Phân tích tĩnh tấm composite lớp FG-CNTRC trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr bằng phương pháp Pb2-Ritz

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo "Phân tích tĩnh tấm composite lớp FG-CNTRC trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr bằng phương pháp Pb2-Ritz" tiến hành nghiên cứu ứng xử tĩnh của tấm composite lớp gia cường bởi carbon nanotube (FG-CNTRC) trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr với các điều kiện biên khác nhau sử dụng phương pháp Pb2-Ritz trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT). Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích tĩnh tấm composite lớp FG-CNTRC trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr bằng phương pháp Pb2-Ritz

222 268 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Phân tích tĩnh tấm composite lớp FG-CNTRC trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr bằng phương pháp Pb2-Ritz Đặng Xuân Hùng1,*, Trần Minh Tú2 và Trần Đại Hào3 1,2,3 Đại học Xây dựng Hà Nội *Email: hungdx@huce.edu.vn Tóm tắt. Bài báo tiến hành nghiên cứu ứng xử tĩnh của tấm composite lớp gia cường bởi carbon nanotube (FG-CNTRC) trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr với các điều kiện biên khác nhau sử dụng phương pháp Pb2-Ritz trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT). Bốn loại phân bố SWCNT trong từng lớp được sử dụng bao gồm: phân bố UD, FG-V, FG-O và FG-X. Độ tin cậy của thuật toán và chương trình tính trên nền Matlab được kiểm chứng qua so sánh với các kết quả đã được công bố. Ảnh hưởng của nền đàn hồi, tỷ phần thể tích và phân bố SWCNT, và điều kiện biên sẽ được khảo sát cụ thể qua các ví dụ số. Từ khóa: tấm composite lớp, SWCNT, nền đàn hồi, pb2-Ritz, FG-CNTRC. 1. Mở đầu Cùng với sự phát triển của các ngành: hàng không vũ trụ, hạt nhân, xây dựng… việc tìm kiếm các vật liệu mới có trọng lượng nhẹ có tính chất cơ học nổi trội và khả năng chịu được nhiệt độ cao là một trong những vấn đề cấp thiết được đặt ra cho các nhà nghiên cứu. Trong những năm gần đây, những nghiên cứu trên lý thuyết [1], [2] và thực nghiệm [3] chỉ ra rằng ống nano carbon sở hữu mô đun đàn hồi cao và duy trì biến dạng đàn hồi lớn. Vì vậy, ống nano carbon có tiềm năng ứng dụng làm sợi gia cường cho vật liệu composite lớp. Shen đã đưa ra ý tưởng sắp xếp ống nano carbon gia cường theo mô hình biến đổi liên tục (Functionally Graded Carbon Nano Tube - FG-CNT) trong vật liệu composite lớp. Sau đó, các nghiên cứu về vật liệu composite gia cường FG-CNTRC thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước. Huang và các cộng sự [4] nghiên cứu về ứng xử tĩnh và dao động riêng của tấm FG-CNTRC nhiều lớp, cấu hình phản xứng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản. Phân tích tĩnh tấm composite FG-CNTRC bằng phương pháp kp-Ritz dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất được nghiên cứu bởi Lei [5]. Zhu và cộng sự [6] tiến hành phân tích tĩnh và dao động riêng của tấm composite FG- CNTRC bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Phân tích tĩnh và dao động riêng của tấm composite FG- CNTRC trên nền đàn hồi Winkler – Pasternak sử dụng nghiệm Navier được nghiên cứu bởi Đức và cộng sự [7]. Ardestani và cộng sự [8] sử dụng phương pháp đẳng hình học dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao của Reddy để nghiên cứu ảnh hưởng của góc phương