất rắn rỗng có thể chia thành hai loại: tự nhiên và nhân tạo. Chất rắn rỗng

tự nhiên có thể tìm thấy phổ biến như xương người và xương động vật, gỗ, bọt biển,

san hô, đá bọt và dung nham. Vật liệu rỗng nhân tạo có các thành phần rỗng chủ

yếu là pha khí, được phân thành bọt kim loại rỗng, bọt gốm rỗng và bọt polymer.

Trong khuôn khổ luận án chỉ tập trung nghiên cứu về bọt kim loại rỗng (open-metal

foam) là loại vật liệu được sử dụng nhiều trong kỹ thuật.

1.3. Phương pháp chế tạo bọt kim loại rỗng

Chế tạo kim loại rỗng (porous metals) có một lịch sử dài. Phương pháp chế tạo

đầu tiên bằng quá trình luyện kim bột được tiến hành vào đầu thế kỷ hai mươi. Với sự

phát triển công nghệ và tính cấp thiết của loại vật liệu mới này, ngày nay có thể chế

tạo được kim loại rỗng với 98% lỗ rỗng hoặc hơn. Tuy nhiên trong những năm đầu

thế kỷ, loại vật liệu này mới chỉ đạt được độ rỗng thấp khoảng 30%. Hiện nay có

nhiều phương pháp khác nhau để chế tạo loại kim loại rỗng [16, 29, 67, 68, 107].

1.3.1. Luyện bột kim loại (Powder Metallurgy)

Luyện bột kim loại là quá trình mà qua đó vật liệu rỗng được hình thành bởi

quá trình trộn bột, đóng khuôn và nung kết. Tỷ lệ lỗ rỗng, bán kính và phân bố lỗ

rỗng của vật liệu có thể kiểm soát một cách hiệu quả. Kim loại rỗng được sản xuất

bằng cách nung bột kim loại đến nhiệt độ thiêu kết, lúc này bột kim loại vẫn duy trì

ở trạng thái rắn. Kim loại rỗng sau khi được nung kết có cấu trúc lỗ rỗng kín với độ

rỗng nhỏ, hoặc lỗ rỗng hở với độ rỗng lớn. Cấu trúc pha rắn là những hạt hình cầu

được liên kết với nhau tạo ra khung rỗng giữa các hạt. Thiêu kết bột kim loại là

phương pháp sớm nhất để tạo ra kim loại rỗng và nó cũng là phương pháp chung

được sử dụng trong ngành luyện bột kim loại.

Để sản xuất vật liệu rỗng người ta thường dùng các loại bột hình cầu đều

nhau với ưu điểm dễ dàng kiểm soát bán kính lỗ rỗng và thẩm thấu tốt, các hạt

không đồng đều và không có dạng hình cầu sẽ bị loại bỏ. Với các hạt không có hình

dạng xác định để làm tăng độ rỗng người ta sử dụng các chất tạo lỗ như Ammonium

acid carbonate urea cellulose (NH4HCO3), (CH4N2O), methyl

(C6H7O2(OH)x(OCH3)y).

1.3.2. Nung kết sợi (Fiber Sintering)

Nung kết sợi kim loại được tiến hành tương tự như luyện bột kim loại, trong

đó sợi kim loại được thay thế toàn bộ hoặc một phần của bột kim loại trong quá

trình chuẩn bị nguyên liệu.

1.3.3. Nung chảy kim loại

Trong quá trình kim loại nóng chảy pha khí được giải phóng tạo nên lỗ rỗng

trong vật liệu, hàm lượng pha khí được thay đổi tạo ra mật độ lỗ rỗng khác nhau.

Khí phát ra từ quá trình nung làm đẩy nhanh quá trình xuất hiện pha lỏng, cuối cùng

bọt kim loại được tạo ra trong quá trình làm lạnh. Sau khi tiếp xúc với kim loại

nóng chảy, các tác nhân tạo lỗ rỗng sẽ phân hủy nhanh chóng, các bọt khí được giải

phóng tạo nên sự phân phối đồng đều của lỗ rỗng trong thời gian ngắn (Hình 1.4).

Hình 1.4. Quy trình kỹ thuật tạo rỗng khi sản xuất bọt kim loại

1.3.4. Phun khí vào kim loại

Phương pháp này dễ thực hiện và chi phí sản xuất thấp hơn. Vấn đề là cần

kiểm soát nhiệt độ tạo bọt nóng chảy và thời gian xử lý cần thiết trong quá trình chế

tạo. Bọt kim loại sản xuất bằng phương pháp phun khí vào kim loại có kích thước lỗ

rỗng khác nhau và mật độ lỗ rỗng lớn (lên đến > 90%). Khí từ bên ngoài được bơm

vào đáy của kim loại nóng chảy để tạo ra bọt khí. Khí được sử dụng ở đây có thể là

không khí, hơi nước, oxy, cacbonic hoặc khí trơ.

1.3.5. Đúc thẩm thấu

Trong quá trình đúc thẩm thấu các hạt rỗng vô cơ hoặc hữu cơ được sắp xếp

sẵn trong khuôn đúc, kim loại nóng chảy được đưa vào thẩm thấu giữa các hạt rỗng.

Các kim loại rỗng thu được sau khi loại bỏ các hạt rỗng bằng cách hòa tan trong dung

môi hoặc bằng quy trình xử lý nhiệt. Các hạt vô cơ có khả năng chịu nhiệt và có thể

hòa tan trong dung môi như NaCl, bóng đất sét nung, bóng cát, bóng bọt thủy tinh...

1.4. Tính chất biến đổi trơn của vật liệu FGM rỗng

Trong các tài liệu, các nhà nghiên cứu sử dụng các phương pháp luận khác

nhau để nhận được các thuộc tính biến đổi trơn của vật liệu FGM rỗng. Mặc dù vậy

các tác giả đều cho rằng các đặc trưng cơ học vật liệu có thể không thay đổi (phân

bố lỗ rỗng đều) hoặc biến thiên theo quy luật hàm cosine (phân bố lỗ rỗng không

đều) theo phương chiều dày. Dưới đây, trong khuôn khổ luận án ta xét tấm bằng vật

liệu FGM rỗng - bọt kim loại (open-cell metal foam) với ba quy luật phân bố: Phân

bố đều, phân bố không đều đối xứng và phân bố không đều bất đối xứng.

Mô đun đàn hồi kéo - nén, mô đun đàn hồi trượt và khối lượng riêng của vật

liệu FGM rỗng (metal foam) phụ thuộc vào mật độ phân bố lỗ rỗng, và biến thiên

liên tục theo chiều dày tấm. Các quy luật này đã được đề cập đến trong một số

nghiên cứu và có dạng sau [17, 24, 25, 71, 114, 126]:

Phân bố đều (xem Hình 1.5a):

(1.1)

Phân bố không đều - đối xứng (xem Hình 1.5b):

(1.2)

Phân bố không đều - bất đối xứng (xem Hình 1.5c):

(1.3)

Các hệ số mật độ lỗ rỗng được tính theo công thức (1.4):

(1.4)

trong đó:

: Giá trị lớn nhất của mô đun đàn hồi kéo - nén vật liệu

: Giá trị lớn nhất của mô đun đàn hồi trượt vật liệu

: Giá trị lớn nhất của khối lượng riêng

: Giá trị nhỏ nhất nhất của mô đun đàn hồi kéo - nén vật liệu

: Giá trị nhỏ nhất của mô đun đàn hồi trượt vật liệu

: Giá trị nhỏ nhất của khối lượng riêng

Trên thực tế với vật liệu FGM rỗng thì hệ số Poisson phụ thuộc vào mật độ

phân bố lỗ rỗng, biến thiên liên tục theo chiều dày tấm theo các quy luật như

trong (1.1) - (1.3). Tuy nhiên trong các nghiên cứu về vật liệu FGM nói

chung và vật liệu FGM rỗng nói riêng, để đơn giản hệ số Poison đều được các tác

giả giả thiết là không đổi theo chiều dày [52, 71, 72, 91, 114]. Vì vậy trong luận án,

hệ số Poisson cũng được coi là không thay đổi theo tọa độ chiều dày tấm.

bất đối xứng đối xứng

Hình 1.5. Các dạng phân bố lỗ rỗng theo tọa độ chiều dày tấm và biến thiên của

các đặc trưng cơ học (E, G, ) tương ứng

1.5. Ứng dụng của vật liệu GFM rỗng

Hiện nay vật liệu FGM rỗng có nhiều tiềm năng để sử dụng trong các kết cấu

(chịu lực và không chịu lực) so với các loại vật liệu truyền thống do các ưu điểm:

Ưu điểm của kết cấu chịu lực Ưu điểm của kết cấu không chịu lực

Giảm trọng lượng Tăng khả năng cách nhiệt

Tối ưu hoá độ cứng (đặc biệt là độ cứng Cải thiện khả năng cách âm

chống uốn Lưu thông không khí/chất lỏng trong vật

Tiêu tán năng lượng lớn liệu

Chịu được tải trọng va chạm Che chắn bức xạ điện từ

Điều chỉnh tần số dao động Hạn chế bóc tách do sự giãn nở vì nhiệt

Bọt kim loại có tỷ lệ độ cứng trên trọng lượng lớn, ứng dụng rất tốt đối với

các kết cấu chịu uốn vì độ cứng chống uốn cao hơn so với thép truyền thống khi có

cùng trọng lượng. Bọt kim loại được sử dụng phần lớn trong các lĩnh vực: hàng

không vũ trụ, điện tử và truyền thông, vận tải, năng lượng nguyên tử, y tế, bảo vệ

môi trường, luyện kim, máy móc, xây dựng, điện hóa học, hóa dầu và công nghiệp

sinh học. Bọt kim loại có thể được chế tạo thành các bộ trao đổi nhiệt, bộ tản nhiệt,

chất chống cháy, bộ giảm âm, bộ đệm giảm xóc, các bộ phận cấy ghép người, lá

chắn điện từ và vật liệu cấu trúc nhẹ. Chúng đóng một vai trò quan trọng trong sự

phát triển khoa học và công nghệ và có thể thúc đẩy nền kinh tế quốc gia.

Phát huy lợi thế của vật liệu, bọt kim loại có thể sử dụng làm tấm sandwich

(Hình 1.6), tường, sàn (Hình 1.7) với bề mặt thép lõi bọt kim loại (tấm sandwich dày

16mm với lớp bề mặt dày 1 mm, lõi bọt thép dày 14mm có độ cứng chống uốn bằng

tấm thép dày 10mm, trong khi giảm được 35% khối lượng). Bọt kim loại còn được

sử dụng để chế tạo bộ phận giảm chấn trong xe đua (Hình 1.8), cần trục nâng của xe

cẩu (Hình 1.9), các chi tiết trong tên lửa (Hình 1.10), thiết bị làm lạnh công nghiệp,

vật liệu cách nhiệt, cách âm, ống xả…[103]

Hình 1.6. Thanh thép vuông, tròn, tấm sandwich bằng bọt thép

Hình 1.7. Tường/sàn bằng panel rỗng

Hình 1.8. Giảm chấn của xe đua

Hình 1.9. Cần trục nâng Hình 1.10. Nguyên mẫu tên lửa Ariane 5

1.6. Tổng quan các nghiên cứu về kết cấu tấm bằng vật liệu FGM và FGM rỗng

Bởi tiềm năng ứng dụng của vật liệu FGM trong các lĩnh vực công nghệ, các

nghiên cứu về ứng xử cơ học của kết cấu bằng vật liệu FGM ngày càng thu hút sự

quan tâm của cộng đồng khoa học trong và ngoài nước. Các nghiên cứu tổng quan

về vật liệu FGM, về phương pháp chế tạo, các mô hình và phương pháp tính được

trình bày bởi Kieback và cs. [51], Jha và cs. [46], Gibson [42], Swaminathan [105],

Gupta và Talha [41], Thai và Kim [111], Ghatage [40].

Nhiều công trình về phân tích tuyến tính ứng xử tĩnh và động các kết cấu dầm,

tấm và vỏ FGM đã được thực hiện trong thời gian gần đây. Trong số các nghiên cứu

quan trọng về lĩnh vực này không thể không kể đến một số tác giả tiêu biểu sau đây:

Reddy [69, 86, 87], Zenkour [132-134], Liew [66, 136, 137], Kiani [15, 48, 50], ... Các

phân tích tuyến tính kể trên chấp nhận giả thiết biến dạng bé cũng như quan hệ ứng

suất – biến dạng là bậc nhất thuần nhất. Tuy nhiên với phần lớn các bài toán thực tế các

giả thiết của mô hình tuyến tính bộc lộ những hạn chế khi coi độ cứng kết cấu là không

đổi trong quá trình chịu lực, mô hình phi tuyến thường được sử dụng khi phân tích ứng

xử cơ học của các kết cấu công trình. Các bài toán thực tế thường sử dụng mô hình phi

tuyến vật liệu, hoặc phi tuyến hình học hoặc cả hai. Hiểu biết tường tận về phi tuyến

ứng xử uốn và ổn định sẽ trợ giúp công tác tối ưu hóa thiết kế, thi công và bảo trì các

kết cấu bằng vật liệu FGM. Shen trong tài liệu chuyên khảo [99] đã trình bày cơ sở lý

thuyết để phân tích phi tuyến tĩnh, dao động và ổn định của kết cấu tấm và vỏ FGM.

1.6.1. Các nghiên cứu về phân tích phi tuyến ứng xử uốn của kết cấu tấm FGM

Tấm là một trong những cấu kiện phổ biến trong kết cấu công trình, các bản

sàn, vách ngăn, mái che hay mặt đường, chủ yếu chịu tải trọng vuông góc với bề

mặt tấm. Do vậy nghiên cứu ứng xử uốn của kết cấu tấm FGM có kể đến yếu tố phi

tuyến hình học là vấn đề có tính thực tiễn, và được khảo sát với nhiều khía cạnh thể

hiện qua số lượng lớn các công bố trong thời gian gần đây.

Woo và Meguid [122] sử dụng lý thuyết chuyển vị lớn với thành phần biến

dạng phi tuyến von Kárman để thiết lập lời giải giải tích dạng chuỗi Fourier của tấm

và vỏ thoải FGM mỏng chịu tải uốn trong môi trường nhiệt độ. Trên cơ sở lý thuyết

tấm cổ điển, Alinia và Ghannadpour [9] phân tích phi tuyến tấm FGM vuông bằng

cách cực tiểu hóa năng lượng toàn phần. Khabbaz và cs. [54] phân tích độ võng lớn

và biến thiên của các thành phần ứng suất theo tọa độ chiều dày của tấm FGM sử

dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT - first-order shear deformation theory),

bậc ba (TSDT - third-order shear deformation theory) bằng phương pháp năng

lượng. Shen [97] khảo sát ứng xử uốn phi tuyến của tấm FGM gia cường bằng ống

carbon nanotube (CNT) đơn vách liên kết khớp trên các cạnh sử dụng lý thuyết biến

dạng cắt bậc ba của Reddy (R-TSDT) và kỹ thuật hàm phạt. Cũng với cách tiếp cận

này, Shen trong [101] khảo sát đường cong tải - độ võng và tải - mô men uốn nội

lực của tấm FGM gia cường bởi graphene. Yin và cs. [129, 131] khảo sát ảnh hưởng

của điều kiện biên, chỉ số tỷ lệ thể tích, tham số hình học của tấm FGM bằng

phương pháp đẳng hình học theo lý thuyết tấm FSDT và lý thuyết tấm FSDT cải

tiến. Reddy [88] phát triển lý thuyết biến dạng cắt bậc ba tổng quát có kể đến thành

phần biến dạng phi tuyến von Kárman để xây dựng mô hình phần tử hữu hạn phân

tích phi tuyến ứng xử uốn, ổn định và dao động của kết cấu tấm FGM. Bằng cách sử

dụng phương pháp không lưới cải tiến (improved moving Kriging meshfree

method) và lý thuyết biến dạng cắt bốn ẩn chuyển vị, Nguyen và cs. [79] phân tích

phi tuyến ứng xử tĩnh và động của tấm FGM. Chalal và Abed-Meraim [22] sử dụng

phần tử vỏ khối (solid-shell element) xây dựng mô hình phần tử hữu hạn (PTHH)

để phân tích phi tuyến kết cấu FGM mỏng. Alvarado và cs. xây dựng mô hình

phần tử hữu hạn theo tiếp cận ứng suất, theo tiếp cận hỗn hợp ứng suất,

chuyển vị để phân tích trường ứng suất và biến dạng trong tấm và vỏ bằng vật

liệu thuần nhất [31, 32] và bằng vật liệu FGM [93]. Kim và Lee [53] sử dụng

phương pháp đẳng hình học và lý thuyết tấm FSDT có kể đến vị trí mặt trung hòa

để phân tích phi tuyến tấm FGM chịu uốn. Shen và Wang [98] phân tích phi tuyến

tấm FGM trên nền đàn hồi Pasternak chịu tải trọng uốn và tải trọng nén ban đầu trên

các cạnh, trong môi trường nhiệt độ, sử dụng phương pháp hàm phạt và lý thuyết

biến dạng cắt bậc cao (HSDT). Van-Do và Lee [115] sử dụng phương pháp không

lưới (modified mesh-free radial point interpolation method) kết hợp với lý thuyết

HSDT phân tích phi tuyến ứng xử uốn của tấm FGM. Phân tích phi tuyến tấm

sandwich tròn và vành khuyên với lớp bề mặt bằng vật liệu FGM, lớp lõi bằng vật

liệu đẳng hướng chịu uốn bởi tải trọng cơ học và nhiệt độ bằng lý thuyết tấm FSDT

và phương pháp sai phân hữu hạn được Yoosefian và cs. trình bày trong [130].

Có thể thấy rằng các phân tích uốn của tấm FGM thường sử dụng phương

pháp số (PTHH, không lưới, đẳng hình học,...) hay phương pháp giải tích. Các

phương pháp giải tích hay bán giải tích chủ yếu dùng kỹ thuật hàm phạt (two-step

pertubation technique), hoặc phương pháp Galerkin sử dụng hàm ứng suất Airy. Hầu

như chưa có tác giả nào sử dụng tiếp cận theo chuyển vị với dạng chuỗi hữu hạn để

giải bài toán phi tuyến uốn. Điều này có thể là do khi sử dụng phương pháp chuyển vị

với dạng nghiệm giả thiết dưới dạng chuỗi Fourier, độ chính xác lời giải phụ thuộc

vào số số hạng của chuỗi sử dụng trong tính toán để đạt được độ hội tụ. Điều này là

trở ngại lớn khi sử dụng máy tính cá nhân, đặc biệt là với những bài toán phi tuyến.

1.6.2. Các nghiên cứu về ổn định và sau ổn định của kết cấu tấm FGM

Đặc trưng ổn định và sau ổn định của kết cấu là một trong những yếu tố quan

trọng trong tính toán thiết kế các chi tiết máy và cấu kiện công trình. Vì thế ổn định

và sau ổn định của tấm FGM là chủ đề nghiên cứu thu hút sự chú ý của nhiều tác

giả trong và ngoài nước.

Eslami và cs. đã trình bày các nghiên cứu về ổn định và sau ổn định của

kết cấu dầm, tấm và vỏ trong sách chuyên khảo [38]. Wu và cs. [124] khảo sát

ứng xử sau ổn định của tấm FGM chịu tác dụng của tải trọng cơ nhiệt bằng

phương pháp giải tích sử dụng chuỗi đa thức kép hữu hạn Chebyshev trên cơ sở

lý thuyết FSDT. Sử dụng hàm ứng suất kết hợp với phương pháp Galerkin, Van

Tung và Duc [119] nghiên cứu ổn định của tấm mỏng FGM liên kết khớp trên

các cạnh, chịu tác dụng đồng thời của tải trọng cơ-nhiệt. Với tiếp cận giải tích

tương tự, các tác giả này sau đó đã khảo sát ứng xử ổn định và sau ổn định của

tấm dày FGM đặt trên nền đàn hồi theo lý thuyết tấm R-TSDT. Nghiên cứu tiếp

theo của Duc và Tung về ứng xử sau ổn định của tấm FGM chịu tải trọng cơ và

nhiệt của tấm FGM với cơ tính phụ thuộc vào nhiệt độ theo lý thuyết FSDT được

trình bày trong [33]. Prakash và cs. [81] nghiên cứu ảnh hưởng của vị trí mặt

trung hòa đến ứng xử ổn định phi tuyến của tấm FGM bằng phương pháp PTHH

và lý thuyết FSDT. Lee và cs. [57] phân tích sau ổn định tấm FGM chịu nén trên

các cạnh trong môi trường nhiệt độ sử dụng lý thuyết FSDT kết hợp với phương

pháp không lưới kp-Ritz. Duc và Cong [34] khảo sát sau ổn định của tấm S-FGM

chịu tác dụng của tải trọng cơ nhiệt bằng phương pháp hàm ứng suất trên cơ sở

lý thuyết tấm HSDT. Shen và cs. [100] phân tích sau ổn định của tấm FGM

nhiều lớp gia cường bởi graphene chịu tải nén theo một phương đặt trên nền đàn

hồi và làm việc trong môi trường nhiệt sử dụng lý thuyết tấm R-TSDT và kỹ

thuật hàm phạt. Duc và Cong [35] phân tích phi tuyến sau ổn định của tấm mỏng

FGM có gân gia cường đặt trên nền đàn hồi trong môi trường nhiệt sử dụng kỹ

thuật san bằng độ cứng Lekhnitskij, hàm ứng suất Airy và phương pháp

Galerkin. Phân tích phi tuyến ổn định và sau ổn định của tấm FGM không hoàn

hảo gia cường bằng gân FGM sử dụng kỹ thuật san bằng độ cứng và lý thuyết

HSDT kết hợp phương pháp Galerkin được Van Dung và Nga trình bày trong

[118]. Moita và cộng sự [75] sử dụng phương pháp PTHH trên cơ sở lý thuyết

HSDT phân tích ổn định phi tuyến tấm FGM chịu tác dụng của tải trọng cơ-

nhiệt. Thang và cs. [112] sử dụng phương pháp Galerkin và hàm ứng suất, thiết

lập lời giải giải tích phân tích ổn định phi tuyến tấm S-FGM không hoàn hảo, có

chiều dày thay đổi theo lý thuyết tấm cổ điển. Cũng với cách tiếp cận tương tự,

các tác giả này trình bày phân tích phi tuyến ổn định của tấm mỏng FGM không

hoàn hảo gia cường bằng CNT trong [113]. Sử dụng phương pháp đẳng hình học

và lý thuyết HSDT, Van Do và cs. [116] phân tích ổn định phi tuyến của tấm

FGM chịu tác dụng của các trường nhiệt độ khác nhau. Phân tích sau ổn định của

tấm FGM không hoàn hảo, chịu tải trọng màng bằng phương pháp không lưới và

lý thuyết HSDT được Van Do và cs. trình bày trong [117]. Shen và cs. [102]

khảo sát ổn định động phi tuyến của tấm FGM nhiều lớp gia cường bằng

graphene đặt trên nền đàn hồi trong môi trường nhiệt khác nhau theo lý thuyết

tấm R-TSDT.

