PH NG PHÁP GI I HÌNH H C OXYƯƠ Ả Ọ
1. Ki n th c c b n:ế ứ ơ ả
2. M t s bài toán c b nộ ố ơ ả
3. Các h ng t duy tìm đi mướ ư ể
A. KI N TH C C B NẾ Ứ Ơ Ả
Trang
Oxy
Đi mể
Tr c tâm: Giao c a ba đng caoự ủ ườ
Tr ng tâm: Giao c a ba đng trung tuy nọ ủ ườ ế
Tâm đng tròn ngo i ti p: Giao c a ba đng trung tr cườ ạ ế ủ ườ ự
Tâm đng tròn n i ti p: Giao c a ba đng phân giácườ ộ ế ủ ườ
Đng th ngườ ẳ
Đi qua
( )
0 0
;M x y
và có
H s góc ệ ố
k
:
( )
0 0
y k x x y= - +
VTPT
( )
;n a b=
r
:
( ) ( )
0 0
0a x x b y y- + - =
VTCP
( )
;u a b=
r
CT:
0 0
x x y y
a b
- -
=
TS:
0
0
x x at
y y bt
￬
￬= +
￬
￬
￬= +
￬
￬
Đi qua
(PT theo đo n ch n)ạ ắ
Đng trònườ
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0
0 0
: ;
:
T am I x y x x y y R
BK R
￬
￬
￬
￬￬ - + - =
￬
￬
￬
￬
￬
2 2
2 2 0x y ax by c+ + + + =
. Tâm
( )
;I a b- -
và bán kính
2 2
R a b c= + -
Elip:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
Đ dàiộ
Tr c l n: ụ ớ
1 2
2A A a=
Tr c bé: ụ
1 2
2B B b=
Tiêu c : ự
1 2
2F F c=
( )
2 2 2
; , , 0a b c a b c= + >
Tâm sai:
1
c
ea
= <
Hình ch nh t c s gi i h n: ữ ậ ơ ở ớ ạ
( )
: 4
: 4
DT S ab
x a
y b CV P a b
￬
￬￬
￬=
= ￬ ￬
￬￬
￬
� �
� �
= ￬ = +
� �
￬￬
￬
( ) ( )
2 2 1 0
0 0
0 0 1 2
2 2
2 0
; 1; 2 ;
c
MF a x
x y a
M x y E MF MF a c
a b MF a x
a
￬
￬
￬= +
￬
￬
￬
+ = + =ή￬
￬
￬= -
￬
￬
￬
￬
1
B. KI N TH C C B NẾ Ứ Ơ Ả
C. M T S BÀI TOÁN C B NỘ Ố Ơ Ả
Trang
Oxy
Kho ng cáchả
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2
;;
;
A x y A B x x y y A B x x y y
B x y
￬
￬
￬
￬￬ = - - ￬ = - + -
￬
￬
￬
￬
￬
uuur
( ) ( )
0 0
0 0
2 2
;;
: 0
ax by c
M x y d M
ax by c a b
￬
￬+ +
￬
￬￬ =D
￬
￬+ + =D+
￬
￬
￬
Góc
( )
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1
1 2 2 2 2 2
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
.
: 0 os ;
: 0 ..
n n a a bb
a x b y c c
a x b y c n n a a b b
￬+￬ + + =D
￬￬ = =D D
￬
￬+ + =D+ +
￬
￬
r r
r r
1 2 1 2 1 2 1 2
. . 0; . 1n n u u k k^ ￬ = = = -D D r r r r
Di n tíchệ
( ) ( ) ( )
1 1
. sin
2 2 4
a
abc
S a h bc a pr p p a p b p c
R
= = = = = - - -
V i ớ
2
a b c
p+ +
=
: n a chu vi c a tam giácử ủ
Oxy
Đng phânườ
giác
1 1 1 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
: 0 0
: 0 0
a x b y c a x b y c
a x b y c A x B y C
a x b y c A x B y C
a b a b
� �
+ + + +￬ + + = + + =D
￬￬
￬ = ￬
￬￬
￬+ + = + + =D+ + ￬
￬
� �
V trí hai đi mị ể
đi v i m tố ớ ộ
đng th ngườ ẳ
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
; ; ; ;
: 0
M x y M x y ax by c ax by c h
ax by c
￬
￬
￬
￬+ + + + =
￬
￬+ + =D
￬
￬
￬
N u ●ế
0h>
thì
1 2
;M M
cùng phía v i ớ
D
N u ●ế
0h<
thì
1 2
;M M
khác phía v i ớ
D
N u ●ế
0h=
thì
1
M�D
ho c ặ
2
M�D
Phân giác
trong c a gócủ
A
c aủ
A BCD
Cách 1: L p: ậ
( )
( )
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
: 0 0
: 0 0
A B a x b y c A x B y C
A C a x b y c A x B y C
￬
￬
￬+ + = + + = D
￬￬
￬
￬￬
￬+ + = + + = D
￬
￬
￬￬
N u ●ế
;B C
cùng phía v i ớ
1
D
thì
2
D
là phân giác trong c a góc ủ
A
N u ●ế
;B C
khác phía v i ớ
1
D
thì
1
D
là phân giác trong c a góc ủ
A
Cách 2:
( ; )M x y
là chân đng phân giác trong c a góc ườ ủ
A
.
