PH NG PHÁP TÌM GIÁ TR L N NH T NH NH T ƯƠ Ị Ớ Ấ Ỏ Ấ
C A M T S BI U TH C C B N Ủ Ộ Ố Ể Ứ Ơ Ả
1. Đa th c d ng f(x)=axứ ạ 2
+ bx + c (a ≠ 0)
Bi n đ i f(x) = axế ổ 2 + bx + c = a.G(x)2 + d (d là h ng s )ằ ố
N u a >0 thì f(x) t n t i GTNN là d. D u b ng x y ra khi G(x)=0 ế ồ ạ ấ ằ ả
N u a<0 thì f(x) t n t i GTLN là d. D u b ng x y ra khi G(x)=0ế ồ ạ ấ ằ ả
Ta có: f(x) = a(x2 +
a
b
x +
a
c
) = a[x2 + 2.x.
a
b
2
+
2
2
4a
b
+
a
c
-
2
2
4a
b
]
= a[(x +
a
b
2
)2 +
a
c
-
2
2
4a
b
] = a(x +
a
b
2
)2 +
c
-
a
b
4
2
Nh v y: N u a > 0 thì f(x) t n t i giá tr nh nh t là: ư ậ ế ồ ạ ị ỏ ấ
c
-
a
b
4
2
N u a < 0 thì f(x) t n t i giá tr l n nh t là: ế ồ ạ ị ớ ấ
c
-
a
b
4
2
Ví d 1. Tìm giá tr l n nh t (nh nh t) c a bi u th c sau:ụ ị ớ ấ ỏ ấ ủ ể ứ
a) x2 + 3x + 1 b) 2x2 – 2x – 1 c) – 2x2 + 3x + 1
Gi iả
a) f(x) = x2 + 2.x.
3
2
+
+
1 3
4 4
=
� �
+ +
� �
� �
2
1 3 3
x2 4 4
D u “=” x y ra khi x = ấ ả
−1
2
V y GTNN c a bi u th c trên là ậ ủ ể ứ
3
4
khi x =
−1
2
c)
2
ﾖ 2x 3x 1 . .
2
3 1 3 9 17 3 17
2 2
2 x x 2 x 2 x 2 x
2 2 4 16 16 4 16
+ + = − − − = − − + − = − − −
� �
� � � � � �
� �
� � � � � �
� � � � � �
� �
� �
2
3 17 17
2 x 4 8 8
= − − +
� �
� �
� �
D u “=” x y ra khi x = ấ ả
3
4
V y Giá tr l n nh t là: ậ ị ớ ấ
2. D ng B c 4ạ ậ
a) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 12 b)(x – 1)(x + 1)(x + 6)(x + 8) + 25
c) x(x + 6)(x + 8)(x + 14) – 22 d) –x(x – 3)(x – 9)(x – 6) + 30
3. Đa th c d ng f(x,y) = axứ ạ 2
+ bxy + cy 2
+ dx + ey + m (a.c >0)
a) D ng khuy t bxy: ạ ế f(x,y) = ax2 + cy2 + dx + ey + m
Ví d 1. Tìm giá tr l n nh t (nh nh t) c a xụ ị ớ ấ ỏ ấ ủ 2 + y2 – 2x + 4y + 3
Gi i ả
a) x2 + y2 – 2x + 4y + 3 = (x2 – 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) – 2
= (x – 1)2 + (y + 2)2 – 2 ≥ 2
(d u “=” x y ra khi x = 1; y = -2)ấ ả
V y GTNN c a xậ ủ 2 + y2 – 2x + 4y + 3 là -2 khi x = 1; y = - 2
b) – x2 + 2x – 4y2 + 4y + 1
Ta có – x2 + 2x – 4y2 + 4y + 1 = –(x2 – 2x + 1) – (y2 – 4y + 4) + 6
= – (x – 1)2 – (y – 2)2 + 6 ≤ 6
(D u “ = “ x y ra khi x = 1; y = 2)ấ ả
V y GTLN c a - xậ ủ 2 + 2x – 4y2 + 4y + 1 là 6 khi x = 1; y = 2
b. f(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + m (a.c >0; 4ac > b2)
Ph ng pháp: có th bi n đ i f(x,y) thành m t trong hai d ng ươ ể ế ổ ộ ạ
D ng 1. Chia thành 2 nhóm. M t nhóm g m các h ng t ch a bi n y nhóm còn l i ch ch a bi n xạ ộ ồ ạ ử ứ ế ạ ỉ ứ ế
f(x,y) = ±(kx + ty + r)2 ± (hx – g)2 + p
D ng 2. Chia thành 2 nhóm. M t nhóm g m các h ng t ch a bi n x nhóm còn l i ch ch a bi n yạ ộ ồ ạ ử ứ ế ạ ỉ ứ ế
f(x,y) = ±(kx + ty + r)2 ± (hy – g)2 + p
Ví d 2.ụ Tìm Giá tr nh nh t ( l n nh t ) 5xị ỏ ấ ớ ấ 2 + 4xy + y2 – 2x + 2y + 13
Gi iả
D ng 1ạ: 5x2 + 4xy + y2 – 2x + 2y + 13 = [y2 + 4xy +2y] + 5x2 – 2x + 13
= [y2 + 2y(2x + 1)] + 4x2 – 6x + 1
= [y2 + 2y(2x + 1) + (2x + 1)2] + 5x2 – 2x + 13 – (2x + 1)2
= (y + 2x + 1)2 + x2 – 6x + 12
= (y + 2x + 1)2 + (x – 3)2 + 3 ≥ 3
D u “=” x y ra khi x = 3; y = -7ấ ả
V y GTNN c a bi u th c trên là 3ậ ủ ể ứ
D ng 2: ạ
5x2 + 4xy + y2 – 2x + 2y + 13 = [5x2 + 4xy – 2x] + y2 + 2y + 13
= [5x2 + 2x(2y – 1)] + y2 + 2y + 13
=5[x2 + 2.x.