Qua các công trình đã nêu ở trên có thể thấy rằng các nghiên cứu về ổn định và

sau ổn định của tấm FGM chịu tải nén màng, bên cạnh các phương pháp số, với tiếp

cận giải tích, các tác giả phần lớn sử dụng hàm ứng suất Airy kết hợp với phương pháp

Galerkin để nhận được hệ phương trình khảo sát ổn định phi tuyến của tấm. Tuy nhiên

với tấm sử dụng vật liệu FGM rỗng các công bố còn chưa được đề cập đến.

1.6.3. Các nghiên cứu về vật liệu FGM rỗng

Được xếp vào loại vật liệu nhẹ, vật liệu FGM rỗng đã và đang được sử

dụng để chế tạo những cấu kiện cách âm, cách nhiệt hay chịu được tải trọng va

đập, chính vì thế đã có nhiều công trình về ứng xử cơ học của kết cấu FGM rỗng

công bố trong vài thập kỷ gần đây. Magnucki và cs. [71] thiết lập mô hình toán

học cho tấm bằng vật liệu FGM rỗng với hàm chuyển vị bậc ba có kể đến biến

dạng cắt ngang để phân tích uốn và ổn định. Magnucka-Blandzi [70] tính toán độ

võng và lực tới hạn cho tấm tròn bằng vật liệu FGM rỗng liên kết khớp trên chu

tuyến chịu tải nén đều trong mặt trung bình và tải trọng uốn đối xứng trục.

Mojahedin [76] phân tích ổn định của tấm tròn bằng vật liệu FGM rỗng theo lý

thuyết biến dạng cắt bậc cao. Lời giải chính xác cho phân tích dao động tự do

của tấm dày hình chữ nhật làm bằng vật liệu FGM rỗng ở trạng thái bão hòa chất

lỏng được Rezae và Saidi trình bày trong [91] dựa trên lý thuyết biến dạng cắt

bậc ba. Các ảnh hưởng của áp suất chất lỏng, điều kiện biên, kích thước hình học

và mật độ phân bố lỗ rỗng đến tần số dao động riêng đã được khảo sát. Công bố

tiếp theo của hai tác giả này về ảnh hưởng của lỗ rỗng đến tần số dao động riêng

của tấm dày bằng vật liệu FGM rỗng với điều kiện biên Levy được trình bày

trong [92]. Arani và cộng sự [10] nghiên cứu dao động tự do của tấm chữ nhật

trên nền Winkler làm bằng vật liệu FGM rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc

ba của Reddy, tần số dao động xác định bằng phương pháp DQM (differential

quadrature method). Leclaire [56] đã phân tích dao động riêng của tấm mỏng chữ

nhật làm bằng vật liệu FGM rỗng có dạng bão hòa bởi chất lỏng. Li và cs. [60]

phân tích dao động riêng của vỏ trụ bằng vật liệu FGM rỗng với điều kiện biên

bất kỳ bằng phương pháp bán giải tích. Ebrahimi và cs. [36] khảo sát ảnh hưởng

của dạng phân bố và hệ số rỗng đến tần số dao động riêng của vỏ trụ tròn bằng

bọt kim loại (metal foam) sử dụng lý thuyết vỏ bậc nhất và dạng nghiệm chuỗi

thỏa mãn điều kiện biên hai đầu vỏ. Nhóm tác giả này sau đó tính toán tần số dao

động riêng cho tấm bằng vật liệu FGM rỗng đặt trên nền đàn nhớt với các dạng

phân bố lỗ rỗng và điều kiện biên khác nhau, kết quả trình bày trong [37].

So với vật liệu FGM truyền thống, các nghiên cứu về kết cấu bằng vật

liệu FGM rỗng (FGP – functionally graded porous materials) thực sự còn khá

khiêm tốn, đặc biệt với hướng phân tích phi tuyến. Chen và cs. [26] phân tích

dao động phi tuyến dầm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGM rỗng (metal

foam) với ba dạng phân bố lỗ rỗng và điều kiện biên khác nhau bằng phương

pháp Ritz. Akbas [8] khảo sát ảnh hưởng của lỗ rỗng đến ứng xử tuyến tính và

phi tuyến tĩnh của dầm FGP Timoshenko bằng phương pháp PTHH. Wang và

Zu [121] nghiên cứu dao động cưỡng bức phi tuyến của dầm FGM áp điện có

vi bọt rỗng bằng cả hai phương pháp: giải tích và PTHH. Fouadi và cs. [39]

phân tích phi tuyến ứng xử uốn của dầm FGM có vi bọt rỗng theo mô hình dầm

bậc nhất bằng phương pháp không lưới.

Nam và cs. [78] phân tích phi tuyến ổn định và sau ổn định của tấm FGP

có gân gia cường theo lý thuyết tấm R-TSDT sử dụng hàm ứng suất và phương

pháp Galerkin. Sử dụng lý thuyết FSDT, Duc và cs. [30] khảo sát ứng xử phi

tuyến động của tấm FGM có vi bọt rỗng sử dụng hàm ứng suất và phương pháp

Runge-Kuta. Li và cs. [61] phân tích dao động phi tuyến và ổn định động của

tấm FGP sandwich gia cường bằng mảnh graphene đặt trên nền đàn hồi. Huang

và cs. [43] phân tích phi tuyến dao động riêng và dao động cưỡng bức của tấm

FGM có vi bọt rỗng đặt trên nền đàn hồi phi tuyến bằng phương pháp hàm phạt.

Cong và cs. [21] nghiên cứu ổn định và sau ổn định của tấm FGM có vi bọt rỗng

và độ không hoàn hảo hình học ban đầu dựa trên lý thuyết HSDT, hàm ứng suất

và phương pháp Galerkin. Phung-Van và cs. [83] phân tích phi tuyến đáp ứng

thời gian của tấm FGM có vi bọt rỗng chịu tác dụng đồng thời của tải trọng cơ-

nhiệt-ẩm bằng kết hợp giữa phương pháp đẳng hình học và lý thuyết TSDT. Xie

và cs. [125] phân tích dao động phi tuyến của tấm FGM có vi bọt rỗng bằng tiếp

cận cân bằng năng lượng. Dat và cs. [28] phân tích động lực phi tuyến và dao

động của tấm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGP gia cường bởi ống CNT sử

dụng hàm ứng suất Airy, phương pháp Galerkin và lý thuyết TSDT.

Có thể thấy rằng với kết cấu tấm, vỏ bằng vật liệu FGM rỗng, các phân tích

tuyến tính cũng như phi tuyến đều thực hiện với hệ trục tọa độ quy chiếu đặt trên

mặt trung bình hình học của kết cấu. Các tính toán có kể đến yếu tố vị trí thực của

mặt trung hòa còn chưa được xem xét đến, đối với bài toán ổn định thì tiếp cận này

thực sự cần thiết.

1.7. Tóm tắt chương 1

Qua nghiên cứu tổng quan, các nghiên cứu phân tích về kết cấu dầm và tấm

bằng vật liệu FGM rỗng (metal foam) hay bằng vật liệu FGM có chứa vi bọt rỗng

(FGM with porosity) ta có thể thấy rằng có rất ít các công trình nghiên cứu về ứng

xử phi tuyến uốn, ổn định và sau ổn định của kết cấu tấm sử dụng vật liệu FGM

rỗng. Đặc biệt là chưa có phân tích, so sánh đánh giá một cách đầy đủ về hai cách

tiếp cận ứng suất và chuyển vị để giải quyết bài toán uốn, ổn định và sau ổn định

của tấm FGM rỗng có kể đến tính phi tuyến hình học.

Với tiềm năng sử dụng loại vật liệu này hiện tại và trong tương lai, tác giả

luận án đề xuất hướng nghiên cứu của mình với định hướng về phân tích phi tuyến

ứng xử uốn, của kết cấu tấm FGM rỗng bằng phương pháp giải tích với hai cách

tiếp cận: theo chuyển vị và theo hàm ứng suất Airy. Phân tích ổn định và sau ổn

định tấm FGM rỗng theo tiếp cận ứng suất. Với việc chọn hệ quy chiếu gắn với mặt

trung hoà, các phương trình cơ bản và hệ phương trình cân bằng chủ đạo xây dựng

theo hai mô hình tấm: lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển

nhận được sẽ đơn giản hơn so với cách tính trên mặt trung bình hình học. Ảnh

hưởng của các tham số vật liệu (dạng phân bố lỗ rỗng, hệ số rỗng), tham số kích

thước hình học tấm, nền đàn hồi cũng như ảnh hưởng của điều kiện biên theo hai

cách tiếp cận đến ứng xử tuyến tính và phi tuyến uốn, ứng xử ổn định và sau ổn

định sẽ được khảo sát chi tiết, so sánh và đánh giá một cách toàn diện.

CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN TẤM VẬT LIỆU

FGM RỖNG CÓ KỂ ĐẾN YẾU TỐ PHI TUYẾN HÌNH HỌC

2.1. Mở đầu

Phân tích phi tuyến ứng xử của các cấu kiện công trình là bài toán phức tạp

nhưng rất có ý nghĩa thực tiễn do phản ánh gần hơn sự làm việc thực tế của kết cấu

công trình. Với các loại vật liệu mới nói chung và vật liệu FGM rỗng nói riêng thì

hướng nghiên cứu này có tính thời sự và tính cấp thiết. Trong chương này, tác giả sẽ

trình bày trường chuyển vị, biến dạng và nội lực theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

và lý thuyết tấm cổ điển cho tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM rỗng có xét đến vị trí

thực của mặt trung hòa. Các hệ thức cơ bản và phương trình chủ đạo được thiết lập trên

cơ sở xét đến độ võng lớn (kể đến thành phần biến dạng phi tuyến von Kárman) với hệ

tọa độ quy chiếu gắn với mặt trung hòa.

2.2. Mô hình tấm bằng vật liệu FGM rỗng

Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM rỗng, có chiều dày h, kích thước theo

phương các trục x, y là a (chiều dài), b (chiều rộng). Tấm được đặt trên nền đàn hồi

(Hình 2.1) Pasternak với các hệ số nền: - hệ số độ cứng uốn (Winkler stiffness),

- hệ số độ cứng cắt (shear stiffness) của nền đàn hồi.

Hình 2.1. Mô hình tấm chữ nhật rỗng trên nền đàn hồi

Trong nghiên cứu này, tấm vật liệu FGM rỗng với các thuộc tính được giả thiết

không thay đổi (phân bố lỗ rỗng đều) hoặc biến đổi trơn dọc chiều dày theo quy luật

hàm cosine (phân bố lỗ rỗng không đều). Trong trường hợp phân bố lỗ rỗng không

đều, tấm được giả thiết có mật độ lỗ rỗng thay đổi theo chiều dày trong quá trình chế

tạo. Chính vì thế, mặt trung hòa của tấm có thể không trùng với mặt trung bình (phân

bố bất đối xứng). Các trục tọa độ x, y nằm trong mặt phẳng tấm, trục z theo phương

chiều dày tấm. Để phân biệt rõ vị trí mặt trung hòa của tấm bằng vật liệu FGM rỗng,

hai tọa độ được sử dụng: và tương ứng là tọa độ theo phương chiều dày của

điểm bất kỳ tính từ mặt trung bình và mặt trung hòa (xem Hình 2.2).

Hình 2.2. Vị trí mặt trung bình và mặt trung hòa của tấm vật liệu FGM rỗng

Vị trí mặt trung hòa của tấm vật liệu FGM rỗng được xác định từ điều kiện

[11, 55]:

(2.1)

Từ đây ta tìm được khoảng cách giữa mặt trung hòa và mặt trung bình:

(2.2)

Như vậy, trong các trường hợp phân bố lỗ rỗng là đều và không đều - đối

xứng thì C = 0 (mặt trung hòa trùng với mặt trung bình hình học), còn với trường

hợp phân bố lỗ rỗng là không đều - bất đối xứng thì C ≠ 0 (mặt trung hòa không

trùng với mặt trung bình).

Khi đó các đặc trưng cơ học của vật liệu được biểu diễn trong hệ tọa độ gắn

với mặt trung hòa theo công thức (2.3) - (2.5):

Dạng 1: Phân bố đều:

(2.3)

Dạng 2: Phân bố không đều - đối xứng:

(2.4)

Dạng 3: Phân bố không đều – bất đối xứng:

(2.5)

trong đó:

được xác định theo công thức (1.4);

lần lượt là giá trị của mô đun đàn hồi kéo - nén, mô đun

đàn hồi trượt và khối lượng riêng tại vị trí có toạ độ zth so với mặt trung hoà.

2.3. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First-order Shear Deformatoin Theory -

FSDT) được phát triển bởi Mindlin [74], xét đến ảnh hưởng của biến dạng cắt

ngang bằng cách giả thiết các thành phần chuyển vị màng thay đổi tuyến tính theo

chiều dày. Với các giả thiết đoạn thẳng pháp tuyến với mặt trung hoà sau biến dạng

vẫn thẳng và có chiều dài không đổi, có thể không còn vuông góc với mặt trung

hoà. Với biến dạng bé vẫn xem , bỏ qua trị số ứng suất pháp theo phương

chiều dày tấm .

Hình 2.3. Biến dạng của tấm trong mặt phẳng xzth theo lý thuyết tấm FSDT

2.3.1. Trường chuyển vị

Sử dụng khái niệm mặt trung hòa, các thành phần chuyển vị của điểm

bất kỳ có tọa độ (x, y, zth) trong không gian tấm [90]:

(2.6)

trong đó:

là các thành phần chuyển vị của điểm trên mặt trung hòa theo các

phương x, y, zth;

là các góc xoay của pháp tuyến mặt trung hòa quanh hai trục y, x.

2.3.2. Trường biến dạng

Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, các thành phần biến dạng có kể đến

thành phần phi tuyến hình học von Kármán và xét đến độ không hoàn hảo ban đầu

được thể hiện như dưới đây [49, 89, 90]:

(2.7)

Thành phần là độ không hoàn hảo hình học ban đầu và được

giả thiết nhỏ hơn độ dày của tấm.

Như vậy, các thành phần biến dạng có thể phân tích thành hai thành phần:

Biến dạng màng:

(2.8)

trong đó:

là các thành phần biến dạng màng;

là các thành phần độ cong uốn, xoắn;

với:

(2.9)

Biến dạng cắt ngang:

(2.10)

với:

(2.11)

Dấu (,) đi kèm các thành phần chuyển vị chỉ đạo hàm riêng theo biến tương

ứng.

2.3.3. Trường ứng suất

Vật liệu FGM rỗng được coi là đàn hồi tuyến tính, các thành phần ứng suất

được xác định từ định luật Hooke [126]:

(2.12)

hay được viết dưới dạng ma trận thu gọn :

(2.13)

trong đó là ma trận các hệ số độ cứng của vật liệu; các số hạng xác

định theo [126]:

Giữa các hệ số độ cứng tồn tại mối liên hệ:

2.3.4. Trường nội lực

Tích phân các thành phần ứng suất theo chiều dày của tấm ta nhận được các

thành phần nội lực:

(2.14)

trong đó:

Hệ số hiệu chỉnh cắt được sử dụng trong nghiên cứu này.

Do tính toán đối với hệ toạ độ đi qua mặt trung hoà nên trong biểu thức

(2.14) ta nhận được , vì vậy (2.14) được viết lại dưới dạng (2.15):

(2.15)

Từ (2.15) có thể thấy rằng, việc sử dụng mặt trung hòa là hệ trục quy chiếu

cho vật liệu FGM rỗng với cơ tính thay đổi theo chiều dày tấm đã giúp loại bỏ

tương tác màng - uốn trong biểu thức quan hệ nội lực - biến dạng; từ đó biểu thức

ứng lực và biến dạng, cũng như hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị trở nên

đơn giản hơn, tương tự như áp dụng cho vật liệu đẳng hướng.

2.3.5. Mối liên hệ giữa nội lực và chuyển vị

Dựa vào quan hệ giữa các thành phần biến dạng theo chuyển vị từ (2.15) ta

thiết lập được liên hệ giữa nội lực và chuyển vị dưới dạng (2.16):

(2.16)

2.3.6. Hệ phương trình cân bằng

Xét tấm bằng vật liệu FGM rỗng với diện tích mặt trung hoà trước biến dạng

là A. Miền khảo sát đối với tấm là thể tích V. Tấm được giới hạn bởi các biên bao

. Trong gồm bề mặt trên (zth = h/2-C), bề mặt dưới (zth = - h/2-C) và mặt bên

trường hợp tổng quát, là một mặt cong với pháp tuyến ngoài với

là các cosin chỉ phương của véc tơ pháp tuyến đơn vị (xem Hình 2.4), [4].

Hình 2.4. Hình dạng hình học của tấm có biên cong

Nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu được sử dụng để thiết lập các phương

trình cân bằng của tấm [90], với dạng toán học như sau:

(2.17)

trong đó:

lần lượt là biến phân của thế năng biến dạng đàn hồi của tấm,

biến phân thế năng của phản lực nền và biến phân thế năng của tải trọng. Biến phân

của thế năng biến dạng đàn hồi của tấm được xác định thông qua các thành phần

ứng suất, biến dạng:

(2.18)

trong đó biểu diễn mặt trung hòa của tấm.

Thực hiện tích phân biểu thức (2.18) theo chiều dày tấm, ta thu được:

(2.19)

trong đó:

Biến phân thế năng của phản lực nền:

(2.20)

trong đó:

là phản lực nền, được xác định bởi [44, 98, 128, 135]:

(2.21)

Biến phân thế năng của tải trọng tác dụng:

(2.22)

trong đó: q là tải trọng uốn (phương ) tác dụng lên mặt trên của tấm. Các

chỉ số dưới thể hiện phương pháp tuyến và tiếp tuyến của biên tấm; biểu

diễn biên của tấm.

Thay các biểu thức (2.18) - (2.22) vào biểu thức (2.17), sau đó tích phân từng

phần, nhóm các hệ số của các biến phân chuyển vị với nhau;

hệ phương trình cân bằng thu được có dạng [90]:

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

Các tham số điều kiện biên gồm: , , , và

Các chỉ số dưới n, s thể hiện phương pháp tuyến và tiếp tuyến của biên tấm.

2.3.7. Hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị

Thay liên hệ giữa các thành phần nội lực qua biến dạng, biến dạng qua

chuyển vị từ các quan hệ (2.8) và (2.14) vào (2.23) - (2.27), ta được hệ phương trình

cân bằng theo chuyển vị của lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất như sau:

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)

(2.32)

Hệ phương trình từ (2.23) - (2.27) hoặc (2.28) - (2.32) là năm phương trình

cân bằng phi tuyến chủ đạo chứa năm ẩn chưa biết là . Chúng

được sử dụng để nghiên cứu ứng xử của tấm vật liệu FGM rỗng chịu tác dụng của

tải uốn trên nền đàn hồi theo lý thuyết tấm bậc nhất.

2.4. Lý thuyết tấm cổ điển

Lý thuyết tấm cổ điển dựa trên giả thiết Kirchhoff - Love, giả thiết rằng các

đoạn thẳng pháp tuyến với mặt trung hoà sau biến dạng vẫn thẳng, vẫn vuông góc

với mặt trung hoà và có chiều dài không đổi [90]. Chấp nhận giả thiết này dẫn đến

các thành phần biến dạng cắt ngang và biến dạng pháp tuyến bằng không. Lý thuyết

tấm cổ điển là mô hình đơn giản nhất và nó chỉ phù hợp với các tấm mỏng.

Hình 2.5. Biến dạng của tấm trong mặt phẳng theo lý thuyết tấm cổ điển

Với lý thuyết tấm cổ điển (Classical plate theory - CPT), các góc xoay của

pháp tuyến với mặt trung hoà là các đạo hàm bậc nhất của độ võng:

(2.33)

Như vậy, trường chuyển vị được biểu diễn dưới dạng:

(2.34)

Các thành phần biến dạng của lý thuyết tấm cổ điển được xác định như trong

công thức (2.35):

(2.35)

Có thể thấy rằng, điểm khác biệt so với lý thuyết tấm FSDT là trong lý

thuyết tấm mỏng CPT các thành phần biến dạng cắt ngang bằng không:

Các thành phần biến dạng màng có dạng như trong công thức (2.8), trong đó

các thành phần độ cong uốn, xoắn phụ thuộc độ võng được thể hiện như trong công

thức (2.36):

(2.36)

Hệ phương trình cân bằng theo lý thuyết tấm cổ điển thu được gồm ba

phương trình: (2.23) - (2.24) và phương trình (2.37) dưới đây:

(2.37)

Hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị của lý thuyết tấm cổ điển gồm các

phương trình: (2.28) - (2.29) và phương trình (2.38) dưới đây:

(2.38)

trong đó:

Các tham số điều kiện biên bao gồm:

Hệ phương trình từ (2.28) - (2.29) và phương trình (2.38) là ba phương trình

vi phân phi tuyến chủ đạo chứa ba ẩn chưa biết là . Chúng được sử dụng

để nghiên cứu ứng xử của tấm vật liệu FGM rỗng chịu tác dụng của tải uốn đặt trên

nền đàn hồi theo lý thuyết tấm cổ điển.

2.5. Tóm tắt chương 2

Trong chương 2, luận án sử dụng hệ trục quy chiếu là mặt trung hoà, xây

dựng trường chuyển vị, các hệ thức cơ bản và phương trình chủ đạo của tấm vật liệu

FGM rỗng trên nền đàn hồi, trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết

tấm cổ điển. Trường biến dạng có kể đến thành phần phi tuyến hình học von

Kármán và xét đến độ không hoàn hảo ban đầu của tấm vật liệu FGM rỗng.

Khi sử dụng mặt trung hòa là hệ trục quy chiếu cho tấm vật liệu FGM rỗng

với cơ tính thay đổi theo chiều dày tấm đã giúp loại bỏ tương tác màng - uốn trong

quan hệ nội lực - biến dạng; từ đó các hệ thức cơ bản cũng như hệ phương trình cân

bằng theo chuyển vị trở nên đơn giản hơn và có dạng tương tự như áp dụng cho vật

liệu đẳng hướng. Và do đó, tiết kiệm được thời gian tính toán hơn so với việc tính

toán thông qua mặt trung bình.

CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỨNG XỬ UỐN CỦA TẤM

BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG

3.1. Mở đầu

Trong chương 2, luận án đã xây dựng được hệ phương trình chủ đạo, làm cơ

sở lý thuyết để tính toán trường chuyển vị, biến dạng và nội lực theo lý thuyết biến

dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển. Các hệ thức và phương trình chủ đạo của

tấm trên nền đàn hồi được thiết lập trên cơ sở xét đến độ võng lớn (kể đến thành

phần biến dạng phi tuyến von Kárman), và vị trí thực của mặt trung hòa.

Trong chương này, với cơ sở lý thuyết đã được xây dựng, hai hướng tiếp cận

theo chuyển vị và tiếp cận theo ứng suất sẽ được sử dụng để phân tích phi tuyến

ứng xử uốn của tấm chữ nhật FGM rỗng đặt trên nền đàn hồi với một số điều kiện

biên khác nhau. Trong phân tích tĩnh chỉ xét với tấm hoàn hảo, lúc đó trong các

phương trình chủ đạo chỉ cần áp đặt . Hàm xấp xỉ chuyển vị được giả thiết

dưới dạng hàm lượng giác kép, hệ phương trình đại số phi tuyến để giải nhận được

bằng cách sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt

bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển. Ảnh hưởng của ba loại phân bố lỗ rỗng: phân bố

đều, không đều đối xứng và không đều bất đối xứng cũng như hệ số mật độ lỗ rỗng,

điều kiện biên và các tham số kích thước tấm, tham số nền đến độ võng và các

thành phần nội lực sẽ được khảo sát.

3.2. Lời giải theo tiếp cận chuyển vị

3.2.1. Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM rỗng, có chiều dày h, kích thước theo

phương các trục x, y là a (chiều dài), b (chiều rộng), chịu tải trọng phân bố đều q

theo phương z. Tấm được đặt trên nền đàn hồi Pasternak với các hệ số nền: - hệ

số độ cứng uốn (Winkler stiffness), - hệ số độ cứng cắt (shear stiffness)

của nền đàn hồi, (Hình 3.1).

Hình 3.1. Mô hình tấm vật liệu FGM rỗng chịu uốn

Với tấm hoàn hảo ( ) chịu uốn, các phương trình cân bằng theo chuyển

vị của lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu được từ (2.28) - (2.32) được viết lại dưới

dạng (3.1) - (3.5):

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, lời giải giải tích được thiết lập

bằng việc sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin cho tấm chữ nhật bằng vật liệu

FGM rỗng có các cạnh đối chịu điều kiện biên giống nhau. Trong luận án, các loại

điều kiện biên được xem xét bao gồm:

Liên kết khớp 4 cạnh Liên kết ngàm 4 cạnh Liên kết ngàm 2 cạnh,

(SSSS) (CCCC) khớp 2 cạnh (SCSC)

Hình 3.2. Các điều kiện biên theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

- Liên kết khớp 4 cạnh (SSSS): Tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề, với các

ràng buộc tương ứng là:

Tại x = 0, a:

(3.6) Tại y = 0, b:

- Liên kết ngàm 4 cạnh (CCCC): Tất cả bốn cạnh của tấm liên kết ngàm; các

điều kiện biên tương ứng là:

Tại x = 0, a và y = 0, b: (3.7)

- Liên kết đối xứng ngàm 2 cạnh, khớp 2 cạnh (SCSC): Hai cạnh đối diện

của tấm tựa bản lề, hai cạnh còn lại liên kết ngàm; các điều kiện biên tương ứng là:

Tại x = 0, a:

(3.8) Tại y = 0, b:

Chú ý rằng, cả ba dạng điều kiện biên này đều không thể tự do dịch chuyển

trong mặt phẳng tấm (immoveable) [6], được minh hoạ trên Hình 3.3:

Hình 3.3. Minh hoạ ràng buộc không thể dịch chuyển tại cạnh tấm

Với các điều kiện biên đã nêu ở trên ta chọn nghiệm chuyển vị dưới dạng các

khai triển sau đây [9, 18, 89]:

(3.9)

(3.10)

trong đó:

là các hệ số cần xác định;

với

Các hàm phải đảm bảo liên tục, thỏa mãn điều kiện biên và độc

lập tuyến tính. Các hàm dạng và áp dụng cho 3 điều kiện biên SSSS,

SCSC và CCCC được lấy theo (Bảng 3.1).

Bảng 3.1. Các hàm dạng và sử dụng trong khai triển (3.10) [73, 104]:

Điều kiện Tại x = 0, a Tại y = 0, b (m, n) biên

SSSS

SCSC

CCCC

Thay (3.9) - (3.10) vào (3.1) - (3.5), ta được:

(3.11)

trong đó: các hàm số trình bày ở Phụ lục 1.

Áp dụng phương pháp Bubnov-Galerkin, bằng cách nhân các biểu thức trong

hệ phương trình (3.11) với các hàm riêng tương ứng rồi thực hiện tích phân trên

toàn bộ miền A của tấm, ta được:

(3.12)

trong đó:

các hệ số được trình bày ở Phụ lục 2.

Hệ phương trình (3.12) là hệ phương trình đại số phi tuyến. Sử dụng phép

giải lặp Newton-Raphson ta nhận được nghiệm gần đúng là véc tơ các hệ số

; từ đó xác định được các thành phần

chuyển vị, biến dạng, nội lực của bài toán phân tích phi tuyến tính tĩnh.

Trong các phân tích tuyến tính, bỏ qua các thành phần biến dạng phi tuyến

trong công thức (2.7); hệ phương trình đại số tuyến tính thu được từ (3.12) sau khi

bỏ qua các thành phần phi tuyến có dạng sau:

(3.13)

3.2.2. Theo lý thuyết tấm cổ điển

Tương tự như với lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đã trình bày ở phần 3.2.1,

với tấm hoàn hảo ( ) chịu uốn, các phương trình cân bằng theo chuyển vị của lý

thuyết tấm cổ điển thu được từ (2.28) - (2.29) và (2.38) được viết lại dưới dạng (3.1)

- (3.2) và (3.14):

(3.14)

Với lý thuyết tấm cổ điển, lời giải giải tích được thiết lập bằng việc sử dụng

phương pháp Bubnov-Galerkin cho tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM rỗng với các

điều kiện biên.

Trong luận án, các trường hợp điều kiện biên được xem xét bao gồm:

Liên kết khớp 4 cạnh Liên kết ngàm 4 cạnh Liên kết ngàm 2 cạnh,

(SSSS) (CCCC) khớp 2 cạnh (SCSC)

Hình 3.4. Các điều kiện biên theo lý thuyết cổ điển.

- Liên kết khớp 4 cạnh (SSSS):

Tại x = 0, a:

(3.15) Tại y = 0, b:

- Liên kết ngàm 4 cạnh (CCCC):

; Tại x = 0, a:

(3.16) Tại y = 0, b:

- Liên kết đối xứng ngàm 2 cạnh, khớp 2 cạnh (SCSC):

Tại x = 0, a:

(3.17) Tại y = 0, b:

Chú ý rằng, cả ba dạng điều kiện biên này đều không thể tự do dịch

chuyển trong mặt phẳng tấm (immoveable). Với các điều kiện biên đã nêu

ở trên ta chọn nghiệm chuyển vị, bao gồm các thành phần chuyển vị màng

u0, v0 và độ võng w0, dưới dạng các khai triển như trong các công thức

(3.9) - (3.10)

Thay u0, v0 và độ võng w0 trong (3.9) - (3.10) vào (3.1) - (3.2) và phương

trình (3.14), ta được hệ ba phương trình bao gồm hai phương trình đầu tiên trong

(3.11) và phương trình (3.18):

(3.18)

trong đó: như trong công thức (3.11), đã

trình bày ở Phụ lục 1; được trình bày ở Phụ lục 3.

Áp dụng phương pháp Bubnov-Galerkin, nhân các biểu thức trong phương

trình (3.18) với các hàm riêng tương ứng rồi thực hiện tích phân trên toàn bộ miền A

của tấm, ta được hệ ba phương trình bao gồm hai phương trình đầu tiên trong (3.12)

và phương trình (3.19):

(3.19)

trong đó: các hệ số được trình bày tương tự với lý

thuyết tấm FSDT ở Phụ lục 2.

Nghiệm của hệ phương trình đại số phi tuyến (3.19) là véc tơ chuyển vị

; từ đó xác định được các phần chuyển vị, biến dạng,

nội lực của bài toán phân tích phi tuyến tính tĩnh.

Trong các phân tích tuyến tính, bỏ qua các thành phần biến dạng phi tuyến trong

công thức (2.35); hệ phương trình đại số tuyến tính thu được từ hai phương trình đầu

tiên trong (3.12) và (3.19) sau khi bỏ qua các thành phần phi tuyến và

có dạng như hai phương trình đầu trong (3.13) và phương trình (3.20):

(3.20)

3.3. Lời giải theo tiếp cận ứng suất

3.3.1. Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

Sử dụng hàm ứng suất Airy được định nghĩa theo:

(3.21)

Khi đó, hai phương trình (2.23) - (2.24) tự thỏa mãn. Phương trình (2.25)

được viết lại theo chuyển vị và hàm ứng suất:

(3.22)

Mặt khác, phương trình tương thích biến dạng của tấm chữ nhật nhận được

có dạng sau [20]:

(3.23)

Dựa trên các quan hệ (2.15) và (3.21), các thành phần biến dạng màng có thể

được xác định thông qua các thành phần lực dọc và hàm ứng suất:

(3.24)

Thay (3.24) vào phương trình tương thích (3.23), ta được:

(3.25)

trong đó:

Hệ gồm các phương trình (3.4) - (3.5), (3.22) và phương trình (3.25) là hệ

phương trình chủ đạo để giải bài toán uốn theo phương pháp ứng suất. Đây là hệ

phương trình phi tuyến với 4 ẩn số độc lập: ; (3.26):

(3.26)

Với bài toán uốn theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, các trường hợp điều

kiện biên được xem xét bao gồm:

- Liên kết khớp 4 cạnh: (SSSS): Tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề và không

thể tự do dịch chuyển (immovable - IM) trong mặt phẳng tấm. Các điều kiện biên

tương ứng là:

Tại x = 0, a:

(3.27) Tại y = 0, b:

- Liên kết ngàm 4 cạnh: (CCCC): Tất cả bốn cạnh của tấm liên kết ngàm và

không thể tự do dịch chuyển (immovable - IM) trong mặt phẳng tấm. Các điều kiện

biên tương ứng là:

Tại x = 0, a:

(3.28) Tại y = 0, b:

- Liên kết đối xứng ngàm 2 cạnh, khớp 2 cạnh: (SCSC): Hai cạnh đối diện

của tấm tựa bản lề, hai cạnh còn lại liên kết ngàm và không thể tự do dịch chuyển

(immovable - IM) trong mặt phẳng tấm. Các điều kiện biên tương ứng là:

Tại x = 0, a:

(3.29) Tại y = 0, b:

Trong tiếp cận ứng suất các điều kiện (tại ) và (tại

) được thỏa mãn theo nghĩa trung bình [63, 96]:

(3.30)

trong đó các đạo hàm riêng của chuyển vị màng và được rút từ quan

hệ chuyển vị-biến dạng và biểu thức (3.24):

Theo đó, các hệ thức trong (3.30) trở thành:

(3.31)

(3.32)

Với cả ba trường hợp điều kiện biên được xem xét, hàm ứng suất được chọn

dưới dạng:

(3.33)

trong đó:

là phản lực trên các cạnh của tấm do các cạnh không thể dịch

chuyển trong mặt phẳng.

Với hàm ứng suất được chọn như (3.33), ta xác định được:

(3.34)

Thay (3.34) vào (3.32), ta được:

(3.35)

hay:

(3.36)

Từ (3.36) ta xác định được các thành phần phản lực:

(3.37)

Trong phương pháp ứng suất, các dạng nghiệm chuyển vị vẫn được

chọn dưới dạng khai triển tương tự như trong công thức (3.10). Lưu ý rằng, với

cách chọn nghiệm không đổi so với phương pháp chuyển vị, sau khi thay các thành

phần chuyển vị này vào hai phương trình (3.4) - (3.5), kết quả thu được vẫn là hai

phương trình cuối của (3.12) và (3.13). Do đó, dưới đây ta sẽ tập trung xác định

hàm ứng suất theo và thay vào phương trình (3.22) để thu được hệ chỉ gồm 3

phương trình theo

Thay dạng nghiệm từ (3.10) vào (3.25), ta được :

 Khi điều kiện biên là SSSS:

Phương trình (3.25) trở thành:

Từ đó, chọn nghiệm cho hàm ứng suất với

có dạng:

(3.38)

(3.39)

trong đó:

Theo đó, ta xác định được:

(3.40)

Đồng nhất các hệ số trong hai phương trình (3.39) và (3.40) ta thu được các

hệ số :

(Khi và );

Tiến hành tương tự với hai dạng điều kiện biên SCSC và CCCC, ta có:

 Khi điều kiện biên là SCSC:

(3.41)

trong đó các hệ số được xác định bởi:

(Khi và );

 Khi điều kiện biên là CCCC:

(3.42)

trong đó các hệ số được xác định bởi:

(Khi và );

Thay các biểu thức xác định trong (3.39) - (3.42), vào (3.37), ta biểu diễn

được các thành phần phản lực:

(3.43)

trong đó: các hệ số được trình bày trong Phụ lục 5.

Thay và vào (3.33) ta xác định được hàm ứng suất sau

đó thay vào (3.22), ta được:

(3.44)

trong đó: tương tự như trong phương pháp chuyển vị được trình bày

ở Phụ lục 1. Các hàm số được trình bày ở Phụ lục 5.

Từ đây, ta có hệ ba phương trình bao gồm hai phương trình cuối của (3.12)

và (3.44) xác định

Nhân các biểu thức trong phương trình (3.44) với các hàm riêng tương ứng

rồi thực hiện tích phân trên toàn bộ miền A của tấm, ta được:

(3.45)

Từ đây, ta có hệ ba phương trình bao gồm hai phương trình cuối của (3.12)

và (3.45) xác định

(3.46)

trong đó: tương tự như trong phương pháp chuyển vị được trình bày

ở Phụ lục 2 và

Nghiệm gần đúng của hệ phương trình đại số phi tuyến (3.46) nhận được

bằng phương pháp giải lặp Newton-Raphson, là véc tơ các hệ số

từ đó xác định được các phần chuyển vị, biến dạng, ứng suất, nội lực của bài toán

phân tích phi tuyến tĩnh.

Trong các phân tích tuyến tính, bỏ qua các thành phần biến dạng phi tuyến

trong công thức (2.30). Hệ phương trình đại số tuyến tính (3.47) thu được sau khi

bỏ qua các thành phần phi tuyến trong (3.46).

(3.47)

3.3.2. Theo lý thuyết tấm cổ điển

Sử dụng hàm ứng suất Airy được định nghĩa theo (3.21) khi đó hai

phương trình (2.23) - (2.24) tự thoả mãn. Phương trình (2.37) được viết lại theo

chuyển vị và hàm ứng suất:

(3.48)

Hệ gồm các phương trình (3.25) và (3.48) là hệ phương trình chủ đạo để giải

bài toán uốn theo phương pháp ứng suất. Đây là hệ phương trình phi tuyến với 2 ẩn

số độc lập: , được thể hiện trong biểu thức (3.49):

(3.49)

Trong phương pháp ứng suất, các điều kiện biên không thể tự do dịch chuyển

trong mặt phẳng tấm được xem xét bao gồm:

- Liên kết khớp 4 cạnh (SSSS): Tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề:

Tại x = 0, a:

(3.50) Tại y = 0, b:

- Liên kết ngàm 4 cạnh (CCCC): Tất cả bốn cạnh của tấm liên kết ngàm:

Tại x = 0, a:

(3.51) Tại y = 0, b:

- Liên kết đối xứng ngàm 2 cạnh, khớp 2 cạnh (SCSC): Hai cạnh đối diện

của tấm tựa bản lề, hai cạnh còn lại liên kết ngàm:

Tại x = 0, a:

(3.52) Tại y = 0, b:

Các điều kiện (tại ) và (tại ) được thỏa mãn

theo nghĩa trung bình [63, 96] thể hiện theo (3.30), hàm ứng suất được chọn theo

(3.33), được tính theo (3.37).

Trong phương pháp ứng suất, nghiệm chuyển vị vẫn được chọn dưới

dạng khai triển tương tự như trong công thức (3.10). Lưu ý rằng, với cách chọn

nghiệm không đổi so với phương pháp chuyển vị, sau khi thay các thành phần

chuyển vị này vào phương trình (2.38), kết quả thu được vẫn là phương trình cuối

của (3.19) và (3.20). Do đó, dưới đây ta sẽ tập trung xác định hàm ứng suất theo

và thay vào phương trình (3.48) để thu được phương trình theo

Thay dạng nghiệm từ (3.10) vào (3.42), ta được :

 Điều kiện biên SSSS:

(3.53)

trong đó:

các hệ số được trình bày trong biểu thức (3.39).

 Khi điều kiện biên là SCSC:

(3.54)

trong đó: các hệ số được trình bày trong biểu thức (3.41).

 Khi điều kiện biên là CCCC:

(3.55)

trong đó: các hệ số được trình bày trong biểu thức (3.42).

Thay các biểu thức xác định trong (3.53) - (3.55), vào (3.37), ta biểu diễn

được các thành phần phản lực:

(3.56)

trong đó: các hệ số được trình bày trong Phụ lục 5.

Thay và vào (3.33) ta xác định được hàm ứng suất sau

đó thay vào (3.48), ta được phương trình cân bằng theo :

(3.57)

trong đó:

tương tự như trong phương pháp chuyển vị được trình bày ở Phụ

lục 3.

được trình bày như trong công thức (3.44) thể hiện ở Phụ lục 6.

Nhân các biểu thức trong phương trình với các hàm riêng tương ứng rồi thực

hiện tích phân trên toàn bộ miền A của tấm, ta được:

(3.58)

trong đó:

Nghiệm của phương trình đại số phi tuyến (3.58) là thành phần chuyển vị

từ đó xác định được các phần chuyển vị, biến dạng, ứng suất, nội lực của bài

toán phân tích phi tuyến tĩnh.

Trong các phân tích tuyến tính, bỏ qua các thành phần biến dạng phi tuyến

trong công thức (2.35), phương trình đại số tuyến tính thu được như (3.59) sau khi

bỏ qua các thành phần phi tuyến trong (3.58).

(3.59)

3.4. Kết quả số và thảo luận

Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM rỗng chịu uốn như Hình 3.1. Cả ba điều

kiện biên được xét bao gồm SSSS, CCCC, SCSC đều không thể tự do dịch chuyển

trong mặt phẳng tấm.

Với nghiệm giải tích đã thiết lập ở phần trên, chương trình tính trên nền Matlab

mang tên “NONLINEAR BENDING_FGP PLATES” được viết để thực hiện các ví dụ

số. Các kết quả phân tích là phi tuyến trừ những trường hợp riêng được nói trước. Hai

mô hình lý thuyết tấm: lý thuyết tấm bậc nhất (FSDT) và lý thuyết tấm cổ điển (CPT),

cùng với hai cách tiếp cận: tiếp cận ứng suất (US) và tiếp cận chuyển vị (CV), được sử

dụng đồng thời trong các tính toán.

Các công thức không thứ nguyên sau đây được sử dụng [109, 135]:

(3.60)

3.4.1. Ví dụ kiểm chứng

Trong phần này, tác giả tiến hành kiểm chứng độ tin cậy của chương trình

máy tính và lời giải giải tích theo: tiếp cận ứng suất và tiếp cận chuyển vị. Qua

nghiên cứu tổng quan, hiện tại chưa có công bố nào phân tích uốn phi tuyến của tấm

chữ nhật vật liệu FGM rỗng. Do đó, luận án sẽ tiến hành kiểm chứng cho một

trường hợp riêng của vật liệu FGM rỗng: vật liệu đẳng hướng . Các ví dụ

kiểm chứng bao gồm:

 Ví dụ 1: Kiểm chứng độ võng không thứ nguyên của tấm đẳng hướng điều

kiện biên khớp 4 cạnh.

 Ví dụ 2: Kiểm chứng độ võng không thứ nguyên của tấm đẳng hướng điều

kiện biên SCSC.

 Ví dụ 3: Kiểm chứng độ võng không thứ nguyên của tấm đẳng hướng với

các điều kiện biên SSSS, SCSC, CCCC (kết quả được so sánh với phương

pháp phần tử hữu hạn).

a. Ví dụ kiểm chứng 1: Kiểm chứng độ võng của tấm bằng vật liệu đẳng hướng điều

kiện biên khớp trên 4 cạnh

Xét tấm vuông dày, vật liệu đẳng hướng ( ) điều kiện

biên khớp bốn cạnh (SSSS-CV, SSSS-US) với chịu tác dụng

của tải trọng phân bố đều.

Để đảm bảo độ hội tụ của kết quả, độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm

được tính toán với số số hạng trong chuỗi được lấy với (M=N=3). Bảng 3.2, là

kết quả độ võng theo lý thuyết FSDT và CPT với hai cách tiếp cận: theo tiếp cận

ứng suất và theo tiếp cận chuyển vị, với các mức tải trọng khác nhau. Có thể

thấy rằng độ võng nhận được theo hai cách tiếp cận là xấp xỉ nhau và có sai lệch

không đáng kể so với các công bố của Putcha và Reddy [82] sử dụng phương

pháp phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 5 ẩn chuyển vị,

của Kapoor và Kapania [47] sử dụng phương pháp đẳng hình học dựa trên lý

thuyết biến dạng cắt bậc nhất.