Ta có:
( )
( ) ( )
0
.0
f x
MB A B k MB k MC M PT A M
g y
MC A C
￬
￬=
￬
￬
= = ￬ = - ￬ ￬ ￬
￬
￬=
￬
￬
￬
uuur uuur
Xác đnh đi mị ể
'M
đi x ngố ứ
v i ớ
M
qua
:ax by c+ + =D
Cách 1:
( )
;H x y
là hình chi u c a ế ủ
M
lên
D
. Ta có:
( )
; 0
. 0 '
0
f x y
MH u H M
ax by c
H
D
￬￬
￬￬=
=
￬￬
� �
￬ ￬ ￬
� �
� � + + =
�D
� �
￬
￬
￬
￬
uuuur r
(
H
là TĐ c a ủ
'MM
)
Cách 2: L p: ậ
'
'
M
￬
￬D '
￬
￬
￬^D D
￬
￬
. G i ọ
' 'H H M=D�D��
2
D. BÀI TOÁN TÌM ĐI MỂ
E. PH NG PHÁP GI I HÌNH H C OXYƯƠ Ả Ọ
Chu n b : Các ki n th c hình h c ph ng, d ng c v hình.●ẩ ị ế ứ ọ ẳ ụ ụ ẽ
B c 1: ướ V hình chính xác (có th v nhi u hình)ẽ ể ẽ ề
B c 2: ướ Phân tích các đi m trên hình v , ta th c hi n các công vi c sau:ể ẽ ự ệ ệ
1) Liên h đi m đã bi t t a đ (ho c tìm đc ngay t a đ), v i các đng trong hình đã cho ( tamệ ể ế ọ ộ ặ ượ ọ ộ ớ ườ
giác, t giác…), các tính ch t c a hình đã cho, các đi m khác thông qua công th c trung đi m, côngứ ấ ủ ể ứ ể
th c tr ng tâm, tính ch t đi x ng,..., các đi m khác thông qua đng th c véc t , kho ng cách,…ứ ọ ấ ố ứ ể ẳ ứ ơ ả
(Chú ý: N u không tìm đc m i liên h thì ph i chú ý đn y u t không đi đ tìm ra l iế ượ ố ệ ả ế ế ố ổ ể ờ
gi i)ả
2) S p x p các đi m theo th t t nhi u GT đn ít GT nh t.ắ ế ể ứ ự ừ ề ế ấ
B c 3: ướ Tìm t a đ các đi m và tr l i câu h i.ọ ộ ể ả ờ ỏ
F. BÀI T PẬ
Bài 1. (THPT QG – 2015) Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho tam giác
A BC
vuông t i ạ
A
. G i ọ
H
là
hình chi u vuông góc c a ế ủ
A
trên c nh ạ
BC
;
D
là đi m đi x ng c a ể ố ứ ủ
B
qua
H
;
K
là hình chi u vuôngế
Trang
Tìm
điể
m
M
H ngướ
1
1 2
M= ￬V V
Cho
1
V
(ho c c ặ ả
2
V
)
M￬
Vi t PT ế
1
V
(ho c c ặ ả
2
V
)
Đi m đã cho và VTPT (VTCP)ể
d a vào //,ự￬
Đi m và đi mể ể
H ngướ
2
( )
M t
M�D
Cho
D
//, ￬,
đnhị
l ngượ
( )
0 ?f t t
M
= ￬ =
￬
Vi t PT ế
D
Tính đi x ng, trung đi m, tr ng tâm...ố ứ ể ọ
H ngướ
3
M�D
N u ế
I
c đnh và ố ị
( )
MI h M C= ￬ = ￬D
(
( )
C
là đng tròn tâm ườ
I
, BK
R h=
)
M￬
N u ế
1 2
;F F
c đnh, ố ị
1 2
2MF MF a+ =
,
1 2
2F F c=
( ) ( )
2 2
2 2
: 1
x y
M E E a b
� �
￬
￬￬
= + =� D � ￬￬
￬￬
￬
� �
H ngướ
4
( )
( )
M C
M E
￬￬
￬
￬￬
￬
￬
G i ọ
( )
0 0
;M x y
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
0
1 0 0
0
2 0 0
; 0 ;
; 0
x
f x y M C M E
y
f x y GT
￬￬
￬￬=
=��
￬￬
￬
￬ ￬
� �
� � =
=
� �
￬
￬
￬
M￬
H ngướ
5
M�D
, :A B MA BD
vuông, cân...