2y 1
5
−
+
� �
� �
� �
2
2y -1
5
] + y2 + 2y + 13 -
( )
2
5
2y -1
= 5
2
2y 1
x5
−
� �
+
� �
� �
+
2
y 14y 64
5
+ +
=
2
2y 1
x5
−
+
� �
� �
� �
+
2
(y 7) 15
5
+ +
=
2
2y 1
x5
−
+
� �
� �
� �
+
2
(y 7)
5
+
+ 3 ≥ 3
D u “ = ” x y ra khi y= -7; x =3ấ ả
V y GTNN c a bi u th c trên là 3ậ ủ ể ứ
Bài t p áp d ngậ ụ
1. Tìm giá tr nh nh t (l n nh t) n u cóị ỏ ấ ớ ấ ế
a)x2 + 4xy + 6y2 – 4x + 6y + 2000 b) 2x2 - 6xy + 4y2 + 2x + 3y + 2012
c)- x2 - 4xy - 6y2 – 4x + 6y + 2013 d) - 2x2 + 6xy - 4y2 + 2x + 3y + 2011
2. Tìm x, y bi t ế
a) 5x2 + y2 – 2xy – 6x + 2y + 2 = 0 b) 2x2 – 4xy + 4y2 – 4x – 4y + 10 = 0
c) 4x2 + 2y2 – 16y + 12x – 4xy + 34 = 0 d) x2 – 2xy + 2y2 + 2x – 6y + 5 = 0
4. Đa th c d ng ứ ạ
2
2
ax by c
dx ex f
+ +
+ +
(trong đó a, d không đ ng th i b ng 0 và ồ ờ ằ
2
dx ex f+ +
là đa th c d ng luôn l nứ ở ạ ớ
h n ho c b ng không)ơ ặ ằ
Tr c tiên ta gi i bài toán sau: Tìm đi u ki n c a các h s a, b, c đ đa th c b c 2: axướ ả ề ệ ủ ệ ố ể ứ ậ 2 + bx + c vi t đ cế ượ
d i d ng m(x + n)ướ ạ 2
Gi iả
Ta có ax2 + bx + c = mx2 + 2mnx + mn2
+ N u n = 0 => b = c = 0ế
+ N u n Khác 0ế
=> a=m và b = 2mn và c = mn2 => b = 2an và c = an2 => b2 = 4a2 n2 và c = an2 => b2.an2 = 4a2n2.c
=> b2 = 4ac
Ví d . Tìm đi u kiên c a k đ (k + 1)xụ ề ủ ể 2 – (2 + k)x + 1 vi t đ c d i d ng m(x + n)ế ượ ướ ạ 2
Gi i ả
a = k + 1 ; b = -(2 + k); c = 1
Đi u ki n: bề ệ 2 = 4ac => (2 + k)2 = 4(k + 1).1 => k2 = 0 => k = 0
Bài t p áp d ngậ ụ
Tìm đi u ki n c a h đ các bi u th c sau vi t đ c d i d ng m(x + n)ề ệ ủ ể ể ứ ế ượ ướ ạ 2
a) hx2 - 2x + 3 b) x2 – 4hx + 5
c) - 5x2 + 6x + h d) (h + 3)x2 – (2h + 2)x + 3 – 2h
D ng 1. D ng T ng quát ạ ạ ổ
+ +
+ +
2
2
ax bx c
dx ex f
(Ph ng pháps d ng cho h c sinh l p 8)ươ ử ụ ọ ớ
Ph ng pháp: Bi n đ i bi u th c ươ ế ổ ể ứ
+ + α +β
= + λ
+ + + +
2 2
2 2
ax bx c (x )
dx ex f dx ex f
B c 1ướ . Ta thêm b t vào ớ
+ +
+ +
2
2
ax bx c
dx ex f
m t s ộ ố
µ
+ + + + + µ + + µ + + µ
= + µ −µ = −µ
+ + + + + +
2 2 2
2 2 2
ax bx c ax bx c (a d )x (b e )x c f
dx ex f dx ex f dx ex f
B c 2.ướ Tìm s ố
µ
sao cho
+ µ + + µ + + µ
2
(a d )x (b e )x c f
Vi t đ c d i d ng m(x+n)ế ượ ướ ạ 2
Hay (b+e