Bảng 3.2. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông đẳng hướng điều kiện SSSS

dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều (M = N = 3)

P 6.25 12.5 25 50 100

Putcha và Reddy [82] 0.279 0.463 0.6911 0.9575 1.2688

Kapoor và Kapania [47] 0.2784 0.4626 0.691 0.9579 1.2696

FSDT-US 0.2637 0.4455 0.6727 0.9315 1.2166

FSDT-CV 0.2639 0.4466 0.6774 0.9481 1.2637

CPT-US 0.2541 0.4361 0.6700 0.9456 1.2660

CPT-CV 0.2540 0.4358 0.6693 0.9444 1.2644

b. Ví dụ kiểm chứng 2: Kiểm chứng độ võng của tấm đẳng hướng điều kiện biên SCSC

Xét tấm vuông vật liệu đẳng hướng điều kiện biên hai cạnh đối diện tựa

khớp, hai cạnh còn lại liên kết ngàm (SCSC) dưới tác dụng của tải trọng phân bố

đều với

Bảng 3.3 thể hiện kết quả độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm với các

tham số tải trọng uốn P khác nhau. Các kết quả tính toán của luận án cũng cho thấy

sai lệch không đáng kể khi so sánh với kết quả của Lei [59] sử dụng phương pháp

phần tử biên (boundary element method) dựa trên lý thuyết tấm bậc nhất, và của

Azizian và Dawe [13] sử dụng phương pháp dải hữu hạn (finite strip method) sử

dụng lý thuyết tấm Mindlin.

Bảng 3.3. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông đẳng hướng điều kiện biên

SCSC dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều

P 0.9158 4.5788 6.8681 9.1575

Azizian và Dawe [13] 0.0199 0.0988 0.1469 0.1936

Lei [59] 0.0199 0.0984 0.1455 0.1904

FSDT-US 0.0198 0.0982 0.1461 0.1929

FSDT-CV 0.0198 0.0981 0.1459 0.1922

CPT-US 0.0191 0.0951 0.1416 0.1870

CPT-CV 0.0191 0.0950 0.1413 0.1865

c. Ví dụ kiểm chứng 3: Kiểm chứng độ võng của tấm đẳng hướng điều kiện biên

SSSS, SCSC, CCCC (so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn)

Xét tấm vuông đẳng hướng: a/h = 10, E = Ec = 322.27 GPa (Si3N4),

, chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều ,

Bảng 3.4. Độ võng không thứ nguyên không thứ nguyên của tấm vuông đẳng

hướng dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều

Phương pháp P = 4 P = 8 P = 12 P = 16 P = 20 P = 40

Điều kiện biên SSSS

Talha và Singh [106] 0.1200 0.2251 0.3185 0.3911 0.4597 0.6984

FSDT-PPUS 0.1188 0.2253 0.3156 0.3918 0.4569 0.6845

FSDT-PPCV 0.1189 0.2254 0.3160 0.3927 0.4583 0.6908

CPT-PPUS 0.1138 0.2174 0.3070 0.3837 0.4500 0.6875

CPT-PPCV 0.1138 0.2174 0.3069 0.3835 0.4497 0.6868

Điều kiện biên SCSC

Talha và Singh [106] 0.0602 0.1193 0.1764 0.2306 0.2811 0.4942

FSDT-PPUS 0.0595 0.1180 0.1748 0.2293 0.2812 0.5003

FSDT-PPCV 0.0594 0.1179 0.1745 0.2286 0.2800 0.4953

CPT-PPUS 0.0544 0.1083 0.1610 0.2121 0.2614 0.4764

CPT-PPCV 0.0544 0.1082 0.1606 0.2113 0.2599 0.4693

Điều kiện biên CCCC

Talha và Singh [106] 0.0405 0.0808 0.1207 0.1598 0.1981 0.3698

FSDT-PPUS 0.0395 0.0788 0.1178 0.1563 0.1942 0.3714

FSDT-PPCV 0.0395 0.0788 0.1177 0.1560 0.1936 0.3681

CPT-PPUS 0.0360 0.0719 0.1076 0.1430 0.1780 0.3453

CPT-PPCV 0.0360 0.0718 0.1074 0.1425 0.1772 0.3397

Độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm

được tính toán và so sánh với kết quả của Talha và Singh [106] sử dụng phương pháp PTHH (phần tử C0, 13 bậc tự

do tại mỗi nút) dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao với 7 ẩn số chuyển vị độc

lập. Các kết quả kiểm chứng thể hiện trên Bảng 3.4 được áp dụng với cả 3 dạng

điều kiện biên SSSS, SCSC và CCCC với các trị số tải trọng uốn khác nhau. Có thể

thấy rằng, sai lệch giữa các kết quả trong luận án và kết quả của Talha và Singh

[106] là rất bé (dưới 2.5%).

Như vậy, qua các ví dụ kiểm chứng 1, 2 và 3, có thể thấy rằng lời giải

theo cả hai cách tiếp cận: theo ứng suất và theo chuyển vị, được xây dựng trên

hai mô hình lý thuyết tấm FSDT và CPT, cũng như chương trình máy tính mà

luận án xây dựng có độ tin cậy.

3.4.2. Khảo sát ảnh hưởng của các tham số: vật liệu, tải trọng phân bố, điều kiện

biên, nền đàn hồi và tham số hình học

Xét tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng - metal foam (E1 = 200GPa, ν = 1/3) đặt trên

nền đàn hồi, dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều Dưới đây, ảnh

hưởng của dạng phân bố lỗ rỗng, hệ số lỗ rỗng, các tham số về: tải trọng phân bố, điều

kiện biên, nền đàn hồi và tham số hình học lên ứng xử uốn của tấm sẽ được khảo sát.

a. Khảo sát độ hội tụ của lời giải giải tích

Trước khi tiến hành khảo sát khảo sát số về ảnh hưởng của các tham số, luận

án thực hiện việc kiểm chứng độ hội tụ của lời giải giải tích.

Bảng 3.5 trình bày các kết quả phân tích phi tuyến độ võng không thứ

nguyên của tấm vuông vật liệu FGM rỗng (Dạng 2, h = 0.1 m, a/h = 10

(FSDT), a/h = 50 (CPT), b/a = 1, e0 = 0.5, P = 10, K0 = J0 = 0) với các loại điều

kiện biên khác nhau.

Số số hạng trong các khai triển chuỗi lượng giác kép tăng từ M, N = 1 đến M,

N = 4. Có thể thấy rằng nghiệm giải tích có sự hội tụ rõ ràng khi tăng M, N; và với

chương trình tính bằng Matlab thực hiện trên máy tính cá nhân, các kết quả có thể

được xem là hội tụ khi lấy M, N = 3 (sai số lớn nhất về độ võng không thứ nguyên

khi lấy M, N = 3 so với khi lấy M, N = 4 là 0.78% trong trường hợp biên CCCC-

CV). Do đó, trong các khảo sát tiếp theo sẽ tính toán với giá trị M, N = 3.

Bảng 3.5. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông FGM rỗng (Dạng 2) với số

số hạng khác nhau trong khai triển chuỗi lượng giác kép

Điều kiện biên M, N = 1 M, N = 2 M, N = 3 M, N = 4

FSDT (a/h = 10)

SSSS-CV 0.4644 0.4447 0.4466 0.4461

SSSS-US 0.4627 0.4436 0.4458 0.4452

SSSS (TT)* 0.5804 0.5620 0.5640 0.5634

SCSC-CV 0.2666 0.2812 0.2755 0.2750

SCSC-US 0.2675 0.2782 0.2769 0.2766

SCSC (TT) 0.2803 0.2906 0.2904 0.2902

CCCC-CV 0.1837 0.1974 0.1946 0.1931

CCCC-US 0.1842 0.1961 0.1957 0.1942

CCCC (TT) 0.1867 0.1988 0.1983 0.1969

CPT (a/h = 50)

SSSS-CV 0.4307 0.4460 0.4318 0.4316

SSSS-US 0.4311 0.4444 0.4321 0.4319

SSSS (TT) 0.5281 0.5418 0.5292 0.5290

SCSC-CV 0.2364 0.2467 0.2404 0.2402

SCSC-US 0.2371 0.2448 0.2414 0.2412

SCSC (TT) 0.2445 0.2522 0.2490 0.2489

CCCC-CV 0.1576 0.1664 0.1625 0.1620

CCCC-US 0.1579 0.1657 0.1631 0.1626

*Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng.

CCCC (TT) 0.1592 0.1671 0.1644 0.1639

b. Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số a/h và điều kiện biên

Độ võng không thứ nguyên của tấm FGM rỗng (Dạng 2): ,

, , , với tỷ số kích thước tấm a/h, và các điều

kiện biên khác nhau được tính toán và thể hiện trong Bảng 3.6. Đồ thị biến thiên của

độ võng theo tỷ số a/h được trình bày tương ứng trên Hình 3.5. Các kết quả phân

tích phi tuyến của luận án được thực hiện đồng thời theo hai cách tiếp cận chuyển vị

và tiếp cận ứng suất.

Bảng 3.6. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông FGM rỗng với các tỷ số

kích thước tấm a/h khác nhau

Điều kiện FSDT CPT

biên a/h

5 10 30 50

SSSS-CV 0.4832 0.4466 0.4335 0.4324 0.4318

SSSS-US 0.4802 0.4458 0.4331 0.4320 0.4321

SSSS (TT)* 0.6685 0.5640 0.5330 0.5306 0.5292

SCSC-CV 0.3619 0.2755 0.2445 0.2419 0.2404

SCSC-US 0.3643 0.2769 0.2455 0.2429 0.2414

SCSC (TT)* 0.4086 0.2904 0.2537 0.2507 0.2490

CCCC-CV 0.2813 0.1946 0.1662 0.1639 0.1625

CCCC-US 0.2846 0.1957 0.1668 0.1645 0.1631

*Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng.

CCCC (TT)* 0.2965 0.1983 0.1682 0.1658 0.1644

Từ Bảng 3.6 và đồ thị trên Hình 3.5, ta thấy:

- Về ảnh hưởng của điều kiện biên: rõ ràng là các biên SSSS có độ võng lớn

nhất, sau đó đến biên SCSC, biên CCCC có độ võng nhỏ nhất; các biên hạn chế

chuyển vị trong mặt phẳng có độ võng bé hơn so với biên không hạn chế chuyển vị

trong mặt phẳng.

- Về ảnh hưởng của tỷ số a/h: Khi a/h tăng thì kết quả tính theo FSDT dần

tiệm cận đến kết quả tính theo CPT. Đối với lý thuyết tấm FSDT, khi tăng tỷ số a/h,

độ võng không thứ nguyên giảm nhanh khi a/h còn nhỏ (tấm dày, a/h ≤ 10); sau

đó độ võng giảm chậm lại và thay đổi rất ít khi a/h lớn (a/h ≥ 30). Trong khi đó

với lý thuyết tấm CPT thì độ võng là hằng số, không phụ thuộc vào tỷ số a/h.

Qua đó có thể thấy rằng, lý thuyết tấm cổ điển chỉ phù hợp trong trường hợp

tấm mỏng. Các khảo sát số tiếp theo, các phân tích uốn cho tấm dày được thực hiện

với lý thuyết FSDT để đảm bảo độ chính xác, còn lý thuyết tấm CPT sẽ được thực

hiện cho tấm mỏng.

(a) (b)

Hình 3.5. Biến thiên độ võng của tấm FGM rỗng theo tỷ số kích thước tấm a/h với

các điều kiện biên khác nhau: (a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính

c. Khảo sát ảnh hưởng của tham số tải trọng uốn P đến độ võng và các thành phần

mô men

Xét tấm vuông, vật liệu FGM rỗng: h = 0.1 m, b/a = 1, e0 = 0.5, P = 10, K0 =

J0 = 0, điều kiện biên khớp 4 cạnh.

Từ Bảng 3.7 đến Bảng 3.9 trình bày các kết quả phân tích phi tuyến và tuyến

tính về độ võng không thứ nguyên và mô men uốn của tấm vuông

dày, vật liệu FGM rỗng (h = 0.1 m, b/a = 1, e0 = 0.5, P = 10, K0 = J0 = 0, a/h = 10

theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, với các tham số tải trọng P khác nhau. Các kết

quả tương ứng sử dụng lý thuyết tấm cổ điển cho tấm vuông mỏng (a/h = 50) được

trình bày trong các bảng từ Bảng 3.10 đến Bảng 3.12. Các phân tích tuyến tính (TT)

và phi tuyến (PT) cho ba quy luật phân bố lỗ rỗng: Dạng 1 - phân bố đều, Dạng 2 -

phân bố không đều đối xứng và Dạng 3 - phân bố không đều bất đối xứng được

thực hiện. Hình 3.6 - Hình 3.8 tương ứng biểu diễn đường cong tải - độ võng

và đường cong tải - mô men uốn ( ), ( ). Các đường thẳng

thể hiện phân tích tuyến tính, đường cong là phân tích phi tuyến.

Bảng 3.7. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông dày, vật liệu FGM rỗng

điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (FSDT, a/h = 10)

Dạng 1 Dạng 2 Dạng 3 P Điều kiện biên

5 SSSS-CV 0.3025 (0.3454)* 0.2593 (0.2820) 0.2970 (0.3379)

SSSS-US 0.3023 (0.3454) 0.2592 (0.2820) 0.2968 (0.3379)

10 SSSS-CV 0.4973 (0.6908) 0.4466 (0.5640) 0.4897 (0.6758)

SSSS-US 0.4958 (0.6908) 0.4458 (0.5640) 0.4883 (0.6758)

15 SSSS-CV 0.6325 (1.0362) 0.5826 (0.8460) 0.6238 (1.0137)

SSSS-US 0.6288 (1.0362) 0.5803 (0.8460) 0.6203 (1.0137)

30 SSSS-CV 0.8945 (2.0724) 0.8502 (1.6920) 0.8838 (2.0275)

*Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng.

SSSS-US 0.8810 (2.0724) 0.8410 (1.6920) 0.8708 (2.0275)

Bảng 3.8. Mô men uốn Mx, My [MNm/m] của tấm vuông dày, vật liệu FGM rỗng

điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (FSDT, a/h = 10)

Dạng 1 Dạng 2 Dạng 3 P Điều kiện biên

5 SSSS-CV 4.2317 (4.8963)* 4.4656 (4.8963) 4.2484 (4.8963)

SSSS-US 4.2141 (4.8963) 4.4546 (4.8963) 4.2315 (4.8963)

10 SSSS-CV 6.8129 (9.7926) 7.5763 (9.7926) 6.8625 (9.7926)

SSSS-US 6.7165 (9.7926) 7.5093 (9.7926) 6.7684 (9.7926)

15 SSSS-CV 8.5074 (14.6888) 9.7371 (14.6888) 8.5837 (14.6888)

SSSS-US 8.2784 (14.6888) 9.5669 (14.6888) 8.3591 (14.6888)

30 SSSS-CV 11.5594 (29.3777) 13.7264 (29.3777) 11.6863 (29.3777)

*Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng.

SSSS-US 10.7467 (29.3777) 13.0582 (29.3777) 10.8836 (29.3777)

Bảng 3.9. Mô men uốn Mxy [MNm/m] của tấm vuông dày, vật liệu FGM rỗng điều

kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (FSDT, a/h = 10)

Dạng 1 Dạng 2 Dạng 3 P Điều kiện biên

5 SSSS-CV -2,7407(-3,0665)* -2,8557(-3,0665) -2,7491(-3,0665)

SSSS-US -2,7439(-3,0665) -2,8577(-3,0665) -2,7521(-3,0665)

10 SSSS-CV -4,6515(-6,1331) -5,0361(-6,1331) -4,6771(-6,1331)

SSSS-US -4,6700(-6,1331) -5,0489(-3,0665) -4,6950(-3,0665)

15 SSSS-CV -6,0873(-9,1996) -6,7228(-9,1996) -6,1280(-9,1996)

SSSS-US -6,1343(-9,1996) -6,7569(-3,0665) -6,1739(-3,0665)

30 SSSS-CV -9,1792(-18,3992) -10,3741(-18,3992) -9,2533(-18,3992)

*Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng.

SSSS-US -9,3693(-18,3992) -10,5257(-3,0665) -9,4402(-3,0665)

Bảng 3.10. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông mỏng, vật liệu FGM rỗng

điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (CPT, a/h = 50)

Dạng 1 Dạng 2 Dạng 3 P Điều kiện biên

5 SSSS-CV 0.2916(0.3275)* 0.2466(0.2646) 0.2863(0.3205)

SSSS-US 0.2918(0.3275) 0.2467(0.2646) 0.2865(0.3205)

10 SSSS-CV 0.4864(0.6549) 0.4318(0.5292) 0.4790(0.6410)

SSSS-US 0.4869(0.6549) 0.4321(0.5292) 0.4794(0.6410)

15 SSSS-CV 0.6234(0.9824) 0.5689(0.7938) 0.6147(0.9615)

SSSS-US 0.6241(0.9824) 0.5695(0.7938) 0.6154(0.9615)

30 SSSS-CV 0.8899(1.9647) 0.8415(1.5875) 0.8791(1.9230)

*Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng.

SSSS-US 0.8912(1.9647) 0.8427(1.5875) 0.8804(1.9230)

Bảng 3.11. Mô men uốn Mx, My [MNm/m] của tấm vuông mỏng, vật liệu FGM rỗng

điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (CPT, a/h = 50)

Dạng 1 Dạng 2 Dạng 3 P Điều kiện biên

5 SSSS-CV 1.7218(1.9585)* 1.8113(1.9585) 1.7278(1.9585)

SSSS-US 1.7231 (1.9585) 1.8122(1.9585) 1.7291(1.9585)

10 SSSS-CV 2.8101 (3.9170) 3.1228(3.9170) 2.8291(3.9170)

SSSS-US 2.8147(3.9170) 3.1266(3.9170) 2.8336(3.9170)

15 SSSS-CV 3.5292(5.8755) 4.0491(5.8755) 3.5592(5.8755)

SSSS-US 3.5370(5.8755) 4.0563(5.8755) 3.5669(5.8755)

30 SSSS-CV 4.8086(11.7511) 5.7540(11.7511) 4.8601(11.7511)

*Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng.

SSSS-US 4.8235(11.7511) 5.7697(11.7511) 4.8750 (11.7511)

Bảng 3.12. Mô men uốn Mxy [MNm/m] của tấm vuông mỏng, vật liệu FGM rỗng

điều kiện biên SSSS với các tham số tải trọng P khác nhau (CPT, a/h = 50)

Dạng 1 Dạng 2 Dạng 3 P Điều kiện biên

5 SSSS-CV -1.1121(-1.2266)* -1.1556(-1.2266) -1.1150(-1.2266)

SSSS-US -1.1115(-1.2266) -1.1553(-1.2266) -1.1145(-1.2266)

10 SSSS-CV -1.9117(-2.4532) -2.0670(-2.4532) -1.9211(-2.4532)

SSSS-US -1.9083(-2.4532) -2.0648(-2.4532) -1.9179(-2.4532)

15 SSSS-CV -2.5196(-3.6798) -2.7841(-3.6798) -2.5350(-3.6798)

SSSS-US -2.5121(-3.6798) -2.7785(-3.6798) -2.5276(-3.6798)

30 SSSS-CV -3.8419(-7.3597) -4.3560(-7.3597) -3.8704(-7.3597)

*Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng.

SSSS-US -3.8192(-7.3597) -4.3364(-7.3597) -3.8479(-7.3597)

Từ các kết quả trong Bảng 3.7 đến Bảng 3.12 và đồ thị trên Hình 3.6 đến

Hình 3.8 ta thấy:

- Độ võng và mô men uốn tính toán theo phi tuyến luôn thấp hơn tính toán

theo tuyến tính; khi tải uốn phân bố càng tăng, chênh lệch về kết quả tính theo tuyến

tính và phi tuyến càng lớn.

- Trong phân tích tuyến tính, các kết quả khảo sát về độ võng và mô men

theo hai cách tiếp cận ứng suất và chuyển vị hoàn toàn trùng khớp. Quy luật phân

bố lỗ rỗng chỉ ảnh hưởng lên độ võng: Phân bố đối xứng có độ võng bé nhất, hai

dạng phân bố lỗ rỗng còn lại cho kết quả độ võng không mấy khác biệt; trong khi

mô men uốn lại không đổi khi thay đổi quy luật phân bố lỗ rỗng.

- Trong phân tích phi tuyến thì khác, các kết quả khảo sát về độ võng và mô

men theo hai cách tiếp cận ứng suất và tiếp cận chuyển vị đều tăng theo quy luật phi

tuyến với các giá trị tăng dần của tham số tải trọng P. Tuy nhiên khi P tăng, sai lệch

giữa kết quả tính toán theo hai cách tiếp cận đối với mô men uốn là lớn hơn so với

độ võng. Ví dụ như, với phân bố lỗ rỗng đều, khi P = 5, sai lệch về độ võng và mô

men uốn giữa hai cách tiếp cận lần lượt là 0.08% và 0.42% thì khi P = 30, các sai

lệch tương ứng là 1.53% và 7.56%.

Hình 3.6. Biến thiên độ võng của tấm FGM rỗng theo tải trọng phân bố đều P

với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau (theo FSDT và CPT)

Hình 3.7. Biến thiên mô men uốn của tấm FGM rỗng theo tải trọng phân bố

đều P với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau (theo FSDT và CPT)

Hình 3.8. Biến thiên mô men uốn của tấm FGM rỗng theo tải trọng phân bố

đều P với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau (theo FSDT và CPT)

d. Khảo sát ảnh hưởng của tham số nền đàn hồi

Bảng 3.13 và Bảng 3.14 trình bày các kết quả phân tích độ võng không thứ nguyên của tấm vuông FGM rỗng (Dạng 2, h = 0.1 m, a/h = (10, 50), b/a = 1, e0 = 0.5) với các tham số tải trọng P khác nhau. Ba cặp tham số nền đàn hồi được xem xét bao gồm: K0 = 0, J0 = 0; K0 = 300, J0 = 0 và K0 = 300, J0 = 100.

Bảng 3.13. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông dày, vật liệu FGM rỗng (Dạng

2) điều kiện biên SSSS với các tham số nền đàn hồi khác nhau FSDT (a/h = 10)

Điều kiện biên P (K0, J0)

5 10 15 30

(0, 0) SSSS-CV 0.2593 0.4466 0.5826 0.8502

0.2592 0.4458 0.5803 0.8410

SSSS-US SSSS (TT)* 0.2820 0.5640 0.8460 1.6920

(300, 0) SSSS-CV 0.2483 0.4329 0.5687 0.8379

SSSS-US 0.2482 0.4321 0.5665 0.8289

SSSS (TT) 0.2672 0.5345 0.8017 1.6034

(300, 100) SSSS-CV 0.2268 0.4047 0.5398 0.8119

SSSS-US 0.2267 0.4040 0.5380 0.8039

*Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng.