sợi CNT đến ứng xử uốn và dao động riêng của tấm composite FG-CNTRC xiên. Zhang và cộng sự [9] nghiên cứu ổn định của tấm composite FG-CNTRC mỏng trên nền đàn hồi Winkler sử dụng phương pháp IMLS-Ritz. Sử dụng phương pháp Galerkin dựa trên lý thuyết tấm cổ điển để nghiên cứu ổn định của tấm composite FG-CNTRC được Wang và cộng sự trình bày trong [10]. Nami và cộng sự [11] nghiên cứu dao động riêng của tấm composite FG-CNTRC dựa trên lý thuyết đàn hồi 3 chiều sử dụng phương pháp vi phân cầu phương. Trên cơ sở lý thuyết bốn ẩn chuyển vị và dạng nghiệm Navier, Dastjerdi và cộng sự [12] đã tiến hành phân tích dao động riêng tấm sandwich FG- CNTRC trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak. Các nghiên cứu cho thấy rằng ảnh hưởng của nền đàn hồi đến ứng xử của kết cấu là không thể bỏ qua. Các mô hình nền khác nhau cũng có những tác động khác biệt đến ứng xử của kết cấu. Mô hình nền Winkler với một hệ số nền [13], nền Pasternak với hai hệ số nền [14] đã được nhiều tác giả khảo
223 Phân tích tĩnh tấm composite lớp gia FG-CNTRC trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr 269 bằng phương pháp Pb2-Ritz sát. Tuy nhiên Kerr cũng đã đề xuất một mô hình nền khác với ba hệ số nền và được nhiều nghiên cứu chỉ ra là phản ánh sát thực tế hơn sự làm việc của nền [15]. Bài báo tiến hành phân tích tĩnh tấm composite lớp FG-CNTRC sử dụng phương pháp bán giải tích Pb-2 Ritz dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Ảnh hưởng của nền đàn hồi Winkler/ Pasternak / Kerr, tỉ phần thể tích vật liệu CNT, dạng phân bố CNT và các điều kiện biên được khảo sát trong các ví dụ số. 2. Tấm composite lớp FG-CNTRC Xét một tấm composite lớp FG-CNTRC có kích thước a × b × h , mỗi lớp vật liệu thứ k có chiều dày hk và được giả thiết đặt trên nền đàn hồi Winkler trong Hình 1 (a), trên nền đàn hồi Pasternal trong Hình 1 (b) và trên nền đàn hồi Kerr trong Hình 1 (c). Hiện nay, có bốn loại quy luật phân bố SWCNT theo phương chiều dày trong từng lớp thường được xét đến và được ký hiệu lần lượt là : UD, FG-V, FG- O, FG-X ( Hình 2 ). Tỷ phần thể tích của CNT được xác định theo (1). z z z x x x Ks Ku Kw Kw Ks Kl y b y b y a a b a (a) (b) (c) Hình 1. Mô hình tấm composite lớp FG-CNTRC trên nền đàn hồi Winkler (a), nền đàn hồi Pasternak (b), nền đàn hồi Kerr (c) UD FG − V FG − O FG − X Hình 2. Quy luật phân bố của SWCNT trong một lớp vật liệu composite  2z  * 4z * UD : VCNT = − V : VCNT ( z ) =VCNT ; FG − X :VCNT ( z ) = * VCNT ; FG 1 + VCNT  h  h  2z * wCNT (1) FG − O : VCNT ( z ) = VCNT ; VCNT = CNT 1 − *  h  wCNT + ( ρ / ρ ) − ( ρ CNT / ρ m ) wCNT m Các tính chất hiệu dụng của vật liệu composite FG-CNTRC trong từng lớp xác định bởi: η2 VCNT V η VCNT V η1VCNT CNT E11 = E11 + Vm E m ; = + m ; 3 = + m ; CNT m CNT E22 E22 E G12 G12 Gm (2) v12 = v V* CNT CNT 12 + Vm v m ; ρ= ρ VCNT CNT + Vm ρ m trong đó E11 , E22 và G12 là mô đun Young và mô đun đàn hồi trượt của SWCNT; Em và Gm CNT CNT CNT là mô đun Young và mô đun đàn hồi trượt của vật liệu nền đẳng hướng; η1 ,η2 và η3 là các hệ số ảnh
