d
M'
M
CHÖÔNG I:
PHEÙP DÔØI HÌNH VAØ PHEÙP ÑOÀNG DAÏNG TRONG MAËT PHAÚNG
I. Pheùp tònh tieán:
u
T
: M M
'MM u
( , )u a b
T
: M(x; y) M(x; y). Khi ñoù:
'
'
x x a
y y b


II. Pheùp ñoái xöùng truïc: Ñd: M M d là trung trực MM’
ÑOx: M(x; y) M(x; y). Khi ñoù:
'
'
xx
yy

ÑOy: M(x; y) M(x; y). Khi ñoù:
III. Pheùp ñoái xöùng taâm: ÑI: M M
'IM IM
ÑI(a,b): M(x; y) M(x; y). ⟹
'2
'2
x a x
y b y


IV. Pheùp quay: Q(I,): M M
'
( ; ')
IM IM
IM IM

V. Pheùp vò töï: V(I,k): M M
'.IM k IM
(k 0)
V(I,k)(M) = M, V(I,k)(N) = N
' ' .M N k MN
Cho I(a; b). V(I,k): M(x; y) M(x; y). Khi ñoù:
' (1 )
' (1 )
x kx k a
y ky k b
Chú ý:
Cho d: ax+by+c = 0.
Ta có:
:'
a
T d d
⟹d//d’
( , ) :'
Ik
V d d
⟹d//d’
( ; 90) :'
O
Q d d
⟹d⊥d’
( , ) :'
I a b
D d d
M(x,y)⟼M’(x’,y’)
⟹
2'
2'
x a x
y b y