SSSS (TT) 0.2398 0.4796 0.7194 1.4388

Bảng 3.14. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông mỏng, vật liệu FGM rỗng

(Dạng 2) điều kiện biên SSSS với các tham số nền đàn hồi khác nhau (CPT, a/h = 50)

Điều kiện biên P (K0, J0)

5 10 15 30

(0, 0) SSSS-CV 0.2466 0.4318 0.5689 0.6766

SSSS-US 0.2467 0.4321 0.5695 0.6774

SSSS (TT) 0.2646 0.5292 0.7938 1.5875

(300, 0) SSSS-CV 0.2365 0.4187 0.5554 0.6634

SSSS-US 0.2366 0.4189 0.5559 0.6642

SSSS (TT) 0.2517 0.5033 0.7550 1.5100

(300, 100) SSSS-CV 0.2168 0.3917 0.5272 0.6357

SSSS-US 0.2168 0.3920 0.5277 0.6364

*Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng.

SSSS (TT) 0.2274 0.4547 0.6821 1.3642

Hình 3.9. Biến thiên độ võng của tấm FGM rỗng theo tải trọng phân bố đều P

với các hệ số nền khác nhau (theo FSDT và CPT)

Các đường cong tải - độ võng tương ứng cho ba trường hợp nền

được thể hiện bằng đồ thị trên Hình 3.9 phản ánh đúng các nhận xét định tính của

các nghiên cứu đã công bố: khi tăng các tham số nền K0, J0, độ võng của tấm giảm

đáng kể; và ảnh hưởng của hệ số nền J0 lớn hơn so với hệ số nền K0.

e. Khảo sát ảnh hưởng của hệ số lỗ rỗng

Bảng 3.15. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông FGM rỗng điều kiện biên

SSSS với các hệ số rỗng khác nhau (FSDT, a/h = 10)

Điều kiện biên Dạng 1 Dạng 2 Dạng 3

FSDT (a/h = 10)

0.1 SSSS-CV 0.3936 0.3871 0.3923

SSSS-US 0.3929 0.3865 0.3917

SSSS (TT)* 0.4886 0.4751 0.4860

0.3 SSSS-CV 0.4380 0.4143 0.4339

SSSS-US 0.4370 0.4136 0.4330

SSSS (TT)* 0.5695 0.5156 0.5608

0.5 SSSS-CV 0.4973 0.4466 0.4897

SSSS-US 0.4958) 0.4458 0.4883

SSSS (TT)* 0.6908 0.5640 0.6758

0.9 SSSS-CV 0.7504 0.5380 0.7020

SSSS-US 0.7434 0.5367 0.6942

*Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng.

SSSS (TT)* 1.4337 0.6983 1.4770

Bảng 3.16. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông mỏng FGM rỗng điều kiện

biên SSSS với các hệ số rỗng khác nhau (CPT, a/h = 50)

Điều kiện biên Dạng 1 Dạng 2 Dạng 3

0.1 SSSS-CV 0.3822 0.3752 0.3808

SSSS-US 0.3824 0.3755 0.3811

SSSS (TT)* 0.4886 0.4751 0.4860

0.3 SSSS-CV 0.4267 0.4012 0.4225

SSSS-US 0.4271 0.4014 0.4229

SSSS (TT)* 0.5695 0.5156 0.5608

0.5 SSSS-CV 0.4864 0.4318 0.4790

SSSS-US 0.4869 0.4321 0.4794

SSSS (TT)* 0.6908 0.5640 0.6758

0.9 SSSS-CV 0.7432 0.5161 0.6985

SSSS-US 0.7443 0.5165 0.6996

*Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng.

SSSS (TT)* 1.4337 0.6983 1.4770

Bảng 3.15 và Bảng 3.16 là các kết quả phân tích độ võng không thứ nguyên

của tấm vuông FGM rỗng (h = 0.1 m, a/h = (10, 50), b/a = 1, P = 10, K0 = J0 = 0)

với các hệ số lỗ rỗng khác nhau. Ba quy luật phân bố lỗ rỗng được xem xét bao

gồm: phân bố đều, phân bố không đều đối xứng và phân bố không đều bất đối xứng.

Hình 3.10 thể hiện sự biến thiên của độ võng không thứ nguyên theo hệ số rỗng

của ba dạng phân bố lỗ rỗng. Các kết quả thu được từ Bảng 3.15, Bảng 3.16 và

Hình 3.10, Hình 3.11 cho thấy: hệ số rỗng tăng làm cho độ cứng của tấm giảm, dẫn

tới độ võng không thứ nguyên tăng theo, với tất cả các dạng phân bố lỗ rỗng. Hệ số

rỗng càng lớn thì ảnh hưởng của dạng phân bố lỗ rỗng càng rõ rệt. Trong phân tích

tuyến tính, các kết quả độ võng trong hai trường hợp phân bố đều và phân bố bất

đối xứng gần như nhau.

(a) (b)

Hình 3.10. Biến thiên độ võng của tấm dày (a/h = 10) theo hệ số rỗng e0 với các quy

luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính

(a) (b)

Hình 3.11. Biến thiên độ võng của tấm mỏng (a/h = 50) theo hệ số rỗng e0 với các

quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính

f. Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số b/a

Độ võng không thứ nguyên

của tấm FGM rỗng (phân bố đối xứng): h = 0.1 m, P = 10, K0 = J0 = 0, theo tỷ số kích thước cạnh b/a (với a/h = 10 cho tấm dày, a/h = 50 cho tấm mỏng) với các điều kiện biên khác nhau được tính toán và thể

hiện trong Bảng 3.17 và Bảng 3.18. Đồ thị biến thiên của độ võng theo tỷ số kích

thước cạnh b/a được trình bày tương ứng trên Hình 3.12 và Hình 3.13. Các kết quả

phân tích phi tuyến của luận án được thực hiện đồng thời theo hai cách tiếp cận

chuyển vị và ứng suất. Đồ thị trên các hình này cho thấy:

- Với cả 3 dạng điều kiện biên được khảo sát, khi tăng tỷ số b/a, độ võng

không thứ nguyên tăng;

- Về ảnh hưởng của điều kiện biên, khi b/a nhỏ (b/a ≤ 0.5), hai điều kiện biên

SCSC và CCCC có kết quả độ võng gần như nhau. Khi b/a lớn (b/a →2), điều kiện biên SCSC có kết quả độ võng xấp xỉ bằng trường hợp điều kiện biên SSSS khi phân tích phi tuyến; trong khi, chúng lệch nhau khá nhiều khi phân tích tuyến tích.

Bảng 3.17. Độ võng không thứ nguyên của tấm chữ nhật dày, vật liệu FGM rỗng

với các tỷ số kích thước cạnh b/a khác nhau (FSDT, a/h = 10)

Điều kiện biện b/a

0.5 1 1.5 2

FSDT (a/h = 10)

SSSS-CV 0.0944 0.4466 0.6482 0.7143

SSSS-US 0.0944 0.4458 0.6435 0.7014

SSSS (TT)* 0.0960 0.5640 1.0540 1.3744

SCSC-CV 0.0348 0.2755 0.5656 0.6923

SCSC-US 0.0348 0.2769 0.5687 0.6954

SCSC (TT) 0.0349 0.2904 0.7485 1.1598

CCCC-CV 0.0339 0.1946 0.3169 0.3588

CCCC-US 0.0339 0.1957 0.3216 0.3663

*Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng.

CCCC (TT) 0.0339 0.1983 0.3334 0.3852

Bảng 3.18. Độ võng không thứ nguyên của tấm chữ nhật mỏng, vật liệu FGM

rỗng với các tỷ số kích thước cạnh b/a khác nhau (CPT, a/h = 50)

Điều kiện biện b/a

0.5 1 1.5 2

SSSS-CV 0.0817 0.4318 0.6402 0.7093

SSSS-US 0.0817 0.4321 0.6412 0.7109

SSSS (TT) 0.0825 0.5292 1.0063 1.3203

SCSC-CV 0.0213 0.2404 0.5435 0.6819

SCSC-US 0.0213 0.2414 0.5468 0.6855

SCSC (TT) 0.0213 0.2490 0.6923 1.0997

CCCC-CV 0.0207 0.1625 0.2763 0.3156

CCCC-US 0.0207 0.1631 0.2793 0.3206

*Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng.

CCCC (TT) 0.0207 0.1644 0.2861 0.3318

(b) (a)

Hình 3.12. Biến thiên độ võng của tấm dày (a/h = 10), vật liệu FGM rỗng theo tỷ

số kích thước cạnh b/a với các điều kiện biên khác nhau:

(a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính

(b) (a)

Hình 3.13. Biến thiên độ võng của tấm mỏng (a/h = 50), vật liệu FGM rỗng theo

tỷ số kích thước cạnh b/a với các điều kiện biên khác nhau:

(a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính

3.5. Tóm tắt chương 3

Trong chương 3, luận án xây dựng lời giải tích theo hai cách tiếp cận: tiếp

cận ứng suất và tiếp cận chuyển vị, để phân tích phi tuyến ứng xử uốn của tấm chữ

nhật FGM rỗng đặt trên nền đàn hồi với một số điều kiện biên khác nhau. Dựa trên

lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển, nghiệm giải tích thu được

bằng phương pháp Bubnov-Galerkin kết hợp với phương pháp giải lặp Newton-

Raphson cùng với chương trình tính tự viết trên nền Matlab được kiểm chứng với

các kết quả đã công bố cho thấy đủ tin cậy. Ảnh hưởng của các tham số vật liệu,

kích thước hình học, hệ số nền đàn hồi, tải trọng uốn và điều kiện biên đến độ võng,

đường cong tải - độ võng và mô men uốn nội lực trong tấm đã được chỉ ra chi tiết

qua các ví dụ số. Các kết quả chính là:

- Các phân tích phi tuyến theo hai cách tiếp cận chuyển vị và ứng suất cho kết

quả xấp xỉ nhau. Độ võng theo phân tích phi tuyến luôn nhỏ hơn phân tích

tuyến tính.

- Hệ số rỗng tăng làm giảm độ cứng uốn của tấm FGM rỗng. Tấm có lỗ rỗng

phân bố không đều, đối xứng sở hữu độ cứng lớn nhất; hai dạng phân bố lỗ

rỗng còn lại có độ cứng gần như nhau.

- Hệ số lỗ rỗng càng tăng thì ảnh hưởng của dạng phân bố lỗ rỗng đến ứng xử

tĩnh của tấm càng rõ rệt.

Các kết quả chính này của luận án được thể hiện trong các bài báo số 6, 7 và

10 trong danh mục các công trình khoa học đã công bố của tác giả.

CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ SAU ỔN ĐỊNH CỦA

TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG

4.1. Mở đầu

Ứng xử ổn định và sau ổn định là một trong những đặc trưng cơ học quan

trọng cần phải quan tâm trong quá trình tính toán thiết kế các cấu kiện chịu lực. Bài

toán ổn định của tấm bao gồm việc xác định tải tới hạn và ứng xử của tấm sau khi

tải tác dụng vượt quá giá trị tới hạn [7]. Đây là vấn đề thu hút nhiều nghiên cứu

trong và ngoài nước trong thời gian gần đây.

Trong chương này, dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm

cổ điển, lời giải giải tích theo phương pháp tiếp cận ứng suất được thiết lập để nghiên

cứu ổn định và sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng chịu tác dụng của tải nén

trong mặt phẳng trung hoà, được đặt trên nền đàn hồi với các điều kiện biên SSSS,

CCCC, SCSC và có thể tự do dịch chuyển trong mặt phẳng tấm. Các hệ thức và

phương trình chủ đạo có kể đến cả tính không hoàn hảo hình học ban đầu, tính phi

tuyến hình học theo nghĩa von Kárman. Các phương trình này sau đó được giải bằng

phương pháp Bubnov-Galerkin [1] để thu được các biểu thức dạng hiển của tải tới

hạn và đường cong tải - độ võng phi tuyến sau ổn định. Phân tích ổn định cũng sẽ chỉ

ra ảnh hưởng của dạng phân bố, hệ số mật độ lỗ rỗng, điều kiện biên, hệ số nền và

tham số kích thước tấm đến ổn định và sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng.

4.2. Khái niệm ổn định và tiêu chuẩn ổn định tĩnh

4.2.1. Khái niệm ổn định và mất ổn định, phân loại

Trạng thái cân bằng của cấu kiện, kết cấu hay của hệ cơ học được gọi là ổn

định nếu với mỗi “nhiễu động” nhỏ, hệ lệch khỏi vị trí cân bằng ban đầu một lượng

bé, và sau đó hệ luôn trở về trạng thái cân bằng ban đầu.

Trạng thái cân bằng của cấu kiện, kết cấu hay của hệ cơ học được gọi là mất

ổn định nếu với mỗi “nhiễu động” nhỏ, gây ra sự thay đổi đột ngột về hình thức

biến dạng hay giá trị của chuyển vị, và sau đó hệ không còn khả năng quay trở về

trạng thái cân bằng ban đầu.

Mất ổn định của kết cấu có thể chia làm hai loại chính: a) mất ổn định kiểu rẽ

nhánh (bifurcation buckling), b) mất ổn định kiểu cực trị (hay kiểu giới hạn - limit-

type buckling).

Mất ổn định kiểu rẽ nhánh thường xảy ra với một số dạng kết cấu hoàn hảo

về hình dáng như thanh thẳng chịu nén đúng tâm, tấm phẳng chịu nén màng, panel

trụ, vỏ trụ chịu nén dọc trục. Đường tải - độ võng goi là đường cân bằng

(equilibrium path), mỗi điểm trên đường này sẽ tương ứng với một trạng thái cân

bằng của kết cấu [20]. Tải trọng tương ứng với thời điểm xuất hiện điểm rẽ nhánh

(bifurcation point) của đường tải-độ võng gọi là tải tới hạn.

(a) (b)

Hình 4.1. Mất ổn định rẽ nhánh kiểu đối xứng

Hình 4.2. Mât ổn định rẽ nhánh kiểu bất đối xứng

Đường tải - độ võng trước khi đến điểm rẽ nhánh gọi là đường sơ cấp hay đường

cơ bản (primary path), và từ sau điểm rẽ nhánh gọi là đường thứ cấp (secondry path) hay

còn gọi là đường sau vồng, sau ổn định (post-buckling path). Tùy theo từng kết cấu mà

đường tải - độ võng sau ổn định có thể là đối xứng (Hình 4.1) hay bất đối xứng (Hình

4.2), có thể là đơn điệu tăng (Hình 4.1a) hay đơn điệu giảm (Hình 4.1b).

Loại mất ổn định thứ hai là mất ổn định kiểu cực trị (hay kiểu giới hạn), kết

cấu được coi là mất ổn định khi đường cong tải - độ võng xuất hiện điểm cực trị hay

điểm uốn. Loại mất ổn định này có thể là: a) Hình 4.3: chuyển trạng thái đột ngột

(snap-through) - khi chuyển vị có thể chuyển đột ngột (jump) từ trạng thái này sang

trạng thái khác, ngay cả khi tải trọng không tăng; b) Hình 4.4: mất ổn định với độ

lệch hữu hạn (finite disturbance buckling) khi kết cấu (vỏ trụ, vỏ cầu) đạt tới điểm

uốn thì hình dạng kết cấu đột ngột thay đổi, tải trọng giảm trước khi đạt tới đường

sau vồng ổn định.

Hình 4.3. Mất ổn định của vòm

Hình 4.4. Mất ổn định của vỏ trụ chịu tải dọc trục và của vỏ cầu chịu áp lực ngoài

Khi nghiên cứu ổn định của kết cấu ta thường quan tâm đến hai vấn đề chính

sau đây [2, 5]:

• Xác định tải trọng tới hạn.

• Phân tích ứng xử sau ổn định trên cơ sở xây dựng đường cong tải - độ võng

của kết cấu sau trạng thái tới hạn.

4.2.2. Các tiêu chuẩn ổn định tĩnh

Tương ứng với các dạng mất ổn định đã nêu ở đề mục trên, khi nghiên cứu

về ổn định của kết cấu, các tiêu chuẩn ổn định tương ứng được sử dụng, bao gồm

tiêu chuẩn mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh và mất ổn định theo kiểu cực trị [1, 3]:

a. Mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh được hiểu là trường hợp tải trọng tới

hạn đạt được tại điểm rẽ nhánh. Các đặc trưng của kiểu mất ổn định dạng này là [1,

3, 7, 120]:

- Dạng cân bằng có khả năng rẽ nhánh.

- Phát sinh dạng cân bằng mới khác với dạng cân bằng ban đầu về tính chất.

- Trước trạng thái giới hạn dạng cân bằng ban đầu là duy nhất và ổn định,

sau trạng thái giới hạn cân bằng ban đầu là không ổn định.

Nghiên cứu ổn định dạng này dựa trên tiêu chuẩn ổn định rẽ nhánh [1,

3, 7, 20, 108, 119]: trạng thái ban đầu của kết cấu được xem là trạng thái cân

bằng cơ bản. Với một giá trị nào đó của tải trọng, kết cấu có thể tồn tại trạng thái

cân bằng khi lệch khỏi dạng cân bằng cơ bản một lượng nhỏ hay còn gọi là trạng

thái cân bằng lân cận. Đây là trạng thái trung gian từ dạng cân bằng ổn định sang

dạng mất ổn định. Giá trị lực nhỏ nhất để tồn tại trạng thái cân bằng lân cận gọi

là lực tới hạn.

b. Mất ổn định kiểu cực trị là trường hợp tải tới hạn đạt được ở điểm cực trị

của đường cong tải - độ võng, thậm chí tải trọng tương ứng với điểm uốn của đường

cong tải - độ võng cũng có thể được coi là tải tới hạn. Trạng thái giới hạn xác định

từ điều kiện .

4.3. Phân tích ổn định theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

Xét tấm chữ nhật FGM rỗng, có chiều dày là h, các cạnh theo phương các trục

x, y là a (chiều dài), b (chiều rộng), chịu tác dụng của tải trọng nén trong mặt trung

hoà, phân bố đều trên các cạnh theo hai phương x, y. Tấm được đặt trên nền đàn hồi

Pasternak với các hệ số nền: - hệ số độ cứng uốn (Winkler stiffness), -

hệ số độ cứng cắt (shear stiffness) của nền đàn hồi, (xem Hình 4.5):

Hình 4.5. Mô hình tấm vật liệu FGM rỗng chịu nén theo hai phương

Sử dụng hàm ứng suất Airy được định nghĩa theo (3.21), khi đó hai

phương trình cân bằng (2.23) - (2.24) tự thoản mãn. Sử dụng các quan hệ (2.8),

(2.15) và (3.21) ba phương trình cân bằng (2.25) - (2.27) được viết lại theo chuyển

vị và hàm ứng suất:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Mặt khác, phương trình tương thích biến dạng của tấm chữ nhật nhận được

có dạng [20]:

(4.4)

Dựa trên các quan hệ (2.15) và (3.21), các thành phần biến dạng màng có thể

được xác định thông qua các thành phần lực dọc và hàm ứng suất theo (3.24).

Thay (3.24) vào phương trình tương thích (4.4), ta được:

(4.5)

trong đó:

;

Hệ gồm bốn phương trình: (4.1) - (4.3) và phương trình (4.5), là hệ phương

trình chủ đạo để để giải bài toán ổn định và sau ổn định của tấm không hoàn hảo vật

liệu FGM rỗng. Trong các công thức này, khi cho ta thu được tấm hoàn hảo.

Đây là hệ phương trình phi tuyến với 4 ẩn số độc lập:

Hình 4.6. Minh hoạ ràng buộc có thể dịch chuyển trong mặt phẳng tấm

Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, lời giải giải tích được thiết lập bằng

việc sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin cho tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM

rỗng với các điều kiện biên. Trong luận án, với bài toán ổn định, các trường hợp

điều kiện biên được xem xét đều có thể tự do dịch chuyển trong mặt phẳng tấm

(Hình 4.6), bao gồm:

- Liên kết khớp 4 cạnh (SSSS): Tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề và có thể

tự do dịch chuyển (movable - FM) trong mặt phẳng tấm. Các điều kiện biên tương

ứng là:

Tại x = 0, a:

(4.6) Tại y = 0, b:

- Liên kết ngàm 4 cạnh (CCCC): Tất cả bốn cạnh của tấm liên kết ngàm và

có thể tự do dịch chuyển trong mặt phẳng tấm:

Tại x = 0, a:

(4.7) Tại y = 0, b:

- Liên kết đối xứng ngàm 2 cạnh, khớp 2 cạnh (SCSC): Hai cạnh đối diện

của tấm tựa bản lề, hai cạnh còn lại liên kết ngàm và có thể tự do dịch chuyển trong

mặt phẳng tấm:

Tại x = 0, a:

(4.8) Tại y = 0, b:

trong đó là các lực dọc màng tác dụng lên các cạnh của tấm chữ

nhật theo phương x, y tương ứng.

Với bài toán ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng chịu tải trọng nén tác dụng trên

các cạnh, nằm trong mặt trung hoà ta thường khảo sát các dạng mất ổn định (m, n) khác

nhau với lực mất ổn định tương ứng, từ đó tìm được lực tới hạn là giá trị bé nhất

trong các lực mất ổn định. Như vậy nghiệm chuyển vị được giả thiết phù hợp với từng

điều kiện biên cụ thể.

 Trường hợp điều kiện biên là SSSS:

Với điều kiện biên SSSS đã nêu ta chọn nghiệm chuyển vị dưới dạng [21, 73,

104]:

(4.9)

trong đó:

m, n là số nửa bước sóng hình sin theo phương phản

ánh mode (dạng) vồng.

là các hệ số cần xác định.

Hàm biểu diễn tính không hoàn hảo của tấm được giả sử như

hàm độ võng , có dạng như sau [23, 62, 94, 95]:

(4.10)

thể hiện hình dáng không hoàn hảo của tấm, giá trị

trong đó: hệ số

là trường hợp tấm hoàn hảo (phẳng tuyệt đối). Nhưng cũng cần phải nói rằng

sự không hoàn hảo về hình dáng là hiện tượng khó tránh khỏi của các cấu kiện trong

quá trình sản xuất và có thể có nhiều dạng khác nhau. Trong đó, hàm biểu diễn tính

không hoàn hảo theo công thức (4.10) vừa đơn giản trong tính toán vừa có ảnh

hưởng lớn nhất đến ứng xử của kết cấu [6, 63-65, 123, 127].