224 270 Đặng Xuân Hùng, Trần Minh Tú và Trần Đại Hào hưởng của CNT; VCNT và Vm là tỷ phần thể tích của CNT và của vật liệu nền (VCNT + Vm = v12 và 1) ; CNT v m là hệ số Poisson lần lượt của CNT và của vật liệu nền. 3. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Reissner-Mindlin Trường chuyển vị theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất được giả thuyết dưới dạng: = u0 ( x, y ) + zθ x ( x, y ) u v = zθ y ( x, y ) v0 ( x, y ) + w= w0 ( x, y ) (3) trong đó u0 , v0 , w0 là các thành phần chuyển vị của một điểm trên mặt trung bình theo các phương x, y, z ; θ x ,θ y là các góc xoay của pháp tuyến với mặt trung bình quanh các trục y, x . Trường biến dạng được xác định từ quan hệ biến dạng – chuyển vị theo biểu thức. ε xx    γ yz  ε yy  =; ε 0 + zκ  = γ0 (4) γ  γ xz   xy  trong đó  ∂u0   ∂θ x       ∂x   ∂x   ∂w0   ∂v0   ∂θ y   ∂y + θ y    ε0 = =  ; κ = ; γ 0   (5)  ∂y   ∂y   ∂w0 + θ   ∂u0 ∂v0   ∂θ ∂θ y    ∂x x    +   x+   ∂y ∂x   ∂y ∂x  Trường ứng suất trong từng lớp thứ k được xác định theo quan hệ ứng suất – biến dạng. σ xx  ε xx  (k ) (k ) (k )  Q11 Q12 Q16 0 0  σ    ε   yy    Q12 Q22 Q26 0 0   yy    σ xy  = Q16 Q26 Q66 0 0  γ xy  (6) σ    γ   yz   0 0 0 Q44 Q45   yz  σ xz   0 Q55  γ xz     0 0 Q45    với Qij là ma trận độ cứng của lớp thứ k được trình bày chi tiết trong [16]. k 4. Phương pháp Pb2-Ritz Trong nghiên cứu này, các thành phần chuyển vị u0 ( x, y ); v0 ( x, y ); w0 ( x, y ); θ x ( x, y ); θ y ( x, y ) của các điểm trên mặt trung bình được giả thiết thành chuỗi hàm đa thức. m n m n u0 ( x , y ) ∑∑U ijmn fij ( x, y)ψ u ( x, y ) = = 1= 1 i j v0 ( x, y ) ∑∑V = 1= 1 i j mn ij ijf ( x, y )ψ v ( x, y ) m n w0 ( x, y ) = ∑∑Wijmn f ij ( x, y )ψ w ( x, y ) = 1= 1 i j (7) m n m n θ x ( x, y ) ∑∑θijxmn fij ( x, y)ψ θx ( x, y ) θ y ( x, y ) ∑∑θ ( x, y ) θy = ymn ij ij f ( x, y )ψ = 1= 1 i j = 1= 1 i j
225 Phân tích tĩnh tấm composite lớp gia FG-CNTRC trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr 271 bằng phương pháp Pb2-Ritz trong đó U ij ,Vij ,Wij ,θij ,θij là các hệ số cần xác định, f ij ( x, y ) là chuỗi hàm đa thức. Trong mn mn mn xmn ymn bài báo này f ij ( x, y ) được giả thiết là: ( x / a )i −1 (= 1,2,3,...m; j 1,2,3,...n ) y / b) j −1 (i = và ψ α ( x, y ); (α = u , v, w,θ x ,θ y ) là các hàm điều kiện biên tương ứng với các biên của tấm. Ba điều kiện biên được xét đến : biên ngàm (C), biên khớp (S) và biên tự do (F). ne ψ α ( x, y ) =Π [ Γ k ( x, y )] Ωk (8) k =1 với ne là số biên của tấm, Γ k là phương trình điều kiện biên của biên thứ k , Ω k là số mũ theo điều kiên biên thứ k . Các giá trị của Ω k được cho trong Bảng 1. Bảng 1. Số mũ Ω k theo các điều kiện biên khác nhau Ωk α F S C u, v , w 0 1 1 θ x ;θ y 0 0 1 Thế năng toàn phần của tấm sẽ được biểu diễn bởi: Π= U + U e + W (9) Thế năng biến dạng đàn hồi của tấm được tính theo công thức. 1 U = ∫ ε T Sε dA 2A (10) trong đó: ε 0   Aij Bij 0      ε = =κ ; S  Bij Dij 0  γ  0 As ,ij   0  0  (A ,B ,D ) = ∑∫ n ( i, j = 1, 2,6 ) ; hk +1 k Qij (1, z , z 2 ) (11) ij ij ij hk k =1 n As ,ij = K .∑ ∫ ( i, j = 4, 5 ) hk +1 k Qij hk k =1 với K là hệ số hiệu chỉnh cắt, trong bài báo này tác giả lựa chọn K = 5 / 6; Thế năng biến dạng đàn hồi của nền được tính theo công thức. 1 U e = ∫ f e w0 dA 2A (12) trong đó f e được diễn giải theo mô hình nền đàn hồi cụ thể: f e (Winkler ) = K w w0 ; f e ( Pasternak ) K w w0 − K s ∇ 2 w0 ; = Kl Ku KK (13) f e ( Kerr= ) w0 − s u ∇ 2 w0 ; Kl + Ku Kl + Ku với K w là hệ số độ cứng uốn của nền đàn hồi, K s là hệ số độ cứng cắt của nền đàn hồi. K l , K u lần lượt là hệ số độ cứng uốn của nền đàn hồi trên và nền đàn hồi dưới. Thế năng ngoại lực của tấm chịu tải trọng ngang phân bố đều trên bề mặt tấm được tính bởi.