M∈d⇔ M’∈d’⟹…
:'D d d
M(x,y)⟼M’(x’,y’)
Gọi a là đường thẳng qua
M và vuông góc với ∆.
Gọi H = a ∩ ∆. Khi đó H
là trung điểm MM’
Gọi K = d ∩ ∆. Khi đó d’
là M’K
( , ) : ( ; ) ( '; ')
Ik
V O R O R
⇒
'R k R
BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG
Trần Quang – 01674718379
LTĐH – TP Đông Hà, Quảng Trị 2
DẠNG 1: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- NHỎ NHẤT
Bài 1. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía đối với d. Lấy hai điểm P,Q cố
định trên d.
a. Tìm trên d điểm M sao cho MA+MB ngắn nhất.
b. Tìm M và N thuộc d sao cho
MN PQ
và MA+NB ngắn nhất.
Bài 2. Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm về hai phía của d . Tìm điểm M trên d sao
cho
MA MB
lớn nhất ?
Bài 3. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 và hai điểm cố định AB nằm hai phái ngoài d1
và d2. Tìm M và N thuộc d1 và d2 sao cho MN⊥ d1 và AM+BN ngắn nhất.
Bài 4. Cho hình vuồn ABCD có tâm O. Tìm M ∈ AB, N ∈ CD sao cho MN//BC và
OM+MN+NB ngắn nhất ? Hd: dùng T
BC
:O ↦O’
Bài 5. Cho góc nhọn xOy và hai điểm A, B nằm trong góc đó. Đường thẳng d bất kì qua A cắt
Ox, Oy tại P và Q.
a. CMR diện tích ∆OPQ lớn nhất khi A là trung điểm PQ.
b. Tìm M và N thuộc Ox, Oy sao cho chu vi ∆AMN nhỏ nhất.
c. Tìm M và N thuộc Ox, Oy sao cho MA+NB nhỏ nhất.
Bài 6. CMR trong tất cả các tam giác có chung một cạnh và cùng diện tích thì tam giác cân có
chu vi nhỏ nhất.
Bài 7. Cho ∆ABC có m là tia phân giác ngoài góc A và M là điểm tùy ý thuộc m. Cmr chu vi
∆ABC≤∆MBC ?
Bài 8. Cho ∆ABC. Tìm M,N,P lần lượt nằm trên BC,CA,AB sao cho chu vi ∆MNP nhỏ nhất
biết:
a. M và N cho trước? b. M cho trước? c. M,N,P chưa biết ???
Hd: c. Giả sử dựng được M. Dựng M1 và M2 đối xứng với M qua AB và AC. Cmr
12
2M AM BAC
không đổi ⇒ M1M2 ngắn nhất khi AM1 và AM2 ngắn nhất (Định lý cosin) mà
AM1 = AM2 =AM khi M là chân đường cao AH. Tương tự P và N là các chân đường cao.
Bài 9. Cho ∆ABC có góc C ≤ 120o và M là điểm tùy ý nằm trong ∆ABC. Tìm M để
MA+MB+MC nhỏ nhất ? Hd: Dùng Q(C,60)
Bài 10. Cho ∆ABC đều và M là điểm tùy ý ngoài ∆ABC. CMR MB≤MA+MC nhỏ
nhất ? Tìm M để dấu “=” xảy ra ? Hd Dùng Q(A,60).
Bài 11. Cho tứ giác ABCD có AB=a,BC=b,CD=c,DA=d. CMR
2
ABCD
ac db
S
Hd: Gọi ∆ là trung trực BD. Đ∆: C⟼C’.
'
1.sin '
22
ABC
ac
S ac ABC
và
'
1.sin '
22
ADC
bd
S bd ADC
BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG
Trần Quang – 01674718379
LTĐH – TP Đông Hà, Quảng Trị 3
DẠNG II: DỰNG HÌNH
Bài 1. Cho vecto
a
, đường thẳng d và d’ cắt nhau, đường tròn (O), (O’). Dựng M và N thỏa:
a. M ∈ d và N ∈ d’ sao cho
MN a
b. M ∈ d và N ∈ (O) sao cho
MN a
c. M ∈ (O) và N ∈ (O’) sao cho
MN a
Bài 2. Dựng hình bình hành ABCD biết AB = a, BC = b và
( , )AC BD
Hd: Dựng hbh ACC’B. C năm trên cung chứa góc φ trên dây AC’ và BC=b.
Bài 3. Cho hai đường tròn (O),(O’) cắt nhau tại A và B với OO’=m
2
. Dựng đường thẳng d
qua A cắt (O),(O’) tại P và Q sao cho PQ = 2m.
Hd: Gọi M và N là trung điểm AP và AQ ⟹ MN = m. Kẻ ON’ ⊥NO’ ⇒ N’O’=m
2
.
Bài 4. Cho hai đường tròn (O),(O’) và đường thẳng d. dựng đường thẳng d’ // d và cắt
(O),(O’) theo các dây cung AB và CD sao cho AB = CD ?
Hd: Gọi I và I’ là hình chiếu của O và O’ lên d. Dùng T
'II
.
Bài 5. Cho ∆ABC. Dựng tam giác MNP nhận A,B,C làm trung điểm các cạnh MN,NP,PM.
Bài 6. Cho ∆ABC. Tìm điểm M trên AB và N trên AC sao cho MN//BC và AM = CN.
Hd: Dựng hbh MNCD. CMR D là chân phân giác trong AD.
Bài 7. Cho
a
xác định, đường tròn (O) có hai dây cung AB và CD không cắt nhau. Tìm M
∈(O) ssao cho MA và MB cắt CD tại E và F thì
EF a
?
Hd: dùng
:'
a
T A A
thì
'A FB AMB
không đổi
Bài 8. Cho đường thẳng d, đường tròn (O) và điểm I. Tìm M ∈ d và N ∈ (O) sao cho I là
trung điểm MN.
Bài 9. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) và một đường thẳng d
a. Hãy tìm hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường trung
trực của đoạn thẳng MM’
b. Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với (O’;R’)
tạo thành một góc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc ngoài .
Bài 10. Cho góc nhọn xOy và điểm A cố định nằm trong góc. Dựng đường thẳng d qua A cắt
Ox, Oy tại m và N sao cho A là trung điểm MN?
Bài 11. Cho điểm A và hai đường tròn (O), (O’). Tìm B và C thuộc hai đường tròn trên sao cho
∆ ABC đều?
Bài 12. Cho hai đường thẳng song song d và d’. G là điểm cố định không nằm trên d và d’.
Dựng ∆ ABC đều thỏa mãn: A, B nằm trên d và d’, G là trong tâm tam giác ABC ?
Bài 13. Cho tam giác ABC có góc A = α, điểm M cố định nằm trên AB.Tìm N và P thuộc Bc
và AC sao cho MP=MN và MN tiếp tuyến với dường tròn ngoại tiếp ∆AMP?
BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG
Trần Quang – 01674718379
LTĐH – TP Đông Hà, Quảng Trị 4
Hd: CMR
NMP MAP