M￬
, : ...A B MA kMB=
uuur uuur
3
góc c a ủ
C
trên đng th ng ườ ẳ
A D
. Gi s ả ử
( ) ( )
5; 5 , 9; 3H K- - -
và trung đi m c a c nh ể ủ ạ
A C
thu cộ
đng th ng ườ ẳ
10 0x y- + =
. Tìm t a đ đi m ọ ộ ể
A
.
Bài 2. (DB – THPTQG – 2015) Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho tam giác
A BC
không cân n i ti pộ ế
đng tròn tâm ườ
I
. G i ọ
H
là hình chi u vuông góc c a ế ủ
A
trên
BC
,
K
là hình chi u vuông góc c a ế ủ
B
trên
A I
. Gi s ả ử
( ) ( )
2;5 , 1;2A I
, đi m ể
B
thu c đng th ng ộ ườ ẳ
3 5 0x y+ + =
, đng th ng ườ ẳ
HK
có
ph ng trình ươ
2 0x y- =
. Tìm t a đ các đi m ọ ộ ể
,B C
.
Bài 3. ( MH – THPTQG – 2015) Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho tam giác
OA B
có các đnh ỉ
A
và
B
thu c đng th ng ộ ườ ẳ
: 4 3 12 0x y+ - =D
và đi m ể
(6;6)K
là tâm đng tròn bàng ti p góc ườ ế
O
. G i ọ
C
là đi m n m trên ể ằ
D
sao cho
A C A O=
và các đi m ể
,C B
n m khác phía nhau so v i đi m ằ ớ ể
A
. Bi tế
đi m ể
C
có hoành đ b ng ộ ằ
24
5
. Tìm t a đ các đnh ọ ộ ỉ
,A B
.
Bài 4. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho hình vuông
A BCD
, có
BD
n m trên đng th ng có ph ngằ ườ ẳ ươ
trình
3 0x y+ - =
, đi m ể
( )
1;2M-
thu c đng th ng ộ ườ ẳ
A B
, đi m ể
( )
2; 2N-
thu c đng th ng ộ ườ ẳ
A D
.
Tìm t a đ các đnh c a hình vuông ọ ộ ỉ ủ
A BCD
bi t đi m ế ể
B
có hoành đ d ng.ộ ươ
Bài 5. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho đng tròn ườ
( ) ( ) ( )
2 2
25
: 1 1 2
C x y- + - =
n i ti p hình vuôngộ ế
A BCD
, đng chéo ườ
A C
song song v i đng th ng ớ ườ ẳ
4 3 2015 0x y- + =
. Tìm t a đ các đnh c aọ ộ ỉ ủ
hình vuông, bi t đnh ế ỉ
,A B
đu có hoành đ d ng.ề ộ ươ
Bài 6. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho hình thang
A BCD
vuông t i ạ
A
và
D
và có di n tích b ngệ ằ
15, đng th ng ườ ẳ
A D
và
BD
l n l t có ph ng trình ầ ượ ươ
3 0x y- =
và
2 0x y- =
,
?
0
45BCD =
. Vi tế
ph ng trình đng th ng ươ ườ ẳ
BC
bi t đi m ế ể
B
có tung đ d ng.ộ ươ
Bài 7. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho đng tròn tâm ườ
( )
1;2I
ngo i ti p tam giác ạ ế
A BC
, tr c tâmự
H
c a tam giác ủ
A BC
n m trên đng th ng ằ ườ ẳ
: 4 5 0x y- - =D
, đng th ng ườ ẳ
A B
có ph ng trìnhươ
2 14 0x y+ - =
, kho ng cách t ả ừ
C
đn đng th ng ế ườ ẳ
A B
b ng ằ
3 5
. Tìm t a đ đi m ọ ộ ể
C
, bi t đi mế ể
C
có hoành đ nh h n 2.ộ ỏ ơ
Bài 8. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho hình ch nh t ữ ậ
A BCD
,
M
n m trên đo n ằ ạ
CB
sao cho
2CM BM=
,
( )
1; 3D-
. G i ọ
N
là đi m sao cho ể
D
là trung đi m c a ể ủ
CN
, đng th ng ườ ẳ
MN
có
ph ng trình ươ
4 3 3 0x y- - =
, đi m ể
A
n m trên đng th ng ằ ườ ẳ
: 3 9 0x y- + =D
. Tìm t a các đi mọ ể
, ,A B C
.