226 272 Đặng Xuân Hùng, Trần Minh Tú và Trần Đại Hào W = − ∫ qwdA (14) A Các hệ số U ij ,Vij ,Wij ,θij ,θij được xác định từ hệ phương trình điều kiện cực tiểu thế năng mn mn mn xmn ymn toàn phần Π . ∂Π ∂Π ∂Π ∂Π ∂Π = 0 ; = 0 ; = 0 ; = 0 ; = 0= 1, 2,..., m ; j 1, 2,..., n) (i = (15) ∂U ij mn ∂Vij mn ∂Wij mn ∂θ ij xmn ∂θ ijymn 5. Kết quả số 5.1. Kiểm chứng độ tin cậy của chương trình tính Để kiểm chứng độ tin cậy của chương trình tính của bài báo, nhóm tác giả tiến hành khảo sát tấm composite lớp FG-CNTRC với kích thước a b= 10; chịu tải trọng phân bố đều q = 0.1 ( MPa ) = , b/h , vật liệu nền làm từ PmPV, vật liệu gia cường là các ống carbon đơn vách (SWCNT) dạng armchair (10,10). Các hằng số vật liệu được lấy trong tài liệu [17] như sau: = 0.34; E m 2.1GPa; E11 vm = = 5.6466TPa; E22 CNT = 7.08TPa; G12 CNT = 1.9445TPa; CNT η3 η2 ; G23 G12 G13 ; = = = Các hệ số ảnh hưởng của SWCNT được cho như sau: η1 0.149; η2 0.934 với VCNT = 0.11 ; = = * = 0.150; η2 0.941 với VCNT = 0.14 ; η1 0.149; η2 1.381 với VCNT = 0.17 . Các công thức không η1 = * = = * thứ nguyên được sử dụng trong bài báo được tính như sau : w D 3 a b K wa4 K a2 K a4 K a4 E m h3 w = ,  ; k w = s ; kl =u ; D0 = 103 × 0 40  ; k s =l ; ku = 12 (1 − vm ) qa  2 2  D0 D0 D0 D0 2 (16) Kết quả của chương trình tính được nhóm tác giả so sánh với kết quả của Wattanasakulpong trong tài liệu [17] với tấm composite đơn lớp FG-CNTRC bốn biên tựa khớp và được thể hiện trong Bảng 3. Có thể nhận thấy, kết quả của chương trình tính có sai số rất bé so với kết quả của Wattanasakulpong. Sai số lớn nhất chỉ là 1.8%. Điều này chứng tỏ độ tin cậy của chương trình tính do nhóm tác giả lập. Bảng 2. Độ võng không thứ nguyên của tấm composite FG-CNTRC (UD), VCNT = 0.11 * w kw ks Mô hình UD FG − V FG − O FG − X [17] 0.7356 0.8806 1.0705 0.6206 0 0 Bài báo 0.7426 0.8705 1.0516 0.6304 Sai lệch (%) 0.94 1.16 1.80 1.55 [17] 0.6983 0.8286 0.9955 0.5935 100 0 Bài báo 0.7044 0.8298 0.9801 0.6023 Sai lệch (%) 0.87 0.14 1.57 1.46 [17] 0.4773 0.5346 0.5991 0.4262 100 50 Bài báo 0.4795 0.5311 0.5894 0.4300 Sai lệch (%) 0.46 0.66 1.65 0.88
227 Phân tích tĩnh tấm composite lớp gia FG-CNTRC trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr 273 bằng phương pháp Pb2-Ritz 5.2. Ảnh hưởng của nền đàn hồi Xét tấm vuông composite lớp FG-CNTRC (UD) cấu hình [ 0 / 90]2 bốn biên ngàm lần lượt trên các nền đàn hồi Winkler, Pasternak và Kerr với các hệ số nền không thứ nguyên được giả thiết như sau: - Nền đàn hồi Winkler : kw = 100; - Nền đàn hồi Pasternak: k w k= 100; = s - Nền đàn hồi Kerr: k= k= k= 100; l u s Hình 3 và Bảng 4 thể hiện độ võng lớn nhất không thứ nguyên của tấm trên các nền đàn hồi Winkler, Pasternak và Kerr. Ta có thể nhận thấy, độ võng không thứ nguyên của tấm trên nền đàn hồi Pasternak và Kerr bé hơn so với độ võng không thứ nguyên của tấm trên nền đàn hồi trên nền đàn hồi Winkler. Điều này có thể được giải thích là do nền đàn hồi Pasternak và Kerr có kể đến hệ số độ cứng cắt của nền đàn hồi. Hơn nữa, chúng ta có thể thấy với cùng độ cứng uốn của nền bên dưới và độ cứng cắt, độ võng không thứ nguyên của tấm trên nền đàn hồi Pasternak thấp hơn độ võng