Thay (4.9) và (4.10) vào (4.5), ta thu được:

(4.11)

Từ đó, hàm ứng suất có dạng:

(4.12)

trong đó:

Thay các dạng nghiệm độ võng, góc xoay trong (4.9) vào hai phương trình

(4.2) - (4.3), ta xác định được các thành phần góc xoay:

(4.13)

trong đó:

Thay các kết quả tìm được từ (4.12) và (4.13) vào phương trình (4.1), sau đó

áp dụng phương pháp Bubnov-Galerkin, ta thu được kết quả:

(4.14)

trong đó:

Trong trường hợp này các lực nén trước khi vồng được cho bởi [20, 45, 94],

(Hình 4.5):

Tại :

(4.15) Tại :

Thay các giá trị và vào phương trình (4.14), suy ra:

(4.16)

trong đó:

Đây là phương trình cơ bản dùng để nghiên cứu ổn định phi tuyến, bao gồm xác

định tải trọng tới hạn và các đường cong tải - độ võng của tấm chữ nhật bằng vật liệu

FGM rỗng khi có và không có ảnh hưởng của tính không hoàn hảo hình dáng ban đầu.

Với tấm hoàn hảo, vì , do đó tải trọng nén thu được

như trong công thức (4.17):

(4.17)

Lực mất ổn định thu được:

(4.18)

Lực mất ổn định thu được từ phương trình (4.18) phụ thuộc vào các giá

trị của và . Bằng cách thay đổi biểu thức này đối với các giá trị của và ta

sẽ thu được lực tới hạn, . Lực tới hạn này cũng có thể nhận được

khi giải bài toán ổn định tuyến tính theo phương pháp cân bằng lân cận.

Như vậy, đối với tấm hoàn hảo , hàm đạt cực tiểu tại và

điểm thấp nhất trên đồ thị tải trọng - độ võng là giá trị tải vồng theo

kiểu rẽ nhánh. Ngược lại, với tấm không hoàn hảo, các đường tải trọng - độ võng

luôn xuất phát từ gốc tọa độ và không tồn tại điểm rẽ nhánh, do đó không xác định

được lực tới hạn theo tiêu chuẩn rẽ nhánh như tấm hoàn hảo.

 Trường hợp điều kiện biên là CCCC:

Với điều kiện biên CCCC ta chọn nghiệm chuyển vị dưới dạng khai triển

[21, 73, 104]:

(4.19)

Thay (4.19) vào (4.5), ta được:

(4.20)

Từ đó, hàm ứng suất có dạng:

(4.21)

trong đó:

Thay dạng nghiệm độ võng và góc xoay trong (4.19) vào hai phương trình

(4.2) - (4.3), và áp dụng phương pháp Bubnov-Galerkin ta được các thành phần góc

xoay xác định theo độ võng:

(4.22)

trong đó:

Thay kết quả tìm được từ (4.21) và (4.22) vào phương trình (4.1), sau đó áp

dụng phương pháp Bubnov-Galerkin ta thu được:

(4.23)

trong đó:

Như vậy, tấm FGM rỗng liên kết ngàm bốn cạnh và có thể dịch chuyển trong

mặt phẳng tấm chịu nén đều như trong công thức (4.15), từ đó thay vào phương

trình (4.23) ta được:

(4.24)

Tương tự như với điều kiện biên SSSS, từ phương trình (4.24) ta xác định

được liên hệ giữa tải nén và độ võng trong trường hợp tấm hoàn hảo:

(4.25)

và lực mất ổn định:

(4.26)

Lực mất ổn định thu được từ phương trình (4.26) phụ thuộc vào các giá

trị của và . Bằng cách thay đổi biểu thức này đối với các giá trị của và ta

sẽ thu được lực tới hạn

 Trường hợp điều kiện biên là SCSC:

Với điều kiện biên SCSC ta chọn nghiệm chuyển vị dưới dạng khai triển [21,

73, 104]:

(4.27)

Thay (4.27) vào (4.5), ta được:

(4.28)

Từ đó, chọn nghiệm cho hàm ứng suất dưới dạng:

(4.29)

trong đó:

Thay (4.29) vào hai phương trình (4.2) - (4.3), và áp dụng phương pháp

Bubnov-Galerkin ta được các thành phần góc xoay xác định theo độ võng như trong

công thức (4.22).

trong đó:

Thay các kết quả tìm được từ (4.29) vào phương trình (4.1), sau đó áp dụng

phương pháp Bubnov-Galerkin ta thu được:

(4.30)

trong đó:

Tiến hành tương tự như các điều kiện biên SSSS và CCCC; trong trường hợp

điều kiện biên SCSC, ta thu được liên hệ tải nén và độ võng cho tấm không hoàn hảo:

(4.31)

Với tấm hoàn hảo:

(4.32)

Từ đó, ta xác định được lực mất ổn định và lực tới hạn:

(4.33)

4.4. Phân tích ổn định theo lý thuyết tấm cổ điển

Sử dụng hàm ứng suất Airy được định nghĩa theo (3.21), khi đó hai

phương trình cân bằng (2.23) - (2.24) tự thoản mãn. Sử dụng các quan hệ (2.8),

(2.14) và (3.21) phương trình cân bằng (2.37) được viết lại theo chuyển vị và hàm

ứng suất:

(4.34)

Phương trình tương thích biến dạng của tấm chữ nhật được biểu diễn bằng

công thức (4.4). Dựa trên các quan hệ (2.14) và (3.21), các thành phần biến dạng

màng có thể được xác định thông qua các thành phần lực dọc và hàm ứng suất theo

(3.24). Thay (3.24) vào phương trình tương thích (4.4), ta thu được phương trình vi

phân cấp bốn ( ) của hàm ứng suất như trong công thức (4.5).

Hệ gồm hai phương trình: (4.34) và (4.5) là hệ phương trình chủ đạo để để giải

bài toán ổn định và sau ổn định của tấm không hoàn hảo vật liệu FGM rỗng. Trong

các công thức này, khi cho ta thu được tấm hoàn hảo. Đây là hệ phương trình

phi tuyến với 2 ẩn số độc lập: .

Lời giải giải tích cũng được thiết lập bằng việc sử dụng phương pháp

Bubnov-Galerkin cho tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM rỗng với các điều kiện

biên theo lý thuyết tấm cổ điển, bao gồm:

- Liên kết khớp 4 cạnh (SSSS): tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề và có

thể tự do dịch chuyển (movable) trong mặt phẳng tấm. Các ràng buộc tương

ứng là:

Tại x = 0, a:

(4.35) Tại y = 0, b:

- Liên kết ngàm 4 cạnh (CCCC): tất cả bốn cạnh của tấm liên kết ngàm và có

thể tự do dịch chuyển trong mặt phẳng tấm:

Tại x = 0, a:

(4.36) Tại y = 0, b:

- Liên kết đối xứng ngàm 2 cạnh, khớp 2 cạnh (SCSC): hai cạnh đối diện của

tấm tựa bản lề, hai cạnh còn lại liên kết ngàm và có thể tự do dịch chuyển trong mặt

phẳng tấm:

Tại x = 0, a:

(4.37) Tại y = 0, b:

trong đó là các lực dọc màng tác dụng lên các cạnh của tấm chữ

nhật theo phương x, y tương ứng.

 Khi điều kiện biên là SSSS:

Với điều kiện biên SSSS được chọn như (4.35) ta chọn nghiệm chuyển vị

và hàm biểu diễn tính không hoàn hảo như trong công thức

(4.9) và (4.10). Thay vào phương trình (4.5), ta thu được phương trình vi phân cấp

bốn của hàm ứng suất ( ) như trong công thức (4.11). Từ đó, chọn hàm ứng suất

có dạng như (4.12).

Thay kết quả tìm được từ (4.12) vào phương trình (4.34), sau đó áp dụng

phương pháp Bubnov-Galerkin, ta thu được kết quả:

(4.38)

trong đó:

Từ phương trình (4.38), ta có:

(4.39)

Xét với tấm hoàn hảo với vì do đó tải trọng nén thu được

trình bày ở công thức (4.40):

(4.40)

Từ đó ta có lực mất ổn định:

(4.41)

 Khi điều kiện biên là CCCC:

Với điều kiện biên CCCC được chọn như (4.36) ta chọn nghiệm chuyển vị

và hàm biểu diễn tính không hoàn hảo dưới dạng khai triển

như trong công thức (4.19). Thay vào phương trình (4.5), ta thu được phương trình

vi phân cấp bốn của hàm ứng suất ( ) như trong công thức (4.20). Từ đó, chọn

hàm ứng suất có dạng như (4.21).

Thay kết quả tìm được từ (4.21) vào (4.34), sau đó áp dụng phương pháp

Bubnov-Galerkin, ta thu được kết quả:

(4.42)

trong đó:

Từ phương trình (4.42), ta có:

(4.43)

Từ phương trình (4.43) ta xác định được liên hệ giữa tải nén và độ võng

trong trường hợp tấm hoàn hảo:

(4.44)

Từ phương trình (4.44) ta xác định được lực mất ổn định:

(4.45)

 Khi điều kiện biên là SCSC:

100

Với điều kiện biên SCSC đã chọn như (4.37) ta thực hiện các bước như khi

phân tích theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, với dạng nghiệm chọn như công

thức (4.27), phương trình vi phân cấp bốn của hàm ứng suất thu được như (4.28) và

chọn hàm ứng suất có dạng như (4.29).

Thay kết quả tìm được từ (4.29) vào (4.34), sau đó áp dụng phương pháp

Bubnov-Galerkin, ta thu được kết quả:

(4.46)

trong đó:

Từ phương trình (4.46), ta có:

(4.47)

Với tấm là hoàn hảo ta có:

(4.48)

Từ công thức (4.48) ta xác định được lực mất ổn định và lực tới hạn:

(4.49)

Các phương trình (4.39), (4.43) và (4.47) là các phương trình cơ bản nghiên

cứu ổn định phi tuyến, bao gồm xác định tải trọng tới hạn và các đường cong tải -

độ võng của tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM rỗng, với các điều kiện biên SSSS,

101

CCCC và SCSC khi có và không có ảnh hưởng của tính không hoàn hảo hình học

ban đầu, theo lý thuyết tấm cổ điển.

4.5. Kết quả số và thảo luận

Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM rỗng, chịu nén đều theo hai phương như

Hình 4.5. Cả ba điều kiện biên được xét bao gồm SSSS, CCCC, SCSC đều có thể tự

do dịch chuyển trong mặt phẳng tấm.

Với nghiệm giải tích đã thiết lập ở phần trên, chương trình tính trên nền Matlab

với tên gọi “NONINEAR BUCKLING_FGP PLATES” được viết để thực hiện các ví dụ

số. Các kết quả phân tích là phi tuyến trừ những trường hợp riêng được nói trước. Các

công thức không thứ nguyên được sử dụng [109, 114, 135]:

(4.50)

4.5.1. Ví dụ kiểm chứng

Trong phần này, luận án tiến hành kiểm chứng độ tin cậy của lời giải giải

tích, theo tiếp cận ứng suất và chương trình máy tính được lập trên nền Matlab. Các

ví dụ kiểm chứng bao gồm:

Ví dụ 1: Kiểm chứng tải trọng tới hạn và đường cong tải - độ võng của tấm

đẳng hướng.

Ví dụ 2: Kiểm chứng tải trọng tới hạn của tấm vật liệu FGM rỗng

a. Ví dụ kiểm chứng 1: Kiểm chứng tải trọng tới hạn và đường cong tải - độ võng

của tấm vật liệu đẳng hướng

Xét tấm chữ nhật vật liệu đẳng hướng:

bốn biên tựa khớp (SSSS), chịu nén theo một phương (phương x, ).

Bảng 4.1 bao gồm lực tới hạn với 3 loại vật liệu đẳng hướng: Aluminum

Titanium alloy và Stainless steel

102

Các kết quả tính toán trong luận án theo hai mô hình lý

thuyết tấm: FSDT và CPT được so sánh với kết quả của Brush và Almroth [20], sử

dụng phương pháp giải tích. Có thể thấy rằng kết quả của luận án tính theo lý thuyết

CPT có sai lệch ít hơn so với kết quả của Brush và Almroth do các tác giả này cũng

sử dụng CPT để tính toán.

Bảng 4.1. Tải trọng tới hạn của tấm chữ nhật đẳng hướng, điều kiện biên

SSSS chịu nén đều theo phương x ( )

Luận án Luận án Pcr [pound] Brush and Almroth [20] FSDT CPT

3620 (2, 1)a 3613.20(2, 1) 3615.24(2, 1) Aluminum (Al)

5459 (2, 1) 5455.93(2, 1) 5459.01(2, 1) Titanium alloy (Ti-6Al-4V)

a Các số trong ngoặc đơn biểu thị dạng mất ổn định (m, n).

10882 (2, 1) 10875.74(2, 1) 10881.87(2, 1) Stainless steel (SUS 304)

Hình 4.7 trình bày đường cong tải sau ổn định - độ võng của tấm

vuông đẳng hướng cho hai trường

hợp: tấm hoàn hảo ( ) và tấm không hoàn hảo ( ).

Các kết quả tính toán trong luận án theo mô hình lý thuyết tấm FSDT được so

sánh với kết quả của Tung and Duc [119] sử dụng lý thuyết tấm cổ điển. Các đường

cong sau ổn định của luận án và của Tung và Duc quan sát thấy trên Hình 4.7 là hầu

như trùng khớp cho cả hai trường hợp tấm hoàn hảo và không hoàn hảo.

103

Hình 4.7. Đường cong sau ổn định của tấm vuông đẳng hướng

Bảng 4.2 trình bày tải trọng tới hạn của tấm vuông vật

liệu đẳng hướng SiC: E = 420 GPa, ν = 0.3, a/h = 10, b/a = 1, chịu tác dụng của tải

trọng nén đều theo hai phương . Các kết quả tính toán của luận án sử dụng

FSDT trong hai trường hợp tấm có liên kết SSSS và SCSC có sai lệch không đáng kể

so với Thai và Choi [110] sử dụng phương pháp giải tích theo lý thuyết biến dạng cắt

bậc nhất cải tiến với bốn ẩn chuyển vị.

Bảng 4.2. Tải trọng tới hạn của tấm vuông đẳng hướng, chịu nén theo hai

phương

Phương pháp SSSS SCSC

Thai và Choi [110] 18.6861 34.1195

Luận án - FSDT 18.6854 33.9600

Luận án - CPT 19.7392 38.0685

b. Ví dụ kiểm chứng 2: Kiểm chứng tải trọng tới hạn của tấm vật liệu FGM rỗng

Bảng 4.3 và Bảng 4.4 bao gồm tải trọng tới hạn không thứ nguyên của tấm

rỗng vật liệu là bọt nhôm (Aluminum foam) với

[92], liên kết khớp bốn cạnh (SSSS). Các kết quả tính toán của luận

104

án được so sánh với Thang và cs. [114] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và

dạng nghiệm Navier.

Bảng 4.3. Tải trọng tới hạn của tấm FGM rỗng chịu nén một

phương

Phân bố Phương pháp

lỗ rỗng 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Thang và cs. [114] 3.2109 2.9856 2.7549 2.5173 2.2710 2.0135

Đều Luận án - FSDT 3.2023 2.9777 2.7475 2.5105 2.2650 2.0081

Luận án - CPT 3.3829 3.1456 2.9025 2.6521 2.3927 2.1213

Thang và cs. [114] 3.3023 3.1729 3.0432 2.9130 2.7822 2.6506

Đối Luận án - FSDT 3.2933 3.1640 3.0343 2.9041 2.7733 2.6417 xứng

Luận án - CPT 3.4844 3.3537 3.2229 3.0921 2.9613 2.8305

Bảng 4.4. Tải trọng tới hạn của tấm FGM rỗng (e0 = 0.4, a/h = 10,

b/a = 1.5) với các dạng tải trọng nén khác nhau

Phân bố Phương pháp Dạng lực nén

lỗ rỗng (−1, 0) (0,−1) (−1,−1)

Thang và cs. [114] 2.9966 1.3318 0.9220

2.6687(2,1) Luận án - FSDT 1.3292(1,1) 0.9202(1,1) Đều 2.9908(1,1)

2.8778(2,1) Luận án - CPT 1.3834(1,1) 0.9577(1,1) 3.1126(1,1)

Thang và cs. [114] 3.4746 1.5443 1.0691 Đối xứng Luận án - FSDT 3.0784(2,1) 1.5408(1,1) 1.0667(1,1)

105

3.4668(1,1)

a Các số trong ngoặc đơn biểu thị dạng mất ổn định (m, n).

3.3551(2,1) Luận án - CPT 1.6128(1,1) 1.1166(1,1) 3.6289(1,1)

Qua các kết quả kiểm chứng ở trên, có thể thấy rằng mô hình tính và chương

trình Matlab cho bài toán phân tích ổn định và sau ổn định xây dựng trong luận án

là có độ tin cậy.

4.5.2. Khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, điều kiện biên, nền đàn hồi,

dạng tải trọng, tham số hình học và độ không hoàn hảo ban đầu

Xét tấm chữ nhật bằng bọt kim loại - metal foam (h = 0.1 m, E1 = 200 GPa,

) đặt trên nền đàn hồi, dưới tác dụng của tải trọng nén đều

trên các cạnh và

a. Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số a/h và điều kiện biên tới tải trọng tới hạn

Bảng 4.5 trình bày kết quả số và Hình 4.8 khảo sát phi tuyến biến thiên của lực

tới hạn không thứ nguyên của tấm vuông h = 0.1 m, b/a = 1, e0 = 0.5, K0 = 100, J0 =

10 với các tỷ số a/h = 10, 20, 30, 50. Tấm bằng vật liệu FGM rỗng với quy luật phân bố

không đều bất đối xứng với các điều kiện biên SSSS, SCSC, CCCC.

Có thể nhận thấy khi tỷ số a/h tăng thì lực tới hạn tính theo lý thuyết FSDT dần

tiệm cận đến các kết quả tính theo CPT, kết quả này một lần nữa khẳng định sự cần thiết

sử dụng FSDT cho tấm dày, còn đối với tấm mỏng chỉ cần sử dụng CPT để tiết kiệm

thời gian tính toán. Trong các điều kiện biên, lực tới hạn không thứ nguyên tăng khi tỷ số

a/h tăng là hoàn toàn phù hợp với quy luật, trong đó lớn nhất với biên ngàm 4 cạnh và

nhỏ nhất với biên khớp 4 cạnh.

Bảng 4.5. Tải trọng tới hạn của tấm rỗng vuông theo tỷ số kích thước

tấm a/h với các điều kiện biên khác nhau

Lý thuyết a/h Điều kiện biên

106

SSSS SCSC CCCC

2.9142(1,1) 5.0028(2,1) 6.8663(1,1) 10

3.0626(1,1) 5.7805(2,1) 7.7895(1,1) 20 FSDT 3.0918(1,1) 5.9526(2,1) 7.9887(1,1) 30

3.1070(1,1) 6.0449(2,1) 8.0947(1,1) 50

a Các số trong ngoặc đơn biểu thị dạng mất ổn định (m, n).

CPT 3.1156(1,1) 6.0981(2,1) 8.1556(1,1)

Hình 4.8. Biến thiên tải trọng tới hạn của tấm vuông, vật liệu FGM rỗng theo tỷ

số kích thước tấm a/h với các điều kiện biên khác nhau

b. Khảo sát ảnh hưởng của hệ số lỗ rỗng và dạng phân bố đến tải trọng tới hạn

Bảng 4.6 và Bảng 4.7 trình bày kết quả phân tích tải trọng tới hạn không thứ

nguyên và dạng mất ổn định (m, n) của tấm vuông hoàn hảo ( ) vật liệu FGM

rỗng: h = 0.1m, b/a = 1, a/h = 10 (FSDT), a/h = 50 (CPT), K0 = J0 = 0 với các hệ số

lỗ rỗng khác nhau: e0 = 0.1, 0.3, 0.5 và 0.9. Tấm chịu nén theo 1 phương, với các

dạng điều kiện biên SSSS, CCCC và SCSC; cùng với đó là ba quy luật phân bố lỗ

rỗng: phân bố đều, phân bố đối xứng, phân bố bất đối xứng được xem xét. Biến thiên

tải trọng tới hạn của tấm theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác

107

nhau được thể hiện bằng đồ thị như trên Hình 4.9 và Hình 4.10: (a) SSSS,

(b) CCCC, (c) SCSC, (d) SCSC,

Các kết quả cho thấy:

- Với cả ba loại quy luật phân bố lỗ rỗng, khi tăng hệ số lỗ rỗng e0, tải trọng

tới hạn giảm; tải trọng của tấm với phân bố lỗ rỗng đều (dạng 1) và không

đều bất đối xứng (dạng 3) giảm nhanh hơn so với tấm có các lỗ rỗng phân bố không

đều đối xứng (dạng 2).

- Điều kiện biên CCCC cho kết quả tải trọng tới hạn lớn nhất; trong khi

điều kiện biên SSSS cho kết quả tải trọng tới hạn nhỏ nhất.

- Khi điều kiện biên là SCSC, tấm dễ mất ổn định hơn khi nén theo phương

tấm được ngàm (phương y).

Bảng 4.6. Tải trọng tới hạn của tấm vuông dày vật liệu FGM rỗng theo hệ số rỗng

với các quy luật phân bố lỗ rỗng và điều kiện biên khác nhau (a/h = 10, FSDT)

Điều kiện Phân bố lỗ rỗng biên 0.1 0.3 0.5 0.9

Phân bố đều 3.2696(1,1) 2.8053(1,1) 2.3126(1,1) 1.1142(1,1) SSSS,

Phân bố đối xứng 3.3623(1,1) 3.0973(1,1) 2.8302 2.2825(1,1)

Phân bố bất đối xứng 3.2869(1,1) 2.8486(1,1) 2.3639(1,1) 1.0828(1,1)

Phân bố đều 7.9758(1,1) 6.8431(1,1) 5.6413(1,1) 2.7180(1,1) CCCC,

Phân bố đối xứng 8.1825(1,1) 7.4943(1,1) 6.7949(1,1) 5.3274(1,1)

Phân bố bất đối xứng 8.0148(1,1) 6.9442(1,1) 5.7701(1,1) 2.7046(1,1)

Phân bố đều 5.8520(2,1) 5.0209(2,1) 4.1391(2,1) 1.9943(2,1) SCSC,

108

Phân bố đối xứng 6.0004(2,1) 5.4887(2,1) 4.9679(2,1) 3.8714(2,1)

Phân bố bất đối xứng 5.8801(2,1) 5.0943(2,1) 4.2343(2,1) 1.9954(2,1)

Phân bố đều 5.1855(1,1) 4.4491(1,1) 3.6678(1,1) 1.7672(1,1) SCSC,

Phân bố đối xứng 5.3237(1,1) 4.8844(1,1) 4.4389(1,1) 3.5097(1,1)

a Các số trong ngoặc đơn biểu thị dạng mất ổn định (m, n).