. Phép
,:'
M
Q A A
. Khi đó suy ra (A’N,AP)=α. Gọi I là giao
điểmA’N và AP ⟹ NI//AM (hai góc đồng vị) hay A’N//AB.
Bài 14. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dựng đường thẳng d qua A cắt
(O) và (O’) tại M,N sao cho:
a. A là trung điểm MN. b. N là trung điểm AM
Bài 15. Cho tam giác nhọn ABC. Dựng hình vuông MNPQ sao cho P và Q nằm trên BC, M và
N nằm trên AB và AC.
Bài 16. Cho tứ giác lồi ABCD. Trên các cạnh AB,BC,CD, DA dựng các đỉnh hình thoi MNPQ
và MN//AC, MQ//BD ?
Bài 17. Cho góc nhọn xOy và điểm A cố định nằm trong góc. Dừng đường tròn (O) đi qua A
và tiếp xúc với Ox, Oy ?
Bài 18. Cho hai đường tròn (O;r) và (O’;R) khác bán kính và tiếp xúc ngoài với nhau. Điểm M
cố định nằm trên (O). Dựng đường tròn (I) qua M và tiếp xúc với hai đường tròn trên ?
Bài 19. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d tiếp xúc với nhau tại A. Điểm B cố định trên
(O). Dựng đường tròn (O’) tiếp xúc với (O) tại B và tiêp xúc với d ?
Bài 20. Cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại C. tìm trên d và d’ điểm A và B sao cho ABC
vuông cân tại A
DẠNG III: QUỸ TÍCH.
Bài 1. Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó .
Chứng minh rằng
a. Trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định .
b. Gọi P là đỉnh của tam giác đều AHP. Tìm quỹ tích P?
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD có A cố định, ABD nội tiếp đg tròn (O;R) cố định và B,D
di động trên (O;R) nhưng BD = 2a không đổi. Tìm quỹ tích:
a. Trung điểm I của BD. b. Trực tâm H của ABD c. Quỹ tích C
Hd: c. dựng đường kính AK. CMR K là trục tâm BCD ⇒ AHCK là hbh …
Bài 3. Cho tam giác ABC cố đinh có trực tâm H. Về phía A của nữa mặt phẳng bờ BC, dựng
hình thoi BCDE. Hạ EE1⊥AC, DD1⊥AB. Gọi M = EE1∩DD1. Tìm quỹ tích:
a. Điểm D b. Điểm M
Hd: b. Cmr BHEM là hbh. Dựa vào các cạnh song song suy ra
MED HBC
và
MDE HCB
.
Khi đó ∆HBC=∆MED⇒HCDM là hbh. Khi đó
DM CH
cố định.
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường
tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi .
BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ĐỒNG DẠNG
Trần Quang – 01674718379
LTĐH – TP Đông Hà, Quảng Trị 5
Bài 5. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi . Các
đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích trực tâm
các tam giác MPQ và NPQ ?
Bài 6. Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A,B cố định . Với mỗi điểm M , ta xác định điểm
M’ sao cho
'MM MA MB
. Tìm quỹ tích điểm M’ khi điểm M chạy trên (O;R) .
Bài 7. Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a . Với mỗi điểm A nằm trên a ta
dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a?
Bài 8. Cho đường tròn (O) và tam giác ABC . Một điểm M thay đổi trên (O) . Gọi
1
M
là điểm
đối xứng với M qua A,
2
M
là điểm đối xứng với
1
M
qua B và
3
M
là điểm đối xứng với
2
M
qua C . Tìm quỹ tích điểm
3
M
?
Hd: Gọi D là trung điểm MM3. CMR ABCD là hbh ⇒D cố định.
Bài 9. Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định khác O . Một điểm M thay đổi trên
đường tròn . Tia phân giác góc MOI cắt IM tại N . Tìm quỹ tích điểm N .
Bài 10. Cho đường tròn (O) có đường kính AB . Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và
PQ là đường kính thay đổi của (O)khác với đường kính AB . Đường thẳng CQ cắt PA ,PB
lần lượt tại M và N .
a. Chứng minh Q là trung điểm của CM , N là trung điểm của CQ
b. Tìm quỹ tích của các điểm M,N khi đường kính PQ thay đổi .
Bài 11. Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định . Một dây cung thay đổi của (O;R) có
độ dài bằng m không đổi . Tìm quỹ tích các điểm G sao cho
0GA GB GC
.
Bài 12. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O)bán kính R , các đỉnh B,C cố
định còn A thay đổi trên (O) .Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC chạy trên
một đường tròn
Bài 13. Cho nữa đường tròng tâm O đường kính AB. Điểm M di động trên đường tròn.
Phía ngoài MAB dựng hình vuông AMNP. Tìm quỹ tích P và N ?
Bài 14. Cho ∆ABC . Trên Bx, Cy là tia đối của BA, CA lấy D và E di động sao cho
BD=2CE. Tìm quỹ tích trung điểm M của DE?
Hd: Dựng Bt//Cy.