không thứ nguyên của tấm trên nền đàn hồi Kerr. Nguyên nhân là do tấm trên nền đàn hồi Kerr có thêm nền đàn hồi bên trên, nền đàn hồi này làm cho độ cứng của tấm bị giảm đi. 0.32 0.3 0.28 0.26 0.24 0.22 0.2 0.18 0.16 0.14 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 Hình 3. Ảnh hưởng của nền đàn hồi đến độ võng không thứ nguyên của tấm vuông composite lớp FG-CNTRC (UD) cấu hình [ 0 / 90]2 bốn biên ngàm Bảng 3. Độ võng không thứ nguyên của tấm composite lớp FG-CNTRC (UD) hình vuông cấu hình [0 / 90]2 bốn biên ngàm trên các nền đàn hồi Winkler, Pasternak và Kerr * VCNT w Nền Winkler Nền Pasternak Nền Kerr 0.11 0.3029 0.2140 0.2530 0.14 0.2753 0.1999 0.2335 0.17 0.1945 0.1535 0.1726
228 274 Đặng Xuân Hùng, Trần Minh Tú và Trần Đại Hào 5.3. Ảnh hưởng của tỷ phần thể tích VCNT * Ảnh hưởng của tỷ phần thể tích VCNT đến độ võng lớn nhất không thứ nguyên của tấm vuông * composite lớp FG-CNTRC (UD) cấu hình [0 / 90]2 bốn biên ngàm đặt trên nền đàn hồi Kerr ( k= l k= k= 100 ) với các tỷ số a / h khác nhau được thể hiện trên Hình 4 và Bảng 5. Chúng ta có thể u s nhận thấy khi tỷ phần thể tích VCNT tăng lên sẽ làm cho độ võng giảm. Ta có thể dễ dàng giải thích đó * là do tỷ phân thể tích CNT tăng sẽ làm cho độ cứng của tấm lên. Ngoài ra, ta còn có thể thấy độ võng không thứ nguyên giảm mạnh khi a / h ≤ 20 và giảm chậm dần khi a / h > 20 . 0.26 0.24 0.22 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Hình 4. Ảnh hưởng của tỷ phần thể tích VCNT đến độ võng không thứ nguyên của tấm vuông * composite FG-CNTRC (UD) cấu hình [ 0 / 90]2 bốn biên ngàm đặt trên nền đàn hồi Kerr. Bảng 4. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông composite FG-CNTRC (UD) cấu hình [ 0 / 90]2 bốn biên ngàm theo tỷ phần thể tích VCNT * * VCNT a/h 10 20 30 40 50 0.11 0.2530 0.1348 0.1102 0.1013 0.0972 0.14 0.2335 0.1166 0.0924 0.0836 0.0796 0.17 0.1726 0.0900 0.0735 0.0676 0.0648 5.4. Ảnh hưởng của phân bố SWCNT Kết quả khảo sát ảnh hưởng của sự phân bố CNT đến độ võng không thứ nguyên của tấm composite lớp FG-CNTRCcấu hình [ 0 / 90]2 bốn biên ngàm trên nền đàn hồi Kerr k= k= k= 100 l u s ( ) được thể hiện trên Hình 5 và trong Bảng 6. Kích thước hình học của tấm: a b= 10. Chúng ta có = ,a/h thể nhận thấy ảnh hưởng của sự phân bố CNT là không lớn đến ứng xử tổng thể của tấm. Tuy nhiên, với cùng giá trị của tỷ phần thể tích CNT, độ võng không thứ nguyên của tấm có quy luật phân bố FG-O là
229 Phân tích tĩnh tấm composite lớp gia FG-CNTRC trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr 275 bằng phương pháp Pb2-Ritz lớn nhất và tấm có quy luật phân bố FG-X là bé nhất. Điều này cho chúng ta thấy rằng CNT được phân bố gần bề mặt trên và dưới trong mỗi lớp composite có hiệu quả cao hơn trong việc tăng cường độ cứng cho tấm composite lớp gia cường ống nano carbon đơn vách hơn là CNT được phân bố gần mặt trung bình của từng lớp composite. 