Trang 4
Bài 9. Trong m t ph ng ặ ẳ
Oxy
, cho
A BCD
vuông cân t i ạ
A
. G i ọ
M
là trung đi m c a ể ủ
BC
,
G
là
tr ng tâm c a ọ ủ
A BMD
,
5 1
;
3 3
D� �
￬
￬￬
-
￬￬
￬￬
￬
� �
thu c đo n ộ ạ
MC
sao cho
GA GD=
. Tìm t a đ các đi m ọ ộ ể
, ,A B C
,
bi t đi m ế ể
A
có hoành đ không d ng và ộ ươ
: 2 0A G y + =
.
Bài 10. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho hình vuông
A BCD
có
( )
0;4B
. G i ọ
,M N
l n l t là trungầ ượ
đi m c a các c nh ể ủ ạ
,BC CD
, đng th ng ườ ẳ
A M
đi qua đi m ể
( )
5;3E
. Tìm t a đ các đnh ọ ộ ỉ
, ,A C D
,
bi t đi m ế ể
N
có tung đ âm và n m trên đng th ng ộ ằ ườ ẳ
: 2 6 0d x y- - =
.
Bài 11. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho hình thang
A BCD
vuông t i ạ
B
và
C
,
2A B BC CD= =
.
G i ọ
M
là trung đi m c a c nh ể ủ ạ
BC
, đi m ể
4 8
;
5 5
H� �
￬
￬￬
￬￬
￬￬
￬
� �
là giao đi m c a ể ủ
BD
và
A M
. Tìm t a đ cácọ ộ
đnh c a hình thang ỉ ủ
A BCD
, bi t ph ng trình c nh ế ươ ạ
A B
là
4 0x y- + =
và đi m ể
A
có hoành độ
âm.
Bài 12. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho hình ch nh t ữ ậ
A BCD
v i ớ
2BC A B=
. G i ọ
( )
1;1E
là đi mể
trên c nh ạ
BC
sao cho
1
4
BE BC=
và đi m ể
4 8
;
5 5
H� �
￬
￬￬
￬￬
￬￬
￬
� �
là giao đi m c a ể ủ
BD
và
A E
. Tìm t a đ cácọ ộ
đnh c a hình ch nh t ỉ ủ ữ ậ
A BCD
, bi t đi m ế ể
B
thu c đng th ng ộ ườ ẳ
: 2 6 0d x y+ - =
.
Bài 13. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho hình vuông
A BCD
, đng chéo ườ
A C
có ph ng trìnhươ
3 13 0x y+ - =
, đi m ể
B
thu c tr c tung. Trên các tia đi c a tia ộ ụ ố ủ
CB
và
DC
l y các đi m ấ ể
M
và
N
sao cho
BM DN=
. Tìm t a đ các đnh c a hình vuông ọ ộ ỉ ủ
A BCD
, bi t ế
15 11
;
2 2
K� �
￬
￬￬
￬￬
￬￬
￬
� �
là trung đi m c aể ủ
MN
.
Bài 14. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho tam giác
A BC
cân t i ạ
A
, các đi m ể
( ) ( )
1;1 , 1; 7M N- - -
l nầ
l t thu c các c nh ượ ộ ạ
A B
và tia đi c a ố ủ
CA
sao cho
BM CN=
. Tìm t a đ các đnh c a tam giácọ ộ ỉ ủ
A BC
, bi t r ng ế ằ
BC
đi qua đi m ể
( )
3; 1E- -
và đi m ể
B
thu c đng th ng ộ ườ ẳ
: 4 0d x + =
.
Bài 15. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho hình ch nh t ữ ậ
A BCD
,
A C
và
BD
c t nhau t i ắ ạ
I
. Kẻ
,A H BK
l n l t vuông góc v i ầ ượ ớ
,B D A C
. Bi t ế
,A H BK
c t nhau t i ắ ạ
E
. Tìm t a đ các đnh c aọ ộ ỉ ủ
hình ch nh t, bi t ữ ậ ế
,BK IE
l n l t có ph ng trình làầ ượ ươ
3 5 0; 1 0x y x y- + = + + =
và
3 4
;
5 5
H� �
￬
￬￬
-
￬￬
￬￬
￬
� �
.
Bài 16. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
Oxy
, cho hình ch nh t ữ ậ
A BCD
, đng chéo ườ
BD
có ph ng trình làươ
2 3 4 0x y- + =
. Đi m ể
G
thu c ộ
BD
sao cho
4DG GB=
uuur uuur
. G i ọ
M
là đi m đi x ng v i ể ố ứ ớ
A
qua
G
.
Hình chi u vuông góc c a ế ủ
M
lên các c nh ạ
,BC CD
l n l t là ầ ượ
( ) ( )
10;6 , 13;4E F
. Tìm t a đ cácọ ộ
đi m c a hình ch nh t ể ủ ữ ậ
A BCD
.
Trang 5