Phân bố bất đối xứng 5.2115(1,1) 4.5157(1,1) 3.7508(1,1) 1.7460(1,1)

Bảng 4.7. Tải trọng tới hạn của tấm vuông mỏng vật liệu FGM rỗng theo hệ số

rỗng với các quy luật phân bố lỗ rỗng và điều kiện biên khác nhau (a/h = 50, CPT)

Điều kiện Phân bố lỗ rỗng biên 0.1 0.3 0.5 0.9

Phân bố đều 0.2771(1,1) 0.2377(1,1) 0.1960(1,1) 0.0944(1,1) SSSS,

Phân bố đối xứng 0.2854(1,1) 0.2640(1,1) 0.2425(1,1) 0.1997(1,1)

Phân bố bất đối xứng 0.2786(1,1) 0.2415(1,1) 0.2002(1,1) 0.0903(1,1)

Phân bố đều 0.7388(1,1) 0.6339(1,1) 0.5226(1,1) 0.2518(1,1) CCCC,

Phân bố đối xứng 0.7610(1,1) 0.7039(1,1) 0.6467(1,1) 0.5325(1,1)

Phân bố bất đối xứng 0.7429(1,1) 0.6440(1,1) 0.5339(1,1) 0.2408(1,1)

Phân bố đều 0.5541(2,1) 0.4754(2,1) 0.3919(2,1) 0.1888(2,1) SCSC,

Phân bố đối xứng 0.5708(2,1) 0.5279(2,1) 0.4851(2,1) 0.3994(2,1)

Phân bố bất đối xứng 0.5572(2,1) 0.4830(2,1) 0.4004(2,1) 0.1806(2,1)

Phân bố đều 0.4675(1,1) 0.4011(1,1) 0.3307(1,1) 0.1593(1,1) SCSC,

Phân bố đối xứng 0.4816(1,1) 0.4454(1,1) 0.4093(1,1) 0.3370(1,1)

a Các số trong ngoặc đơn biểu thị dạng mất ổn định (m, n).

Phân bố bất đối xứng 0.4701(1,1) 0.4075(1,1) 0.3379(1,1) 0.1524(1,1)

109

Hình 4.9. Biến thiên tải trọng tới hạn của tấm vuông dày (a/h = 10), vật liệu

FGM rỗng theo hệ số rỗng

(b) CCCC, với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) SSSS, (d) SCSC, (c) SCSC,

110

Hình 4.10. Biến thiên tải trọng tới hạn của tấm vuông mỏng (a/h = 50), vật liệu FGM rỗng theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) SSSS, (c) SCSC, (b) CCCC, (d) SCSC,

c. Khảo sát ảnh hưởng của dạng tải trọng nén đến đường cong sau ổn định

Hình 4.11. Ảnh hưởng của dạng tải nén đến đường cong sau ổn định của tấm chữ

nhật dày (a/h = 10), vật liệu FGM rỗng với các điều kiện biên khác nhau: (a) SSSS,

(b) SCSC, (c) CCCC

111

Hình 4.12. Ảnh hưởng của dạng tải nén đến đường cong sau ổn định của tấm chữ

nhật mỏng (a/h = 50), vật liệu FGM rỗng với các điều kiện biên khác nhau: (a)

SSSS, (b) SCSC, (c) CCCC

Ảnh hưởng của dạng tải nén ( ) và điều kiện biên đến đường cong sau

ổn định của tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng phân bố đối xứng: h = 0.1m, a/h = 10

(FSDT), a/h = 50 (CPT), b/a = 2, e0 = 0.5, K0 = J0 = 0 được thể hiện trên Hình 4.11

và Hình 4.12 với ba dạng điều kiện biên: (a) SSSS, (b) SCSC, (c) CCCC. Từ các kết

quả trên đồ thị, có thể thấy rằng:

- Đường cong tải - độ võng sau ổn định của tấm hoàn hảo xuất phát từ điểm rẽ

nhánh (giá trị lực tới hạn trên trục tung), của tấm không hoàn hảo xuất phát từ

gốc tọa độ và đơn điệu tăng.

- Với cả hai trường hợp, tấm hoàn hảo và không hoàn hảo: Đường cong tải - độ

võng sau ổn định của tấm chịu nén đều theo hai phương thấp hơn đường cong

112

tải - độ võng của tấm chịu nén đều theo một phương. Điều đó có nghĩa là: với

tấm chữ nhật, độ ổn định khi chịu nén đều theo hai phương sẽ bé hơn khi chịu

nén đều theo một phương và đó là phương cạnh dài.

d. Khảo sát ảnh hưởng của quy luật phân bố lỗ rỗng và hệ số lỗ rỗng đến đường

cong sau ổn định

Ảnh hưởng của quy luật phân bố lỗ rỗng đến đường cong sau ổn định của

tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng liên kết khớp bốn cạnh (SSSS): h = 0.1m, a/h = 10

(FSDT), a/h = 50 (CPT), b/a = 2, e0 = 0.5, K0 = J0 = 0, chịu nén đều theo 1 phương

(phương x) được tính toán và thể hiện trên Hình 4.13. Các kết quả trên đồ thị cho

thấy: các đường cong sau ổn định của tấm hoàn hảo ( ) và tấm không hoàn hảo

( ) với quy luật phân bố đối xứng luôn nằm trên cùng so với các đường cong

của tấm có phân bố đều và bất đối xứng. Điều này một lần nữa khẳng định khả năng

chịu lực của tấm FGM rỗng quy luật phân bố các lỗ rỗng không đều đối xứng (dạng

2) là tốt hơn so với hai quy luật phân bố còn lại, khả năng chịu lực của tấm (dạng 1

và dạng 3) gần như nhau.

Hình 4.13. Ảnh hưởng của quy luật phân bố lỗ rỗng đến đường cong sau ổn định

113

Hình 4.14. Ảnh hưởng của hệ số rỗng e0 đến đường cong sau ổn định của tấm vật

liệu FGM rỗng

Hình 4.14 phân tích ảnh hưởng của hệ số lỗ rỗng e0 đến đường cong sau ổn

định của tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng phân bố đối xứng liên kết khớp bốn cạnh

(SSSS): h = 0.1m, a/h = 10 (FSDT), a/h = 50 (CPT), b/a = 2, K0 = J0 = 0, chịu nén

đều theo 1 phương (phương x). Từ các kết quả trên đồ thị, có thể thấy rằng: khi tăng

) dịch chuyển e0 các đường cong sau ổn định của tấm không hoàn hảo (

xuống phía dưới, như vậy khả năng chịu nén của tấm giảm khi hệ số lỗ rỗng e0 tăng.

e. Khảo sát ảnh hưởng của tham số không hoàn hảo và tham số nền đàn hồi đến

đường cong sau ổn định

Hình 4.15 khảo sát ảnh hưởng của tham số không hoàn hảo ξ đến đường

cong sau ổn định của tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng phân bố đối xứng liên kết

khớp bốn cạnh (SSSS): h = 0.1m, a/h = 10, b/a = 2, K0 = J0 = 0, chịu nén đều theo 1

phương (phương x). Rõ ràng là các đường cong sau ổn định của các tấm không hoàn

hảo đều xuất phát từ gốc tọa độ và thấp hơn so với các tấm hoàn hảo khi biến dạng

nhỏ (độ võng của tấm là nhỏ). Tuy nhiên, khi độ võng của tấm đủ lớn thì ngược lại,

tấm có tham số không hoàn hảo ξ lớn chịu được lực nén tốt nhất.

Ảnh hưởng của các tham số nền đàn hồi đến đường cong sau ổn định của tấm

chữ nhật vật liệu FGM rỗng với quy luật phân bố đối xứng cho tấm hoàn hảo ( )

và tấm không hoàn hảo ( ) chịu nén một phương (phương x): h = 0.1m, a/h =

10, b/a = 2, e0 = 0.5 được thể hiện qua đồ thị trên Hình 4.16. Như vậy khi tăng độ

114

cứng của nền thì đường cong sau ổn định của tấm sẽ cao hơn; các đường cong (3), và

(4) cao hơn nhiều so với các đường (1) và (2), do đó có thể thấy ảnh hưởng của hệ số

nền Pasternak và lớn hơn so với hệ số nền Winkner.

Hình 4.15. Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo ξ đến đường cong sau ổn định của

tấm vật liệu FGM rỗng

Hình 4.16. Ảnh hưởng của tham số nền đàn hồi đến đường cong sau ổn định của

tấm vật liệu FGM rỗng

f. Khảo sát ảnh hưởng của kích thước tấm đến đường cong sau ổn định

Ảnh hưởng của tỷ lệ kích tấm a/h và kích thước cạnh b/a đến đường cong

sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng phân bố đối xứng (h = 0.1m, e0 = 0.5, K0 =

J0 = 0) được thể hiện tương ứng trong Hình 4.17 và Hình 4.18. Rõ ràng các đường

cong sau ổn định của tấm hoàn hảo ( ) và tấm không hoàn hảo ( ) cùng

dịch chuyển dần xuống dưới khi tăng tỷ số kích thước a/h, điều này phản ánh sự

thật là tấm càng mỏng thì càng dễ mất ổn định.

115

Ngoài ra ta còn quan sát thấy, khi tỷ số kích thước các cạnh b/a càng tăng thì

đường cong sau ổn định của tấm càng thấp, chứng tỏ rằng khả năng chịu nén theo

phương chịu lực càng giảm khi chiều dài cạnh tương ứng tăng, hoàn toàn phù hợp

với thực tế kỹ thuật.

Hình 4.17. Ảnh hưởng của tỷ lệ kích thước tấm a/h đến đường cong sau ổn định của

tấm vật liệu FGM rỗng

Hình 4.18. Ảnh hưởng của tỷ lệ kích thước cạnh b/a đến đường cong sau ổn định

của tấm vật liệu FGM rỗng

4.6. Tóm tắt chương 4

Trong chương 4 của luận án, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết

tấm cổ điển được sử dụng để phân tích ổn định và sau ổn định trong tấm vật liệu

FGM rỗng đặt trên nền đàn hồi Pasternak, chịu nén trong mặt phẳng trung hoà. Mô

hình tấm bằng vật liệu FGM rỗng với ba loại phân bố lỗ rỗng: đều, không đều đối

xứng, và không đều bất đối xứng được sử dụng cho hai trường hợp tấm hoàn hảo và

116

không hoàn hảo. Bằng việc sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin, biểu thức giải

tích của lực tới hạn, quan hệ tải - độ võng theo tiếp cận ứng suất đã được thiết lập

với các điều kiện biên khác nhau bao gồm: SSSS, CCCC và SCSC.

Ví dụ kiểm chứng đã được thực hiện qua so sánh với các công bố của các tác

giả khác cho thấy độ tin cậy của mô hình giải tích và chương trình máy tính được

thiết lập.

Các khảo sát số đã được thực hiện cho phép đánh giá ảnh hưởng của các

tham số hình học, vật liệu, nền đàn hồi và điều kiện biên đến lực tới hạn và đường

cong sau ổn định trong tấm. Một số kết quả đáng chú ý:

- Đường cong tải - độ võng sau ổn định của tấm hoàn hảo xuất phát từ điểm rẽ

nhánh, của tấm không hoàn hảo xuất phát từ gốc tọa độ và đơn điệu tăng.

- Tấm FGM rỗng có quy luật phân bố lỗ rỗng không đều đối xứng có khả năng

chịu nén tốt nhất so với hai quy luật còn lại.

- Độ không hoàn hảo, nền đàn hồi và điều kiện biên ảnh hưởng nhiều đến ứng

xử ổn định và sau ổn định của tấm FGM rỗng.

Các kết quả chính của luận án được thể hiện ở các bài báo số 2 và 8 trong

danh mục các công trình khoa học đã công bố của tác giả.

117

KẾT LUẬN

Kết luận

1) Luận án đã xây dựng hệ thức cơ sở và các phương trình chủ đạo, để phân

tích phi tuyến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng không hoàn

hảo trên nền đàn hồi, có kể đến vị trí thực của mặt trung hoà, và thành phần phi

tuyến hình học von Kárman, dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết

tấm cổ điển.

2) Thiết lập lời giải giải tích theo phương pháp ứng suất và phương pháp

chuyển vị để khảo sát ứng xử phi tuyến uốn tấm FGM rỗng. Sử dụng phương pháp

Bubnov-Galerkin để thu được hệ phương trình đại số phi tuyến xác định độ võng và

thành phần nội lực của tấm hoàn hảo với các mức tải trọng và điều kiện biên khác

nhau.

3) Sử dụng hàm ứng suất Airy, kết hợp với phương pháp Bubnov-Galerkin,

đã thiết lập được biểu thức hiển của tải tới hạn và quan hệ tải - độ võng của tấm

bằng vật liệu FGM rỗng hoàn hảo và không hoàn hảo chịu nén trong mặt trung hòa.

4) Các kết quả khảo sát cho thấy ảnh hưởng rõ rệt của các tham số vật liệu

(quy luật phân bố, hệ số lỗ rỗng), nền đàn hồi, điều kiện biên, kích thước hình học

đến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm FGM rỗng. Bộ số liệu thu được cùng các nhận

xét mang tính kỹ thuật là nguồn tham khảo hữu ích cho công tác thiết kế, thi công

và bảo trì các kết cấu sử dụng vật liệu FGM rỗng trong thực tế.

Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo

1) Nghiên cứu phi tuyến các bài toán phân tích tĩnh, ổn định và dao động với

tấm vật liệu FGM rỗng theo lý thuyết tấm cổ điển, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Trong đó xác định thêm các thành phần ứng suất

bằng cách tính toán với tấm tương đương hoặc tấm vật liệu FGM rỗng ở trạng thái

bão hoà chất lỏng.

118

2) Nghiên cứu bài toán tấm vật liệu FGM rỗng có gân gia cường, panel trụ,

vỏ trụ, vỏ nón có hoặc không có gân gia cường chịu tải cơ, tải nhiệt, hoặc cơ - nhiệt

kết hợp trên các lý thuyết khác nhau.

3) Phân tích các bài toán tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm FGM rỗng

hình dạng hình học phức tạp với các điều kiện biên khác nhau, làm việc trong môi

trường có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ hoặc có gắn áp điện.

119

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ

1. Trần Minh Tú, Lê Xuân Huỳnh, Đặng Xuân Hùng, Lê Thanh Hải (2017), Phân

tích ứng xử uốn của tấm bằng vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc

nhất, Tuyển tập công trình khoa học Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X. Tập

3. Cơ học Vật rắn. Quyển 2. p. (1365-1372). (ISBN: 976-604-913-722-8).

2. Tran Minh Tu, Le Kha Hoa, Dang Xuan Hung, Le Thanh Hai. (2018). Nonlinear

buckling and post-buckling analysis of imperfect porous plates under

mechanical loads. Journal of Sandwich Structures & Materials, 22(6): pp. 1910-

1930. (doi:10.1177/1099636218789612).

3. Trần Minh Tú, Lê Xuân Huỳnh, Lê Thanh Hải (2018), Phân tích ổn định của

tấm vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, Tuyển tập công trình

Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn lần thứ XIV. p. (765-772).

(ISBN:978-604-913-832-4).

4. Lê Thanh Hải, Trần Minh Tú, Lê Xuân Huỳnh (2018). Phân tích dao động riêng

của tấm bằng vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Tạp chí Khoa

học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 12(7): pp. 9-19. (ISSN 2615-

9058).

5. Trần Minh Tú, Nguyễn Văn Long, Lê Xuân Huỳnh, Lê Thanh Hải (2019), Phân

tích tĩnh tấm vật liệu xốp đặt trên nền đàn hồi Pasternak với các điều kiện biên

khác nhau, Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc. Kỷ nệm 40 năm thành lập Viện

Cơ học. (ISBN: 978-604-913-854-6).

6. Nguyễn Văn Long, Trần Minh Tú, Lê Thanh Hải và Vũ Thị Thu Trang. (2020).

Phân tích phi tuyến ứng xử uốn của tấm bằng vật liệu FGM xốp đặt trên nền

đàn hồi Pasternak với các điều kiện biên khác nhau có xét đến vị trí thực của

mặt trung hòa. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD,

14(4V): pp. 1-15. (doi.org/10.31814/stce2020-14(4V)-01).

7. Lê Thanh Hải, Nguyễn Văn Long, Trần Minh Tú và Chu Thanh Bình (2020).

Phân tích tĩnh tấm bằng vật liệu FGM xốp trên nền đàn hồi Pasternak theo

120

phương pháp chuyển vị có kể đến tính phi tuyến hình học và vị trí mặt trung hòa.

Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 14(5V): pp. 166-

179. (doi.org/10.31814/stce2020-14(5V)-14).

8. Hai, L.T., et al., Post-buckling Response of Functionally Graded Porous Plates

Rested on Elastic Substrate via First-Order Shear Deformation Theory, in

Modern Mechanics and Applications. 2022, Springer. p. 761-779.

(doi.org/10.1007/978-981-16-3239-6).

9. Nguyễn Văn Long, Lê Thanh Hải, Chu Thanh Bình và Trần Minh Tú (2021).

Phân tích phi tuyến đáp ứng động của tấm bằng vật liệu FGM rỗng đặt trên nền

đàn hồi. Tuyển tập công trình Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn lần

thứ XV. p. (632-641). (ISBN 978-604-9987-74-8).

10. Tung P.T., Long N.V., Tu T.M., Phuong N.T.B., Hai L.T., Long T.N. (2021).

Nonlinear bending analysis of FGP plates under various boundary conditions

using an analytical approach. Structures, 34: pp. 4803-4813.

(doi.org/10.1016/j.istruc.2021.10.042)

121

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Đào Huy Bích (2000). Lý thuyết đàn hồi. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội. [2] Đào Văn Dũng (2016). Phân tích ổn định và động lực của kết cấu cơ tính

[3] biến thiên. Nhà xuất bản KHKT. Lê Khả Hoà (2015). Phân tích ổn định tĩnh của vỏ bằng vật liệu có cơ tính biến thiên. Luận án tiến sĩ Cơ học, Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQGHN.

[4] Nguyễn Văn Long (2018). Phân tích tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật sử dụng lý thuyết biến dạng cắt tám ẩn. Luận án tiến sĩ Cơ học, Trường Đại học Xây dựng.

[5] Nguyễn Thị Nga (2018). Phân tích ổn định tĩnh của tấm và vỏ cơ tính biến thiên có gân gia cường chịu tải cơ và nhiệt. Luận án tiến sĩ Cơ học, Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQGHN.

[7] [6] Hoàng Văn Tùng (2011). Ổn định nhiệt đàn hồi của tấm và vỏ Composite biến đổi chức năng. Luận án tiến sĩ Cơ học. Đại học Khoa học Tự nhiên- ĐHQGHN. Lều Thọ Trình, Đỗ Văn Bình (2002). Ổn định công trình. Nhà xuất bản KHKT.

Tiếng Anh [8] Akbaş Ş.D. (2017). Nonlinear static analysis of functionally graded porous beams under thermal effect. Coupled Syst. Mech, 6(4): pp. 399-415. [9] Alinia M. and Ghannadpour S. (2009). Nonlinear analysis of pressure loaded FGM plates. Composite Structures, 88(3): pp. 354-359.

[10] Arani A.G., Khoddami Maraghi Z., Khani M., and Alinaghian I. (2017). third-order shear

Free vibration of embedded porous plate using deformation and poroelasticity theories. Journal of Engineering, 2017. [11] Atmane H.A., Tounsi A., and Bernard F. (2017). Effect of thickness stretching and porosity on mechanical response of a functionally graded beams resting on elastic foundations. International Journal of Mechanics and Materials in Design, 13(1): pp. 71-84.

[12] Avalle M., Belingardi G., and Montanini R. (2001). Characterization of polymeric structural foams under compressive impact loading by means of energy-absorption diagram. International journal of impact engineering, 25(5): pp. 455-472.

[13] Azizian Z. and Dawe D. (1985). Geometrically nonlinear analysis of rectangular mindlin plates using the finite strip method. Computers & structures, 21(3): pp. 423-436.

[14] Badiche X., Forest S., Guibert T., Bienvenu Y., Bartout J.-D., Ienny P., Croset M., and Bernet H. (2000). Mechanical properties and non- homogeneous deformation of open-cell nickel foams: application of the

122

mechanics of cellular solids and of porous materials. Materials Science and Engineering: A, 289(1-2): pp. 276-288.

[15] Bagherizadeh E., Kiani Y., and Eslami M. (2011). Mechanical buckling of functionally graded material cylindrical shells surrounded by Pasternak elastic foundation. Composite Structures, 93(11): pp. 3063-3071. [16] Banhart J. (2001). Manufacture, characterisation and application of cellular metals and metal foams. Progress in materials science, 46(6): pp. 559-632.

[17] Barati M.R. and Zenkour A.M. (2017). Investigating post-buckling of geometrically imperfect metal foam nanobeams with symmetric and asymmetric porosity distributions. Composite Structures, 182: pp. 91-98. [18] Benatta M.A., Kaci A., Tounsi A., Houari M.S.A., Bakhti K., and Bedia E.A.A. (2014). Nonlinear bending analysis of functionally graded plates under pressure loads using a four variable refined plate theory. International Journal of Computational Methods, 11(04): pp. 1350062. [19] Benveniste Y. (1987). A new approach to the application of Mori-Tanaka's

theory in composite materials. Mechanics of materials, 6(2): pp. 147-157. [20] Brush D.O., Almroth B.O., and Hutchinson J. (1975). Buckling of bars, plates, and shells.

[21] Cong P.H., Chien T.M., Khoa N.D., and Duc N.D. (2018). Nonlinear thermomechanical buckling and post-buckling response of porous FGM plates using Reddy's HSDT. Aerospace Science and Technology, 77: pp. 419-428.

[22] Chalal H. and Abed-Meraim F. (2018). Quadratic solid–shell finite elements for geometrically nonlinear analysis of functionally graded material plates. Materials, 11(6): pp. 1046.

[23] Chang M.-Y. and Librescu L. (1995). Postbuckling of shear-deformable flat and curved panels under combined loading conditions. International journal of mechanical sciences, 37(2): pp. 121-143.

[24] Chen D., Yang J., and Kitipornchai S. (2015). Elastic buckling and static bending of shear deformable functionally graded porous beam. Composite Structures, 133: pp. 54-61.

[25] Chen D., Yang J., and Kitipornchai S. (2016). Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams. International Journal of Mechanical Sciences, 108: pp. 14-22.