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.2 0.19 0.18 0.17 0.16 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 Hình 5. Ảnh hưởng của phân bố FG-CNT đến độ võng không thứ nguyên của tấm composite FG-CNTRChình vuông cấu hình [ 0 / 90]2 bốn biên ngàm Bảng 5. Độ võng không thứ nguyên của tấm composite FG-CNTRChình vuông cấu hình [ 0 / 90]2 bốn biên ngàm theo các phân bố của CNT * VCNT w UD FG-V FG-O FG-X 0.11 0.253 0.2537 0.2546 0.250 0.14 0.2335 0.2335 0.2342 0.2304 0.17 0.1726 0.1722 0.1729 0.1694 5.5. Ảnh hưởng của điều kiện biên Bảng 7 và Hình 6 thể hiện độ võng không thứ nguyên của tấm composite lớp FG-CNTRC (UD) l u( s ) cấu hình [ 0 / 90]2 theo các điều kiện biên khác nhau trên nền đàn hồi Kerr k= k= k= 100 với kích thước tấm: a b= 10. Từ số liệu trong bảng và quan sát đồ thị trên hình, ta có thể thấy độ võng = ,a/h không thứ nguyên lớn nhất của tấm được sắp xếp theo thứ tự tăng dần tương ứng với các điều kiện biên CCCC, CSCS, CFCF, SSSS, SFSF. Bằng các suy luận định tính, chúng ta có thể chỉ ra rằng điều kiện biên CCCC làm cho tấm cứng nhất và tiếp đến là điều kiện biên CCSS, trong khi điều kiện biên SFSF sẽ làm cho tấm có độ cứng bé nhất. Tuy nhiên nếu chỉ bằng các suy luận định tính chúng ta sẽ không thể so sánh được độ cứng của tấm trong hai trường hợp điều kiện biên CFCF và SSSS. Trong khi điều kiện biên CC cứng hơn điều kiện biên SS tương ứng thì ngược lại điều kiện biên FF lại không cứng bằng điều kiện biên SS tương ứng. Việc so sánh độ cứng của tấm trong hai trường hợp điều kiện biên này chỉ có thể thực hiện thông qua khảo sát số trong từng trường hợp cụ thể.
230 276 Đặng Xuân Hùng, Trần Minh Tú và Trần Đại Hào 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 Hình 6. Ảnh hưởng của điều kiện biên đến độ võng không thứ nguyên của tấm composite FG- CNT (UD) hình vuông cấu hình [ 0 / 90]2 trên nền đàn hồi Kerr Bảng 6. Độ võng không thứ nguyên của tấm vuông composite FG-CNTRC (UD) cấu hình [ 0 / 90]2 theo các điều kiện biên khác nhau trên nền đàn hồi Kerr * VCNT w SSSS CCCC CSCS CFCF SFSF 0.11 0.4293 0.253 0.3191 0.4092 0.7252 0.14 0.3822 0.2335 0.2906 0.3596 0.6395 0.17 0.3095 0.1726 0.2222 0.2791 0.5095 6. Kết luận Bài báo đã tiến hành phân tích ứng xử tĩnh của tấm composite lớp gia cường bởi ống nano carbon (FG-CNTRC) đặt trên các mô hình nền đàn hồi khác nhau, sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và phương pháp Ritz. Độ tin cậy của chương trình Matlab tự viết được so sánh kiểm chứng với kết quả trên các báo cáo đã công bố. Các khảo sát về ảnh hưởng của các mô hình nền đàn hồi Winkler/ Pasternak / Kerr, tỉ phần thể tích vật liệu CNT, dạng phân bố CNT và các điều kiện biên đến độ võng đã được thực hiện. Đây là những kết quả có ý nghĩa kỹ thuật trong phân tích ứng xử các cấu kiện công trình hay các chi tiết cơ khí sử dụng vật liệu nano đặt trên nền đàn hồi. Tài liệu tham khảo [1] Cornwell, C. and L. Wille. Elastic properties of single-walled carbon nanotubes in compression. Solid State Communications, 101, (8), (1997), p. 555-558. [2] Prylutskyy, Y.I., et al. Molecular dynamics simulation of mechanical, vibrational and electronic properties of carbon nanotubes. Computational Materials Science,17, (2-4), (2000), p. 352-355. [3] Li, F., et al. Tensile strength of single-walled carbon nanotubes directly measured from their macroscopic ropes. Applied physics letters, 77, (20), (2000), p. 3161-3163.