µ
)2 = 4(a+d
µ
)(c+f
µ
)
Ví d .ụ Tìm giá tr nh nh t (l n nh t) c a ị ỏ ấ ớ ấ ủ
+ +
− +
2
2
12x 12x 18
x 2x 3
( )
( )
2
212 x 12 2 x 18 3
12x 12x 18
2 2
x 2x 3 x 2x 3
+ µ + − µ + + µ
+ + = − µ
− + − +
( )
( )
2
12 x 12 2 x 18 3+ µ + − µ + + µ
Vi t đ c d i d ng m(x+n)ế ượ ướ ạ 2 Khi
( ) ( ) ( )
( )( )
; c�
22 2 2
12 2 4 12 18 3 36 12 3 54 216 2 66 180 0
233 90 0 3 30 0
3 Ho 30
− µ = + µ + µ − µ + µ = µ + µ + µ + µ + =� �
µ + µ + = <=> µ + µ + =�
=> µ = − µ = −
Gi iả
2
12x 12x 18
2
x 2x 3
+ +
− +
=
2
12x 12x 18
2
x 2x 3
+ +
− +
- 3 + 3 =
( )
( )
2 2
9x 18x 9 9 x 1
3 3 3
2 2
x 2x 3 x 1 2
+ + +
+ = +
− + − +
D u “=” x y ra khi x = -1ấ ả
V y Giá tr nh nh t là 3 t i x = -1;ầ ị ỏ ấ ạ
2
12x 12x 18
2
x 2x 3
+ +
− +
-30+30 =
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
18x 72x 72 18 x 4x 4 18 x 2
30 30 30 30
2 2 2
x 2x 3 x 1 2 x 1 2
− + − − − + − −
+ = + = +
− + − + − +
D u b ng x y ra khi x =2ấ ằ ả
V y giá tr l n nh t c a bi u th c trên là 30 t i x = 2ậ ị ớ ấ ủ ể ứ ạ
Bài t p áp d ngậ ụ
2 2
3 1 2 1
P
2 2
5 22
+ +
= =
+ +
x x
Q
x x
2 2
5 2 2 3 1
T
2 2
2 1 6 9
− + − +
= =
− + − +
x x x x
U
x x x x
8 3 27 12
X
2 2
4 1 9
+ −
= =
+ +
x x
Y
x x
2 2 2
C
4 2 2
1 2
+
= =
+ + +
x x y
D
x x xy y
2 2
2 2
6 6
27 512
R
4 3 2 2
3 6 9 9 8
− +
+ +
+ +
= = =
− + − + +
x xy y
x xy y
x x
S T
x x x x x
D ng 2. D ng có th đ n gi n hoá ạ ạ ể ơ ả
+ +
+ +
2
2
ax bx c
dx ex f
(v i a/d = b/e)ớ
Ví d 2. Tìm giá tr nh nh t (l n nh t) ụ ị ỏ ấ ớ ấ
2
2
-2x 6x 13
4x 12x 9
+ +
− +
Ta có
2
-2x 6x 13
2
4x 12x 11
+ +
− +
=
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2x 6x 13 4x 12x 11 37 1 37
2 2 2
2
2 4x 12x 11 2 4x 12x 11 2 2x 3 4
− − + + − + − −
= = +
− − + − − + − +
Vì 2(2x-3)2 + 4
4 =>
( )
2
37
2 2x 3 4− +
37
4
=>
( )
2
1 37
2 2 2x 3 4
−+− +
1 37 35
2 4 4
−
+ =
(D u b ng x y ra khi x = 3/2). V y giá tr l n nh t là 35/4 khi x = 3/2ấ ằ ả ậ ị ớ ấ
Bài t p áp d ngậ ụ
1. Tìm giá tr l n nh t (nh nh t) n u có:ị ớ ấ ỏ ấ ế
a)
2
3x 6x 17
A2
x 2x 5
− +
=− +
b)
2
2x 16x 41
B2
x 8x 22
− +
=− +
c)
2
2
3x 2x 10
B9x 6x 2
+ +
=+ +
d)
2
1
Dx x 1
−
=− +
e)
2
21
D4x 4x 3
=− +
f)
2
21
Dx 4x 6
=− +