[26] Chen D., Kitipornchai S., and Yang J. (2016). Nonlinear free vibration of shear deformable sandwich beam with a functionally graded porous core. Thin-Walled Structures, 107: pp. 39-48.

[27] Daneshjou K., Talebitooti R., and Kornokar M. (2017). Vibroacoustic study on a multilayered functionally graded cylindrical shell with poroelastic core and bonded-unbonded configuration. Journal of Sound and Vibration, 393: pp. 157-175.

123

[28] Dat N.D., Thanh N.V., MinhAnh V., and Duc N.D. (2020). Vibration and nonlinear dynamic analysis of sandwich FG-CNTRC plate with porous core layer. Mechanics of Advanced Materials and Structures: pp. 1-18.

[29] Davies G. and Zhen S. (1983). Metallic foams: their production, properties and applications. Journal of Materials science, 18(7): pp. 1899-1911. [30] Dinh Duc N., Quang V.D., Nguyen P.D., and Chien T.M. (2018). Nonlinear dynamic response of functionally graded porous plates on elastic foundation subjected to thermal and mechanical loads. Journal of Applied and Computational Mechanics, 4(4): pp. 245-259.

[31] Domínguez Alvarado A.F. and Díaz Díaz A. (2018). A stress approach model of moderately thick, homogeneous shells. Mathematical Problems in Engineering, 2018. [32] Domínguez Alvarado A.F. and Díaz Díaz A. (2020). A Mixed for

Stress/Displacement Approach Model of Homogeneous Shells Elastodynamic Problems. Mathematical Problems in Engineering, 2020. [33] Duc N.D. and Tung H. (2010). Mechanical and thermal postbuckling of shear-deformable FGM plates with temperature-dependent properties. Mechanics of Composite Materials, 46(5): pp. 461-476.

[34] Duc N.D. and Cong P.H. (2013). Nonlinear postbuckling of symmetric S- FGM plates resting on elastic foundations using higher order shear deformation plate theory in thermal environments. Composite Structures, 100: pp. 566-574.

[35] Duc N.D. and Cong P.H. (2014). Nonlinear postbuckling of an eccentrically stiffened thin FGM plate resting on elastic foundations in thermal environments. Thin-Walled Structures, 75: pp. 103-112.

[36] Ebrahimi F., Dabbagh A., and Rastgoo A. (2019). Vibration analysis of porous metal foam shells rested on an elastic substrate. The Journal of Strain Analysis for Engineering Design, 54(3): pp. 199-208.

[37] Ebrahimi F., Dabbagh A., and Taheri M. (2020). Vibration analysis of porous metal foam plates rested on viscoelastic substrate. ENGINEERING WITH COMPUTERS. [38] Eslami M.R., Eslami J., and Jacobs (2018). Buckling and postbuckling of beams, plates, and shells. Springer.

[39] Fouaidi M., Jamal M., and Belouaggadia N. (2020). Nonlinear bending analysis of functionally graded porous beams using the multiquadric radial functions and a Taylor series-based continuation procedure. basis Composite Structures, 252: pp. 112593.

[40] Ghatage P.S., Kar V.R., and Sudhagar P.E. (2020). On the numerical modelling and analysis of multi-directional functionally graded composite structures: A review. Composite Structures, 236: pp. 111837.

[41] Gupta A. and Talha M. (2015). Recent development in modeling and analysis of functionally graded materials and structures. Progress in Aerospace Sciences, 79: pp. 1-14.

124

[42] Gibson R.F. (2010). A review of recent research on mechanics of multifunctional composite materials and structures. Composite structures, 92(12): pp. 2793-2810.

[45]

[46] [43] Huang X.-L., Dong L., Wei G.-Z., and Zhong D.-Y. (2019). Nonlinear free and forced vibrations of porous sigmoid functionally graded plates on nonlinear elastic foundations. Composite Structures, 228: pp. 111326. [44] Huang Z., Lü C., and Chen W. (2008). Benchmark solutions for functionally graded thick plates resting on Winkler–Pasternak elastic foundations. Composite Structures, 85(2): pp. 95-104. Javaheri R. and Eslami M. (2002). Buckling of Functionally Graded Plates under In‐plane Compressive Loading. ZAMM‐Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik: Applied Mathematics and Mechanics, 82(4): pp. 277-283. Jha D., Kant T., and Singh R. (2013). A critical review of recent research on functionally graded plates. Composite Structures, 96: pp. 833-849.

[47] Kapoor H. and Kapania R. (2012). Geometrically nonlinear NURBS laminated composite plates. finite element analysis of isogeometric Composite Structures, 94(12): pp. 3434-3447.

[48] Kiani Y. and Eslami M. (2010). Thermal buckling analysis of functionally graded material beams. International Journal of Mechanics and Materials in Design, 6(3): pp. 229-238.

[49] Kiani Y. and Eslami M. (2012). Thermal buckling and post-buckling response of imperfect temperature-dependent sandwich FGM plates resting on elastic foundation. Archive of Applied Mechanics, 82(7): pp. 891-905.

[50] Kiani Y. and Eslami M. (2013). An exact solution for thermal buckling of annular FGM plates on an elastic medium. Composites Part B: Engineering, 45(1): pp. 101-110.

[51] Kieback B., Neubrand A., and Riedel H. (2003). Processing techniques for functionally graded materials. Materials Science and Engineering: A, 362(1- 2): pp. 81-106.

[52] Kim J., Żur K.K., and Reddy J. (2019). Bending, free vibration, and buckling of modified couples stress-based functionally graded porous micro-plates. Composite Structures, 209: pp. 879-888.

[53] Kim N.-I. and Lee J. (2016). Geometrically nonlinear isogeometric analysis of functionally graded plates based on first-order shear deformation theory considering physical neutral surface. Composite Structures, 153: pp. 804- 814.

[54] Khabbaz R.S., Manshadi B.D., and Abedian A. (2009). Nonlinear analysis of FGM plates under pressure loads using the higher-order shear deformation theories. Composite Structures, 89(3): pp. 333-344.

[55] Larbi L.O., Kaci A., Houari M.S.A., and Tounsi A. (2013). An efficient shear deformation beam theory based on neutral surface position for bending and

125

free vibration of functionally graded beams#. Mechanics Based Design of Structures and Machines, 41(4): pp. 421-433.

[56] Leclaire P., Horoshenkov K., and Cummings A. (2001). Transverse vibrations of a thin rectangular porous plate saturated by a fluid. Journal of Sound and Vibration, 247(1): pp. 1-18.

[57] Lee Y., Zhao X., and Reddy J. (2010). Postbuckling analysis of functionally graded plates subject to compressive and thermal loads. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 199(25): pp. 1645-1653.

[58] Lefebvre L.P., Banhart J., and Dunand D.C. (2008). Porous metals and foams: current status and recent developments. Advanced metallic engineering materials, 10(9): pp. 775-787.

[59] Lei X.-y., Huang M.-K., and Wang X. (1990). Geometrically nonlinear analysis of a Reissner type plate by the boundary element method. Computers & structures, 37(6): pp. 911-916.

[60] Li H., Pang F., Chen H., and Du Y. (2019). Vibration analysis of functionally graded porous cylindrical shell with arbitrary boundary restraints by using a semi analytical method. Composites Part B: Engineering, 164: pp. 249-264.

[61] Li Q., Wu D., Chen X., Liu L., Yu Y., and Gao W. (2018). Nonlinear vibration and dynamic buckling analyses of sandwich functionally graded porous plate with graphene platelet reinforcement resting on Winkler– Pasternak elastic foundation. International Journal of Mechanical Sciences, 148: pp. 596-610.

[62] Li S.-R., Zhang J.-H., and Zhao Y.-G. (2007). Nonlinear thermomechanical post-buckling of circular FGM plate with geometric imperfection. Thin- Walled Structures, 45(5): pp. 528-536.

[63] Librescu L. and Stein M. (1991). A geometrically nonlinear theory of transversely isotropic laminated composite plates and its use in the post- buckling analysis. Thin-Walled Structures, 11(1-2): pp. 177-201.

[64] Librescu L. and Chang M.-Y. (1992). Imperfection sensitivity and postbuckling behavior of shear-deformable composite doubly-curved shallow panels. International Journal of Solids and structures, 29(9): pp. 1065-1083.

[65] Librescu L., Nemeth M., Starnes Jr J., and Lin W. (2000). Nonlinear response of flat and curved panels subjected to thermomechanical loads. Journal of thermal stresses, 23(6): pp. 549-582.

[66] Liew K., Kitipornchai S., Zhang X., and Lim C. (2003). Analysis of the thermal stress behaviour of functionally graded hollow circular cylinders. International Journal of Solids and Structures, 40(10): pp. 2355-2380. [67] Liu P. and Liang K. (2001). Review Functional materials of porous metals made by P/M, electroplating and some other techniques. Journal of materials science, 36(21): pp. 5059-5072.

[68] Liu P., Yu B., Hu A., Liang K., and Gu S. (2002). Techniques for the preparation of Porous Metals. Cailiao Kexue Yu Jishu(Journal of Materials Science & Technology)(China)(USA), 18: pp. 299-305.

126

[69] Loy C., Lam K., and Reddy J. (1999). Vibration of functionally graded cylindrical shells. International Journal of Mechanical Sciences, 41(3): pp. 309-324. [70] Magnucka-Blandzi E. (2008). Axi-symmetrical deflection and buckling of circular porous-cellular plate. Thin-walled structures, 46(3): pp. 333-337.

[71] Magnucki K., Malinowski M., and Kasprzak J. (2006). Bending and buckling of a rectangular porous plate. Steel and Composite Structures, 6(4): pp. 319- 333.

[72] Malinowski M. and Magnucki K. (2005). Buckling of an isotropic porous cylindrical shell. in Proc. Tenth Int. Conference on Civil, Structural and Environmental Engineering Computing. pp. 1-10.

[73] Meziane M.A.A., Abdelaziz H.H., and Tounsi A. (2014). An efficient and simple refined theory for buckling and free vibration of exponentially graded sandwich plates under various boundary conditions. Journal of Sandwich Structures & Materials, 16(3): pp. 293-318.

[74] Mindlin R.D. (1951). Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates. J. appl. Mech., 18: pp. 31-38.

[75] Moita J.S., Araújo A.L., Correia V.F., Soares C.M.M., and Herskovits J. (2018). Buckling and nonlinear response of functionally graded plates under thermo-mechanical loading. Composite Structures, 202: pp. 719-730. [76] Mojahedin A., Jabbari M., Khorshidvand A., and Eslami M. (2016). Buckling analysis of functionally graded circular plates made of saturated porous materials based on higher order shear deformation theory. Thin- Walled Structures, 99: pp. 83-90.

[77] Nakajima H. (2010). Fabrication, properties, and applications of porous metals with directional pores. Proceedings of the Japan Academy, Series B, 86(9): pp. 884-899.

[78] Nam V.H., Phuong N.T., Dong D.T., Trung N.T., and Tue N.V. (2019). Nonlinear thermo-mechanical buckling of higher-order shear deformable porous functionally graded material plates reinforced by orthogonal and/or oblique stiffeners. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 233(17): pp. 6177-6196. [79] Nguyen T.N., Thai C.H., Nguyen-Xuan H., and Lee J. (2018). Geometrically nonlinear analysis of functionally graded material plates using an improved moving Kriging meshfree method based on a refined plate theory. Composite Structures, 193: pp. 268-280.

[80] Pinnoji P.K., Mahajan P., Bourdet N., Deck C., and Willinger R.m. (2010). Impact dynamics of metal foam shells for motorcycle helmets: Experiments & numerical modeling. International journal of impact engineering, 37(3): pp. 274-284.

[81] Prakash T., Singha M., and Ganapathi M. (2009). Influence of neutral surface position on the nonlinear stability behavior of functionally graded plates. Computational mechanics, 43(3): pp. 341-350.

127

[82] Putcha N. and Reddy J. (1986). A refined mixed shear flexible finite element for the nonlinear analysis of laminated plates.

[83] Phung-Van P., Thai C.H., Ferreira A., and Rabczuk T. (2020). Isogeometric nonlinear transient analysis of porous FGM plates subjected to hygro- thermo-mechanical loads. Thin-Walled Structures, 148: pp. 106497. [84] Rabiei A. and Vendra L. (2009). A comparison of composite metal foam's properties and other comparable metal foams. Materials Letters, 63(5): pp. 533-536.

[85] Rajendran R., Sai K.P., Chandrasekar B., Gokhale A., and Basu S. (2008). Preliminary investigation of aluminium foam as an energy absorber for nuclear transportation cask. Materials & Design, 29(9): pp. 1732-1739. [86] Reddy J. and Chin C. (1998). Thermomechanical analysis of functionally graded cylinders and plates. Journal of thermal Stresses, 21(6): pp. 593-626. [87] Reddy J. (2000). Analysis of functionally graded plates. International Journal for numerical methods in engineering, 47(1‐3): pp. 663-684.

[88] Reddy J. (2011). A general nonlinear third-order theory of functionally graded plates. International Journal of Aerospace and Lightweight Structures (IJALS), 1(1). [89] Reddy J.N. (2003). Mechanics of laminated composite plates and shells:

theory and analysis. CRC press. [90] Reddy J.N. (2006). Theory and analysis of elastic plates and shells. CRC press.

[91] Rezaei A. and Saidi A. (2015). Exact solution for free vibration of thick rectangular plates made of porous materials. Composite Structures, 134: pp. 1051-1060.

[92] Rezaei A. and Saidi A. (2016). Application of Carrera Unified Formulation to study the effect of porosity on natural frequencies of thick porous–cellular plates. Composites Part B: Engineering, 91: pp. 361-370.

[93] Rubio Rascón C.H., Díaz Díaz A., and Domínguez Alvarado A.F. (2020). A Stress Approach Model of Functionally Graded Shells. Mathematical Problems in Engineering, 2020.

[94] Samsam Shariat B. and Eslami M. (2005). Effect of initial imperfections on thermal buckling of functionally graded plates. Journal of thermal stresses, 28(12): pp. 1183-1198.

[95] Shariat B.S. and Eslami M. (2006). Thermal buckling of imperfect functionally graded plates. International journal of solids and structures, 43(14-15): pp. 4082-4096.

[96] Shen H.-S. (2007). Thermal postbuckling behavior of shear deformable FGM plates with temperature-dependent properties. International Journal of Mechanical Sciences, 49(4): pp. 466-478.

[97] Shen H.-S. (2009). Nonlinear bending of functionally graded carbon nanotube-reinforced composite plates in thermal environments. Composite Structures, 91(1): pp. 9-19.

128

[98] Shen H.-S. and Wang Z.-X. (2010). Nonlinear bending of FGM plates subjected to combined loading and resting on elastic foundations. Composite Structures, 92(10): pp. 2517-2524. [99] Shen H.-S. (2016). Functionally graded materials: nonlinear analysis of plates and shells. CRC press.

[100] Shen H.-S., Xiang Y., Lin F., and Hui D. (2017). Buckling and postbuckling of functionally graded graphene-reinforced composite laminated plates in thermal environments. Composites Part B: Engineering, 119: pp. 67-78. [101] Shen H.-S., Xiang Y., and Lin F. (2017). Nonlinear bending of functionally graded graphene-reinforced composite laminated plates resting on elastic foundations in thermal environments. Composite Structures, 170: pp. 80-90.

[102] Shen H.-S., Xiang Y., and Fan Y. (2019). A novel technique for nonlinear dynamic instability analysis of FG-GRC laminated plates. Thin-Walled Structures, 139: pp. 389-397.

[103] Smith B., Szyniszewski S., Hajjar J., Schafer B., and Arwade S. (2012). Steel foam for structures: A review of applications, manufacturing and material properties. Journal of Constructional Steel Research, 71: pp. 1-10.

[104] Sobhy M. (2013). Buckling and free vibration of exponentially graded sandwich plates resting on elastic foundations under various boundary conditions. Composite Structures, 99: pp. 76-87.

[105] Swaminathan K., Naveenkumar D., Zenkour A., and Carrera E. (2015). Stress, vibration and buckling analyses of FGM plates—a state-of-the-art review. Composite Structures, 120: pp. 10-31.

[106] Talha M. and Singh B. (2011). Nonlinear mechanical bending of functionally graded material plates under transverse loads with various boundary conditions. International Journal of Modeling, Simulation, and Scientific Computing, 2(02): pp. 237-258. [107] Tang H.-P. and Zhang Z.-D. (1997). Developmental states of porous metal materials. Rare Metal Materials and Engineering, 26(1): pp. 1-6.

[108] Timoshenko S. and Gere J.M. (1961). Theory of Elastic Stability, McGrawhill Book Co. Inc., New York.

[109] Thai H.-T. and Choi D.-H. (2011). A refined plate theory for functionally graded plates resting on elastic foundation. Composites Science and Technology, 71(16): pp. 1850-1858.

[110] Thai H.-T. and Choi D.-H. (2012). An efficient and simple refined theory for buckling analysis of functionally graded plates. Applied Mathematical Modelling, 36(3): pp. 1008-1022.

[111] Thai H.-T. and Kim S.-E. (2015). A review of theories for the modeling and analysis of functionally graded plates and shells. Composite Structures, 128: pp. 70-86.

[112] Thang P.-T., Nguyen-Thoi T., and Lee J. (2016). Closed-form expression for nonlinear analysis of imperfect sigmoid-FGM plates with variable thickness resting on elastic medium. Composite Structures, 143: pp. 143-150.

129

[113] Thang P.T., Nguyen T.-T., and Lee J. (2017). A new approach for nonlinear buckling analysis of imperfect functionally graded carbon nanotube- reinforced composite plates. Composites Part B: Engineering, 127: pp. 166- 174.

[114] Thang P.T., Nguyen-Thoi T., Lee D., Kang J., and Lee J. (2018). Elastic buckling and free vibration analyses of porous-cellular plates with uniform and non-uniform porosity distributions. Aerospace Science and Technology, 79: pp. 278-287.

[115] Van Do V.N. and Lee C.-H. (2018). Nonlinear analyses of FGM plates in bending by using a modified radial point interpolation mesh-free method. Applied Mathematical Modelling, 57: pp. 1-20.

[116] Van Do V.N., Ong T.H., and Lee C.-H. (2019). Isogeometric analysis for nonlinear buckling of FGM plates under various types of thermal gradients. Thin-Walled Structures, 137: pp. 448-462.

[117] Van Do V.N., Chang K.-H., and Lee C.-H. (2019). Post-buckling analysis of FGM plates under in-plane mechanical compressive loading by using a mesh-free approximation. Archive of Applied Mechanics, 89(7): pp. 1421- 1446.

[118] Van Dung D. and Nga N.T. (2016). Buckling and postbuckling nonlinear analysis of imperfect FGM plates reinforced by FGM stiffeners with temperature-dependent properties based on TSDT. Acta mechanica, 227(8): pp. 2377-2401.

[119] Van Tung H. and Duc N.D. (2010). Nonlinear analysis of stability for functionally graded plates under mechanical and thermal loads. Composite Structures, 92(5): pp. 1184-1191. [120] Volmir A. (1963). Stability of elastic systems. Gos. Izd-vo Fiz. Mat. Lit., Moscow.

[121] Wang Y.Q. and Zu J.W. (2017). Porosity-dependent nonlinear forced vibration analysis of functionally graded piezoelectric smart material plates. Smart Materials and structures, 26(10): pp. 105014.

[122] Woo J. and Meguid S. (2001). Nonlinear analysis of functionally graded plates and shallow shells. International Journal of Solids and structures, 38(42): pp. 7409-7421. [123] Wu L., Jiang Z., and Liu J. (2005). Thermoelastic stability of functionally graded cylindrical shells. Composite Structures, 70(1): pp. 60-68.

[124] Wu T.-L., Shukla K., and Huang J.H. (2007). Post-buckling analysis of functionally graded rectangular plates. Composite structures, 81(1): pp. 1- 10.

[125] Xie K., Wang Y., Niu H., and Chen H. (2020). Large-amplitude nonlinear free vibrations of functionally graded plates with porous imperfection: A novel approach based on energy balance method. Composite Structures: pp. 112367.

130

[126] Xue Y., Jin G., Ma X., Chen H., Ye T., Chen M., and Zhang Y. (2019). Free vibration analysis of porous plates with porosity distributions in the thickness and in-plane directions using isogeometric approach. International Journal of Mechanical Sciences, 152: pp. 346-362.

[127] Yang J., Liew K., and Kitipornchai S. (2006). Imperfection sensitivity of the post-buckling behavior of higher-order shear deformable functionally graded plates. International Journal of Solids and Structures, 43(17): pp. 5247-5266.

[128] Yanga J. and Shen H.-S. (2003). Non-linear analysis of functionally graded plates under transverse and in-plane loads. International Journal of Non- linear mechanics, 38(4): pp. 467-482.

[129] Yin S., Yu T., Bui T.Q., and Nguyen M.N. (2015). Geometrically nonlinear isogeometric analysis. functionally graded plates using analysis of Engineering Computations.

[130] Yoosefian A., Golmakani M., and Sadeghian M. (2020). Nonlinear bending of functionally graded sandwich plates under mechanical and thermal load. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 84: pp. 105161.

[131] Yu T.T., Yin S., Bui T.Q., and Hirose S. (2015). A simple FSDT-based isogeometric analysis for geometrically nonlinear analysis of functionally graded plates. Finite Elements in Analysis and Design, 96: pp. 1-10. [132] Zenkour A. (2005). A comprehensive analysis of functionally graded sandwich plates: Part 2—Buckling and free vibration. International Journal of Solids and Structures, 42(18): pp. 5243-5258.

[133] Zenkour A. and Alghamdi N. (2010). Bending analysis of functionally graded sandwich plates under the effect of mechanical and thermal loads. Mechanics of Advanced Materials and Structures, 17(6): pp. 419-432. [134] Zenkour A.M. (2006). Generalized shear deformation theory for bending analysis of functionally graded plates. Applied Mathematical Modelling, 30(1): pp. 67-84.

[135] Zenkour A.M. (2009). The refined sinusoidal theory for FGM plates on elastic foundations. International journal of mechanical sciences, 51(11-12): pp. 869-880.

[136] Zhao X., Lee Y., and Liew K.M. (2009). Free vibration analysis of functionally graded plates using the element-free kp-Ritz method. Journal of sound and Vibration, 319(3): pp. 918-939.

[137] Zhao X., Lee Y., and Liew K.M. (2009). Mechanical and thermal buckling analysis of functionally graded plates. Composite Structures, 90(2): pp. 161- 171.