231 Phân tích tĩnh tấm composite lớp gia FG-CNTRC trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr 277 bằng phương pháp Pb2-Ritz [4] Huang, B., et al. Bending and free vibration analyses of antisymmetrically laminated carbon nanotube- reinforced functionally graded plates. Journal of Composite Materials, 51, (22), (2017), p. 3111-3125. [5] Lei, Z., L. Zhang, and K. Liew. Analysis of laminated CNT reinforced functionally graded plates using the element-free kp-Ritz method. Composites Part B: Engineering, 84, (2016), p. 211-221. [6] Zhu, P., Z. Lei, and K.M. Liew. Static and free vibration analyses of carbon nanotube-reinforced composite plates using finite element method with first order shear deformation plate theory. Composite Structures, 94, (4), (2012), p. 1450-1460. [7] Duc, N.D., et al. Static response and free vibration of functionally graded carbon nanotube-reinforced composite rectangular plates resting on Winkler–Pasternak elastic foundations. Aerospace Science and Technology, 68, (2017), p. 391-402. [8] Ardestani, M.M., L. Zhang, and K. Liew. Isogeometric analysis of the effect of CNT orientation on the static and vibration behaviors of CNT-reinforced skew composite plates. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 317, (2017), p. 341-379. [9] Zhang, L., Z. Lei, and K. Liew. An element-free IMLS-Ritz framework for buckling analysis of FG–CNT reinforced composite thick plates resting on Winkler foundations. Engineering Analysis with Boundary Elements, 58, (2015), p. 7-17. [10] Wang, M., Z.-M. Li, and P. Qiao. Semi-analytical solutions to buckling and free vibration analysis of carbon nanotube-reinforced composite thin plates. Composite Structures, 144, (2016), p. 33-43. 11] Nami, M.R. and M. Janghorban. Free vibration of thick functionally graded carbon nanotube-reinforced rectangular composite plates based on three-dimensional elasticity theory via differential quadrature method. Advanced Composite Materials, 24, (5), (2015), p. 439-450. 12] Moradi-Dastjerdi, R., G. Payganeh, and H. Malek-Mohammadi. Free vibration analyses of functionally graded CNT reinforced nanocomposite sandwich plates resting on elastic foundation. Journal of Solid Mechanics, 7, (2), (2015) p. 158-172. [13] Winkler, E., Die Lehre von der Elasticitaet und Festigkeit: mit besonderer Rücksicht auf ihre Anwendung in der Technik, für polytechnische Schulen, Bauakademien, Ingenieure, Maschinenbauer, Architecten, etc. 1867: H. Dominicus. [14] Pasternak, P. On a new method of an elastic foundation by means of two foundation constants. Gosudarstvennoe Izdatelstvo Literaturi po Stroitelstuve i Arkhitekture, (1954). [15] Kerr, A. On the formal development of elastic foundation models. Ingenieur-Archiv, 54, (6), (1984), p. 455- 464. [16] Reddy, J.N, Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis. CRC press, (2004). [17] Wattanasakulpong, N. and A. Chaikittiratana. Exact solutions for static and dynamic analyses of carbon nanotube-reinforced composite plates with Pasternak elastic foundation. Applied Mathematical Modelling, 39, (18), (2015), p. 5459-5472.